18版高中数学第二章统计2.1.3分层抽样学案苏教版必修3

2.1.3分层抽样课时目标 1.理解分层抽样的概念.2.掌握分层抽样的使用条件和操作步骤，会用分层抽样法进行抽样．1．分层抽样的概念一般地，当总体由______________________组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样，其中所分成的各个部分称为“__________”．2．分层抽样的步骤是：(1)将总体按一定标准________；(2)计算__________________________________________________________________；(3)将__________________的比确定各层应抽取的样本容量；(4)在每一层进行抽样(可用______抽样或________抽样)一、填空题1．有40件产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件，现从中抽出8件进行质量分析，问应采取______抽样方法．2．某城市有学校700所．其中大学20所，中学200所，小学480所，现用分层抽样方法从中抽取一个容量为70的样本，进行某项调查，则应抽取中学数为________．3．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n 为________．4．下列问题中，最适合用分层抽样方法抽样的是_____________________________．①某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈；②从10台冰箱中抽出3台进行质量检查；③某乡农田有山地8 000亩，丘陵12 000亩，平地24 000亩，洼地4 000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量；④从50个零件中抽取5个做质量检验．5．要从其中有50个红球的1 000个球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取100个进行分析，则应抽取红球的个数为________个．6．某小学三个年级共有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要用抽样方法抽取10人形成样本，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2， (270)如果抽得号码有下列四种情况：①5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；②7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；③30,57,84,111,138,165,192,219,246,270；④11,38,60,90,119,146,173,200,227,254；其中可能是由分层抽样得到，而不可能是由系统抽样得到的一组号码为________．(填序号)7．某农场在三种地上种玉米，其中平地210亩，河沟地120亩，山坡地180亩，估计产量时要从中抽取17亩作为样本，则平地、河沟地、山坡地应抽取的亩数分别是________．8．将一个总体分为A、B、C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．9．某工厂生产A、B、C、D四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5∶1.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号有16件，那么此样本的容量n为________．二、解答题10．某小学有1 800名学生，6个年级中每个年级的人数大致相同，男女生的比例也大致相同，要从中抽取48名学生，测试学生100米跑的成绩．你认为应该用什么样的方法？怎样抽样？为什么要用这个方法？11．某工厂有3条生产同一产品的流水线，每天生产的产品件数分别是3 000件，4 000件，8 000件．若要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为150件产品的样本，应该如何抽样？能力提升12．某单位有技师18人，技术员12人，工程师6人，需要从这些人中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量增加1，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除1个个体，求样本容量n.13．选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程．(1)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个．(2)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个．(3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个．(4)有甲厂生产的300个篮球，抽取30个．1．分层抽样的概念和特点当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽样．分层抽样的优点是使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时又可灵活地选用不同的抽样法．2．三种抽样方法的选择简单随机抽样、系统抽样及分层抽样的共同特点是在抽样过程中每一个个体被抽取的机会都相等，体现了抽样方法的公平性和客观性．其中简单随机抽样是最基本的抽样方法，在系统抽样和分层抽样中都要用到简单随机抽样．当总体中的个体数较少时，常采用简单随机抽样；当总体中的个体数较多时，常采用系统抽样；当已知总体是由差异明显的几部分组成时，常采用分层抽样．2．1.3 分层抽样知识梳理1．差异明显的几个部分 层 2.(1)分层 (2)各层的个体数与总体的个体数的比 (3)各层个体数占总体的个体数 (4)简单随机 系统 作业设计 1．分层 2．20解析 由于70070＝10，即每10所学校抽取一所，又因中学200所，所以抽取200÷10＝20(所)． 3．70解析 由分层抽样方法得：33＋4＋7×n ＝15，解得n ＝70.4．③解析 ①的总体容量较大，宜采用系统抽样方法；②的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；③总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，宜采用分层抽样方法；④与②类似． 5．5解析 由题意知每1000100＝10(个)球中抽取一个，现有50个红球，应抽取5010＝5(个)．6．①④解析 按照分层抽样的方法抽取样本，一、二、三年级抽取的人数分别为：10827，8127，8127，即4人，3人，3人；不是系统抽样即编号的间隔不同，观察①、②、③、④知：①④符合题意，②是系统抽样，③中三年级人数为4人，不是分层抽样． 7．7,4,6解析 应抽取的亩数分别为210×17510＝7,120×17510＝4,180×17510＝6.8．20解析 由题意可设A 、B 、C 中个体数分别为5k,3k,2k ，所以C 中抽取个体数为2k5k ＋3k ＋2k×100＝20. 9．88解析 在分层抽样中，每一层所抽的个体数的比例与总体中各层个体数的比例是一致的．所以，样本容量n ＝2＋3＋5＋12×16＝88.10．解 应该用分层抽样的方法．因为小学的不同年级之间，男女生之间百米跑的成绩有较大差异，所以将1 800名学生按不同年级、性别分成12组，每组随机抽取4名，一共抽取48名学生．这样的抽样方法可使样本的结论与总体的结构保持一致．11．解 总体中的个体数N ＝3 000＋4 000＋8 000＝15 000，样本容量n ＝150，抽样比例为n N ＝15015 000＝1100，所以应该在第1条流水线生产的产品中随机抽取3 000×1100＝30(件)产品，在第2条流水线生产的产品中随机抽取4 000×1100＝40(件)产品，在第3条流水线生产的产品中随机抽取8 000×1100＝80(件)产品．这里因为每条流水线所生产的产品数都较多，所以，在每条流水线的产品中抽取样品时，宜采用系统抽样方法．12．解 因为采用系统抽样和分层抽样时不用剔除个体，所以n 是36的约数，且36n是6的约数，即n 又是6的倍数，n ＝6,12,18或36，又n ＋1是35的约数，故n 只能是4,6,34，综合得n ＝6，即样本容量为6.13．解 (1)总体容量较小，用抽签法．①将30个篮球编号，号码为00,01， (29)②将以上30个编号分别写在完全一样的小纸条上，揉成小球，制成号签； ③把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌；④从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码； ⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本．(2)总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样法．①确定抽取个数．因为3010＝3，所以甲厂生产的应抽取213＝7(个)，乙厂生产的应抽取93＝3(个)；②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个．这些篮球便组成了我们要抽取的样本．(3)总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法．①将300个篮球用随机方式编号，编号为000,001， (299)②在随机数表中随机的确定一个数作为开始，如第8行第29列的数“7”开始．任选一个方向作为读数方向，比如向右读；③从数“7”开始向右读，每次读三位，凡不在000～299中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，便可依次得到10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码．(4)总体容量较大，样本容量也较大宜用系统抽样法．①将300个篮球用随机方式编号，编号为001,002,003，…，300，并分成30段，其中每一段包含30030＝10(个)个体；②在第一段001,002,003，…，010这十个编号中用简单随机抽样抽出一个(如002)作为起始号码；③将编号为002,012,022，…，292的个体抽出，组成样本．。

分层抽样互动课堂疏导引导〔1〕分层抽样适用于总体由差异明显几个局部组成情况,即层与层之间有明显区别,而层内个体间差异较小,每层中所抽取个体数可按各层个体在总体上所占比例抽取.分层抽样要求对总体内容有一定了解,明确分层界限与数目,只要分层恰当,一般说来抽样结果就比简单随机抽样更能反映总体情况.〔2〕分层抽样与简单随机抽样与系统抽样联系：将总体分成几层,分层抽取时采用简单随机抽样或系统抽样.〔3〕分层抽样步骤①将总体按一定标准(分层标准由题意来确定)分层；②计算各层个体数与总体个体比；③按各层中个体数占总体比确定各层应抽取样本容量；④在每一层进展抽样,抽样时根据各层中个体个数选择适当抽样方法:个体数较少时用简单随机抽样,当个体数较多时可采用系统抽样.〔4〕分层抽样优点是,使样本具有较强代表性,而且在各层抽样时,又可灵活地选用不同抽样法.因此,分层抽样应用也比拟广泛.〔5〕分层抽样公平性分层抽样中,由于各局部抽取个体数与这一局部个体数比等于样本容量与总体个体数比,所以在分层抽样时,每一个个体被抽到几率都是相等.案例1 一个单位有职工160人,其中有业务人员112人,管理人员16人,后勤效劳人员32人,为了了解职工某种情况,要从中抽取一个容量为20样本,用分层抽样方法抽取样本,并写出过程.【探究】分层抽样中各层抽取个体数依各层个体数之比来分配,确定各层抽取个体数之后,可采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体.解法一：三局部所含个体数之比为112∶16∶32=7∶1∶2,设三局部抽个体数为7x,x,2x,那么由7x+x+2x=20得x=2.故业务人员、管理人员、后勤效劳人员抽取个体数分别为14,2与4.对112名业务人员按系统抽样分成14个局部,其中每个局部包括8个个体,对每个局部利用简单随机抽样抽取个体.假设将160名人员依次编号为1,2,3,…,160.那么在1—112名业务人员中第一局部个体编号为1—8.从中随机取一个号码,如它是4号,那么可以从第4号起,按系统抽样法每隔8个抽取1个号码,这样得到112名业务人员被抽出14个号码依次为4,12,20,28,36,44,52,60,68,76,84,92,100,108.同样可抽出管理人员与效劳人员号码分别为116,124与132,140,148,156.将以上各层抽出个体合并起来,就得到容量为20样本.解法二：由160÷20=8,所以可在各层中人员按8∶1比例抽取,又因为160÷8=2,112÷8=14,32÷8=4,所以管理人员2人,后勤效劳人员4人,业务人员14人.以下同方法一.规律总结弄清三种抽样方法实质,是灵活选用抽样方法前提与根底.此题抓住了“分层抽样中各层抽取个体数依各层个体数之比来分配〞这一分层抽样特点,首先确定了各层应该抽取个体数,之后可采用系统抽样或简单随机抽样来完成抽样过程.解决此例关键在于对概念正确理解以及在每一次抽样步骤中所采用抽样方法,应注意语言表达完整性.简单随机抽样、系统抽样与分层抽样,关系密切,对抽取样本来说,可谓异曲同工.注意对三者进展比拟,加深对三者理解,并在抽样实践中正确地对它们进展选择.对三种抽样方法比拟如下：抓住三种抽样方法本质特征是正确应用这三种抽样方法前提.案例2 某单位有工程师6人,技术员12人,技工18人,要从这些人中抽取一个容量为n 样本；如果采用系统抽样与分层抽样方法抽取,却不用剔除个体；如果样本容量增加1个,那么在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除1个个体,求样本容量n.【探究】总体容量为6+12+18=36〔人〕.当样本容量是n 时,由题意知,系统抽样间隔为n36,分层抽样比例是36n ,抽取工程师人数为36n ×6=6n 人,技术员人数为36n ×12=3n 人,技工人数为36n ×18=2n 人,所以n 应是6倍数,36约数,即n=6,12,18,24.当样本容量为〔n+1〕时,总体容量是35人,系统抽样间隔为135+n ,因为135+n 必须是整数, 所以n 只能取6,即样本容量n=6.规律总结 抓住分层抽样与系统抽样特点是正确解题关键.案例3 某单位有老人28人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们身体状况,从他们中抽取容量为36样本,最适合抽取样本方法是〔 〕D.先从老人中剔除1人,再用分层抽样【探究】解此问题关键是结合三种抽样方法进展比拟,明确他们各自特点.【解析】总体总人数163人,样本容量为36,由于总体由差异明显三局部组成,考虑用分层抽样.假设按36∶163分配无法得到整解,故考虑先剔除1人,抽取比例变为36∶162=2∶9,那么依次为12、18、6.选D.答案：D规律总结选择抽样方法过程中,应结合三种抽样方法使用范围与实际情况灵活使用各种抽样方法.在现实生活中,由于资金、时间有限,人力、物力缺乏,加之不断变化环境条件,普查往往不可能,因此采取抽样调查.在实际操作中,为了使样本具有代表性,通常要同时使用几种抽样方法.活学巧用1.某地区为了解居民家庭生活状况,先把居民按所在行业分为几类,然1居民家庭进展调查,这种抽样是〔〕后每个行业抽100解析：因为居民按行业被分成几层,而每层又按一定比例抽取,这是分层抽样特点.答案：C2.某政府机关在编人员共100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人,上级部门为了了解该机关对政府机构改革意见,要从中抽取20人,用以下哪种方法最适宜〔〕解析：当总体由差异明显几局部组成时,应采用分层抽样.答案：C3.以下问题应采取何种抽样方法？〔1〕某小区有800户家庭,其中高收入家庭有200户,中等收入家庭480户,低收入家庭120户,为了了解有关家用轿车购置力情况,从中抽取一个容量为100样本；〔2〕从10名学生中抽取3名参加座谈会.解析：〔1〕800户家庭由于收入上下不同,对于要调查指标影响不同,故应当采用分层抽样方法.〔2〕总体中个体数较少,采用简单随机抽样方法比拟方便.4.某企业共有3 000名职工,其中,中、青、老职工比例为5∶3∶2,从所有职工中抽取一个样本容量为400人样本,应采用哪种抽样方法更合理？且中、青、老年职工应分别抽取多少人？分析：因为总体由三类差异明显个体〔中、青、老年〕组成,所以应采用分层抽样方法进展抽取.解：由样本容量为400,总体容量为3 200知,抽取比例应是=81,而中、青、老年职工比例是5∶3∶2,所以应抽取中年职工为400×105=200〔人〕；青年职工为400×103=120(人)；老年职工为400×102=80(人). 5.某校有高中学生900人,高一年级300人,高二年级400人,高三年级200人,采用分层抽样方法从中抽取一个容量为45人样本,问各年级应抽取多少人？解析：易知,高一年级所占比例为,高二年级所占比例为,高三年级所占比例是,所以高一年级应抽取31×45=15(人)；高二年级应抽取94×45=20〔人〕,高三年级应抽取92×45=10〔人〕. 6.选择适宜抽样方法抽样,写出抽样过程.〔1〕有30个篮球,其中甲厂生产有21个,乙厂生产有9个,抽取10个入样；〔2〕有甲厂生产30个篮球,其中一箱21个,另一箱9个,抽取3个入样；〔3〕有甲厂生产300个篮球,抽取10个入样；〔4〕有甲厂生产300个篮球,抽取30个入样.解析：〔1〕总体由差异明显几个层次组成,需选用分层抽样法. 第一步：确定抽取个数.1030=3,所以甲厂生产应抽取321=7个,乙厂生产应抽取39=3个；第二步：用抽签法分别抽取甲厂生产篮球7个,乙厂生产篮球3个,这些篮球便组成了我们要抽取样本.〔2〕总体容量较小,用抽签法.第一步：将30个篮球编号,编号为00,01, (29)第二步：将以上30个编号分别写在一张小纸条上,揉成小球,制成号签；第三步：把号签放入一个不透明袋子中,充分搅匀； 第四步：从袋子中逐个抽取3个号签,并记录上面号码； 第五步：找出与所得号码对应篮球.〔3〕总合格容量较大,样本容量较小,宜用随机数法.第一步：将300个篮球用随机方法编号编号为001,002, (300)第二步：在随机数表中任意确定一个数作为开场,如从第8行第29列数“7”开场,任选一个方向作为读数方向,比方向右读；第三步：从数“7”开场向右读,每次读三位,凡不在001—300中数跳过去不读,遇到已经读过数也跳过去不读,便可依次得到286,211,234,297,207,013,027,086,284,281这10个号码,这就是所要抽取10个样本个体号码.〔4〕总体容量较大,样本容量也较大,宜用系统抽样法.第一步：将300个篮球用随机方式编号,编号为000,001,002,…,299,并分成30段；第二步：在第一段000,001,002,…,009这十个编号中用简单随机抽样抽出一个〔如002〕作为起始号码；第三步：将编号为002,012,022,…,292个体抽出,组成样本.7.(2005湖北高考,文12理11)某初级中学有学生270人,其中一年级108人,二、三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样与系统抽样三种方案,使用简单随机抽样与分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,...,270；使用系统抽样时,将学生统一随机编号为1,2, (270)并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有以下四种情况:①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.关于上述样本以下结论中,正确是…〔〕A.②③都不能为系统抽样B.②④都不能为分层抽样C.①④都可能为系统抽样D.①③都可能为分层抽样解析：由定义可知,①③为分层抽样；②可能是简单随机抽样,也可能是先分层,再在各层中采用简单随机抽样；④为系统抽样.应选D.答案：D。

江苏省响水中学高中数学第2章《统计》系统抽样与分层抽样导学案苏教版必修3学习目标：1.理解并掌握系统、分层抽样.2.会用系统抽样、分层抽样法从总体中抽取样本.3.了解三种抽样方法的区别与联系.一、基础知识导学问题1:(1)在上面的问题中,是采取了抽样方法.(2)系统抽样:当总体中的个数时,可将总体分成均衡的部分,然后按照预先定出的规则,从每一部分抽取1个个体,得到所需要的样本,这种抽样叫作系统抽样(也称为机械抽样).问题2:系统抽样的步骤(1)采用随机抽样的方法将总体中的N个个体编号;(2)将整体按编号均衡分段,确定分段间隔k,当是整数时k=不是整数时,从N 中剔除一些个体,使得其为;(3)在第一段用确定起始个体的编号l(l≤k);(4)按照一定的规则抽取样本,通常是将起始编号l加上间隔k得到第2个个体编号l+k,再加上k得到第3个个体编号,这样继续下去,直到获取整个样本.问题3:分层抽样(1)分层抽样:当已知总体由的几部分组成时,常将总体分成几部分,然后按照各部分所占的比进行抽样,这种抽样叫作分层抽样,其中所分成的各部分叫作.(2)分层抽样的步骤第一步:将总体按一定标准进行;第二步:计算各层的个数与总体的个数的;第三步:按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的;第四步:在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样).问题4:如果样本容量与抽样比相乘不为整数时,如何实施分层抽样呢?第一步:先用抽样剔除多余的个体.第二步:进行抽样.二、基础学习交流1.下列抽样中不是系统抽样的是().A.从标有1~15号的15个球中,任选3个作样本,按从小号到大号排序,随机选起点i0,以后i0+5,i0+10(超过15则从1再数起)号入样B.工厂生产的产品,用传送带将产品送入包装车间前,检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验C.搞某一市场调查,规定在某一路段随机抽一个人进行询问,直到调查到事先规定调查人数为止D.电影院调查观众的某一指标,通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈2.从2004名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从2004人中剔除4人,剩下的2000人再按系统抽样的方法进行,则每人入选的机会().A.不会都相等B.均不相等C.都相等D.无法确定3.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,产品的数量之比为3∶4∶7.现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本,样本中A号产品有15件,那么样本容量n为.4.一批产品中,有一级品100个,二级品60个,三级品40个,分别用系统抽样法和分层抽样法,从这批产品中抽取一个容量为20的样本.三、重点难点探究探究一系统抽样的应用某单位在岗职工人数为620人,为了调查工人上班时,从离开家到单位的路上平均所用时间,决定抽取10%的职工调查这一情况,如何采用系统抽样方法完成这一抽样?四、智能基础检测1.某社区有500个家庭,其中高收入家庭125户,中等收入家庭280户,低收入家庭95户.为了调查社会购买力的某项指标,要从中抽取1个容量为100户的样本,记作①;某学校高一年级有12名女排运动员,要从中选出3名调查学习负担情况,记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是().A.①用简单随机抽样法;②用系统抽样法B.①用分层抽样法;②用简单随机抽样法C.①用系统抽样法;②用分层抽样法D.①用分层抽样法;②用系统抽样法2.为了了解某地参加计算机水平测试的5008名学生的成绩,从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析,运用系统抽样方法抽取样本时,每组的容量为().A.24B.25C.26D.283.某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工的身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32人,则该样本中的老年职工人数为.4.某工厂有1003名工人,从中抽取10人参加体检,试采用系统抽样进行具体实施.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

2.1 分层抽样-苏教版必修3教案1. 知识点1.1 抽样调查的概念抽样调查是指将具有代表性的一部分抽样对象进行调查和测量，通过对抽样结果的分析和总结，推断整体的特征和规律的方法。

1.2 抽样调查的分类抽样调查可以按照不同的标准进行分类，常见的分类有：•简单随机抽样•整群抽样•系统抽样•分层抽样本节课程主要介绍分层抽样。

1.3 分层抽样的定义分层抽样是在抽样前，将抽样对象按照一定的标准划分成若干层，再从每一层中分别抽取一定数量的样本，最后合并样本得到总体的统计特征。

1.4 分层抽样的优点和缺点分层抽样相对于其他抽样方法而言，具有以下优点：•提高了抽样的精度和代表性；•控制了误差；•便于设定样本量。

分层抽样的缺点是：•适用范围受限，必须满足抽样对象可以被划分成若干层；•进行分类的标准必须得到普遍认可；•实施过程复杂。

2. 教学目标通过本节课程的学习，学生将能够：•理解分层抽样的概念与特点；•掌握分层抽样的基本步骤；•运用分层抽样方法进行简单的调查。

3. 教学过程3.1 导入环节首先引导学生了解抽样调查的基本概念和分类方法，为本节课程的学习打下基础。

3.2 理论授课介绍分层抽样的定义和特点，包括分层抽样的优点和缺点等。

同时，引导学生学习分层抽样的基本步骤，包括：1.划分层次；2.确定每层样本量；3.从每一层中随机抽取样本；4.合并样本。

3.3 课堂练习引导学生通过课堂练习，了解如何应用分层抽样进行调查。

例如，可以设计以下课堂练习：某中学1年级学生有1000人，其中男生550人，女生450人。

为了了解学生的饮食习惯，需要进行抽样调查。

请设计一种分层抽样的方案，要求男女生各占总样本的50%。

3.4 课堂讨论引导学生讨论分层抽样方案是否符合要求，以及如何分析调查结果。

同时，引导学生自我评价本次课堂学习收获，为下一节课程的学习做好铺垫。

4. 总结通过本节课程的学习，学生能够更好地理解和运用分层抽样方法进行抽样调查，并能够更好地分析和总结调查结果。

2.1．3 分层抽样庖丁巧解牛知识·巧学一、分层抽样的概念当已知总体由差异明显的几部分组成时，不宜用简单随机抽样和系统抽样，为了使样本更能充分地反映总体的情况，应将总体分成互不交叉的几部分，然后按照各部分所占的比例，从各部分中独立抽取一定数量的个体，再将各部分抽出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.其中所分成的每一部分叫层.根据定义可知，分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显的区别，互不重叠，而层内个体间差异很小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体中所占的比例抽取，也就是各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即总体容量样本容量.这样抽取能使所得到的样本结构与总体结构基本相同，可以提高样本对总体的代表性.深化升华 分层抽样具有以下主要特点：（1）适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；（2）在每一层进行抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样；（3）它能充分利用已掌握的信息，使样本具有良好的代表性；（4）它也是等可能性抽样，每个个体被抽到的可能性都是N n .而且在每层抽样时，可以根据具体情况采用不同的抽样方法.二、分层抽样的一般步骤分层抽样的操作步骤是：（1）分层：将总体按某种特征分成若干部分.（2）确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比.计算出抽样比k=总体容量样本容量 （3）确定各层应抽取的样本容量.（4）在每一层进行抽样（各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取），综合每层抽样，组成样本.（5）汇合成样本.学法一得 ①分层抽样时，各部分抽取的个体数与这一部分个体数的比等于样本容量与总体的个体数的比，每一个个体被抽到的可能性都是相等的；每一层抽样中采用简单随机抽样或系统抽样.②由于分层抽样充分利用了我们所掌握的信息，使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时可以根据具体情况采取不同的抽样方法，所以分层抽样在实践中有着非常广泛的应用.三、三种抽样方法的比较在具体情景中，需要我们准确地选择适当的抽样方法进行抽样.在各种方法间选择时，要遵循以下原则：（1）若总体由差异明显的几个层次组成，则宜用分层抽样法.当抽样比与各层的个体数的乘积是整数时，则该积就是该层的入样数；当抽样比与各层的个体数的乘积不是整数时，则该积经过四舍五入后就是该层的入样数.（2）若总体中没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样或系统抽样.①当总体容量较小时宜用抽签法；②当总体容量较大，样本容量较小时宜用随机数表法；③当总体容量较大，样本容量也较大时宜用系统抽样法.三种抽样方法的优、缺点及相互之间的关系：简单随机抽样：简单随机抽样是最基本的抽样方法，其他的各种随机抽样方法中大都会用到它.其优点是简便易行，缺点是当容量较大时难于操作，个体差异明显时所得样本无代表性.系统抽样：优点是①系统抽样比其他随机抽样方法更容易实现，可节约抽样成本.②系统抽样比简单随机抽样的应用范围更广.它可以应用到个体有自然编号，但总体中个体的数目却在抽样时无法确定的情况（如生产线的产品的质量检验）.缺点是系统抽样所得样本的代表性和具体的编号有关（简单随机抽样所得样本的代表性与个体的编号无关）.如果编号的个体特征随编号变化呈现一定的周期性，可能会使系统抽样的代表性很差.分层抽样：优点是充分利用了已知的总体信息，得到的样本比前两种方法有更好的代表性，并且可得到各层的子样本以顾及各层的信息.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是在抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等，体现了这些抽样方法的客观性和公平性.其中简单随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，在进行系统抽样和分层抽样时都要用到简单随机抽样的方法，抽样方法经常交叉起来使用.对于个体数量很大的总体，可采用系统抽样，系统中每一均衡部分，又可采用简单随机抽样.典题·热题知识点一 分层抽样的概念例1 某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是（ ）A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.先从老年人中剔除1人，再用分层抽样思路解析：由于总体由差异明显的三部分组成，考虑用分层抽样.总体总人数为28+54+81=163(人).样本容量为36，若按36︰163取样本，无法得到整数解.故考虑先剔除1人，抽取比例变为36︰162=2︰9，则中年人取54×92=12(人)，青年人取81×92=18(人)，应从老年人中剔除1人，老年人取27×92=6(人)，组成容量为36的样本. ∴应选D.答案：D误区警示 通过以上的实例分析可以感悟到，在具体情景中，需要我们准确地选择适当的抽样方法进行抽样.各种方法间选择时，要遵循以下原则：（1）若总体由差异明显的几个层次组成，则宜用分层抽样法.当抽样比与各层的个体数的乘积是整数时，则该积就是该层的入样数；当抽样比与各层的个体数的乘积不是整数时，则该积经过四舍五入后就是该层的入样数.知识点二 分层抽样的过程与步骤例2 选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程.（1）30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样；（2）有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个入样；（3）有甲厂生产的300个篮球，抽取10个入样；（4）有甲厂生产的300个篮球，抽取30个入样.思路分析：应结合三种抽样方法的使用范围和实际情况灵活使用各种抽样方法解决问题. 解：（1）总体由差异明显的几个层次组成，需选用分层抽样法.第一步：确定抽取个数，30/10=3，所以甲厂生产的应抽取21/3=7个，乙厂生产的应抽取9/3=3个；第二步：用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个,乙厂生产的篮球3个.这些篮球便组成了我们要抽取的样本；（2）总体容量较小，用抽签法.第一步：将30个篮球编号，编号为00，01， (29)第二步：将以上30个编号分别写在一张小纸条上，揉成小球，制成号签； 第三步：把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅匀；第四步：从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；第五步：找出和所得号码对应的篮球.（3）总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法.第一步：将300个篮球用随机方式编号，编号为001，002， (299)第二步：在随机数表中随机地确定一个数作为开始，如第8行第29列的数7开始，任选一个方向作为读数方向，比如向右读；第三步：从数7开始向右读，每次读三位，凡不在001—299中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去，便可依次得到286，211，234，297，207，013，027，086，284，281这10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码.（4）总体容量较大，样本容量也较大，宜用系统抽样法.第一步：将300个篮球用随机方式编号，编号为000，001，002，…，299，并分成30段；第二步：在第一段000，001，002，…，009这三个编号中用简单随机抽样抽出一个（如002）作为起始号码；第三步：将编号为002，012，022，…，292的个体抽出，组成样本.巧解提示 在解决问题的过程中，应结合三种抽样方法的使用范围和实际情况灵活使用各种抽样方法.问题·探究方案设计探究问题为了考查某校的教学水平，将抽查这个学校高三年级的部分学生的本学年考试成绩进行考查，为了全面地反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查：（已知该校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了号，假定该校每班学生人数都相同）（1）从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考察他们的学习成绩；（2）每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的成绩；（3）把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考查.（已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）试探究上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤.探究过程：（1）这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三年级全体学生本年度的考试成绩.其中第一种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本年度的成绩，样本容量为20；第二种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本年度的成绩，样本容量为20；第三种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本年度的成绩，样本容量为100；（2）上面三种抽取方式中，第一种方式采用的方法是简单的随机抽样法；第二种方式采用的方法是简单的随机抽样法和系统抽样法；第三种方式采用的方法是简单的随机抽样法和分层抽样法；（3）第一种方式抽样的步骤如下：第一步，在这20个班中用抽签法任意抽取一个班；第二步，从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩.第二种方式抽样的步骤如下：第一步，在第一个班中，用简单的随机抽样法任意抽取某一学生，记其学号为a；第二步，在其余的19个班中，选取学号为a的学生，共计20人.第三种方式抽样的步骤如下：第一步，分层.因为若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取样本时，应该把全体学生分成三个层次；第二步，确定各个层次抽取的人数.因为样本容量与总体的个体数之比为100∶1 000=1∶10，所以在每个层次抽取的个体数依次为150/10，600/10，250/10，即15，60，25；第三步，按层次分别抽取.在优秀生中用简单的随机抽样法抽取15人，在良好生中用简单的随机抽样法抽取60人，在普通生中用简单的随机抽样法抽取25人.探究结论：三种抽样方法都是一种等几率抽样，经常交叉起来使用，比如，分层抽样中，若每层中个体数量仍很大，则可辅之系统抽样，系统中的每一均衡的部分，又可采用简单随机抽样.为熟练掌握三种抽样方法，应结合具体实例，多分析，多实践，从解决问题的过程中体会三种抽样方法的特点和用法，进一步理解抽样的必要性和统计的基本思想.。

2.1.3 分层抽样学习目标 1.理解分层抽样的基本思想和适用情形；2.掌握分层抽样的实施步骤；3.了解三种抽样方法的区别和联系．知识点一分层抽样的基本思想和适用情形思考中国共产党第十八次代表大会2 270名代表是从40个单位中产生的，这40个单位分别是1─31为省(自治区、直辖市)、32中央直属机关、33中央国家机关、34全国台联、35解放军、36武警部队、37中央金融系统、38中央企业系统、39中央香港工委、40中央澳门工委．你觉得如果用简单随机抽样或者是系统抽样来产生这些代表怎么样？梳理一般地，当总体由____________的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成________________的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样．分层抽样尽量利用了调查者对调查对象(总体)事先所掌握的各种信息，并充分考虑了保持__________与__________的一致性，这对提高样本的代表性是非常重要的．知识点二分层抽样的实施步骤分层抽样的步骤是：(1)将总体按一定标准________．(2)计算________________________________________．(3)按________________________________的比确定各层应抽取的样本容量．(4)在每一层进行抽样(可用______________或________抽样)．知识点三三种抽样方法的比较类型一 分层抽样的适用情景例1 某地区有高中生2 400人，初中生10 900人，小学生11 000人．当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率及其形成原因，要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？反思与感悟 分层抽样实质是利用已知信息尽量使样本结构与总体结构相似．在实际操作时，并不排斥与其他抽样方法联合使用．跟踪训练1 某单位有员工500人，其中35岁以下的有125人，35岁～49岁的有280人，50岁以上的有95人．为了调查员工的身体状况，要从中抽取一个容量为100的样本，如何进行抽取？类型二 分层抽样的实施步骤 例2 写出跟踪训练1的实施步骤．反思与感悟 如果总体中的个体有差异，那么就用分层抽样抽取样本．用分层抽样抽取样本时，要把性质、结构相同的个体组成一层．跟踪训练2 某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5，现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写出抽样过程．类型三 三种抽样方法的比较例3 某高级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270. 关于上述样本的下列结论中，正确的是________．a ．②③都不能为系统抽样；b ．②④都不能为分层抽样；c ．①④都可能为系统抽样；d ．①③都可能为分层抽样．反思与感悟 根据样本的号码判断抽样方法时，要紧扣三类抽样方法的特征．利用简单随机抽样抽取的样本号码没有规律性；利用分层抽样抽取的样本号码有规律性，即在每一层抽取的号码个数m 等于该层所含个体数目与抽样比的积，并且应该恰有m 个号码在该层的号码段内；利用系统抽样取出的样本号码也有规律性，其号码按从小到大的顺序排列，则所抽取的号码是：l ，l ＋k ，l ＋2k ，…，l ＋(n －1)k .其中，l 为第一个样本号码(l ≤k )，n 为样本容量(n ＝1，2，3，…)，l 是第一组中的号码，k 为分段间隔，k ＝总体容量/样本容量． 跟踪训练3 一个总体中的80个个体编号为0，1，2，…，79，并依次将其分为8个组，组号为0，1，…，7，要用下述抽样方法抽取一个容量为8的样本：即在0组先随机抽取一个号码i ，则k 组抽取的号码为10k ＋j ，其中j ＝⎩⎪⎨⎪⎧i ＋k i ＋k ＜10 ，i ＋k －10 i ＋k ≥10 ，若先在0组抽取的号码为6，则所抽到的8个号码依次为________________________________________________________________________．1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为________．2．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．3．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为________．4．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为________．5．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．1．用分层抽样从个体为N 的总体中抽取一个容量为n 的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的机会相等．2．分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样基础上的，由于它充分利用了已知信息，考虑了保持样本结构与总体结构的一致性，因此它获取的样本更具代表性，在实用中更为广泛．解决分层抽样问题时，注意以下两个关系的应用： (1)样本容量n 总体容量N ＝各层抽取的样本数该层容量. (2)总体中各层的容量比＝对应各层样本数之比．3．简单随机抽样是基础，系统抽样与分层抽样是补充和发展，三者相辅相成，对立统一．答案精析问题导学 知识点一思考 这40个单位各有各的情况，各有各的意见，存在明显差异．而各单位人数差异很大，如果采用简单随机抽样或者系统抽样，可能有些人员少的单位根本就没有自己的代表，从而使样本没有更好的代表性．所以采用这两种抽样方法都不合适． 梳理 差异明显 层次比较分明 样本结构 总体结构 知识点二(1)分层 (2)各层的个体数与总体的个体数的比 (3)各层个体数占总体的个体数 (4)简单随机抽样 系统 题型探究例1 解 (1)从总体来看，因为不同年龄阶段的学生的近视情况可能存在明显差异，为了使样本具有较好的代表性，应该分高中、初中、小学三个层次分别抽样． (2)从三类学生的数量来看，人数较多，所以在各层抽样时可以采用系统抽样． (3)采用系统抽样分好组之后，确定第一组人选时，可以采用简单随机抽样．跟踪训练1 解 因为员工按年龄分为三个层次，各层的身体状况有明显的差异，所以为了使样本具有代表性，需要采用分层抽样．抽样比为1∶5，即每5人中抽取一人． 35岁以下：125×15＝25(人)，35岁～49岁：280×15＝56(人)，50岁以上：95×15＝19(人)．例2 解 (1)按年龄将500名职工分成三层：35岁以下的职工；35岁～49岁的职工；50岁以上的职工．(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为100500＝15，则在35岁以下的职工中抽取125×15＝25(人)；在35岁～49岁的职工中抽取280×15＝56(人)；在50岁以上的职工中抽取95×15＝19(人)．(3)在各层分别用随机数表法抽取样本． (4)综合每层抽样，组成容量为100的样本．跟踪训练2 解 (1)由于该市高中学生的视力有差异，按3个区分成三层，用分层抽样来抽取样本．(2)确定每层抽取个体的个数，在3个区分别抽取的学生人数之比也是2∶3∶5，所以抽取的学生人数分别是200×22＋3＋5＝40；200×32＋3＋5＝60；200×52＋3＋5＝100.(3)在各层分别按系统抽样法抽取样本． (4)综合每层抽样，组成容量为200的样本． 例3 d解析 如果按分层抽样，在一年级抽取108×10270＝4(人)，在二、三年级各抽取81×10270＝3(人)，则在号码段1，2，…，108抽取4个号码，在号码段109，110，…，189抽取3个号码，在号码段190，191，…，270抽取3个号码，①②③符合，所以①②③可能是分层抽样，④不符合，所以④不可能是分层抽样；如果按系统抽样，抽取出的号码应该是“等距”的，①③符合，②④不符合，所以①③都可能为系统抽样，②④都不能为系统抽样． 跟踪训练3 6，17，28，39，40，51，62，73解析 因为i ＝6，所以1组抽取号码为10×1＋(6＋1)＝17，2组抽取号码为10×2＋(6＋2)＝28，3组抽取号码为10×3＋(6＋3)＝39，4组抽取号码为10×4＋(6＋4－10)＝40，5组抽取号码为10×5＋(6＋5－10)＝51，6组抽取号码为10×6＋(6＋6－10)＝62，7组抽取号码为10×7＋(6＋7－10)＝73. 当堂训练 1．8解析 分层抽样的原理是按照各部分所占的比例抽取样本，设从高二年级抽取的学生数为n ，则3040＝6n ，得n ＝8. 2．15解析 青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7∶5∶3，所以样本容量为7÷715＝15.3．6，30，10解析 设三种型号的轿车依次抽取x ，y ，z 辆，则有x 1 200＝y 6 000＝z2 000＝461 200＋6 000＋2 000，解得x ＝6，y ＝30，z ＝10. 4．20解析 样本中松树苗为4 000×15030 000＝4 000×1200＝20(棵)．5．12解析设抽取男运动员的人数为n，则n48＝2148＋36，解得n＝12.。

2．1.3 分层抽样教材助读问题导航(1)什么叫分层抽样？(2)分层抽样适用于什么情况？(3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是相等的吗？读后验收1．分层抽样的概念一般地，在抽样时，将总体分成 的层，然后按照 ，从 地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．2．分层抽样的适用条件分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持 与 的一致性，这对提高样本的代表性非常重要．当总体是由 的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．名师指津1．分层抽样的特点(1)适用于总体由有明显差别的几部分组成的情况．(2)抽取的样本更好地反映了总体的情况．(3)是等可能性抽样，每个个体被抽到的可能性都是n N. 2．分层抽样的公平性如果总体中个体的总数是N ，样本容量为n ，第i 层中个数为N i ，则第i 层中要抽取的个体数为n i ＝n ·N i N .每一个个体被抽取的可能性是n i N i ＝1N i ·n ·N i N ＝n N，与层数无关．所以对所有个体来说，被抽取的可能性是一样的，与层数及分层无关，所以分层抽样是公平的．3．分层抽样需注意的问题(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是每层内样本的差异要小，不同层之间的样本差异要大，且互不重叠．(2)抽取比例由每层个体占总体的比例确定．(3)各层抽样按简单随机抽样或系统抽样进行．题型探究探究一分层抽样的概念例1 某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人．为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是()A．抽签法B．系统抽样C．分层抽样D．随机数法方法归纳各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据，至于各层内用什么方法抽样是灵活的，可用简单随机抽样，也可采用系统抽样．分层抽样中，无论哪一层的个体，被抽中的机会均等，体现了抽样的公平性．跟踪训练1．(1)某市有四所重点大学，为了解该市大学生的课外书籍阅读情况，则采用下列哪种方法抽取样本最合适(四所大学图书馆的藏书有一定的差距)()A．抽签法B．随机数表法C．系统抽样法D．分层抽样法(2)某校高三年级有男生800人，女生600人，为了解该年级学生的身体健康情况，从男生中任意抽取40人，从女生中任意抽取30人进行调查．这种抽样方法是() A．简单随机抽样法B．抽签法C．随机数表法D．分层抽样法探究二分层抽样的应用例2 甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．方法归纳在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N.跟踪训练2．(1)为了调查城市PM2.5的情况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，相应的城市数分别为8，16，24.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则应抽取的中型城市数为() A．3 B．4C．5 D．6(2)一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，则应抽取超过45岁的职工________人．探究三三种抽样方法的考查例3 选择合适的抽样方法抽样，并写出抽样过程．(1)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取10个入样；(2)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样；(3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个入样；(4)有甲厂生产的300个篮球，抽取30个入样．方法归纳(1)简单随机抽样、系统抽样和分层抽样是三种常用的抽样方法，在实际生活中有着广泛的应用．(2)三种抽样的适用范围不同，各自的特点也不同，但各种方法间又有密切联系．在应用时要根据实际情况选取合适的方法．(3)三种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的．跟踪训练3．(1)某饮料公司在华东、华南、华西、华北四个地区分别有200个、180个、180个、140个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这700个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在华南地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是()A．分层抽样法、系统抽样法B．分层抽样法、简单随机抽样法C ．系统抽样法、分层抽样法D ．简单随机抽样法、分层抽样法(2)调查某班学生的平均身高，从50名学生中抽取5名，抽样方法是________，如果男女身高有显著不同(男生30人，女生20人)，抽样方法是________．(3)下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？①从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查；②某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．易错警示 分层抽样的应用例4 某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n 的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则样本容量为________．【解析】总体容量N ＝36.当样本容量为n 时，系统抽样间隔为36n ∈N *，所以n 是36的约数； 分层抽样的抽样比为n 36，求得工程师、技术员、技工的抽样人数分别为n 6，n 3，n 2，所以n 应是6的倍数，所以n ＝6或12或18或36.当样本容量为n ＋1时，总体中先剔除1人时还有35人，系统抽样间隔为35n ＋1∈N *，所以n 只能是6.【答案】6[错因与防范]由36n ，n 6，n 3，n 2∈N *求n 时，n 的值有遗漏；35n ＋1∈N *易错写成36n ＋1∈N *. 为获取各层入样数目，需先正确计算出抽样比k ＝样本容量总体容量，若k 与某层个体数的积不是整数时，可先将该层等可能性剔除多余个体．跟踪训练4．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为()A．30 B．25C．20 D．15当堂检测1．某大学共有学生5 600人，其中有专科生1 300人、本科生3 000人、研究生1 300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取()A．65人、150人、65人B．30人、150人、100人C．93人、94人、93人D．80人、120人、80人2．某地共有10万户居民，从中随机调查了1 000户拥有彩电的调查结果如下表：彩电城市农村有432400无48120若该地区城市与农村住户之比为4∶6，估计该地区无彩电的农村总户数约为() A．0.923万户B．1.385万户C．1.8万户D．1.2万户3．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件，那么此样本的容量n＝________．4．某校对全校男、女学生共1 200名进行健康调查，选用分层抽样抽取一个容量为200的样本，已知男生比女生多抽了10人，则该校男生人数为________．参考答案读后验收1.互不交叉一定的比例独立2. 样本结构总体结构差异明显例1 【解析】各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据．【答案】C跟踪训练1．（1）【解析】因为学校图书馆的藏书对学生课外书籍阅读影响比较大，因此采取分层抽样．【答案】D(2)【解析】总体中个体差异比较明显，且抽取的比例也符合分层抽样．【答案】D例2 【解析】设乙设备生产的产品总数为x 件，则甲设备生产的产品总数为(4 800－x )件．由分层抽样特点，结合题意可得5080＝4 800－x 4 800，解得x ＝1 800. 【答案】1 800跟踪训练2．(1)【解析】根据分层抽样的特点可知，抽样比例为1248＝14，则应抽取的中型城市数为16×14＝4.【答案】B(2)【解析】抽样比为25∶200＝1∶8，而超过45岁的职工有80人，则从中应抽取的个体数为80×18＝10. 【答案】10例3 解 (1)总体容量较小，用抽签法．①将30个篮球编号，编号为00，01， (29)②将以上30个编号分别写在完全一样的一张小纸条上，揉成小球，制成号签．③把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌均匀．④从袋子中逐个抽取10个号签，并记录上面的号码．⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本．(2)总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样．①确定抽取个数．因为1030＝13，所以甲厂生产的应抽取213＝7(个)，乙厂生产的应抽取93＝3(个)．②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个．这些篮球便组成了我们要抽取的样本．(3)总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法．①将300个篮球用随机方式编号，编号为001，002， (300)②在随机数表中随机地确定一个数作为开始，如(教材附表)第8行第29列的数“7”开始．任选一个方向作为读数方向，比如向右读．③从数“7”开始向右读，每次读三位，凡不在001～300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，便可依次得到10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码．(4)总体容量较大，样本容量也较大，宜用系统抽样．①将300个篮球用随机方式编号，编号为000，001，002，…，299，并分成30段，其中每一段包含30030＝10个个体． ②在第一段000，001，002，…，009这十个编号中用简单随机抽样抽出一个(如002)作为起始号码．③将编号为002，012，022，…，292的个体抽出，即可组成所要求的样本.跟踪训练3．(1)【解析】当总体中个体较多时宜采用系统抽样；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较少时，宜采用简单随机抽样．依题意，第①项调查应采用分层抽样法、第②项调查应采用简单随机抽样法．故选B.【答案】B(2)【解析】从50名学生中抽取5名，总体中个体数不多，采用简单随机抽样；总体中个体差异比较明显，采用分层抽样．【答案】简单随机抽样 分层抽样(3)解 ①抽签法，因为总体容量较小，宜用抽签法．②分层抽样，由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，用分层抽样． 跟踪训练4．【解析】抽样比为150∶30 000＝1∶200，则样本中松树苗的数量为4 000×1200＝20. 【答案】C当堂检测1．【解析】根据分层抽样按比例抽取的特点，有5 600280＝1 300x ＝3 000y ＝1 300z，解得x ＝z ＝65，y ＝150，即专科生、本科生与研究生应分别抽取65、150、65，故选A.【答案】A2.【解析】无彩电的农村总户数约为10×610×120520≈1.385万户．【答案】B3.【解析】由分层抽样的特点，得n×22＋3＋5＝16，所以n＝80.【答案】804.【解析】入样比例＝2001 200＝16，则男生应抽105人，设男生为x人，所以105x＝16⇒x＝630.【答案】630。

2.1.3 分层抽样学习目标 1.理解分层抽样的概念(难点)；2.会用分层抽样从总体中抽取样本(重点)；3.了解两种抽样法的联系和区别.知识点一 分层抽样1.分层抽样的概念一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样，所分成的各个部分称为“层”. 分层抽样具有如下特点：(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；(2)按比例确定每层抽取个体的个数；(3)在每一层进行抽样时，采用简单随机抽样的方法；(4)分层抽样能充分利用已掌握的信息，使样本具有良好的代表性；(5)分层抽样也是等机会抽样，每个个体被抽到的可能性都是样本容量n 总体容量N，而且在每层抽样时，可以根据个体情况采用不同的抽样方法2.分层抽样的步骤分层抽样的步骤是：(1)将总体按一定标准分层；(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比；(3)按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样).【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)1.在分层抽样中，每一个个体被抽到的可能性是相等的；( )2.在各层中抽取的个体数与该层个体数之比等于抽样比；( )3.分层抽样中，具体分多少层是固定的.( )答案 1.√ 2.√ 3.×知识点二 抽样方法的比较简单随机抽样、分层抽样的比较如下表所示：类别 共同点各自特点 相互联系 适用范围简单随机抽样 (1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；(2)每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样从总体中逐个抽取 总体中的个体数较少 分层抽样 将总体分成几层，在各层中按同一抽样比抽取 在各层抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 【预习评价】分层抽样的总体具有什么特性？提示 分层抽样的总体由差异明显的几部分构成，也就是说当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样.题型一 对分层抽样概念的理解【例1】 为了保证分层抽样时每个个体等可能地被抽取，必须要求________(填序号). ①每层等可能抽样；②每层抽取的个体数相等；③每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取n i ＝n ·N i N(i ＝1,2,3，…，k )个个体(其中k 是层数，n 是抽取的样本容量，N i 是第i 层中个体的个数，N 是总体的容量)；④只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制.解析 虽然每层等可能地抽样，但是没有指明每层中应抽取几个个体，故①不正确；由于每层的容量不一定相等，每层也不一定抽同样多的个体数，显然从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能情况就不一样了，因此②也不正确；对于第i 层的每个个体，它被抽到的可能性与层数k 无关，即对于每个个体来说，被抽入样本的可能性是相同的，故③正确；④不正确，因为每层抽取的个体数是有限制的.答案 ③规律方法 分层抽样的特点主要有：(1)适用总体由差异明显的几部分组成的情况；(2)分成的各层互不交叉；(3)是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等，都是n N(n 为样本容量，N 为总体容量)，与层数及分层无关；(4)是不放回抽样；(5)各层抽取的比例都等于样本容量在总体中所占的比例；(6)分层抽样是建立在简单随机抽样的基础上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获得的样本更具有代表性，更充分反映了总体的情况，在实践中的应用更为广泛.【训练1】 有40件产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件.现从中抽出8件进行质量分析，则应采取的抽样方法是________.解析 总体是由差异明显的几部分组成，符合分层抽样的特点，故采用分层抽样. 答案 分层抽样题型二 分层抽样的应用【例2】 一批产品中，有一级品100个，二级品60个，三级品40个，请用分层抽样法从这批产品中抽取一个容量为20的样本，应如何抽取？解 第一步，确定抽样比：20∶(100＋60＋40)＝1∶10.第二步，确定每层中抽取的样本数：从一级品中抽取100×110＝10(个)，从二级品中抽取60×110＝6(个)，从三级品中抽取40×110＝4(个). 第三步，各层抽样：用简单随机抽样法或系统抽样法抽取一级品10个，二级品6个，三级品4个.第四步，将每层抽取的个体组合在一起构成样本.规律方法 利用分层抽样抽取样本的操作步骤：(1)将总体按一定标准进行分层；(2)确定抽样比；(3)按抽样比确定各层应抽取的样本容量；(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)；(5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本.【训练2】 一个单位有职工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是________.解析 抽样比为40800＝120，故各层抽取的人数依次为 160×120＝8,320×120＝16,200×120＝10,120×120＝6. 答案 8,16,10,6方向1 抽样方法的选择【例3－1】 某校有教职工240人，其中教师160人，行政人员48人，后勤人员32人.为了了解职工的收入情况，需要从中抽取一个容量为30的样本，有以下两种抽样方法： 方法一：将240人按照1～240进行编号，然后制作出有编号1～240的240个形状、大小相同的号签，并将号签放入一个不透明的箱子里均匀搅拌，然后从中抽取30个号签，编号和号签相同的30个人被选出.方法二：按照人数的比例，从教师中抽出20人，从行政人员中抽出6人，从后勤人员中抽出4人，可抽到30人(从各类人员中抽取所需人员时均采用随机数表法).则方法一是________，方法二是________.解析 根据各个抽样方法的定义，方法一显然为抽签法，属于简单随机抽样；方法二根据各类人数比例来抽样，根据分层抽样的定义，该方法属于分层抽样.答案 简单随机抽样 分层抽样方向2 抽样方法的比较【例3－2】 在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本.方法1：采用简单随机抽样的方法，将零件编号00,01,02，…，99，用抽签法抽取20个. 方法2：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个.对于上述问题，下列说法正确的是________(填序号).①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是15； ②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；③在上述抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征.解析 根据三种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体被抽到的可能性都相等，都是n N，故①正确，②错误；由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品)，故方法②抽到的样本更有代表性，③正确，故①③正确.答案 ①③方向3 抽样方法的具体应用【例3－3】 为了考察某校的教学水平，抽查了这个学校高三年级部分学生的本学年考试成绩进行考察.为了全面地反映实际情况，采取以下两种方式进行(已知该校高三年级共有14个教学班，并且每个班内的学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同).①从全年级14个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取14人，考察他们的学习成绩； ②把该校高三年级的学生按成绩分成优秀，良好，普通三个级别，从中抽取100名学生进行考查(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生有420名，普通学生有175名).根据上面的叙述，试回答下列问题：(1)上面两种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？(2)上面两种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法？(3)试分别写出上面两种抽取样本的步骤.解 (1)这两种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩.其中第一种抽取方式中样本为所抽取的14名学生本年度的考试成绩，样本容量为14；第二种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.(2)上面二种抽取方式中，第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；第二种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法.(3)第一种方式抽样的步骤如下：第一步：在这14个班中用抽签法任意抽取一个班；第二步：从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取14名学生，考察其考试成绩. 第二种方式抽样的步骤如下：第一步：分层，因为若按成绩分，其中优秀生共105人，良好生共420人，普通生共175人，所以在抽取样本中应该把全体学生分成三个层次；第二步：确定各个层次抽取的人数，因为样本容量与总体数的比为100∶700＝1∶7，所以在每层抽取的个体数依次为1057，4207，1757，即15,60,25； 第三步：按层分别抽取，在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人，在良好生中用简单随机抽样法抽取60人，在普通生中用简单随机抽样法抽取25人.第四步：将所抽取的个体组合在一起构成样本.规律方法 (1)两种抽样的适用范围不同，各自的特点也不同，但各种方法间又有密切联系.在应用时要根据实际情况选取合适的方法.(2)两种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的.课堂达标1.某校对全校1 200名男女学生进行健康调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本.已知女生抽了85人，则该校的男生数是________人.解析 男生人数占总人数的比等于抽到男生人数占样本容量的比，可得男生数为 1200×200－85200＝690(人). 答案 6902.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中共抽取40名学生进行调查，则应在丙专业中抽取的学生人数为________.解析 由题意知按分层抽样法进行抽样，抽样比为40150＋150＋400＋300＝125，所以应在丙专业中抽取的人数为400×125＝16. 答案 163.下列问题中宜采用的抽样方法依次为：(1)________；(2)________；(3)________.(1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查；(2)某社区有1 200户家庭，其中高收入家庭420户，中等收入家庭470户，低收入家庭310户，为了调查该社区购买力的某项指标，要从所有家庭中抽取一个容量为120的样本；(3)某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.解析4.央视春晚直播不到20天的时候，某媒体报道，由六小龄童和郭富城合演的《猴戏》节目被毙，为此，某网站针对“是否支持该节目上春晚”对网民进行调查，得到如下数据：若采用分层抽样的方法从中抽取48人进行座谈，则持“支持”态度的网民抽取的人数为________.解析 持“支持”态度的网民抽取的人数为48×8 0008 000＋6 000＋10 000＝48×13＝16. 答案 165.一个单位有职工160人，其中有业务人员112人，管理人员16人，后勤服务人员32人.为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，请用分层抽样的方法抽取样本.解 法一 三部分所含个体数之比为112∶16∶32＝7∶1∶2，设三部分应抽取个体数分别为7x ，x,2x ，则由7x ＋x ＋2x ＝20，得x ＝2.故业务人员、管理人员、后勤服务人员应分别抽取14人，2人和4人.法二 分层抽样中的抽样比为20160＝18.由112×18＝14,16×18＝2,32×18＝4，可得业务人员、管理人员、后勤服务人员应分别抽取14人，2人和4人.确定样本的组成部分之后，下面在层内运用简单随机抽样法抽样.课堂小结1.对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式解：(1)样本容量n 总体容量N ＝各层抽取的样本数该层的容量； (2)总体中各层容量之比＝对应层抽取的样本数之比.2.选择抽样方法的规律：(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用抽签法.(2)当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数表法.(3)当总体是由差异明显的几部分组成时，可采用分层抽样法.基础过关1.某学校有男、女学生各500名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是________. 解析 由于男生和女生存在性别差异，所以宜采用的抽样方法是分层抽样法.答案 分层抽样法2.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中最合理的抽样方法是________(填序号).①简单随机抽样；②按性别分层抽样；③按学段分层抽样.解析 因为已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大.为了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理.答案 ③3.某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________.解析 设男生抽取x 人，则有45900＝x 900－400，解得x ＝25. 答案 254.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生.解析 根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为44＋5＋5＋6×300＝60. 答案 605.某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作为样本，若用分层抽样的方法，则40岁以下年龄段应抽取________人.解析 40岁以下年龄段的职工数为200×0.5＝100，则应抽取的人数为40200×100＝20. 答案 206.选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程.(1)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个；(2)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个；(3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个.解 (1)总体容量较小，用抽签法.①将30个篮球编号，编号为00,01， (29)②将以上30个编号分别写在完全一样的小纸条上，揉成小球，制成号签；③把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌；④从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本.(2)总体由差异明显的两层组成，需选用分层抽样.①确定抽取个数.因为1030＝13，所以甲厂生产的应抽取2113＝7(个)，乙厂生产的应抽取9×13＝3(个)；②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个，这些篮球便组成了我们要抽取的样本.(3)总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法.①将300个篮球用随机方式编号，编号为001,002， (300)②在随机数表中随机的确定一个数作为开始，如第8行第29列的数“7”开始，任选一个方向作为读数方向，比如向右读；③从数“7”开始向右读，每次读三位，凡不在001～300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，依次得到10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码.7.一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及以上的有95人.为了了解这个单位的职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？解 用分层抽样来抽取样本，步骤如下：(1)分层.按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁到49岁的职工；50岁及以上的职工.(2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为100500＝15，则在不到35岁的职工中抽取125×15＝25(人)；在35岁至49岁的职工中抽取280×15＝56(人)； 在50岁及以上的职工中抽取95×15＝19(人). (3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本.(4)将每层抽取的个体组合在一起构成样本.能力提升8.问题：①有1 000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会.方法：Ⅰ.简单随机抽样；Ⅱ.分层抽样.其中问题与方法能配对的是________.解析 对于①，由于箱子颜色差异较为明显，可采用分层抽样方法抽取样本；对于②，由于总体容量、样本容量都较小，宜采用简单随机抽样.答案 ①Ⅱ，②Ⅰ9.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆.为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为________. 解析 设三种型号的轿车依次抽取x 辆，y 辆，z 辆，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1 200＝y 6 000＝z 2 000，x ＋y ＋z ＝46，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝30，z ＝10.故填6,30,10.答案 6,30,1010.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和如图②所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________.解析由题意知样本容量为(3 500＋4 500＋2 000)×2%＝200，其中高中生人数为2 000×2%＝40，高中生的近视人数为40×50%＝20.答案200,2011.某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10.根据以上信息，可得C产品的数量是________件.解析设C产品的数量为x件，则A产品的数量为(1 700－x)件，C产品的样本容量为a，则A产品的样本容量为10＋a，由分层抽样的定义可知1 700－xa＋10＝xa＝1 300130，解得x＝800.答案80012.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，求乙设备生产的产品总数.解由题设，抽样比为804 800＝160.设甲设备生产的产品为x件，则x60＝50，∴x＝3 000. 故乙设备生产的产品总数为4 800－3 000＝1 800(件).13. (选做题)某社区小学三个年级各班人数如下表所示.学校计划召开学生代表座谈会，请根据上述基本数据设计一个样本容量为总体容量的120的抽样方案.解第一步确定一年级、二年级、三年级的被抽个体数.一年级、二年级、三年级的学生数分别为：一年级：45＋48＋52＝145，二年级：46＋54＋50＝150，三年级：45＋55＋55＝155.由于总体容量与样本容量的比为20∶1，所以样本中包含的各部分个体数应为145÷20≈7,150÷20≈8,155÷20≈8.第二步将一年级的被抽个体数分配到一年级1班、2班、3班中.因为一年级1班、2班、3班的人数比为45∶48∶52，所以一年级1班、2班、3班的被抽个体数分别为7÷145×45≈2,7÷145×48≈2,7÷145×52≈3.第三步用同样的方法将二年级的被抽个体数分配到二年级1班、2班、3班中，结果分别为2人、3人、3人.第四步用同样的方法将三年级的被抽个体数分配到三年级1班、2班、3班中，结果分别为2人、3人、3人.第五步再用简单随机抽样在对应班级中抽取.。

2.1.3 分层抽样2.1.4 数据的收集自主学习学习目标1．理解分层抽样的概念，掌握分层抽样的使用条件和步骤，会进行简单的应用．2．能通过做试验、查阅资料、设计调查问卷的方法收集数据．自学导引1．分层抽样的概念当总体由有____________的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常将总体中各个个体按某种特征分成若干个____________的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中____________进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．2．分层抽样的优点(1)使样本具有较强的________．(2)在________抽样时，可灵活地选用不同的抽样方法．3．收集数据的常用方式有________、____________、____________.4．做试验：根据调查项目的要求来设计一些合适的试验，能够________获得样本数据．5．查阅资料：有些数据资料不容易直接调查得到，这时可以通过查阅统计年鉴、图书馆文献等办法获得所需或相关的数据．还可以通过____________的资源得到数据资料．6．调查问卷一般由一组________、有系统、________的题目组成．在调查问卷中，设计题目应注意符合以下要求：(1)问题要________________，使受调查者能够容易作答．(2)语言________________________，避免出现有歧义或意思含混的句子．(3)题目不能出现________________________的语句．对点讲练知识点一分层抽样的概念例1某社区有700户家庭，其中高收入家庭225户，中等收入家庭400户，低收入家庭75户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某中学高二年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②；从某厂生产的802辆轿车中抽取8辆测试某项性能，记作③.则完成上述3项应采用的抽样方法是() A．①用简单随机抽样，②用系统抽样，③用分层抽样B．①用分层抽样，②用简单随机抽样，③用系统抽样C．①用简单随机抽样，②用分层抽样，③用系统抽样D．①用分层抽样，②用系统抽样，③用简单随机抽样点评抽样方法的选择要结合三种抽样方法去比较；明确其各自的特点以及在抽样过程中的可操作性，由明显差异的几部分组成时，要选用分层抽样，注意其取整要求．变式迁移1某镇有四所中学，为了了解该镇中学生的视力情况，用什么方法抽取人数(四所中学的学生视力有一定的差距)()A．抽签法B．随机数表法C．系统抽样法D．分层抽样法知识点二分层抽样法的应用例2 某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了了解学校机构的改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，并写出抽样过程．点评(1)当已知总体是由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常采用分层抽样法．(2)分层抽样是将总体分成几层，分层进行抽取，抽取时可采用抽签法或随机数表法．变式迁移2某城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，计划抽取一个容量为21的样本，按照分层抽样方法抽取时，各种百货商店分别要抽取多少家？写出抽样过程．知识点三数据的收集例3为了调查最近上映的影片的受欢迎程度，请设计一份调查问卷，调查对象是去电影院的人．变式迁移3请设计一份调查问卷，就最近结束的一次考试调查学生作弊情况．课堂小结1．分层抽样的概念和特点当总体由差别明显的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽样．分层抽样的优点是使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时又可灵活地选用不同的抽样方法．2．分层抽样方法的应用．3．收集数据的方式要灵活，根据具体问题使用不同方式；设计调查问卷要考虑全面，才能得到真实，有效的数据.课时作业1．某地区为了解居民家庭生活状况，先把居民按所在行业分为几类，然后每个行业抽1100的居民家庭进行调查，这种抽样是()A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．分类抽样2．某地区的高中分三类，A类学校共有学生4 000人，B类学校共有学生2 000人，C类学校共有学生3 000人．现欲抽样分析某次考试的情况，若抽取900份试卷进行分析，则从A 类学校抽取的试卷份数应为()A．450 B．400 C．300 D．2003．某中学高一年级有540人，高二年级有440人，高三年级有420人，用分层抽样的方法抽取样本容量为70的样本，则高一、高二、高三三个年级分别抽取() A．28人、24人、18人B．25人、24人、21人C．26人、24人、20人D．27人、22人、21人4．做饭时为了知道饭煮熟了没有，从饭煲中舀出一勺饭尝尝，这种试验方法________．(填“合适”或“不合适”)5．计划从三个街道20 000人中抽取一个200人的样本，现已知三个街道人数之比为2∶3∶5，采用分层抽样的方法抽取，则应分别抽取________人．6．有A，B，C三种零件，分别为a个，300个，b个．采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，A种零件被抽取20个，C种零件被抽取10个，则此三种零件共有________个．7．对某单位1 000名职工进行某项专门调查，调查的项目与职工任职年限有关，人事部门提供了如下资料：任职年限人数5年以下3005～10年50010年以上200试利用上述资料，设计一个抽样比为110的抽样方法．参考答案自学导引1．明显差别互不重叠所占比例2．(1)代表性 (2)各层3．做试验 查阅资料 设计调查问卷 4．直接 5．因特网上6．有目的 有顺序 (1)具体、有针对性 (2)简单、准确、含义清楚 (3)引导受调查者答题倾向 对点讲练例1【解析】对于①，总体由高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭差异明显的三部分组成，而所调查的指标与收入情况密切相关，所以应采用分层抽样．对于②，总体中的个体数较少，而且所调查内容对12名调查对象是平等的，应用简单随机抽样．对于③，总体中的个体数较多，应用系统抽样．故选B. 【答案】B 变式迁移1 D例2 解 因为本题样本总体分成三类：行政人员、教师、后勤人员，符合分层抽样的特点，故选用分层抽样方法．因为20160＝18，所以从行政人员中抽取16×18＝2(人)，从教师中抽取112×18＝14(人)，从后勤人员中抽取32×18＝4(人)．因为行政人员和后勤人员较少，可将他们分别按1～16编号和1～32编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人，对教师从000,001，…，111编号，然后用随机数表法抽取14人．这样就得到了符合要求的容量为20的样本．变式迁移2 解 (1)样本容量与总体的个体数的比为21210＝110；(2)确定各种商店要抽取的数目： 大型：20×110＝2(家)，中型：40×110＝4(家)，小型：150×110＝15(家)；(3)采用简单随机抽样在各层中抽取大型：2家；中型：4家；小型：15家；这样便得到了所要抽取的样本．例3解问卷设计如下：性别________年龄________(填“老”“中”“青”“少”)职业________(填“行政”“教育”“卫生”“个体”“务农”“其他”)学历____________(填“本科以上”“大专”“中专”“初中以下”)1．今晚您看的电影的名字是________．2．影片的艺术设计______(填“很好”“较好”“一般”“差”)3．影片的音乐(歌曲)安排________(填“恰当”“不恰当”)4．影片的视觉效果______________(填“很好”“较好”“一般”“差”)5．影片的故事情节____________(填“精彩”“一般”“较差”“很差”)6．您对影片的总体评价________(填“好”“一般”“差”)变式迁移3解调查问卷设计如下：姓名________所在班级________为了防止你回答的问题被别人知道，请你先从口袋里摸出一个棋子，若摸到的是白棋子，就如实回答问题一；若摸到的是黑棋子，就如实回答问题二，每个问题仅有两个答案：是或否，如你回答的是“是”，请在问卷最后的方框内划“√”；如你回答的是“否”不用做任何标记．问题一：“你在这次考试中作弊了吗？”问题二：你的选择题是满分吗？注意：如你回答的是“是”，你在方框内划“√”．课时作业1．【解析】先将总体分成若干类型，每个类型再按比例抽取，这种抽样是分层抽样．【答案】C2．【解析】试卷份数应为900×4 0004 000＋2 000＋3 000＝400.]【答案】B3．【答案】D4．【答案】合适5．【答案】40,60,1006．【答案】9007．解因为抽样比为110，故只需从1 000人中抽取1 000×110＝100人．故从5年以下的抽300×110＝30(人)，5～10年的抽500×110＝50(人)，10年以上的抽200×110＝20(人)．。

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3 分层抽样教学目标（1）正确理解分层抽样的概念；（2)掌握分层抽样的一般步骤；(3)区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，并选择适当正确的方法进行抽样。

教学重难点正确理解分层抽样的定义，灵活应用分层抽样抽取样本,并恰当的选择三种抽样方法解决现实生活中的抽样问题.教学参考教材、教参授课方法启发、引导、归纳教学辅助手段多媒体专用教室教学教学二次备课过程一、问题情境:设计假设某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人,此地教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因，要从本地区的小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本?二、数学建构1、分层抽样的定义.一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样。

分层抽样的步骤：知识点2 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较教学教学二次备课江苏省徐州市高中数学 2.1.3 分层抽样教案 苏教版必修3三、数学建构: 例1、 某高中共有900人,其中高一年级300用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高C 。

10，5，30 D15，10,20方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、1、某单位有老年人28人，中年人人，为了调查他们容量为36的样本,个学生被抽到的课外作业：P52 1 3 4作业教学小结。