数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十四章

!!第一章实数集与函数内容提要!一!实数!"实数包括有理数和无理数!有理数可用分数"#!""#为互质整数##"#$表示#也可用有限十进小数或无限十进循环小数表示!!$是首先遇到的无理数#它与古希腊时期所发现的不可公度线段理论有直接联系#且可以表示为无限十进不循环小数!实数的无限十进小数表示在人类实践活动中被普遍采用#我们是由无限十进小数表示出发来阐述实数理论的!$"若$%%#%%!%$&%&&为非负实数#称有理数$&%%#%%!%$&%&为实数$的&位不足近似#而有理数$&%$&&!!#&称为$的&位过剩近似#&%##!#$#&!’"在数学分析课程中不等式占有重要的地位#在后继课程中#某些不等式可以成为某个研究方向的基础!数学归纳法是证明某些不等式的重要工具!二!数集"确界原理!"邻域是数学分析中重要的基本概念!某点的邻域是与该点靠近的数的集合#它是描述极限概念的基本工具!在无限区间记号!()#%’#!()#%$#(%#&)$#!%#&)$#!()#&)$中出现的()与& )仅是常用的记号#它们并不表示具体的数!在数学分析课程范围内#不要把&)#()#)当作数来运算!%!%!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$$"有界集和无界集是本章中关键的概念!要熟练掌握验证某个数集’是有界集或无界集的方法#其中重要的是证明数(不是数集’的上界!或下界$的方法!’"确界是数学分析的基础严格化中的重要的概念!上!下$确界是最大!小$数在无限数集情况下的推广!确界概念有两种等价的叙述方法#以上确界为例)设’是)中一个数集#若数!满足!!$!!$对一切$#’#有$$!#则!是’的上界*!"$对任意"%!#存在$##’#使得$#&"#则!又是’的最小上界’()!或!$$!!$对一切$#’#有$$!#则!是’的上界*!"$对任意#&##存在$##’#使得$#&!(##则!又是’的最小上界’()!这两种定义是等价的!!$$中的!(#相当于!!$中的"!在上述定义中可以限定#%###其中##为充分小的正数!定义!$$在某些证明题中使用起来更方便些!*"确界原理)设’是非空数集#若’有上界#则’必有上确界*若’有下界#则’必有下确界!确界原理是实数系完备性的几个等价定理中的一个!三!函数及其性质!"邻域!!$*!%#$$%!%($#%&$$称为%的$邻域#其中$&#!!$$*+!%*$$%!%($#%$*!%#%&$$%+$+#%+$(%+%$,称为%的空心$邻域#其中$&#!!’$*+&!%$%!%#%&,$和*+(!%$%!%(,#%$分别称为%的右邻域和左邻域#其中,&#!$"确界设给定数集’!!!$上确界!若存在数!#满足!$!$$!#,$#’*$$,$%!#都存在$##’#使$#&$#则称!为’的上确界#记为!%+,-$#’$!!$$下确界!若存在数%#满足!$$-%#,$#’*$$,&&%#都存在-##’#使-#%&#则称%为’的下确界#记为!%./0$$#’!!’$确界原理!#非空有上!下$界的数集#必有上!下$确界!$若数集有上!下$确界#则上!下$确界一定是惟一的!’"函数!!$函数定义给定两个非空实数集.和(#若有一个对应法则,#使.内每一个数$#都有惟一的一个数-#(与它对应#则称,是定义在.上的一个函数#记为-%,!$$#$#.#并称.为函数的定义域#称,!.$%+-+-%,!$$#$#.,!.($为函数的值域!!$$几个重要的函数#分段函数函数在其定义域的不同部分用不同公式表达的这类函数#常称为分段函数!$符号函数%"%第一章!实数集与函数+1/!$$%!#!!$&###$%#(!#$%’()#%狄利克雷函数.!$$%!#当$为有理数##当$+为无理数&黎曼函数)!/$%!##当$%"##"###0&"#为既约分数##当$%##!和!##!$’()中的无理数’复合函数-%,!1!$$$#$#2/其中-%,!3$#3#.#3%1!$$#$#2#2/%+$+1!$$#.,&2#2"4!’$反函数已知函数3%,!$$#$#.!若对,-##,!.$#在.中有且只有一个值$##使得,!$#$%-##则按此对应法则得到一个函数$%,(!!-$#-#,!.$#称这个函数,(!2,!.$0.为,的反函数!!*$初等函数#基本初等函数!常量函数"幂函数"指数函数"对数函数"三角函数"反三角函数这六类函数称为基本初等函数!$初等函数!由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数#统称为初等函数!%凡不是初等函数的函数#都称为非初等函数!*"有界性设-%,!$$#$#.!!$若存在数(#使,!$$$(#,$#.#则称,是.上的有上界的函数!!$$若存在数5#使,!$$-5#,$#.#则称,是.上的有下界的函数!!’$若存在正数6#使+,!$$+$6#则称,是.上的有界函数!!*$若对任意数(#都存在$##.#使,!$#$&(#则称,是.上的无上界函数#类似可定义无下界及无界函数!3"单调性设-%,!$$#$#.#若对,$!#$$#.#$!%$$#有!!$,!$!$$,!$$$#则称,在.上是递增函数!!$$,!$!$%,!$$$#则称,在.上是严格递增函数!类似可定义递减函数与严格递减函数!4"奇偶性设.是对称于原点的数集#-%,!$$#$#.!!!$若,$#.#都有,!($$%,!$$#则称,!$$是偶函数!!$$若,$#.#都有,!($$%(,!$$#则称,!$$是奇函数!%#%!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$!’$奇函数图象关于原点对称#偶函数图像关于纵轴对称!5"周期性!!$设-%,!$$#$#.#若存在正数7#使,!$67$%,!$$#,$#.!则称,!$$为周期函数#7称为,的一个周期!!$$若,的所有周期中#存在一个最小周期#则为,的基本周期!典型例题与解题技巧%例!&!设,!$$在((%#%’上有定义#证明,!$$在((%#%’上可表示为奇函数与偶函数的和!分析!本题主要考察奇函数"偶函数的定义#采用构造法解题!证明!设,!$$%8!$$&9!$$#其中8!$$#9!$$分别为奇"偶函数#于是,!($$%8!($$&9!($$%(8!$$&9!$$而,!$$%8!$$&9!$$由之可得!!!8!$$%,!$$(,!($$$#9!$$%,!$$&,!($$$这里8!$$#9!$$分别是奇函数和偶函数!%例"&!求数集’%&!&$&!(!$!&&#0+,&的上"下确界!解题分析!当&%$7时#$7!&$$!7%$$7!&!$$!7#容易看出7%!时#$!&!$!$是偶数项中的最大数!当&%$7&!时#$7&!!&$(!$7&!!$%$7&!!&!$$7!&!&!#当7充分大时#奇数项与数!充分靠近!因为$!&!$!$!%3是’中最大数#于是+,-’!%3#由上面分析可以看出./0’%!!解题过程!因为!3是’中最大数#于是+,-’!%3!再证./0’%!#这是因为!!$,&#&!&$&!(!$!&-!*!"$设%%$7&!!&!$$7!&!#由等式%&(!%!%(!$!%&(!&%&($&&&!$可知$7&!!&!$$7!&!(!%!$$7&!%$7&%$7(!&&&!$!$$7&!于是,#&##17##0&只要7#&!$781$!#(!!$!$$#使得$7#&!!&!$$7#!&!(!$!$$7#&!%#即$7#&!!&!$$7#!&!%!&#%例#&!设函数,!$$定义在区间:上#如果对于任何$!#$$#:#及’#!##!$#恒有,(’$!&!!(’$$$’$’,!$!$&!!(’$,!$$$!证明)在区间:的任何闭子区间上,!$$有界!分析!本题主要考察函数的有界性#要充分利用已知条件给出的不等式#积极构造出类似的不等%$%第一章!实数集与函数式#以证出结论!证明!,(%#;’.:#,$#!%#;$#则存在’#!##!$#使$%%&’!;(%$有!$%’;&!!(’$%由已知不等式有,!$$%,(’;&!!(’$%’$’,!;$&!!(’$,!%$$’(&!!(’$(%(#其中(%9:;,!$$#,!;+,$,$#(%#;’#令-%!%&;$($#那么%&;$%$&-$,!%&;$$%,!$$&-$$$!$,!$$&!$,!-$$!$,!$$&!$(<,!$$-$,!%&;$$((%<!$由##$两式可知<!$,!$$$(#,$#!%#;$再由(的定义#可知,!$$$(#,$#(%#;’若令!<%9./+,!%$#,!;$#<!,#则<$,!$$$(#,$#(%#;’即,!$$在(%#;’上有界!历年考研真题评析!%题!&!!北京大学#$##3年$设,!$$在(%#;’上无界#求证)16#(%#;’#使得对,#&##,!$$在!#(##=&#$2(%#;’上无界!分析!本题采用闭区间套定理证明!证明!取%#;中点%&;$#则(%#%&;$’#(%&;$#;’中至少有一个区间使,!$$无界!如果两个都是可任取一个$#记为(%!#;!’!再取中点%!&;!$#又可得区间(%$#;$’#使,!$$在其上无界#这样继续下去有(%#;’3(%!#;!’3(%$#;$’3&3(%&#;&’3&使,!$$在每个区间上无界!由区间套原理#存在6%7.9&0)%&%7.9&0);&#则6#(%#;’#而对,#&##当&充分大时#有!=(##=&#$2(%#;’3(%&#;&’故,!$$在!=(##=&#$2(%#;’上无界!%题"&!!甘肃工业大学#$##4年$有下列几个命题)!!$任何周期函数一定存在最小正周期!!$$($’是周期函数!!’$+./!$不是周期函数!!*$$=8+$不是周期函数!其中正确的命题有!!!$!>"!个!!!?"$个!!!@"’个!!!A "*个%%%!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$解题分析!本题主要考察周期函数的定义B 解题过程!选?!其中)!!$错B 比如,!$$%#B 那么任何正实数都是它的周期#而无最小正实数B !$$错B 设,!$$%($’的周期为C &##并设(C ’%9-#当9%#时#则C%!(%#其中#%%%!#那么(%&C ’%!#(%’%#!!!<(%&C ’"(%’这与C 为周期矛盾B !!!<9"#当9&#时#(C&!’%9&!#(!’%!!!!<(!&C ’"(!’#也矛盾B <($’不是周期函数B !’$对B D 若,!$$是定义域.上周期函数#那么存在函数>#使,$#.都有,!$6>$%,!$$!这必须有$6>#.!而本题定义域.%(##&)$#若是周期函数#则##.#必须(>#.#但(>4.#故不是周期函数!!*$对B 用反证法#设,!$$%$=8+$的周期为>&##则,!#$%#%,!>$%>=8+><=8+>%##>%&#(&($#&##E #且&#-#,!($&>$%,!(&&#($%!&#&!$(=8+(!&#&!$(’,!($$%($=8+($%##由,!($&>$%,!($$<=8+!&#&!$(%##矛盾B 即$=8+$不是周期函数!课后习题全解!!!F !!实数5!!设%为有理数#$为无理数!证明)!!$%?$是无理数*!!!!!!$$当%"#时#%$是无理数!!分析!根据有理数集对加"减"乘"除!除数不为#$四则运算的封闭性#用反证法证!!证明!!!$假设%?$是有理数#则!%?$$@%A $是有理数#这与题设$是无理数相矛盾#故%?$是无理数!!$$假设%$是有理数#则当%"#时#%$%A $是有理数#这与题设$为无理数相矛盾!故%$是无理数!6$!试在数轴上表示出下列不等式的解)!!$$!$$@!$&#*!!$$B $@!B %B $@’B *!’$$@!!@$$@!!-’$@!$!解!!!$由原不等式有$&#$$@!&+#!或!$%#$$@!%+#前一个不等式组的解集是C A +$B $&!,#后一个不等式组的解集是D A +$B @!%$%#,!故!!$的解集是C *D !如图!E !!%&%第一章!实数集与函数图!E !!$$由原不等式有$@!$@’%!#于是!?$$@’%!!所以@!%!?$$@’%!#即#%!’@$%!#则’@$&!#$%$!故!$$的解集为!@)#$$!如图!E $!图!E $!’$由原不等式应有’$@!$-##$@!!@$$@!!-##从而对原不等式两端平方有$@!?$$@!@$!$@!$!$$@!!$-’$@$因此有$!$@!$!$$@!!$$##所以!$@!$!$$@!!$A ##由此得$A !#或$A !$!但检验知$A !和$A !$均不符合原不等式!所以原不等式的解集为7!!小结!在!$$中是将绝对值不等式转化为不含绝对值的不等式去解!若直接利用绝对值的几何意义#其解集就是数轴上到点!的距离小于到点’的距离的点集#即数轴上点$左侧的点集!若直接考虑!’$的解$应使不等式中三个二次根式有意义#则必有$-!#但这时不等式左端为负而右端为正#显然不成立#故其解集为7!5’"设%";#$!证明)若对任何正数#有B %@;B %##则%A ;!!分析!用反证法#注意到题设中#的任意性#只要设法找到某一正数#使条件不成立即可!!证明!假设%";#则根据实数集的有序性#必有%&;或%%;!不妨设%&;#令#A %@;&##则B %@;B A %@;A ##但这与B %@;B A %@;%#矛盾#从而必有%A ;!5*"设$"##证明$?!$-$#并说明其中等号何时成立!!分析!由!%@;$$A %$@$%;?;$-##有%$?;$-$%;!!证明!因$"##则$与!$同号#从而有$?!$A B $B ?!B $B -$B $B %!B $!BA $等号当且仅当B $B A !B $B#即$AF !时成立!83"证明)对任何$#$有!!$B $@!B ?B $@$B -!*!!!!!$$B $@!B ?B $@$B ?B $@’B -$!!证明!直接由绝对值不等式的性质#对任意的$#$有!!$B $@!B ?B $@$B -B !$@!$@!$@$$B A B !B A !!$$B $@!B ?B $@$B ?B $@’B -B $@!B ?B $@’B -B !$@!$@!$@’$B A $64"设%";"=#$?!$?表示全体正实数的集合$!证明B %$?;!$@%$?=!$B $B;@=B !%’%!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$你能说明此不等式的几何意义吗-!分析!用分析法证明!!证明!欲证B %$?;!$@%$?=!$B $B;@=B 只需证!%$?;!$@%$?=!$$$$!;@=$$即证!$%$@$!%$?;$$!%$?=$!$$@$;=只需证%$?;=$!%$?;$$!%$?=$!$只需证!!%$?;=$$$!%$?;$$!;$?=$$即证$%$;=$%$!;$?=$$由于%";"=#$?#所以$;=$;$?=$#%$&##所以有$%$;=$%$!;$?=$$成立!所以原不等式成立!其几何意义为)当;"=时#平面上以点C !%#;$"D !%#=$"G !###$为顶点的三角形中#B B C G B @B D G B B %B C D B *当;A =时#此三角形变成以点G !###$#C !%#;$为端点的线段!如图!@’!图!E ’!小结!利用分析法找到证题思路#再用综合法证明#过程更为简捷!65"设$&##;&##%";#证明%?$;?$介于!与%;之间!!分析!本题实质是要比较两数的大小#且该数符号不定#可用作差法!!证明!因$&##;&##%";#则由!@%?$;?$A ;@%;?$#%;@%?$;?$A $!%@;$;!;?$$得当%&;时#!%%?$;?$%%;*当%%;时#%;%%?$;?$%!!故总有%?$;?$介于!与%;之间!!小结!通常要证某数%介于另两数;与=之间#可转化为证!=@%$!;@%$%##这种方法在;与=大小关系不完全确定时#也不必分情况讨论#较为简捷!例如本题中)因为$&##;&##%";#则有!@%?$;?!$$%;@%?$;?!$$A @$!;@%$$;!;?$$$%#所以%?$;?$必介于!与%;之间!6G "设"为正整数!证明)若"不是完全平方数#则!"是无理数!!分析!本题采用反证法#联想到互质"最大公约数以及辗转相除法的有关知识点#可得结论!!证明!用反证法!假设!"为有理数#则存在正整数<"&使!"A<&#且<与&互质!于是<$A %(%第一章!实数集与函数"&$#<$A &%!"&$#可见&能整除<$!由于<与&互质#从而它们的最大公约数为!#由辗转相除法知)存在整数3"H 使<3?&H A !#则<$3?<&H A <!因&既能整除<$3又能整除<&H #故能整除其和#于是&能整除<#这样&A !#所以"A <$!这与"不是完全平方数相矛盾!!小结!本题证明过程比较独特#先假设有理数为互质的两个数的商#利用这两个数与"之间的关系#运用辗转相除法得出结论#注意知识点之间的内在联系!F $!数集"确界原理8!"用区间表示下列不等式的解)!!$B !@$B @$-#*!!$$$?!$$4*!’$!$@%$!$@;$!$@=$&#!%#;#=为常数#且%%;%=$*!*$+./$-!$$!!解!!!$原不等式等价于下列不等式组$%!!!@$$@$-+#!或!$-!!$@!$@$-+#前一个不等式组的解为$$!$*后一个不等式组的解集为空集#所以原不等式的解集为@)#!’!$!!$$绝对值不等式$?!$$4等价于@4$$?!$$4!这又等价于不等式组$&#@4$$$$?!$4+$!或!$%#4$$$$?!$@4+$而前一个不等式组的解集为(’@!$$#’?!$$’#后者的解集为(@’@!$$#@’?!$$’!因此原不等式的解集为(@’@!$$#@’?!$$’*(’@!$$#’?!$$’!’$作函数,!$$A !$@%$!$@;$!$@=$#$#$!则由%%;%=知,!$$%##当$#!@)#%$*!;#=$A ##当$A %#;#=&##当$#!%#;$*!=#?)’()$因此,!$$&##当且仅当!!!!$#!%#;$*!=#?)$故原不等式的解集为!%#;$*!=#?)$!*$若#$$$$(#则当且仅当$#(*#’*(’(时#+./$-!$$!再由正弦函数的周期性知)+./$-!$$的解集是$7(?(*#$7(?’*(’(#其中7为整数!8$"设’为非空数集!试对下列概念给出定义)!!$’无上界*!!!!!$$’无界!%)%!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$!解!!!$设’是一非空数集!若对任意的(&##总存在$##’#使$#&(#则称数集’无上界!!$$设’是一非空数集!若对任意的(&##总存在$##’#使B $#B &(#则称数集’无界!8’"试证明由!’$式所确定的数集’有上界而无下界!!证明!由!’$式所确定的数集’A +-B -A $@$$#$#$,#对任意的$#$#-A $@$$$$#所以数集’有上界$!而对任意的(&##取$#A ’?!(#$#存在-#A $@$$#A $@’@(A@!@(#’#而-#%@(#因此数集’无下界!8*"求下列数集的上"下确界#并依定义加以验证)!!$’A +$B $$%$,*!!$$’A +$B $A &.#&#%?,*!’$’A +$B $为!##!$内的无理数,*!*$’A +$B $A !@!$&#&#%?,!!解!!!$+,-’A !$#./0’A@!$#下面依定义加以验证!因$$%$#等价于@!$%$%!$#所以对任意的$#’#有$%!$且$&@!$#即!$"@!$分别是’的上"下界!又对任意的正数##不妨设#%!$$#于是存在$#A !$@#$"$!A@!$?#$#使$#"$!#’#使$#&!$@##$!%@!$?##所以由上"下确界的定义+,-’A !$#./0’A@!$!!$$+,-’A?)#./0’A !#下面依定义验证!对任意的$#’#!$$%?)#所以!是’的下界!因为对任意的(&##令&A ((’?!#则&.&(#故’无上界#所以+,-’A?)*对任意的#&##存在$!A !.A !#’#使$!%!?##所以./0’A !!!’$+,-’A !#./0’A ##下面依定义验证!对任意的$#’#有#%$%!#所以!"#分别是’的上"下界!又对任意的#&##不妨设#%!#由无理数的稠密性#总存在无理数!#!###$#则有无理数$#A !@!#’#使$#A !@!&!@#*有无理数$!A !#’#使$!A !%#?##所以+,-’A !#./0’A #!!*$+,-’A !#./0’A !$#下面依定义验证!对任意的$#’#有!$$$%!#所以!"!$分别是’的上"下界!对任意的#&##必有正整数&##0/使!$&#%##则存在$#A !@!$&##’#使$#&!@##所以+,-’A !!又存在$!A !@!$A !$#’#使$!%!$?##所以./0’A !$!83"设’为非空有下界数集#证明)./0’A %#’9%A 9./’!!证明!:$!设./0’A %#’#则对一切$#’有$-%#而%#’#故%是数集’中最小的数#即%A 9./’!;$!设%A 9./’#则%#’*下面验证%A ./0’)!!$对一切$#’#有$-%#即%是’的下界*!"$对任何&&%#只需取$#A %#’#则$#%&!从而满足%A ./0’的定义!%*!%84"设’为非空数集#定义’@A +$B @$#’,!证明)!!$./0’@A@+,-’*!!$$+,-’@A@./0’!!证明!!!$%A ./0’@#由下确界的定义知#对任意的$#’@#有$-%#且对任意的&&%#存在$##’@#使$#%&!由’@A +$B @$#’,知#对任意的@$#’#@$$@%#且对任意的@&%@%#存在@$##’#使@$#&@&#由上确界的定义知+,-’A@%#存在@$##’#使@$#&@&#即./0’@A@+,-’!同理可证!$$成立!85"设C "D 皆为非空有界数集#定义数集C ?D A +I B I A $?-#$#C #-#D ,!证明)!!$+,-!C ?D $A +,-C ?+,-D *!!$$./0!C ?D $A ./0C ?./0D !!证明!!!$设+,-C A !!#+,-D A !$!对任意的I #C ?D #存在$#C #-#D #使I A $?-!于是$$!!#-$!$!从而I $!!?!$!对任意的#&##必存在$##C #-##D #使$#&!!@#$#-#&!$@#$#则存在I #A $#?-##C ?D #使I #&!!!?!$$@#!所以+,-!C ?D $A !!?!$A +,-C ?+,-D !同理可证!$$成立!6G"设%&##%"!#$为有理数!证明%$A+,-+%JB J 为有理数#J %$,#当%&!#./0+%JBJ 为有理数#J %$,#当%%!+!!分析!利用指数函数的单调性#把指数函数化归为对数函数讨论#并运用有理数的稠密性概念来证此题!!证明!只证%&!的情况#%%!的情况可以类似地加以证明!设C A +%J BJ 为有理数#J %$,!因为%&!#%J 严格递增#故对任意的有理数J %$#有%J%%$#即%$是C 的一个上界!对任意的"%%$#由%$&#及有理数的稠密性#不妨设"&#且为有理数!于是必存在有理数J #%$#使得"%%J #%%$!事实上#由781%$严格递增知)#%"%%$等价于781%"%781%%$A $#由有理数的稠密性#存在有理数J #使得781%"%J #%$#所以"A %781%"%%J #%%$!故%$A +,-C A +,-+%JB J 为有理数#J %$,#%&!!!小结!关于求数集的确界或证明数集确界的有关命题#主要利用确界的定义#进一步加深读者对数集上"下确界概念的理解#这对进一步学习极限理论及实数的完备性#使整个数学分析建立在坚实的基础上是十分重要的!F ’!函数概念8!"试作下列函数的图象)!!$-A $$?!*!!!!!!!$$-A !$?!$$*!’$-A !@!$?!$$*!*$-A +1/!+./$$*!3$-A ’$#B $B &!#$’#B $B %!#’#B $B A !’()!!解!利用描点作图法#各函数的图象如图!E *至图!E G !5$"试比较函数-A %$与-A 781%$分别当%A $和%A !$时的图象!%!!%图!E *!!!!!!!!!!图!E 3图!E 4!!!!!!!!!!图!E 5图!E G!分析!利用指数函数与对数函数性质#注意$在-A %$与-A 781%$的定义域上的取值范围是不同的!!解!当%A $时#-A %$是单调递增函数#当%A !$时#它是单调递减函数*当$A #时#!$!$$A $$A !#即两函数的图象都过点!##!$*当$&#时#!$!$$%!%$$#-A $$的图象在-A !$!$$的图象上方*当$%#时#!$!$$&!&$$#-A !$!$$的图象在-A $$的图象上方*对任意的$#$?#两函数值都大于##即函数的图象都在$轴上方#且-A $$的图象与-A!$!$$的图象关于-轴对称!%"!%-A 781%$是-A %$的反函数!当%A $时#是单调递增的#当%A !$时#是单调递减的*当#%$%!时#781!$$&#&781$$*当$A !时#781!$$A 781$$A #*当$&!时#781!$$%#%781$$*当$$#时#两个函数无定义#因此函数图象在-轴右方#且过点!!##$!-A 781!$$与-A 781$$的图象关于$轴对称!-A $$与-A 781$$的图象"-A!$!$$与-A 781!$$的图象皆关于直线-A $对称!如图!E H!图!E H !!!!!!!!!!!!!图!E !#8’"根据图!E !#写出定义在(##!’上的分段函数,!!$$和,$!$$的解析表达式!!解!利用直线的两点式方程或点斜式方程容易得到,!!$$A *$##$$$!$*@*$#!$%$$’()!,$!$$A !4$##$$$!*G @!4$#!*%$$!$##!$%$$’()!8*"确定下列初等函数的存在域)!!$-A +./!+./$$*!!!!!$$-A 71!71$$*!’$-A :I =+./71$!$!#*!*$-A 71:I =+./$!$!#!!解!!!$因为+./$的存在域为$#所以-A +./!+./$$的存在域为$!!$$因71$&#等价于$&!#所以-A 71!71$$的存在域是!!#?)$!!’$因为-A :I =+./3的存在域是(@!#!’#而@!$71$!#$!等价于!$$$!###所以-A :I =+./71$!$!#的存在域是(!#!##’!!*$因-A 713的存在域是!##?)$#而3A :I =+./$!#的值域为@($#((’$#由#%3$($%#!%有#%$!#$!#即#%$$!##所以-A 71:I =+./$!$!#的存在域是!##!#’!83"设函数,!$$A $?$#$$##$$#$&#+!求)!!$,!@’$#,!#$#,!!$*!!$$,!)$$@,!#$#,!@)$$@,!#$!)$&#$!!解!!!$,!@’$A $?!@’$A@!,!#$A $?#A $,!!$A $!A $!$$因为)$&##所以有,!)$$@,!#$A $)$@!$?#$A $)$@$,!@)$$@,!#$A $?!@)$$@!$?#$A@)$84"设函数,!$$A !!?$#求,!$?$$#,!$$$#,!$$$#,!,!$$$#,!,!$!$$!!解!,!$?$$A !!?!$?$$A!’?$,!$$$A !!?$$*,!$$$A !!?$$,!,!$$$A !!?!!?$A $?!$?$,!,!$!$$A !!?!,!$$A!!?!!?$$A !$?$85"试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成)!!$-A !!?$$$#*!!$$-A !:I =+./$$$$*!!’$-A 71!!?!?$!$$*!!*$-A $+./$$!!解!!!$-A 3$##3A H !?H $#H !A !#H $A $!$$-A 3$#3A :I =+./H #H A $$!’$-A 713#3A H !?H $#H !A !#H $A !’#’A H !?K #K A $$!*$-A $3#3A H $#H A +./$5G"在什么条件下#函数-A%$?;=$?L的反函数就是它本身-!分析!先把反函数求出#分别讨论原函数与反函数的定义域#再讨论参数!!解!首先;="%L #由-A %$?;=$?L #解得$A ;@L -=-@%#交换$与-得-A ;@L $=$@%!当="#时#原函数的定义域为$"@L =#反函数的定义域为$"%=!因此#要使二函数相同#必须%A@L #这时原函数为%$?;=$?L A;@L $=$@%#即为反函数!另外#当;A =A ##且%A L "#时亦满足!故当/;="%L 且%A@L 0或/;A =A #且%A L "#0时#该函数的反函数就是其本身!8H"试作函数-A :I =+./!+./$$的图象!%$!%!解!-A :I =+./!+./$$是以$(为周期的函数#其定义域为$#值域为@($#((’$的分段函数#其在一个周期区间(@(#(’上的表达式为-A (@$#($%$$($#@($$$$($@!(?$$#@($$%@(’()$其图象如图!E!!!图!E !!8!#"试问下列等式是否成立)!!$J :/!:I =J :/$$A $#$#$*!$$:I =J :/!J :/$$A $#$"7(?($#7A ##F !#F $#&!!解!!!$由J :/$与:I =J :/$的定义知#!!$式成立!!$$因为J :/$的定义域为$"7(?($#7A ##F !#F $#&#而:I =J :/$的值域仅为@($#(!$$!所以!$$式不成立!例如当$A ’*(时#:I =J :/!J :/$$A :I =J :/!@!$A@(*"$!8!!"试问-A B $B 是初等函数吗-!解!因-A B $B A $!$是由-A !3与3A $$复合而成的#所以-A B $B 是初等函数!8!$"证明关于函数-A ($’的如下不等式)!!$当$&#时#!@$%$!(’$$!*!$$当$%#时#!$$!(’$%!@$!!证!由定义知!(’$是不超过!$的最大整数#故有#$!$@!(’$%!所以!!!!!!!!!!!!$@!%!(’$$!$#%%!%!!$当$&#时#给#两端同乘以$得!@$%$!(’$$!!$$当$%#时#给#两端同乘以$得!$$!(’$%!@$ F*!具有某些特性的函数8!"证明,!$$A$$$?!是$上的有界函数!!证明!利用不等式$B$B$!?$$有#对一切$#$都有B,!$$B AB$B$$?!A!$$B$B$$?!$!$成立#故,!$$是$上的有界函数!8$"!!$叙述无界函数的定义*!$$证明,!$$A!$$为!##!$上的无界函数*!’$举出函数,的例子#使,!$$为闭区间(##!’上的无界函数!!解!!!$设,!$$为定义在.上的函数#若对任意的正数(#都存在$##.#使B,!$#$B&(#则称函数,!$$为.上的无界函数!!$$证明)对任意的正数(#存在$#A!(?!!#!##!$#使B,!$#$B A!$$#A(?!&(#所以,!$$A!$$是!##!$上的无界函数!!’$设,!$$A!$$#$#!##!’!#$A’()#!由!$$的证明知,!$$为(##!’上的无界函数!8’"证明下列函数在指定区间上的单调性) !!$-A’$@!在!@)#?)$上严格递增*!$$-A+./$在@($#((’$上严格递增*!’$-A=8+$在(##(’上严格递减!!分析!!$$"!’$两小题都是三角函数#要牢记三角函数的半角"倍角公式!后面讨论周期性以及傅里叶级数时都会用到!!证明!!!$任取$!"$$#!@)#?)$#$!%$$#则有,!$!$@,!$$$A’!$!@!$@!’$$@!$A’!$!@$$$%#可见,!$!$%,!$$$#所以,!$$A’$@!在!@)#?)$上严格递增!!$$任取$!#$$#@($#((’$#$!%$$#则有@($%$!?$$$%($#!@($$$!@$$$%#因此=8+$!?$$$&##!+./$!@$$$%#%& !%从而,!$!$@,!$$$A +./$!@+./$$A $=8+$!?$$$+./$!@$$$%##,!$!$%,!$$$!所以,!$$A +./$在@($#((’$上严格递增!!’$任取$!#$$#(##(’#$!%$$#则有#%$!?$$$%(#!@($$$!@$$$%##从而有+./$!?$$$&##+./$!@$$$%##故,!$!$@,!$$$A =8+$!@=8+$$A@$+./$!?$$$+./$!@$$$&##从而,!$!$&,!$$$#所以,!$$在(##(’上严格递减!8*"判别下列函数的奇偶性)!!$,!$$A !$$*?$$@!*!!!$$,!$$A $?+./$*!’$,!$$A $$K @$$*!*$,!$$A 71!$?!?$!$$!!解!!!$因为,!@$$A !$!@$$*?!@$$$@!A !$$*?$$@!A ,!$$#故,!$$A !$$*?$$@!是偶函数!!$$对任意的$#!@)#?)$有#,!@$$A !@$$?+./!@$$A@$@+./$A@!$?+./$$A@,!$$#故,!$$A $?+./$为!@)#?)$上的奇函数!!’$,!$$A $$K @$$在!@)#?)$上有定义#对任意的$#!@)#?)$有#,!@$$A !@$$$K @!@$$$A $$K @$$A ,!$$#故,!$$为!@)#?)$上的偶函数!!*$,!$$A 71!$?!?$!$$在!@)#?)$上有定义#对每一个$#!@)#?)$有#,!@$$A 71!@$?!?!@$$!$$A 71!@$?!?$!$$A@71!$?!?$!$$A@,!$$#所以,!$$A 71!$?!?$!$$为!@)#?)$上的奇函数!53"求下列函数的周期)!!$=8+$$*!!$$J :/’$*!!’$=8+$$?$+./$’!!分析!求三角函数周期时#应先转化为一次函数#再求周期#如!!$!如果有两个或两个以上的函数#分别求出它们各自的周期#再求最小公倍数#如!’$!!解!!!$,!$$A =8+$$A !$!!?=8+$$$#而!?=8+$$的周期是(#所以,!$$A =8+$$的周期是(!!$$因为J :/$的周期是(#所以,!$$A J :/’$的周期是(’!!’$因+./$"=8+$的周期是$(#所以=8+$$的周期是*(#+./$’的周期是4(#故,!$$A =8+$$?$+./$’的周期是!$(!84"设函数,!$$定义在(@%#%’上#证明)!!$M !$$A ,!$$?,!@$$#$#(@%#%’为偶函数*!$$8!$$A ,!$$@,!@$$#$#(@%#%’为奇函数*%’!%!’$,可表示为某个奇函数与某个偶函数之和!!证明!!!$因(@%#%’关于原点对称#M !$$在(@%#%’上有定义#对每一个$#(@%#%’有M !@$$A ,!@$$?,!$$A ,!$$?,!@$$A M !$$!故M !$$为(@%#%’上的偶函数!!$$因(@%#%’关于原点对称#8!$$在(@%#%’上有定义#对每一个$#(@%#%’有8!@$$A ,!@$$A@,!$$A@(,!$$@,!@$$’A@8!$$!故8!$$为(@%#%’上的奇函数!!’$由!!$"!$$得M !$$?8!$$A $,!$$#从而有,!$$A M !$$?8!$$$A !$M !$$?!$8!$$#而!$M !$$是偶函数#!$8!$$是奇函数!从而,!$$可表示为一个奇函数!$8!$$与一个偶函数!$M !$$之和!85"设,"1为定义在.上的有界函数#满足,!$$$1!$$#$#.!证明)!!$+,-$#.,!$$$+,-$#.1!$$*!!$$./0$#.,!$$$./0$#.1!$$!!证明!!!$记!A +,-$#.1!$$#则对任意的$#.有#1!$$$!#又因,!$$$1!$$#所以,!$$$1!$$$!!因此!是,!$$的上界#而+,-$#.,!$$是,!$$的最小上界#故+,-$#.,!$$$!A +,-$#.1!$$!!$$同理可证!8G"设,为定义在.上的有界函数#证明)!!$+,-$#.+@,!$$,A@./0$#.,!$$*!!$$./0$#.+@,!$$,A@+,-$#.,!$$!!证明!!!$记./0$#.,!$$A %!由下确界的定义知#对任意的$#.#,!$$-%#即@,!$$$@%#可见@%是@,!$$的一个上界*对任意的#&##存在$##.#使,!$#$&%?##即@,!$#$%@%@##可见@%是@,!$$的上界中最小者!所以+,-$#.+@,!$$,A@%A@./0$#.,!$$!!$$同理可证结论成立!也可直接用!!$的结论来证!事实上#在!!$中换,!$$为@,!$$得#+,-$#.,!$$A +,-$#.+@!,!$$$,A@./0$#.+@,!$$,#两边同乘以@!得./0$#.+@,!$$,A@+,-$#.,!$$6H"证明)J :/$在@($#(!$$上无界!而在@($#(!$$内任一闭区间(%#;’上有界!!分析!要证J :/$在!@($#($$上无界#只需在$##!@($#($$取一点#使J :/$#&(即可!证在!@($#($$上#存在区间(%#;’使J :/$有界#只需证J :/$$(##且有J :/%%J :/$%J :/;!!证明!对任意的(&##取$#A :I =J :/!(&!$#(($#(!$$#有+J :/$#+%+J :/!:I =J :/!L&!$$+%L&!&L #所以,!$$%J :/$在(($#(!$$内是无界函数!但任取(%#;’.@($#(!$$#由于J:/$在(%#;’上严格递增#从而当$#(%#;’时#J :/%%(!%$J:/$$J :/;#记(A 9:;+B J :/%B #B J :/;B ,#则对一切$#(%#;’有B J :/$B $(#所以J :/$是(%#;’上的有界函数!!小结!证明函数的有界性#往往要利用函数的单调性#同时往往利用放缩法#这是极限理论的基础#也是今后学习分析学的基础!6!#"讨论狄利克雷函数.!$$A !#当$为有理数###当$’()为无理数的有界性"单调性与周期性!!分析!狄利克雷函数由定义可证得有界性#单调性也比较明显#对周期性分有理数与无理数讨论!!解!由.!$$的定义知#对任意的$#$#有B .!$$B $!#所以.!$$是$上的有界函数!由于对任意的有理数$!与无理数$$#无论$!%$$还是$$%$!#都有.!$!$&.!$$$!所以.!$$在$上不具有单调性!对任意的有理数J 有$?J A 有理数#当$为有理数时无理数#当$’()为无理数时于是对任一$#$#有.!$?J $A !#当$为有理数时##当$’()为无理数时A .!$$所以#任意有理数J 都是.!$$的周期!但任何无理数都不是.!$$的周期!事实上#对任一无理数"#对无理数@"#.!@"$A ##而.!"?!@"$$A .!#$A !".!@"$!!小结!狄利克雷函数与黎曼函数是一类特殊函数#在以后的连续性以及极限理论中具有重要地位#要特别注意!8!!"证明),!$$A $?+./$在$上严格增!!证明!任取$!"$$#!@)#?)$#$!%$$#则,!$$$@,!$!$A !$$@$!$?!+./$$@+./$!$A !$$@$!$?$=8+$!?$$$+./$$@$!$-!$$@$!$@$=8+$!?$$$%+./$$@$!$&!$$@$!$@$%$$@$!$A #D +./$$@$!$%B $$@$!B !$$即,!$!$%,!$$$#所以,!$$A $?+./$在!@)#?)$上严格增!6!$"设定义在(%#?)$上的函数,在任何闭区间(%#;’上有界!定义(%#?)$上的函数)<!$$A ./0%$-$$,!-$#(!$$A +,-%$-$$,!-$!试讨论<!$$与(!$$的图象#其中!!$,!$$A =8+$#$#(##?)$*!!$$,!$$A $$#$#(@!#?)$!%)!%!分析!在讨论上述两个函数时#首先应分割区间#在区间内讨论其单调性然后再讨论有界性!!解!!!$由<!$$及(!$$的定义知#对%%$#当,!-$在(%#$’上为递增函数时#<!$$A ,!%$#(!$$A ,!$$!当,!-$在(%#$’上为减函数时#<!$$A ,!$$#(!$$A ,!%$!由此可知)对,!$$A =8+$#当#$$$(时#<!$$A =8+$#(!$$A !!而$#((#?)$时#由于@!$=8+$$!#所以#<!$$A@!#(!$$A !#即有<!$$A =8+$##$$$(@!#($$%?)+!!(!$$<!#$#(##?)$其图象见图!E !$!图!E !$!!!!!!!!!!图!E!’!$$同上理#当$#(@!##’时#(!$$A !#<!$$A $$*当$#!##?)$时#<!$$<#*当$#(@!#!’时#(!$$<!*当$#!!#?)$时#(!$$A $$!即有<!$$A $$#$#(@!##’##当$#!##?)+’(!$$A!#$#(@!#!’时$$#当$#!!#?)$+时其图象见图!E !’!!小结!确界理论是学习数学分析的基础#对后面学习连续"微分"积分等都具有重要作用!总练习题8!"设%#;#$#证明)!!$9:;+%#;,A !$!%?;?B%@;B $*!$$9./+%#;,A !$!%?;@B%@;B $!!证明!因为!$!%?;?B %@;B $A%#当%-;时;#当%%;+时!$!%?;@B%@;B $A %#当%%;时;#当%-;+时所以!9:;+%#;,A !$!%?;?B%@;B $9./+%#;,A !$!%?;@B %@;B $%*"%第一章!实数集与函数8$"设,和1都是.上的初等函数!定义(!$$A 9:;+,!$$#1!$$,#<!$$A 9./+,!$$#1!$$,#$#.!试问(!$$和<!$$是否为初等函数-!解!由习题!得(!$$A!$(,!$$?1!$$?B ,!$$@1!$$B ’A!$(,!$$?1!$$?(,!$$@1!$$’!$’<!$$A !$(,!$$?1!$$@B ,!$$@1!$$B ’A!$(,!$$?1!$$@(,!$$@1!$$’!$’所以#(!$$与<!$$都是由.上的初等函数,!$$"1!$$经四则运算和有限次复合而成的函数!所以#(!$$和<!$$都是初等函数!8’"设函数,!$$A !@$!?$#求),!@$$#,!$?!$#,!$$?!#,!!$$#!,!$$#,!$$$#,!,!$$$!!解!,!@$$A !?$!@$*!,!$?!$A @$$?$*!,!$$?!A !@$!?$?!A $!?$*,!!$$A !@!$!?!$A $@!$?!*!!,!$$A !?$!@$*!,!$$$A !@$$!?$$*,!,!$$$A !@!@$!?$!?!@$!?$A $$$A $5*"已知,!!$$A $?!?$!$#求,!$$!!分析!本题采用倒代换的方法#即!$A K #但是根号中移出的数要加绝对值!!解!令!$A K #则$A !K !所以,!K $A !K?!?!!$K!$A!K ?!?K !$B K B#故,!$$A !$?!?$!$B $B #故,!$$A !$?!?$!$B $B!83"利用函数-A ($’求解)!!$某系各班级推选学生代表#每3人推选!名代表#余额满’人可增选!名!写出可推选代表数-与班级学生数$之间的函数关系!假设每班学生数为’#)3#人$*!$$正数$经四舍五入后得整数-#写出-与$之间的函数关系!!解!!!$因余额满’人可补选一名#即就是可在原来基础上增加$人后取整#于是-A $?$(’3!!$A ’##’!#&#3#$!$$由($’的定义知!-A ($?#"3’#$&#%!"%!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$54"已知函数-A ,!$$的图象#试作下列各函数的图象)!!$-A@,!$$*!!$$-A ,!@$$*!!’$-A@,!@$$*!*$-A B ,!$$B *!!3$-A +1/,!$$*!4$-A !$(B ,!$$B ?,!$$’*!!5$-A!$(B ,!$$B @,!$$’!!分析!作函数图象找出函数关于原函数的对称点"对称中心!有绝对值号的要分类讨论!!解!!!$-A@,!$$和-A ,!$$的图象关于$轴对称!!$$-A ,!@$$的图象与-A ,!$$的图象关于-轴对称!!’$-A@,!@$$的图象与-A ,!$$的图象关于原点对称!!*$-A B ,!$$B A ,!$$#!!$#.!A +$B ,!$$-#,@,!$$#$#.$A +$B ,!$$%#’(),!3$-A +1/,!$$A !#!!!$#.!A +$B ,!$$&#,##$#.$A +$B ,!$$A #,@!#$#.’A +$B ,!$$%#’(),!4$-A !$(B ,!$$B ?,!$$’A ,!$$#$#.!A +$B ,!$$-#,##$#.$A +$B ,!$$%#’(),!5$-A !$(B ,!$$B @,!$$’A ##$#.!A +$B ,!$$-#,@,!$$#$#.$A +$B ,!$$%#’(),其图象如图!E !*至图!E!5!图!E !*!!!!!!!!!!!图!E!3图!E !4!!!!!!!!!!!图!E !555"已知函数,和1的图象#试作下列函数的图象)!!$*!$$A 9:;+,!$$#1!$$,*!!$$+!$$A 9./+,!$$#1!$$,!%""%第一章!实数集与函数!分析!将9:;+,#1,与9./+,#1,转化为分段函数再讨论!!解!!!$*!$$A 9:;+,!$$#1!$$,A ,!$$#$#.!A +$B ,!$$-1!$$,1!$$#$#.$A +$B ,!$$%1!$+$,!$$+!$$A 9./+,!$$#1!$$,A 1!$$#$#.!A +$B ,!$$-1!$$,,!$$#$#.$A +$B ,!$$%1!$+$,其图象如图!E !G 和图!E !H !!!!图!E !G !!!!!!!!!!!图!E !H 5G "设,"1和N 为增函数#满足,!$$$1!$$$N !$$#$#$!证明),!,!$$$$1!1!$$$$N !N !$$$!!分析!本题己经给出了,"1"N 为增函数#把1!$$与N !$$看成中间变量!利用复合函数及其单调性质#可证得结论!!证明!因对任意的$#$#有,!$$$1!$$$N !$$#且,!$$"1!$$和N !$$均为增函数#所以#有,!,!$$$$,!1!$$$$1!1!$$$$1!N !$$$$N !N !$$$即,!,!$$$$1!1!$$$$N !N !$$$8H"设,和1为区间!%#;$上的增函数#证明第5题中定义的函数*!$$和+!$$也都是!%#;$上的增函数!!证明!对任意的$!"$$#!%#;$#$!%$$#由,!$$"1!$$在!%#;$上递增知,!$$$-,!$!$#1!$$$-1!$!$#因此*!$$$-,!$$$-,!$!$#*!$$$-1!$$$-1!$!$#所以*!$$$-9:;+,!$!$#1!$!$,A *!$!$#故*!$$在!%#;$上是增函数!同理可证+!$$是!%#;$上的增函数!8!#"设,为(@%#%’上的奇!偶$函数!证明)若,在(##%’上增#则,在(@%##’上增!减$!!证明!任取$!"$$#(@%##’#$!%$$#有@$!"@$$#(##%’且@$!&@$$!由,!$$为(@%#%’上的奇函数及在(##%’上递增得#,!$!$A@,!@$!$%@,!@$$$A ,!$$$!所以,!$$在(@%##’上是递增的!同理可证,!$$为偶函数时的相应结论成立!8!!"证明)!!$两个奇函数之和为奇函数#其积为偶函数*!$$两个偶函数之和与积之都为偶函数*!’$奇函数与偶函数之积为奇函数!!分析!对于!!$来说#./0$#.,!$$$,!$$#然后利用,!$$?1!$$@1!$$A ,!$$以及@./0$#.+@,!$$,A +,-$#.+,!$$,证得结论!%#"%。

习 题 二十、二十二1．计算下列第一型曲线积分．(1) ，其中L 是的上半圆周． ()x y ds L +∫x y R 22+=2 (2) x y d L 22+∫s 2，其中L 是的右半圆周． x y R 22+= (3) e d x y L 22+∫s 2，其中L 是圆，直线x y a 22+=y x =以及x 轴在第一象限中所围成图形的边界． (4) xyds L ∫，其中L 是由所构成的矩形回路．x y x y ====004，，，2(5) ，其中： xds L∫ (a) L 是上从原点O 到点y x =2(,)00B (,)11间的一段弧．(b) L 是折线OAB 组成，A 的坐标为(,，B 的坐标为．)10(,)11(6)，其中∫L ds y 2L 为曲线)cos 1()sin (t a y t t a x −=−=，,其中,0>a π20≤≤t .(7) ，其中L 是螺旋线弧段(x y z d L 222++∫)s cos sin ，，x a t y a t z bt ===）（π20,0≤≤>t a ．(8) ,其中∫L yzds x 2L 为折线,这里依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)ABCD D C B A ,,,2．计算下列第二型曲线积分．(1),其中∫−L ds y x )(22L 为在抛物线上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧.2x y =(2) ，其中L 为xdy ydx L −∫① 沿直线从点(,到点(,；)00)12② 沿抛物线x y =24从点到点； (,)00(,)12③ 沿折线从点(,经点(,到点(,．)00)02)12(3) xydx L ∫，其中L 是由所构成的沿逆时针方向的矩形回路．x y x y ====004，，，2(4) x dy y dxx y L 225353−+∫，其中L 是沿星形线在第一象限中从点(,x R t y R t ==cos sin 33，)R 0到(,)0R 的弧段（R >0）．(5) ，其中L 是从点到xdx ydy zdz L ++∫A (,,)111B (,,)234的直线段． (6) ,其中L 为曲线∫−+Lydz zdy dx x 2θθκθsin cos ,a z a y x ===，上对应θ从0到π的一段弧.3．设质点受力F 作用，力的方向指向原点，大小等于质点到原点的距离．(1) 计算当质点沿椭圆在第一象限中的弧段从(,到(,时，F 所作的功；x a t y b t ==cos sin ，)a 0)0b (2) 计算当质点沿椭圆逆时针方向运动一圈时，力F 所作的功．4．利用格林公式计算下列积分．(1) ()()x y dx x y dy L +++∫222，L 是沿逆时针方向，以为顶点的三角形． A B C (,)(,)(,)113125，， (2)()()x y dx x y dy L ++−∫，L 是方程x y +=1所围成的顺时针方向的闭路．(3) []e ydx y y x L (cos (sin )1−−−∫dy x ，L 是沿y =sin 上从点(,)π0到点的一段弧．(,)00(4) dy ye x x dx e y x xy x y x x x L )2sin ()sin 2cos (222−+−+∫,其中L 为正向星形线)0(323232>=+a a yx . (5) dy y x x y dx x y xy x L )3sin 21()cos 2(223+−+−∫,其中L 为在抛物线上由点(0,0)到22y x π=)1,2(π的一段弧. (6) ,其中dy y x dx y x L ∫+−−)sin ()(22L 为在圆周22x x y −=上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧.5．验证下列曲线积分与路径无关，并求它们的值．(1) ，L 是从点经圆周上半部到点的弧段．()()12222++−∫xe dx x e y dy y y L O (,)00+−2)2(x 42=y A (,)40 (2)，L 是从点到点的任意弧段． e ydx ydy x L (cos sin )−∫(,)00(,)a b (3) ydx xdy x −∫22112(,)(,)沿右半平面的任意路线．(4) ，L 是从点经抛物线到点的弧段．()(x y xdx ydy L22++∫)(,)00y x =2(,)11 (5) ∫++L y x xcdxydy 322)(，L 是从点到点的不经过原点的弧段．(,)11(,)22 6．求椭圆所围图形的面积．x a t y b t ==cos sin ， 7．求下列微分方程的通解．(1) ．()()x xy y dx x xy y dy 222222+−+−−=0 (2) [][]e e x y y dx e e x y dy x y x y ()()−+++−+=1100=．(3) ．()()x xy dx x y y dy 43224465++− 8．下列各式是否为某函数的全微分，若是，求出原函数．(1) ; (2)x dx y dy 22+xdx ydy x y ++22. 9．求下列第一型曲面积分．(1)，其中S 是球面:． zds S ∫∫x y z R 222++=2 (2)(243x y z d S ++∫∫)s ，其中S 是平面x y z 2341++=在第一卦限的部分． (3) ，其中S 是锥面(xy z d S 222++∫∫)s z x y =+22）介于之间的部分．z z ==01、 (4) ，其中S 是由曲面和平面所围立体的表面．∫∫+Sds y x )(22x y z 2220+−=z h h =>（0(5) ，其中S 是锥面(xy yz zx dsS ++∫∫)z x y =+22x 被柱面所截得的部分．x y a 222+=(6) ∫∫SxyzdS ,其中S 是由平面0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的四面体的整个边界曲面.(7) ,其中S 为锥面∫∫++S ds zx yz xy )(z x y =+22x ）0被柱面所截得的有限限部分.x y a 222+= 10．计算下列第二型曲面积分．(1) ， 其中S 是三个坐标平面与平面所围成的正方体的表面的外侧．()()()x yz dydz y zx dzdx z xy dxdy S222−+−+−∫∫x a y a z a a ===>，，（0(2) ，其中S 是由平面 xydydz yzdzdx xzdxdy S++∫∫x y z ===00，，与平面x y z ++=1所围成的四面体表面的外侧．(3)，其中S 是上半球面yzdzdx S ∫∫z a x y =−−222的下侧． (4) e x y dxdy z S 22+∫∫，其中S 是锥面z x y =+22与平面所围成立体边界曲面的外侧．z z ==12， 11．利用奥－高公式计算下列第二型曲面积分． (1) x dydz y dzdx z dxdy S333++∫∫，其中S 是球面：的外侧．x y z a a 22220++=>（） (2) xdydz y dzdx z dxdy S 222++∫∫，其中S 是锥面与平面所围成的立体表面的外侧．x y z 22+=2)z h =(h >0 (3) ()()x y dxdy x y z dydz S−+−∫∫，其中S 为柱面及平面所围立体的表面外侧．x y 221+=z z ==0，1(4) ，其中S 为三个坐标平()()()x y z dxdy y z z dzdx S+++++−∫∫23212面与平面x y z ++=1所围成的四面体的外侧．（5）∫∫++S yzdxdy dzdx yxzdydz 24，其中为平面S 0,0,0===z y x ，所围成的立方体的表面外侧.1,1,1===z y x 12．利用斯托克斯公式计算下列第二型曲线积分． (1) x y dx dy dz L 23++∫，其中L 为坐标平面上圆周，并取逆时针方向． Oxy x y a 22+=2 (2) ()()()y z dx x z dy x y d L 222222+++++∫z ，其中L 是x y z ++=1与三个坐标平面的交线． (3) x yzdx x y dy x y d L 2221+++++∫()(z )，其中L 为曲面与曲面的交线，且从面对z 轴正向看去取顺时针方向．x y z 2225++=z x y =++221 13．验证下列的空间曲线积分与路径无关，并求它们的值．(1) ． 22000xe dx z x e dy y zdz y y x y z −−+−−∫(cos )sin (,,)(,,) (2) ． xdx y dy z dz +−∫23111234(,,,)(,,) 14．求下列各式的原函数．(1) yzdx xzdy xydz ++．(2) ． ()()(x yz dx y xz dy z xy dz 222222−+−+−)15.计算,其中为圆周 ∫L ds x 2S ⎩⎨⎧=++>=++.0),0(2222z y x a a z y x 16. 若dy cx Y dy ax X +=+=,，且L 为包围坐标原点的简单的封闭曲线，计算∫+−=L YX YdX XdY I 2221π. 17.证明:若L 为封闭的曲线且l 为任意的方向,有∫=Lds l 0),cos(. 18．若半径为的球面上每点的密度等于该点到球的某一直径上距离的平方，求球面的质量．a 19．为了使线积分()F x y ydx xdy L (,)+∫与积分路径无关，可微函数F x y (,)应满足怎样的条件？20．设磁场强度为E x y z (,,)，求从球内出发通过上半球面的磁通量．x y z a z 22220++=≥，。

第十二章 数项级数§ 1 级数的收敛性1． 试讨论几何级数（也称为等比级数） )0....( (2)≠++++a a a ar a r rn的收敛性。

2． 证明下列级数的收敛性，并求其和数：（1）....;)15)(45(1......161111161611++-+⋅+⋅+⋅n n （2）.....;)11....()11()312!(323222++++++nn（3）;)2)(1(1++∑n n n（4）);122(n n n ++-+∑ （5）;122nn -∑3． 证明：若级数un∑发散，0≠c ,则unc∑也发散。

4． 设级数un∑和v n∑都发散，试问)(v u nn+∑一定发散吗？又若un与v n（n=1,2,….）都是非负数，则能得出什么结论？ 5． 证明：若数列}{a n收敛于a,则级数a a aa n n-=-∑+11)(6． 证明：若数列}{b n有+∞=bnlim ，则（1） 级数)(1b bn n -∑+发散；（2） 当0≠b n 时，级数)11(1bb n n+-∑=117． 应用第5，6题的结果求下列级数的和：（1）;))(1(1∑+-+n a n a（2）;)1(12)1(1++∑-+n n n n（3）;]1)[1(12)1(22∑++++n n n8． 应用柯西准则判别下列级数的收敛性：（1）∑22sin n n； （2）∑-+-12221)1(n n n ；（3）∑-n)1(； （3）∑+nn 21；9． 证明级数∑un收敛的充要条件是：任给正数ξ，存在某自然数N,对一切n>N,总有ξ<++++u uu n N N (1)。

10． 举例说明：若级数∑un对每一个自然数p 满足条件0)...(1lim =++++∞→u uu p n n nn ，则这级数不一定收敛。

§ 2 正项级数1． 应用比较原则判别下列级数的收敛性：（1）an 221+∑； （2）32sinnnπ∑；（3）∑+n211； （4）∑∞=2)(ln 1n nn ；（5）)1cos 1(∑-n ； （6）∑nnn1；（7）)0(),2(11>-+-∑a a a nn； （8）∑∞=2ln )(ln 1n nn ；2． 用比较判别法或根式判别法鉴定下列级数的收敛性：（1）∑-⋅⋅⋅⋅!)12(31n n ； （2）∑+10)!1(n n ；（3）∑+)12(n n n； （4）∑n nn !；（5）∑22nn； （6）∑)(a b nn（其中)0,,);(b a b a n a a an n≠>∞→→且3． 设∑u n和∑vn为正项级数，且存在正数N,对一切n>N,有vv uunn nn 11++≤。

1、平面点集{}22(,)|01E x y x y =<+<的内部为 ,边界为 . 解 {}{}222222int (,)|01,(,)|01E x y x y E x y x y x y =<+<∂=+=+=或2、平面点集11,,E n m n m ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭为整数的聚点集为 .解 {}11,00,(0,0)n m n m ⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎨⎬⎨⎬⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭为整数为整数3、设(,)ln 1f x y x y=--,则函数(,)f x y 的定义域为 .解(){}222,014x y xy y x <+<≤且4、设2222),(y x y x y x f +-=则00limlim (,)x y f x y →→= ,),(lim lim 00y x f x y →→= .解 222200000limlim (,)limlim lim11x y x y x x y f x y x y →→→→→-===+()222200000limlim (,)limlim lim 11y x y x x x y f x y x y →→→→→-==-=-+ 5、函数1(,)sin sin f x y x y =的间断点集为 .解(){},,,x y x k y l k l ππ==∈Z 或二、选择题1、函数f x y x y (,)=-+-1122的定义域是( D ) A 、闭区域 B 、开区域 C 、开集 D 、闭集解 f x y x y (,)=-+-1122的定义域是(){},1,1E x y x y =≤≥E 是闭集但不具有连通性,故不是闭区域.2、函数y x z -=的定义域是( C )A 、有界开集B 、有界闭集C 、无界闭集D 、无界开集 解 y x z -=的定义域是(){}2,0E x y y x =≤≤E 是无界闭集.3、以下说法中正确的是( A )A 、开区域必为开集B 、闭区域必为有界闭集C 、开集必为开区域D 、闭集必为闭区域 4、下列命题中正确的是( A )A 、如果二重极限,累次极限均存在,则它们相等;B 、如果累次极限存在,则二重极限必存在;C 、如果二重极限不存在,则累次极限也不存在;D 、如果二重极限存在,则累次极限一定存在.A 、有界点列2}{R P n ⊂必存在收敛的子列;B 、二元函数),(y x f 在D 上关于x ,y 均连续,则),(y x f 在D 上连续;C 、函数),(y x f 在有界区域D 上连续,则),(y x f 在D 上有界;D 、函数),(y x f 定义在点集2R D ⊂上,D P ∈0,且0P 是D 的孤立点,则f 在0P 处连续.三、用ε-δ定义证明22200lim 0.x y x yx y →→=+ 证明 由于当(,)(0,0)x y ≠时2222||0||22x y x y x x x y xy -≤=≤+ 故0,,(,):0|0|,0|0|,x y x y εδεδδ∀>∃=∀<-<<-<有2220||x yx x y ε-≤<+故22200lim 0.x y x yx y →→=+ 四、求下列极限1、222200lim x y x y x y →→+解 当(,)(0,0)x y 时222222222x y y x x x y x y ,而200lim 0x y x →→=所以222200lim 0x y xy x y →→=+. 2、2200x y →→解 因为22222222222211111111x y x y x yx y xyx y所以222222000limlim11211x x y y x y x y xy.1、设xy e z =,则z x ∂=∂ ,z y∂=∂ . 解,xy xy z zye xe x y∂∂==∂∂ 2、设000000(,)0,(,)4,(,)5x y f x y f x y f x y ''===,则000(,)limx f x x y x ∆→+∆=∆ ,000(,)lim y f x y y y∆→+∆=∆ .解 0000000000(,)(,)(,)limlim (,)4x x x f x x y f x x y f x y f x y x x∆→∆→+∆+∆-'===∆∆ 0000000000(,)(,)(,)limlim (,)5y y y f x y y f x y y f x y f x y y y∆→∆→+∆+∆-'===∆∆ 3、设ln 1x z y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则(1,1)dz = .解 21111,()11z z x x x x x y x y y y y x y y y ⎛⎫∂∂=⋅==⋅-=- ⎪∂+∂+⎝⎭++ (1,1)(1,1)11,22z z x y ∂∂∴==-∂∂ (1,1)111()222dz dx dy dx dy ∴=-=- 4、设2sin()z x y =,则dz = .解2222cos(),cos()z zxy x y x x y x y∂∂==∂∂ ()22222cos()cos()cos()2dz xy x y dx x x y dy x x y ydx xdy ∴=+=+ 5、求曲面arctany z x 在点⎪⎭⎫⎝⎛4,1,1π处的切平面方程为 ,法线方程 .解 2222,x yy xz z x y x y 11(1,1),(1,1)22x y z z故曲面arctan y z x 在点⎪⎭⎫⎝⎛4,1,1π处的切平面方程为11(1)(1)422z x y π-=--+-,即202x y z π-+-=法线方程为11411122z x y π---==--,即202204x y x z π+-=⎧⎪⎨--+=⎪⎩1、设),(y x f 在点(,)a b 处偏导数存在,则lim(,)(,)x f a x b f a x b x→+--0=( C )A 、(,)x f a b 'B 、(2,)x f a b 'C 、2(,)x f a b 'D 、1(,)2x f a b '解 [][]xb a f b x a f b a f b x a f x b x a f b x a f x x ),(),(),(),(lim ),(),(lim00----+=--+→→ [][]000(,)(,)(,)(,)lim (,)(,)(,)(,)lim lim (,)(,)2(,)x x x x x x f a x b f a b f a x b f a b xf a x b f a b f a x b f a b x x f a b f a b f a b →→→+----=+---=+-''=+'=2、设),(y x f 在点00(,)x y 处存在关于x 的偏导数,则00(,)(,)x y f x y x ∂=∂( A )A 、x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000 B 、xy x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim 00000C 、x y x x f x ∆∆+→∆),(lim 000D 、xy x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim 00000解 0000000(,)(,)(,)(,)limx x y f x x y f x y f x y x x∆→+∆-∂=∂∆ 3、函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000在点(0,0)处有( D )A 、连续且偏导数存在B 、连续但偏导数不存在C 、不连续且偏导数不存在D 、不连续但偏导数存在 解 当(,)x y 沿y x =趋于(0,0)时22200001lim (,)lim (,)lim 2x x x y x f x y f x x x x →→→→===+ 当(,)x y 沿0y =趋于(0,0)时00lim (,)lim (,0)lim 00x x x y f x y f x →→→→===故00lim (,)x y f x y →→不存在,于是函数),(y x f 在点(0,0)处不连续.000(,0)(0,0)00(0,)(0,0)00limlim 0,lim lim 0x x y x f x f f y f x x y y∆→∆→∆→∆→∆--∆--====∆∆∆∆ (,)f x y ∴在原点存在偏导数且(0,0)0,(0,0)0x y f f ''==4、在点00(,)x y 处的某邻域内偏导数存在且连续是),(y x f 在该点可微的( B ) A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充要条件 D 、无关条件解 P175定理25、下面命题正确的是( C )A 、若),(y x f 在00(,)x y 连续,则),(y x f 在00(,)x y 的两个偏导数存在;0000C 、若),(y x f 在00(,)x y 可微,则),(y x f 在00(,)x y 的两个偏导数存在; D 、若),(y x f 在00(,)x y 处的两个偏导数存在,则),(y x f 在00(,)x y 处可微.解 P172定理1 三、求解下列各题 1、求曲面xy z =上一点,使得曲面在该点的切平面平行于平面093=+++z y x ,并写出这切平面方程和法线方程.解 设所求的点为000(,,)x y z .由于,x y z y z x ''== 故000000(,),(,)x y z x y y z x y x ''==于是曲面xy z =在点000(,,)x y z 的切平面方程为 00000()()()0y x x x y y z z -+---=由已知切平面与平面093=+++z y x 平行,故001131y x -== 于是000003,1,3x y z x y =-=-==,故所求的点为(3,1,3)--.曲面在点(3,1,3)--的切平面方程为(3)3(1)(3)0x y z -+-+--=,即330x y z +++= 法线方程为313131x y z ++-==---,即1333y x z ++==- 2、讨论函数2222222,0(,)0,0x yx y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在附近的连续性、偏导数的存在性及可微性.解2221(,)(0,0)02x y x y x x y ≠≤≤+当时，且001lim 02x y x →→=. 2220000lim (,)lim 0(0,0)x x y y x yf x y f x y →→→→∴===+(,)f x y ∴在点(0,0)的连续.0000(,0)(0,0)00(0,)(0,0)00lim lim 0,lim lim 0x x y y f x f f y f x x y y ∆→∆→∆→∆→∆--∆--====∆∆∆∆ (,)f x y ∴在点(0,0)存在偏导数且(0,0)(0,0)0x y f f ''==.[]()22223222(,)(0,0)(0,0)(0,0)x y x yf x y f f x f y z dzx yxyρ∆∆⎡⎤''∆∆--∆+∆∆-∆∆===∆+∆当(,)x y ∆∆沿y x ∆=∆趋于(0,0)时()23300222limlimlim x x y z dzx yxyρρ→∆→∆→∆→∆-∆∆===∆+∆ 当(,)x y ∆∆沿0y ∆=趋于(0,0)时()3300222limlimlim0x x y z dzx yx xyρρ→∆→∆→∆→∆-∆∆===∆∆+∆故极限()230222limx y x yxy∆→∆→∆∆∆+∆不存在,从而极限0limz dzρρ→∆-不存在,即(,)f x y 在点(0,0)不可微.1、2ln ,,32,u z x y x y u v v ===-求,.z zu v∂∂∂∂解 22ln 3z z x z y x y x u x u y u v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂ 222ln 2z z x z y ux y x v x v y v v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=--∂∂∂∂∂ 2、,,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭求,,.u u ux y z ∂∂∂∂∂∂解 令,x y s t y z ==,则函数,,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭由函数(,),,x yu f s t s t y z ===复合而成,记12,u u f f s t∂∂==∂∂,则11222211,,.u u s u u s u t x u u t y f f f f x s x y y s y t y y z z t z z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅==⋅+⋅=-+=⋅=-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 二、求下列函数在给定点沿给定方向的方向导数1、求22(,,)f x y z x xy z =-+在点0(1,0,1)P 沿(2,1,2)l =-的方向导数. 解 由于l 的方向余弦为212cos ,cos ,cos 333αβγ====-==()0000()22,()1,()22x y P z P P f P x y f P xf P z'''=-==-=-==所以()000212()cos ()cos ()cos 123333x y z f f P f P f P l αβγ∂⎛⎫++⋅+-⋅-+⋅= ⎪∂⎝⎭==2 2、求u xyz =在点(5,1,2)A 处沿到点(9,4,14)B 的方向AB 上的方向导数. 解 由于(4,3,12)AB =,故它的方向余弦为4312cos ,cos ,cos 131313αβγ====()2,()10,()5x y Az A A f A yz f A zxf A xy '''======所以000431298()cos ()cos ()cos 10513131313x y z f f P f P f P l αβγ∂++⋅+⋅+⋅=∂==21、如果 ,则有0000(,)(,)xyyx f x y f x y ''''=. 解 如果函数(,)f x y 在点00(,)P x y 的某邻域G 内存在二个混合偏导数(,)xy f x y ''与(,)yx f x y '',并且它们在点00(,)P x y 连续,则0000(,)(,)xyyx f x y f x y ''''=. 2、设24z x y =,则2zx y ∂=∂∂ .解 2432,8z z xy xy x x y∂∂==∂∂∂ 3、二元函数xy y x y x f ++=),(在点)2,1(的泰勒公式为 .解 222221,1,0,1,0,0(2)n m n m f f f f f fy x n m x y x x y y x y+∂∂∂∂∂∂=+=+====+>∂∂∂∂∂∂∂∂22()(1,2)3,(1,2)2,(1,2)0,(1,2)1,(1,2)0,(1,2)0(2)m nm n x y xy x y x y f f f f f f n m +''''''''∴======+> (,)f x y x y xy ∴=++在点)2,1(的泰勒公式为 (,)f x y x y xy =++1(1,2)(1,2)(1)(1,2)(2)1!x y f f x f y ''⎡⎤=+-+-⎣⎦ 22221(1,2)(1)2(1,2)(1)(2)(1,2)(2)2!xy x y f x f x y f y ⎡⎤''''''+-+--+-⎣⎦ 53(1)2(2)(1)(2)x y x y =+-+-+--4、函数22(,)4()f x y x y x y =---在稳定点 处取得极大值,且极大值是 .解 令(,)420(,)420xy f x y x f x y y ⎧'=-=⎪⎨'=--=⎪⎩得稳定点(2,2)-.由于22(,)2,(,)0,(,)2xy xyf x y f x y f x y ''''''=-==-222(2,2)20,(2,2)0,(2,2)2,40xy x y A f B f C f B AC ''''''=-=-<=-==-=-∆=-=-<故函数22(,)4()f x y x y x y =---在稳定点(2,2)-取得极大值,且极大值是(2,2)8f -=.5、设),(),(00y x y x f z 在=存在偏导数,且在),(00y x 处取得极值,则必有 .解 0000(,)0(,)0x y f x y f x y '=⎧⎨'=⎩二、选择题1、二元函数3322339z x y x y x =+++-在点M 处取得极小值,则点M 的坐标是( A )A 、(1,0)B 、(1,2)C 、(-3,0)D 、(-3,2) 解 令22(,)3690(,)360xy f x y x x f x y y y ⎧'=+-=⎪⎨'=+=⎪⎩得稳定点(1,0),(3,0),(1,2),(3,2)----.由于22(,)66,(,)0,(,)66xy xyf x y x f x y f x y y ''''''=+==+在点(1,0),2120,0,6,720A B C B AC =>==∆=-=-<在点(3,0)-,212,0,6,720A B C B AC =-==∆=-=> 在点(1,2)-,212,0,6,720A B C B AC ===-∆=-=>在点(3,2)--,2120,0,6,720A B C B AC =-<==-∆=-=-<故函数339z x y x y x =+++-在点(1,2)-,(3,0)-不取得极值,在点(1,0)取得极小值, 在点(3,2)--取得极大值.2、二元函数2222),(22+-+-=x y xy x y x f 的极小值点是( C )A 、(-1,-1)B 、(0,0)C 、(1,1)D 、(2,2) 解 令(,)4220(,)220xy f x y x y f x y y x ⎧'=--=⎪⎨'=-=⎪⎩得稳定点(1,1).由于22(,)4,(,)2,(,)2xy xyf x y f x y f x y ''''''==-=240,2,2,40A B C B AC =>=-=∆=-=-<故函数2222),(22+-+-=x y xy x y x f 在点(1,1)取得极小值. 3、关于二元函数下列论断①(,)f x y 在),(00y x 取得极值,则),(00y x 是(,)f x y 的稳定点;②),(00y x 是(,)f x y 的稳定点,则(,)f x y 在),(00y x 取得极值; ③(,)f x y 在),(00y x 不存在偏导数,则(,)f x y 在),(00y x 不会取得极值; ④)0,0(以xy z =为极小值点. 其中正确的个数是( A )A 、0B 、1C 、2D 、3解 ①错误:偏导数不存在的点也可能是极值点,例如z =在点(0,0)取得极小值,但点(0,0)不是稳定点.②错误:稳定点不一定是极值点,例如在第1题中,点(1,2)-是稳定点,但却不是极值点.③错误:偏导数不存在的点也可能是极值点,例如z =在点(0,0)的偏导数不存在,但点(0,0)是该函数的极小点.④错误: 令00xy z y z x ⎧'==⎪⎨'==⎪⎩得稳定点(0,0).由于22(,)0,(,)1,(,)0xy x y z x y z x y z x y ''''''=== 20,1,0,10A B C B AC ===∆=-=>故函数z xy =在点(0,0)不取得极值.4、如果点()00,x y 为(,)f x y 的极值点且()()0000,,,x y f x y f x y ''存在,则它是(,)f x y 的( B ) A 、最大值点 B 、稳定点 C 、连续点 D 、最小值点 解 P200定理35、下列命题中,正确的是( D )A 、设点00(,)P x y 为函数(,)f x y 的稳定点,则它一定是(,)f x y 极值点;B 、设点00(,)P x y 为函数(,)f x y 的极值点,则它一定是(,)f x y 稳定点;C 、设点00(,)P x y 为函数(,)f x y 的稳定点且0∆=,则它不是(,)f x y 极值点;D 、设点00(,)P x y 为函数(,)f x y 的稳定点且0∆>,则它不是(,)f x y 极值点. 解 P201定理4 三、求解下列各题 1、求函数333(0)z axyx y a的极值.解 令22330330x yz ay x z ax y得稳定点(0,0)和(,)a a . 226,3,6xy x y z x z a z y对于点(0,0),220,3,0,90A B a C B AC a 故点(0,0)不是极值点. 对于点(,)a a ,2260,3,6,270A a B a C a B AC a 故点(,)a a 是极大点,极大值为3(,)z a a a .2、在xy 平面上求一点,使它到三直线0,0x y ==及2160x y +-=的距离平方和最小. 解 设(,)x y 为平面上任一点,则它到三直线0,0x y ==及2160x y +-=的距离平方和为()222216(,)5x y S x y x y +-=++于是问题转化为求函数()222216(,)5x y S x y x y +-=++在2R 上的最小值.令22162054216205xyx y S x xy S y得(,)S x y 在2R 上的唯一稳定点816,55⎛⎫⎪⎝⎭.2212418,,555xy x y S S S 2124180,,,80555A B C B AC 故点816,55⎛⎫⎪⎝⎭是极小点.根据问题实际意义,函数(,)S x y 在2R 上一定存在最小值,而(,)S x y 在2R 上只有唯一一个极小点,故(,)S x y 在点816,55⎛⎫ ⎪⎝⎭取得最小值.即平面点816,55⎛⎫⎪⎝⎭到三直线0,0x y ==,2160x y +-=的距离平方和最小.1、设方程0sin 2=-+xy e y x 确定隐函数()y f x =,则dxdy= . 解法一 令2(,)sin x F x y y e xy =+-,则2(,),(,)cos 2x x y F x y e y F x y y xy ''=-=-于是22(,)(,)cos 2cos 2x x x x dy F x y e y y e dx F x y y xy y xy'--=-=-='-- 解法二 方程两边对x 求导得2cos 20x dy dy y e y xy dx dx ⎛⎫⋅+-+⋅= ⎪⎝⎭2cos 2xdy y e dx y xy-=- 2、设方程0z e xyz -=确定隐函数(,)z f x y =,则z x ∂=∂ ,zy∂=∂ . 解法一 令(,,)z F x y z e xyz =-,则(,,),(,,),(,,)z x y z F x y z yz F x y z xz F x y z e xy '''=-=-=- 于是(,,)(,,)(,,)(,,)x z z y zz z F x y z yz x F x y z e xyF x y z z xz y F x y z e xy'∂=-='∂-'∂=-='∂-解法二 方程两边分别对,x y 求偏导得00z z z z e y z x x x z z e x z y yy ∂∂⎧⎛⎫⋅-+⋅= ⎪⎪∂∂⎝⎭⎪⎨⎛⎫∂∂⎪⋅-+⋅= ⎪⎪∂∂⎝⎭⎩于是,z z z yz z xzx e xy y e xy∂∂==∂-∂-.3、设sin cos ,sin sin ,cos x r y r z r φθφθφ===,则(,,)(,,)x y z r θφ∂∂= .解2(,,)sin (,,)x y z r r φθφ∂=∂4、若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==与(,),(,)x x s t y y s t ==均有连续的偏导数,且(,)(,)14,(,)(,)2u v x y x y s t ∂∂==∂∂,则(,)(,)u v s t ∂=∂ .解(,)(,)(,)142(,)(,)(,)2u v u v x y s t x y s t ∂∂∂=⋅=⨯=∂∂∂ 5、若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==有连续的偏导数且(,)2(,)u v x y ∂=∂,则(,)(,)x y u v ∂=∂ .解(,)(,)2(,)x y u v u v ==∂∂∂ 二、选择题1、下列命题正确的是( D )A 、任何方程都可以确定一个隐函数；B 、任何方程所确定的隐函数是唯一的；C 、任何方程所确定的隐函数一定是初等函数；D 、如果一个方程在某点满足隐函数存在定理的条件,则它确定的隐函数是唯一的. 2、方程0sin 2=++xy y x 在原点(0,0)的某邻域内必可确定的隐函数形式为( A )A 、)(x f y =B 、)(y g x =C 、两种形式均可D 、无法确定 3、隐函数存在定理中的条件是隐函数存在的( A )A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件4、方程组22201x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩所确定的隐函数组()()x f z y g z =⎧⎨=⎩的导数为 ( B ) A 、,dx y z dy z xdz y x dz x y --=--＝ B 、,dx y z dy z x dz x y dz x y --==-- C 、,dx y z dy x z dz x y dz x y--==-- D 、,dx y z dy x z dz y x dz x y--==-- 解 方程两边分别对z 求导得102220dx dydz dzdx dy x y z dz dz ⎧++=⎪⎪⎨⎪⋅+⋅+=⎪⎩解方程得,dx y z dy z x dz x y dz x y--==--. 三、证明方程ln 1(0,1,1)xz xy z y e ++=在点的某领域内能确定隐函数(,),x x y z =并求,x x y z∂∂∂∂. 解 令(,,)ln 1,xz F x y z xy z y e =++-则(1) (,,),F x y z (,,),xz x F x y z y ze '=+(,,),y zF x y z x y'=+(,,)ln xz z F x y z y xe '=+都在(0,1,1)的某邻域内连续;(2) (0,1,1)0F =; (3) (0,1,1)20x F '=≠.故方程可确定隐函数(,)x f y z =.2(,,)(,,)y xz xzx z x F x y z x xy z yy y ze y yze F x y z +'∂+=-=-=-∂++' (,,)ln (,,)xzz xzx x F x y z y xe z y ze F x y z '∂+=-=-∂+'四、设方程组⎩⎨⎧=--=--0022xu v y yv u x 确定隐函数组(,),(,)u u x y v v x y ==,求,u vx x ∂∂∂∂. 解 方程组关于x 求偏导得12020u vu y x xv u v u x x x解此方程组得24u v uy x uv xy ,224v u xx xy uv1、二元函数(,)f x y xy =在条件1x y +=下的存在 (极小值/极大值),其极大(小)值为 .解 由2(1)f xy x x x x ==-=-,令120f x '=-=得稳定点12x =;又由于20f ''=-<,故函数在12x =取得极大值111,224f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.2、平面曲线09)(233=-+xy y x 在点(2,1)处的切线方程为 ,法线方程为 . 解 令33(,)2()9F x y x y xy =+-,则22(,)69,(,)69x y F x y x y F x y y x ''=-=-22(,)69(,)69x y dy F x y x y dx F x y y x'-=-=-'- (2,1)54dy k dx ==- 故所求的切线方程为51(2)4y x -=--,即54140x y +-=.法线方程为41(2)5y x -=-,即4530x y --=.3、空间曲线23,,x t y t z t ===在点1t =处的切线方程为 ,法平面方程为 .解 由于21,2,3x y t z t '''===,则(1)1,(1)2,(1)3x y z '''===,故所求的切线方程为111123x y z ---== 法平面方程为(1)2(1)3(1)0x y z -+-+-=,即2360x y z ++-=.4、空间曲面236222x y z ++=在点()1,1,1P 处的切平面方程为 , 法线方程为 . 解 由于222(,,)236F x y z x y z =++-,则(,,)4,(,,)6,(,,)2x y z F x y z x F x y z y F x y z z '''=== (1,1,1)4,(1,1,1)6,(1,1,1)2x y z F F F '''===故所求的切平面方程为4(1)6(1)2(1)0x y z -+-+-=,即2360x y z ++-= 法线方程为111462x y z ---==,即11123x y z --==-. 5、曲面2132222=++z y x 在点 的切平面与平面460x y z ++=平行. 解 设所求的点为000(,,)x y z ,由于222(,,)2321F x y z x y z =++-,则(,,)2,(,,)4,(,,)6x y z F x y z x F x y z y F x y z z '''===000000000000(,,)2,(,,)4,(,,)6x y z F x y z x F x y z y F x y z z '''===0002220002461462321x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩ 解方程得000122x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或000122x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩,故所求的点为(1,2,2),(1,2,2)---.二、选择题1、在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中与平面24x y z ++=平行的切线( B )A 、只有一条B 、只有二条C 、至少有三条D 、不存在 解 设曲线在0t t =处的切线与平面24x y z ++=平行,由于21,2,3x y t z t '''==-= 则200000()1,()2,()3x t y t t z t t '''==-= 由已知可得2001430t t -+=于是013t =或01t =,故曲线上有两点的切线与平面24x y z ++=平行的点.2、曲线2226x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,2,1)M -处的切线平行于( C )A 、xoy 平面B 、yoz 平面C 、zox 平面D 、平面0x y z ++= 解 令22212(,,)6,(,,)F x y z x y z F x y z x y z =++-=++,则11122211122211122222(,)2(),11(,)22(,)2()11(,)22(,)2()11(,)F F x y x y F F x y F F x y x yF F y z y z F F y z F F y z yzF F z x F F z xz x F F z x z x∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂∂ 121212(,)(,)(,)6,6,0(,)(,)(,)M M MF F F F F F x y y z z x ∂∂∂==-=∂∂∂故曲线在点(1,2,1)M -处的切线为121606x y z -+-==-,即202x z y +-=⎧⎨=-⎩ 该直线平行于xoz 平面.1、求表面积一定而体积最大的长方体.解 设长方体的长、宽、高分别为,,x y z ,表面积为20,a a则问题转换为求函数,,,f x y z xyz 在条件22xy yz xza 下的最大值.设()2,,,[2()]L x y z xyz xy yz xz a λλ=+++-,令()()()()220202020x y zL yz y z L xz x z L xy x y L xy yz xz a λλλλ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎨'=++=⎪⎪'=++-=⎩ 解得.6ax y z根据问题实际意义,体积最大的长方体一定存在,且稳定点只有一个,故表面积一定的长方体中正方体的体积最大.2、求曲线2222222393x y z z x y在点(1,1,2)的切线与法平面方程. 解 设222222(,,)239,(,,)3F x y z x y z G x y z z x y ,在点(1,1,2)处有4,6,4x y z F F F ,6,2,4x y z G G G (,)(,)(,)32,40,28(,)(,)(,)F G F G F G y z z x x y所以切线的法向量为(8,10,7),切线方程为1128107x y z法平面方程为8(1)10(1)7(2)0x y z 或8107120x y z .1、=++⎰+∞0284x x dx.解 ()222000(2)1212lim lim arctan lim arctan 4822224822AA A A A dx d x x A x x x ππ+∞→+∞→+∞→+∞+++⎛⎫===-= ⎪++⎝⎭++⎰⎰ 2、20x xe dx +∞-=⎰= .解()()2222200111limlim lim 1222AA x x x A A A A xedx xedx e d x e +∞----→+∞→+∞→+∞==--=--=⎰⎰⎰3、无穷积分dxx p 1+∞⎰在 时收敛,在 时发散. 解 无穷积分dxxp 1+∞⎰在1p >时收敛,在1p ≤时发散(课本p263例3). 4、无穷积分1(,0)1mnxdx m n x ∞≥+⎰在 时收敛,在 时发散. 解 由于lim lim 111m n n mn nx x x x x x x -→+∞→+∞⋅==++,故无穷积分⎰∞≥+0)0,(1n m dx x x n m在1n m ->时收敛,在1n m -≤时发散.5、无穷积分1sin p xdx x +∞⎰在 时绝对收敛,在 时条件收敛. 解 无穷积分1sin pxdx x +∞⎰在1p >时绝对收敛,在1p ≤时条件收敛. 二、选择题1、f x dx ()-∞+∞⎰收敛是f x dx a()+∞⎰与f x dx a()-∞⎰都收敛的( B )A 、无关条件B 、充要条件C 、充分条件D 、必要条件解 如果f x dx ()-∞+∞⎰收敛,则f x dx a()+∞⎰与f x dx a()-∞⎰都收敛,反之也成立. 2、设()0f x >且⎰+∞)(dx x f 收敛,则e f x dx x -+∞⎰()0( C )A 、可能收敛B 、可能发散C 、一定收敛D 、一定发散解 当0x ≥时,()()xe f x f x -≤,而⎰+∞0)(dx x f 收敛,由比较判别法知e f x dx x -+∞⎰()0收敛.3、设)(x f 在[,)a +∞连续且c a <,则下列结论中错误的是( D )A 、如果 )(dx x f a ⎰+∞收敛,则 )(dx x f c ⎰+∞必收敛.B 、如果 )(dx x f a⎰+∞发散,则 )(dx x f c⎰+∞必发散.C 、 )(dx x f a ⎰+∞与 )(dx x f c⎰+∞同时收敛或同时发散.D 、 )(dx x f a⎰+∞收敛, )(dx x f c⎰+∞不一定收敛.解 ,A a ∀>由于)(x f 在[,)a +∞连续,故()x e f x -在[,],[,]a A a c 上连续从而在[,],[,]a A a c 上可积.又由于()()()Ac Ax x x aace f x dx e f x dx e f x dx ---=+⎰⎰⎰故lim ()()lim()x x x aacA A e f x dx e f x dx e f x dx ---→+∞→+∞=+⎰⎰⎰即 )(dx x f a⎰+∞与 )(dx x f c⎰+∞同时收敛或同时发散.4、设在[,)a +∞上恒有()()0f x g x ≥>,则( A ) A 、⎰+∞a dx x f )(收敛,⎰+∞a dx x g )(也收敛B 、()af x dx +∞⎰发散,()ag x dx +∞⎰也发散C 、⎰+∞adx x f )(和⎰+∞adx x g )(同敛散D 、无法判断解 由于0()()g x f x <≤,由比较判别法知当⎰+∞adx x f )(收敛时,⎰+∞adx x g )(也收敛(P270定理7).5、⎰∞+adx x f )(收敛是⎰∞+adx x f )(收敛的( B )A 、充分必要条件B 、充分条件C 、必要条件D 、既不是充分也不是必要条件解 由于无穷积分性质知,果⎰∞+adx x f )(收敛,则⎰∞+adx x f )(也收敛(P267推论2).但逆命题不成立.例如无穷积分sin a xdx x +∞⎰收敛,但无穷积分sin a x dx x+∞⎰发散(P275,例11).三、讨论下列无穷限积分的敛散性(1)+∞⎰(2) 0+∞⎰ (3) 31arctan 1x x dx x+∞+⎰ (4) 11x xdx e +∞-⎰ 解 (1) 由于434lim 1,1,13x x d λ→+∞==>=故无穷积分+∞⎰收敛.(2) 由于121lim 1,,1,12x x d λ→+∞==<= 故无穷积分+∞⎰.(3) 由于23arctan lim ,21,122x x x x d x ππλ→+∞⋅==>=+ 故无穷积分31arctan 1x xdx x +∞+⎰收敛. (4) 由于2lim 0,21,01x x xx d e λ→+∞⋅==>=- 故无穷积分11x x dx e +∞-⎰收敛,从而无穷积分11x xdx e +∞-⎰也收敛. 四、讨论下列广义积分的绝对收敛性和条件收敛性201dx x +0100x + 解 (1) 由于()22sgn sin 111x x x≤++,而2011dx x +∞+⎰收敛,故()20sgn sin 1x dx x +∞+⎰绝对收敛.(2) 令(),()cos 100f x g x x x ==+,由于()f x '= 故当100x >时,()0f x '<.于是()f x 在[100,)+∞上单调递减且lim ()lim0x x f x →+∞→+∞==又由于0()()cos sin A A F A g x dx xdx A ===⎰⎰,()1F A ≤,故由狄里克雷判别法知无穷积分⎰收敛.另一方面)1cos 212(100)2x x +=≥==+⎣⎦可证0⎰发散,而0⎰收敛,故0dx ⎰发散,原积分条件收敛. 五、证明题若无穷积分()af x dx +∞⎰绝对收敛,函数()x ϕ在[,)a +∞上有界,则无穷积分()()af x x dx ϕ+∞⎰收敛.证明 由于函数()x ϕ在[,)a +∞上有界,故0,[,)M x a ∃>∀∈+∞有()f x M ≤ 从而()()()f x x M f x ϕ≤ 由于无穷积分()af x dx +∞⎰绝对收敛,故()af x dx +∞⎰收敛.由比较判别法知,无穷积分()()af x x dx ϕ+∞⎰收敛.1、1=⎰.解 由于1lim x →=∞,故1x =为瑕点,由瑕积分定义知()11120000001lim lim 1lim 2x εεεεεε---→+→+→==--=-⎰⎰⎰0lim 11ε→+⎤=-=⎦2、10ln xdx =⎰= .解 由于0lim ln x x →+=-∞,故0x =为瑕点,由瑕积分定义知1111110000ln lim ln lim ln ln lim ln xdx xdx x x xd x x x dx εεεεεεεε→+→+→+⎡⎤⎡⎤==-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰ []0lim ln (1)1εεεε→+=---=-3、 是积分0sin xdx xπ⎰的瑕点. 解0lim 1,lim sin sin x x x x x xπ→+→-==∞ x π∴=是积分0sin xdx xπ⎰的瑕点. 4、瑕积分10(0)q dxq x >⎰在 时收敛,在 时发散.解 瑕积分dxx q 01⎰在01q <<时收敛,在1q ≥时发散(P280例3).5、瑕积分201cos (0)m xdx m xπ->⎰在 时收敛,在 时发散. 解0x =是积分201cos (0)mxdx m x π->⎰的瑕点且 22001cos 1cos 1lim lim 2m m x x x x x x x -→+→+--⋅== ∴瑕积分201cos (0)mxdx m x π->⎰在03m <<时收敛,在3m ≥时发散.二、选择题1、瑕积分⎰-112xdx( D ) A 、收敛且其值为-2 B 、收敛且其值为2C 、收敛且其值为0D 、发散解 11122211001111lim lim 21dx dx dx x x x x x εεεεεεε----→+→+-⎡⎤⎡⎤⎛⎫=+=--=-=∞⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 2、下列积分中不是瑕积分的是( B )A 、⎰e xx dx 1lnB 、⎰--12xdxC 、⎰-11x edx D 、⎰2cos πxdx解 ⎰e x x 1ln ,⎰-101x e ,⎰20cos x是瑕积分. 3、下列瑕积分中,发散的是(C )A 、0⎰B 、11211--⎰x dxC 、2211ln dx x x⎰D 、1⎰解 对于积分10sin dxx⎰,0x =为瑕点,由于 0lim 1sin xx →= 故瑕积分10sin dx x⎰收敛.对于积分11211--⎰xdx ,1x =±为瑕点且12111211lim(1)lim lim (1)limx x x x x x →-→→-+→--==+==故瑕积分010,-⎰⎰均收敛,故原积分收敛;对于积分2211ln dx x x⎰,1x =为瑕点且22222111111(1)2(1)2lim(1)lim lim lim lim 12ln 2ln ln ln 2ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x→+→-→-→-→----⋅=====+++故该积分发散;对于积分10⎰,0x =为瑕点且 121lim(0)1x x →--= 故该积分收敛.4、若瑕积分⎰badx x f )(收敛(a 为瑕点),则下列结论中成立的是( B )A 、()baf x dx ⎰收敛B 、⎰badx x f )(收敛C 、⎰badx x f )(2收敛D 、⎰badx x f )(2发散解 若瑕积分⎰badx x f )(收敛,则()b af x dx ⎰不一定收敛,例如1011sin dx x x⎰收敛,但111sin dx x x⎰发散(P287例10). 若瑕积分⎰b adx x f )(收敛,则⎰badx x f )(2可能收敛也可能发散,例如取()f x =,则瑕积分⎰b a dx x f )(收敛,⎰b a dxx f )(2发散;取()f x =,则瑕积分⎰b a dxx f )(收敛,⎰a dx x f )(2也收敛.5、当 ( A )时,广义积分10(0)1px dx p x <+⎰收敛. A 、 10p -<< B 、1-≤p C 、0<pD 、1-<p解 当0p <时,⎰+101dx x x p为瑕积分,0x =为瑕点且 001lim lim 111p px x x x x x -→+→+⋅==++ 故当1p -<时,即当10p -<<时,广义积分⎰+101dx x xp 收敛. 三、讨论下列假积分的敛散性(1) 302sin x dx x π⎰ (2) 1⎰ (3) 10ln 1x dx x -⎰ (4)130arctan 1xdx x -⎰解 (1)0x =为瑕点且123002sin sin lim (0)lim 1x x x xx xx →+→+-⋅==故该积分收敛.(2)0,1x =为瑕点,10.5100=+⎰⎰⎰,由于1200111lim (0)lim 0ln lim(1lim 1x x x x x x x →+→+→-→-==-==-于是积分0.50⎰收敛,而1⎰发散,故原积分发散.(3)由于01ln ln lim,lim 111x x x xx x→+→-=∞=---,故0x =为瑕点.又由于 1200ln lim(0)lim 01x x x x x →+→+-⋅==- 故积分10ln 1xdx x-⎰收敛. (4)1x =为瑕点.由于3211arctan arctan lim(1)lim 1112x x x x x x x x π→-→--⋅==-++ 故积分130arctan 1xdx x -⎰发散.1、⎰→100sin lim dy x xyx = . 解 11100000sin sin 1lim lim 2x x xy xy dy dy ydy x x →→===⎰⎰⎰ 2、=-⎰dx x xx a b 10ln .)0(>>a b 解 11100011lnln 11b a b b b y y a a a x x b dx dx x dy dy x dx dy x y a -+====++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3、Γ函数与B 函数的关系为 .解 ()()(,)()p q B p q p q ΓΓ=Γ+4、12⎛⎫Γ ⎪⎝⎭= ,()1n Γ+=.解 12⎛⎫Γ= ⎪⎝⎭()1!n n Γ+=5、13,44B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.解 由于()131313134444,134414444B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ΓΓΓΓ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭===ΓΓ ⎪ ⎪ ⎪Γ⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭Γ+ ⎪⎝⎭,又由余元公式有1344sin 4ππ⎛⎫⎛⎫ΓΓ== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故13,44B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.二、选择题1、21ln()d xy dy dx ⎰=( )A 、0B 、x1C 、xD 、不存在解 []22221111111ln()ln()d d xy dy xy dy dy dy dx dx x x x ====⎰⎰⎰⎰ 2、⎰+∞-→022lim dy e y x x =( B )A 、2B 、41C 、21 D 、 4解 2[1,3],x yyx ee --∀∈≤,而无穷积分0y e dy +∞-⎰收敛,故含参变量无穷积分20x y edy +∞-⎰在{}(,)13,0R x y x y =≤≤≤<+∞上一致收敛.又由二元初等函数的连续性知2x y e -在R 上连续,故2240221lim lim 4x yx yy x x edy edy e dy +∞+∞+∞---→→===⎰⎰⎰3、2x edx +∞-=⎰( )A 、πB 、πC 、2πD 、2π 解 2x e dx +∞-=⎰(课本P316例13)4、22x x e dx +∞--∞=⎰( C )A 、πB 、πC 、2πD 、2π 解 由于被积分函数为偶函数,故222202x x x e dx x e dx +∞+∞---∞=⎰⎰,对积分220x x e dx +∞-⎰,令x=则2112220000111311222242x tt tx e dx te dt t e dt t e dt +∞+∞+∞+∞----⎛⎫⎛⎫=⋅===Γ=Γ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰22x x e dx +∞--∞=⎰5、1122(1)n x dx --⎰=( C )A 、12n +⎛⎫Γ ⎪⎝⎭B 、11,22n B +⎛⎫⎪⎝⎭C 、111,222n B +⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、112,22n B +⎛⎫⎪⎝⎭解令x =则1111111222220001111(1)(1)(1),2222n n n n x dx t t t dt B ----+⎛⎫-=-=-⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰三、证明下列含参量无穷积分在所指定的区间上一致收敛.(1) 0sin ,(0)tx e xdx a t a +∞-≤<+∞>⎰ (2) 230cos ,110t tx dx t x t +∞≤≤+⎰ 证明 (1) 由于sin ,tx ax e x e a t --≤≤<+∞而无穷积分0ax e dx +∞-⎰收敛,故含参变量积分0sin tx e xdx +∞-⎰在[,)a +∞上一致收敛.(2) 由于232cos 10,1101t tx t x t x ≤≤≤++而无穷积分2011dx x +∞+⎰收敛,故含参变量积分230cos t tx dx x t +∞+⎰在[1,10]上一致收敛. 四、用Γ函数和B 函数求下列积分.(1)⎰ (2)642sin cos x xdx π⎰解 (1)()()111220331113322422(1),22338x x dx B π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ΓΓΓΓ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-==== ⎪ΓΓ⎝⎭⎰⎰(2) ()64207553113111753222222222sin cos ,22265!512x xdx B ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ΓΓ⋅⋅⋅Γ⋅⋅⋅Γ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭====⎪Γ⎝⎭⎰1、2sin y xdy dx x ππππ-=⎰⎰.解 2000sin sin sin cos 2x y x x dy dx dx dy xdx x x xπππππππππ+-===-=⎰⎰⎰⎰⎰. 2、Ddxdy =⎰⎰ , 其中D 为椭圆19422=+y x 所围区域. 解Ddxdy ⎰⎰表示区域D 的面积,故6Ddxdy π=⎰⎰.3、()22Df x y dxdy '+=⎰⎰ , 其中D 为圆222x y R +=所围区域.解 作极坐标变换,则()()()()22222220012RR Df x y dxdy d f r rdr d f r d r ππθθ'''+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()()()()2221020f R f d f R f πθπ⎡⎤=-⎣⎦⎡⎤=-⎣⎦⎰4、将二重积分化为累次积分：221x y fdxdy +≤⎰⎰=.解 作极坐标变换,则()22211x y fdxdy d f r rdr πθ+≤=⎰⎰⎰⎰5、改变累次积分的顺序: ⎰⎰⎰⎰+2242220),(),(y x y dx y x f dy dx y x f dy = .解2422202122(,)(,)(,)y x y y xdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰二、选择题1、函数(,)f x y 在有界闭域D 上连续是二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰存在的( B )A 、充要条件B 、充分条件C 、必要条件D 、无关条件解 连续一定可积,但可积不一定连续.2、设(,)f x y 是有界闭域222:a y x D ≤+上的连续函数,则201lim (,)a Df x y dxdy a π→⎰⎰=( B )A 、不存在B 、(0,0)fC 、(1,1)fD 、(1,0)f解 由积分中值定理知,(,)D ξη∃∈,使2(,)(,)(,)D Df x y dxdy f S a f ξηπξη=⋅=⎰⎰故 22200011lim(,)lim(,)lim (,)(0,0)a a a Df x y dxdy a f f f a a πξηξηππ→→→=⋅==⎰⎰.3、若(,)f x y 在区域{}41),(22≤+≤=y x y x D 上恒等于1,则二重积分f x y dxdy D(,)⎰⎰=( D )A 、0B 、πC 、2πD 、3π解22(,)213DDDf x y dxdy dxdy Sπππ===⋅-⋅=⎰⎰⎰⎰.4、设⎰⎰+=D dxdy y x I 22sin ,{}22224),(ππ≤+≤=y x y x D },则I =( B )A 、26πB 、26π-C 、0D 、6π-解 作极坐标变换,则2220sin 6DI d r rdr πππθπ===-⎰⎰⎰⎰5、设D 由曲线1,2,,4xy xy y x y x ====所围成,作坐标变换,yu xy v x==,则二重积分22Dx y dxdy ⎰⎰可化为( B )A 、24211du u dv⎰⎰B 、2241112u du dv v ⎰⎰ C 、42211du u dv ⎰⎰ D 、2421112u du dv v⎰⎰ 解 由于 2(,)1111(,)2(,)2(,)1x y u v y y xu v v x y xy x x∂====∂∂∂- 且坐标变换后积分区域为{}(,)12,14D u v u v '=≤≤≤≤,于是224221112Du x y dxdy du dv v =⎰⎰⎰⎰. 三、求解下列各题1、求2y De dxdy -⎰⎰,其中D 由直线1,y y x ==及x 轴围成.解 选择先对y 后对x 的积分次序,由于 {}(,)01,0D x y y x y =≤≤≤≤ 故()2222111110000011122yy y y y x dx e dy dy e dx ye dy e e e ----===-=-⎰⎰⎰⎰⎰2、求由曲面22222,2z x y z x y =+=+所围立体V 的体积. 解 V 在xy 平面上的投影区域为{}22(,)4D x y x y =+≤于是空间立体V 的体积为()2212DDV x y dxdy =-+⎰⎰作极坐标变换cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩,则222223000011644233V d r dr d r dr ππππθθπ=-=-=⎰⎰⎰⎰3、求由曲线,,,(0,0)x y a x y b y x y x a b 所围的平面图形面积.解 作坐标变换u x yyv x =+⎧⎪⎨=⎪⎩,则。

习 题 十1. 求下列曲线所围图形的面积． (1) y x x x y ====114，，，0=； (2) 轴；y x y y ==38，， (3) ；y e y e x xx==−，，1 (4) y x y x x ===lg .，，，001=10； (5) x y y x ==2380，，=1；(6) y x y y x y =+===14，，，；3(7) ； y x x y 224=−=， (8) ．x y y x =−=210()， 2. 求抛物线以及在点y x x =−+−24(,)03−和处的切线所围图形的面积．(,)30 3. 设曲线与直线y x x =−2y ax =，求参数，使该曲线与直线围图形面积为a 92． 4. 曲线与相交于原点和点f x x ()=2g x cx c ()=>30（）(,)112c c，求的值，使位于区间c [,01c上，两曲线所围图形的面积等于23． 5. 求星形线所围图形的面积（a ）． x a ty a tt ==⎧⎨⎪⎩⎪≤≤cos sin 3302　（）π>0 6. 求下列极坐标方程所表曲线所围成的图形的面积．(1) 三叶玫瑰线r =83sin θ； (2) 心形线r =−31(sin )θ；(3) r =+1sin θ与r =1； (4) r =2与r =4cos θ．7. 证明：球的半径为R 、高为的球冠的体积公式为：h V h R =−1332π()h8. 计算圆柱面与所围立体（部分）的体积．x y a 22+=22x z z ==，0z ≥0 9. 计算两个柱面与所围立体的体积．x y a 22+=222a z x =+ 10. 计算四棱台的体积．四棱台的上底面是边长为与b 的矩形，下底面是边长为与a A B 的矩形，高为．h 11. 求下列曲线围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积．(1) ； y x x =≤sin ()　0π≤；(2) y x x y ===220，，(3) y x y x ==2，；(4) ； y x x e =≤ln ()　1≤3(5) ． y x y x ==22，12. 求y x =，x 轴和x =4所围图形分别绕x 、y 轴旋转所得旋转体的体积．13. 求曲线与曲线所围图形的面积．并将此图形绕y x x =−32y x =2y 轴旋转，求所得旋转体的体积． 14. 求下列曲线的弧长．(1) ；y x x 2301=≤，()≤ (2) y x x =≤≤ln ()，38；(3) x y y y =−≤≤141212ln ()，e ； (4) r a a =>≤≤θθ　，()003；(5) r a =≤sin ()3303≤θθπ，； (6) ．x a t t t y a t t t t =+=−≤≤(cos sin )(sin cos )()，，02π 15. 计算曲线：的质量中心（线密度x y a y 2220+=≥　()ρ为常数）． 16. 计算星形线：在第一象限的质量中心（线密度x a y a ==cos sin3θ，3θρ为常数）． 17. 计算下列曲线所围图形的质量中心． (1) ax ；y ay x a ==>220，　() (2) x a y bx a y b 2222100+=≤≤≤≤，，()；(3) 轴，()y a x x =sin ，01≤≤x ；18. 若1公斤的力能使弹簧伸长1厘米，问把弹簧伸长10厘米要作多少功？ 19. 物体按规律x ct =3（c ）做直线运动，设介质阻力与速度的平方成正比，求物体从.>0x =0到x a =时，阻力所作的功．20. 一圆台形的水池，深15厘米，上下口半径分别为20厘米和10厘米，如果将盛满的水全部抽尽，需要作多少功？21. 有一横截面积为s =20平方米，深为5米的圆柱形水池，现把池中盛满的水全部抽到高为10米的水塔顶上去，需要作多少功？22. 把半径为R 的空心球，由与水面相切的位置压入水中，至球刚好完全淹没在水中，求克服浮力所作的功．23. 水坝中有一直立的矩形闸门，宽20米，高16米，闸门的上边平行水面，试求下述各情况闸门所作的功．(1) 闸门的上边与水面平齐时； (2) 水面在闸门的顶上8米时．24. 一块高为，底为的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中挡住水，顶在下，底与水面相齐．试求薄板所受压力．如果把它的顶与水面相齐，而底与水面平行，则压力又如何？a b 25. 闸门的形状为等腰梯形铅垂地挡住水，闸门的二水平边的长分别为200米和50米，高为10米，且较长的上底与水面相齐，试计算水对闸门的压力． 26. 一正方形薄板垂直地沉没在水中，正方形的一顶点位于水面，而一对角线平行于水面，设正方形的边长为a ，试求薄板每侧所受的压力．27. 求由x a y b+=1（a ）与坐标轴所围图形的面积． b >>0，0) 28. 求由曲线所围图形的面积．y x x 221=−( 29. 求曲线r =6sin θ与r =12sin θ所围图形的面积．30. 直径为6米的球浸入水中，其球心在水平面下10米，求球面上所受的压力．。

华东师大数学分析答案完整版一、填空题1. 极限的定义是当自变量趋近于某个值时，函数的值趋近于另一个确定的值。

2. 函数在某一点连续的充分必要条件是左极限、右极限和函数值在该点相等。

3. 无穷小量与无穷大量的关系是无穷小量的倒数是无穷大量，无穷大量的倒数是无穷小量。

4. 函数的导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

5. 微分表示函数在某一点的微小变化量。

6. 函数的积分表示函数在某个区间上的累积变化量。

7. 变限积分的导数是原函数的导数。

8. 无穷级数的收敛性可以通过比较判别法、比值判别法等方法进行判断。

9. 函数的泰勒级数表示函数在某一点的幂级数展开。

10. 傅里叶级数表示周期函数的三角级数展开。

二、选择题1. 下列函数中，连续的是（A）。

A. f(x) = x^2B. f(x) = 1/xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = |x|2. 下列极限中，存在的是（B）。

A. lim(x→0) 1/xB. lim(x→∞) x^2C. lim(x→0) sin(x)/xD. lim(x→∞) e^(x)3. 下列函数中，可导的是（A）。

A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(1/x)D. f(x) = x^(1/3)4. 下列积分中，收敛的是（C）。

A. ∫(1/x) dxB. ∫(1/x^2) dxC. ∫(e^(x)) dxD. ∫(1/x^3) dx5. 下列级数中，收敛的是（B）。

A. ∑(1/n)B. ∑(1/n^2)C. ∑(1/n^3)D. ∑(1/n^4)三、解答题1. 求函数 f(x) = x^3 3x + 2 在 x = 1 处的导数。

解答：f'(x) = 3x^2 3，代入 x = 1，得 f'(1) = 0。

2. 求不定积分∫(e^x) dx。

解答：∫(e^x) dx = e^x + C，其中 C 为任意常数。

第一章 实数集与函数习题§1实数1、 设a 为有理数，x 为无理数。

证明： （1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。

2、 试在数轴上表示出下列不等式的解：（1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。

3、 设a 、b ∈R 。

证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。

4、 设x ≠0，证明|x+x1|≥2，并说明其中等号何时成立。

5、 证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。

6、 设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。

证明|22b a +-22c a +|≤|b-c|。

你能说明此不等式的几何意义吗？7、 设x>0，b>0，a ≠b 。

证明xb x a ++介于1与ba 之间。

8、 设p 为正整数。

证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。

9、 设a 、b 为给定实数。

试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： （1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|<b 。

§2数集、确界原理 1、 用区间表示下列不等式的解：（1）|1-x|-x ≥0；（2）| x+x1|≤6；（3）（x-a ）（x-b ）（x-c ）>0（a ，b ，c 为常数，且a<b<c ）； （4）sinx ≥22。

2、 设S 为非空数集。

试对下列概念给出定义： （1）S 无上界；（2）S 无界。

3、 试证明由（3）式所确定的数集S 有上界而无下界。

4、 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）S={x|2x <2}；（2）S={x|x=n ！，n ∈+N }；（3）S={x|x 为（0，1）内的无理数}；（4）S={x|x=1-n21，n ∈+N }。

第四章函数的连续性第一节连续性概念1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：（1）； （2）。

x x f 1)(=x x f =)( 证：（1）的定义域为，当时，有xx f 1)(= ),0()0,(+∞-∞=D D x x ∈0,由三角不等式可得： ，0011x x x x x x -=-00x x x x --≥ 故当时，有00x x x <-002011x x x x x x x x ---≤- 对任意给的正数，取则，当 且时，ε,01020>+=x x εεδ0x <δD x ∈δ<-0x x 有ε<-=-0011)()(x x x f x f 可见在连续，由的任意性知：在其定义域内连续。

)(x f 0x 0x )(x f (2) 的定义域为对任何的，由于x x f =)(),,(+∞-∞),(0+∞-∞∈x，从而对任给正数，取，当时，00x x x x -≤-εεδ=δ<-0x x 有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε< 故在连续，由的任意性知，在连续。

)(x f 0x 0x )(x f ),(+∞-∞2．指出函数的间断点及类型： （1）； （2）； （3）；=)(x f xx 1+=)(x f x x sin =)(x f ]cos [x （4）； （5）；=)(x f x sgn =)(x f )sgn(cos x （6）；（7）=)(x f ⎩⎨⎧-为无理数为有理数x x x x ,,=)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11sin )1(17,7,71解： （1）在间断，由于不存在，故是的第二类间断点。

)(x f 0=x 1(lim xx x +∞→0=x )(x f（2）在间断，由于 ，)(x f 0=x 1sin lim )(lim 0==++→→xxx f x x故是的跳跃间断点。

第十二章 数项级数证明题1． 证明下列级数的收敛性,并求其和:(1); ++-+++1)4)(5n (5n 111.1616.1111.61(2) ;+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+n n 22312131213121(3);∑++2)1)(n n(n 1(4) ;∑++-+)n 1n 22n ((5).∑-n 212n 2. 证明:若级数发散,则也发散(c ≠0).∑nu∑nCu3. 证明:若数列{a n }收敛于a,则级数.a -a )a (a11n n=+∑+4． 证明: 若数列{b n }有,则+∞=∞→n n b lim (1)级数发散;)b (bn 1n ∑-+(2)当b n ≠0时,级数∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11n b1b 1n 15. 证明级数收敛的充要条件是:任给正数ε,有某自然数∑nuN,对一切n>N 总有|u N +u n+1+…+u n |<ε6.　设为正项级数,且存在正数N 0,对一切n>N 0,有∑∑nnv、u n1n n 1n v v u u ++≤7. 设正项级数收敛,证明级数也收敛;试问反之是∑na∑2na否成立?8. 设a n ≥0,且数列{na n }有界，证明级数收敛.∑2n a 9. 设正项级数收敛,证明级数也收敛.∑nu∑+1n n u u 10. 证明下列极限:(1) ;0)(n!n lim 2nn =∞→(2) .1)0(a a )(2n!limn!n >=∞→11. 设{a n }为递减正项数列,证明:级数与同时∑∞=1n na∑∞=0m 2m ma 2收敛或同时发散.12. 设a n >0, b n >0, C n =b nb n+1,证明:1n na a +(1)若存在某自然数N 0及常数K,当n>N 0时,有C n ≥k>0,则级数收敛;∑∞=1n na(2)若n>N 0时有C n ≤0,且,则级数∑=∞→+∞=n1k kn b 1lim发散.∑∞=1n na13. 设级数收敛,证明级数也收敛.∑2na∑>0)(an a nn14. 设a n >0,证明数列{(1+a 1)(1+a 2)…(1+a n )}与级数同时∑na收敛或同时发散.15. 应用阿贝耳判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性:(1) ;∑>+-0)(x ,x 1x n 1)(nnn(2);∑>∈0)(α(0,2π0,x ,n sinnxα(3) .∑-nncos 1)(2n16. 设a n >0,a n >a n+1(n=1,2,…)且a n =0,证明级数∞→n lim ∑+++--na a a 1)(n211n 是收敛的.17. 设,证明:若条件收敛,则2u |u |g ,2u |u |p nn n n n n -=+=∑n u 级数与都是发散的.∑np∑nq二、计算题1. 试讨论几何级数(也称为等比级数)a+r+ar 2+…+ar n +…(a ≠0)的敛散性.2.设级数与都发散,试问一定发散∑nu∑nv)v (un n∑+吗?又若u n 与v n (n=1,2,…)都是非负数,则能得出什么结论?3.求下列级数的和:(1);∑+-+n)1)(a n (a 1(2);∑++-+1)n(n 12n 1)(1n (3).∑++++1]1)1)[(n (n 12n 224. 应用柯西准则判别下列级数的敛散性:(1) ; (2) ;∑n n2sin2∑+12n n (-1)221-n (3) ; (4) .∑n (-1)n∑+2nn 15. 应用比较原则判别下列级数的敛散性.(1) ; (2) ;∑+22a n 1∑nn3πsin 2(3);∑+2n11(4);∑∞=2n n(lnn)1(5);∑⎪⎭⎫⎝⎛-n 1cos 1(6);∑nnn1(7);∑>⎪⎭⎫⎝⎛-+0)(a ,2n 1a n 1a (8).∑∞=2n lnn(lnn)16. 用积分判别法讨论下列级数的敛散性:(1); (2) ;∑+1n 12∑+1n n 2(3);∑∞=3n )nlnnln(lnn 1(4).∑∞=3n qp (lnlnn)n(lnn)17. 判别下列级数的敛散性:(1) ;∑n n nn!3(2);∑++2n 2n n2(3);∑∞=2n lnn 1(4) ;∑≥-1)(a 1),a (n(5)∑+⋅-⋅12n 12n 421)(2n 31 ;(6).∑>++0)(x ,n)(x 1)(x n!8. 求下列极限(其中P>1):(1) ;⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++∞→p p p n (2n)12)(n 11)(n 1lim (2) .⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++∞→2n 2n 1n n p 1p 1p 1lim 9. 下列级数哪些是绝对收敛,条件收敛或发散的:(1) ;∑n!sinnx(2) ;∑+-1n n 1)(n (3);∑+-n1p n n1)((4);∑-n2sin1)(n (5) ;∑+-)n 1n1)((n (6) ;∑++-1n 1)(n l 1)(n n (7) ;∑++-nn )13n 1002n (1)((8);∑nn x(n!(9);∑∞=<<1n )2x (0lnn sinnxπ(10).∑-nn 11)(10. 写出下列级数的乘积:(1);()()∑∑----1n 1n 1n nx 1)(nx (2) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n 0n n!1)(n!1三、考研复习题1. 证明:若正项级数收敛,且数列{u n }单调,则.∑nu0u lim n n =∞→2. 若级数与都收敛,且成立不等式∑na∑nCa n ≤b n ≤C n (n=1,2,…)证明级数也收敛.若级数,都发散,试问∑nb∑na ∑nC一定发散吗?∑nb3. 若,且级数收敛,证明级数也收0k b a limnnn ≠=∞→∑n b ∑n a 敛.若上述条件中只知道收敛,能推得收敛吗?∑nb∑na4. (1) 设为正项级数,且<1,能否断定级数收∑n u n1n u u +∑n u 敛?(2) 对于级数有||≥1,能否断定级数不绝∑n u n1n u u +∑n u 对收敛,但可能条件收敛.(3) 设为收敛的正项级数,能否存在一个正数ε,使∑nu得0C n 1u limε1nn >=+∞→5. 证明: 若级数收敛,绝对收敛,则级数∑na∑-+)b (bn 1n 也收敛.nnba ∑6. 证明级数是发散的.∑+bn a 17. 讨论级数,(p>0)∑∞=2n pn(lnn)1的敛散性.8. 设a n >0,证明级数∑+++)a (1)a )(1a (1a n21n是收敛的.9. 证明:若级数与收敛,则级数和∑2na∑2nb∑nnba 也收敛,且∑+2n n)b (a()∑∑∑⋅≤+2n2n 2n n b a b a()()()()212n212n212n nb a b a∑∑∑+≤+10. 证明:(1)设为正项级数,若∑na0,a a u u lim 1n n 1n n n >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→则正项级数收敛,∑n u (2)若级数发散,且∑n a 1,0a a u u lim 1n n 1n n n <⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→则正项级数发散.∑n u。