圆型限制性三体问题中转移轨道类型的数值研究

引言：用STK 设计最优轨道，首先需要寻找参考轨道，否则优化就无从谈起。

在前一阶段的学习中，我利用Matlab 实现了圆型限制性三体问题转移轨道的一般求解，主要内容是求解三体兰伯特问题（分为两种类型），一种是给定时间的点到点的转移，另一种是给定点到目标轨道的转移。

但Matlab 编写的程序收敛性不是太好，并且Matlab 编程中所考虑的力学模型过于简单，在工程上的参考意义不大，所以我尝试着利用STK 的计算能力，重新实现三体转移轨道的设计。

完成图STK三体转移轨道设计步骤1. 首先在场景中添加卫星和两个大天体，这里添加的大天体不影响Astrogator 中积分器的力学模型，只是用于在场景中显示一些相应的几何图形，没有其它意义。

利用STK 实现从地月L2点到月球圆轨道的转移轨道设计2011年11月2日20:44屏幕剪辑的捕获时间: 2011/11/2 20:482. 设置航天器的任务控制序列屏幕剪辑的捕获时间: 2011/11/2 20:54Astrogator的设置是实现转移轨道设计的关键，主要利用了两个Target序列，分别求得了满足特定条件的初始状态，以及进入月球圆轨道时所需要的速度增量。

初始状态所用的坐标是L2点旋转坐标系屏幕剪辑的捕获时间: 2011/11/2 21:22默认全引力模型的积分步长很大，所以需要自己重新定义，所以上图的Propagator是原来Heliocentric的一个Copy，主要是把原来的积分步长修改了。

这个积分器考虑了太阳系内主要大天体的引力影响，是一个真实力模型仿真结果收敛之后的结果：在地月旋转坐标系中，末端的轨道不是真正的圆，而是移动的圆，产生这种现象的原因是在地月旋转坐标系中，地月之间的距离是在变化的！在月心惯性系下，这是真正的圆从图上可以看出，这是相切入轨相关数据结果为：进一步的工作相关数据结果为：以上是收敛时的初始状态收敛之后的转移时间插入轨道时的速度增量1000KM 圆轨道收敛之后，我尝试收敛到200KM圆轨道，发现结果很容易收敛，甚至比我在Maltab 中编的程序还要好用的多！总结：STK的A strogator功能强大，需要好好利用！。

2009 年第1 期导弹与航天运载技术No.1 2009总第299 期MISSILE AND SPACE VEHCILE Sum No.299文章编号：1004-7182(2009)01-0007-04日-地系拉格朗日点任务及其转移轨道设计方法刘建忠（北京宇航系统工程研究所，北京，100076）摘要：绕日-地系拉格朗日点的深空探测任务越来越多，这些任务的目标轨道一般为Halo 轨道或Lissajous 轨道。

介绍了3种从地球停泊轨道出发到拉格朗日点的转移轨道设计方法，并进行了对比。

最后以A z=－800 000 km 的Halo 轨道为例，验证了直接转移轨道设计方法的有效性。

关键词：日地系统；拉格朗日点；转移轨道；Halo 轨道；Lissajous 轨道中图分类号：V412.4+1 文献标识码：AMissions of Sun-Earth Lagrange Points and Design Method of Transfer TrajectoryLiu Jianzhong(Beijing Institute of Space System Engineering, Beijing, 100076)Abstract: Missions of deep-space exploration surrounding Sun-Earth Lagrange points are increasing. Target orbits of these missions are generally the Halo orbit or the Lissajous or bit. Three methods of transfer trajectory design bet ween parking orbit and Lagrange points are introduced and compared. The Halo orbit of A z=－800 000 km is used as an example to verify the validity of direct transfer orbit design.Key Words: Sun-earth system; Lagrange points; Transfer trajectory; Halo orbit; Lissajous o rbit0 引言1772 年法国数学家J.L.拉格朗日研究发现，在一个旋转的二体引力场中存在5 个受力平衡点，这些点称作拉格朗日点（也称平动点或动平衡点）。

低成本多小天体并行交会技术王鹏;武小宇;张立华【摘要】小天体资源开发方兴未艾,为降低开发风险和成本,需要发射无人探测器交会观测多个待选目标小天体。

传统多目标探测方案存在无法多次交会、成本高,周期长等不足。

提出的低成本多小天体并行交会技术,能够对多小天体探测任务进行解耦,实现基于微纳飞行器的低成本多目标并行交会勘查,从而降低探测成本,缩短探测周期。

该技术结合行星借力与不变流形机制构建了低能量星际转移方案。

然后引入扰动流形思想,使微纳飞行器能够实现与目标小天体的快速交会。

进一步,提出了一种多目标小天体探测全局搜索方法,该方法基于在日地halo轨道上停泊的微纳飞行器集群,逐次确定小天体探测目标,并利用上述方法完成了多微纳飞行器与多小天体的交会。

数值仿真结果表明,该方案能够大幅度降低转移过程的燃料消耗,并缩短转移时间。

【期刊名称】《深空探测学报》【年(卷),期】2019(006)001【总页数】9页(P73-81)【关键词】小天体探测;多目标交会;不变流行;引力甩摆【作者】王鹏;武小宇;张立华【作者单位】[1]航天东方红卫星有限公司,北京100094;[2]北京理工大学宇航学院,北京100081;[3]飞行器动力学与控制教育部重点实验室,北京100081;[2]北京理工大学宇航学院,北京100081;[3]飞行器动力学与控制教育部重点实验室,北京100081;[1]航天东方红卫星有限公司,北京100094;【正文语种】中文【中图分类】P185.7引言通过对小天体探测可以了解太阳系演化、生命起源等基本规律，并有可能在未来实现小天体资源利用。

随着航天技术的发展，小天体探测逐渐成为人类深空探测任务的热点目标之一[1-2]。

1997年, 第一个专门探测小行星的太空计划NEAR[3]成功交会了433 Eros 小行星[3-4]，并在途中飞越了253 Mathilde小行星。

“深空1号”探测器于1999年造访了9969 Braille 小行星[5]。

木星—火星—航天器系统的零速度曲面和转移轨道的数值研究唐桂琴;高发宝;王坤;邱林飞【摘要】针对木星—火星—航天器系统,根据欧拉—拉格朗日方程建立了航天器的动力学方程,并通过数值模拟,研究了系统的零速度曲面和Jacobi常数的几何结构的关系,设计了一条可用于多任务轨道的从火星至木星的转移轨道.【期刊名称】《唐山学院学报》【年(卷),期】2015(028)003【总页数】5页(P8-11,44)【关键词】木星;火星;零速度曲面;转移轨道;数值模拟【作者】唐桂琴;高发宝;王坤;邱林飞【作者单位】扬州大学数学科学学院江苏扬州225002;扬州大学数学科学学院江苏扬州225002;扬州大学数学科学学院江苏扬州225002;扬州大学数学科学学院江苏扬州225002【正文语种】中文【中图分类】O242;P135在深空探测任务中，假设其中一个质量体的质量与其他两个天体的质量相比时，小到可以忽略，这样的三体问题就称为限制性三体问题。

这个小质量的天体一般称为无限小质量体，把两个大质量的天体称为有限质量体。

由于无限小质量体的质量可以看成无限小，所以就可以不考虑它对另外两个有限质量体的吸引，也就是说，它不影响这两个有限质量体的运动。

如果三体中的这两个有限质量体以一定的角速度绕其公共质心作匀速圆周运动，则此三体问题就称为圆型限制性三体问题[1-5]。

随着第二轮深空探测热潮的到来，火星、木星等天体正逐渐成为各航天大国的探测重点[6-7]。

自1976年火星着陆器第一次成功登陆火星以来，人类已经发射多个火星探测器，对火星的探测积累了丰富的经验。

由于地球距离木星要比火星远得多，因此人类对木星的探测也少得多。

但如果借助探索火星的成功经验，设计一条火星至木星的转移轨道，就可以在探测火星的同时探测木星。

当然，由于限制性三体问题存在相应的零速度曲面，使得无限小质量体不能无限制地在宇宙空间中任意飞行。

在实际探测任务中，零速度曲面具有极其重要的应用价值，利用零速度曲面不但可以确定火箭飞向月球的最小速度，在讨论运动区域时也具有重要的意义，近年来还被用来研究双星的演化。

基于圆型限制性三体问题模型的行星卫星逃逸能量研究
何巍;徐世杰
【期刊名称】《航空学报》
【年(卷),期】2007(028)002
【摘要】基于由飞行器、行星及其卫星组成圆型限制性三体问题模型,通过庞加莱映射的方法,研究了飞行器从行星卫星附近逃逸的问题.在Jacobi常数确定的前提下,通过逆向积分,飞行器从L1或L2点附近返回近月点,得到近月点速度出发速度.研究结果表明绕飞L1点和L2点逃逸行星卫星需要的最低能量是不同的,从月球表面逃逸所需的速度脉冲分别比开普勒算法节省46.5 m/s和42.3 m/s,且均小于Villac 等人在Hill模型下得到38.9 m/s,从而改进了Villac等人的相关工作,同时也给出了从太阳系主要行星卫星表面逃逸所需的最小能量.
【总页数】6页(P263-268)
【作者】何巍;徐世杰
【作者单位】北京航空航天大学,宇航学院,北京,100083;北京航空航天大学,宇航学院,北京,100083
【正文语种】中文
【中图分类】V412.4
【相关文献】
1.圆型限制性三体问题中双脉冲地月转移轨道设计研究 [J], 张科;谭明虎;吕梅柏;邢超
2.圆型限制性三体问题中转移轨道类型的数值研究 [J], 黄宇;林帆;沈怡晴;王瑞芳;高发宝;;;;;
3.含辐射和扁率的圆型限制性三体问题的\r轨道稳定性研究 [J], 石绍伍;马大柱
4.圆型限制性三体问题相对运动解析研究 [J], 周敬; 胡军; 张斌
5.Melnikov方法和圆型平面限制性三体问题的横截同宿研究 [J], 朱如曾;向程因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

地月三体问题下L1-地球低能转移轨道设计张汉清;李言俊【摘要】针对地月拉格朗日L1点流形无法到达地球附近的问题,介绍了基于扰动流形的L1-地球转移轨道设计方法,首先构造了扰动流形的参数化形式,通过搜索四维参数空间,给出了多种经过数值优化的转移轨道,在总结数值仿真结果的基础上提出采用轨道角动量定性分析轨道转移机理的方法,明确了L1-地球转移轨道的设计应以降低轨道角动量为目标,克服了以往优化方法搜索的盲目性,揭示了转移轨道所依据的动力学特征,最后给出了基于轨道转移机理设计的低能转移轨道,证明了该方法的有效性.【期刊名称】《哈尔滨工业大学学报》【年(卷),期】2011(043)005【总页数】5页(P84-88)【关键词】圆型限制性三体问题;拉格朗日点;转移轨道;扰动流形【作者】张汉清;李言俊【作者单位】西北工业大学,航天学院,710072,西安;西北工业大学,航天学院,710072,西安【正文语种】中文【中图分类】V412地月系拉格朗日L1点位于地球和月球之间，是圆形限制性三体问题(CR3BP)模型下距地球最近的动平衡点［1］，该点附近的周期轨道不受大气阻力影响，没有空间碎片、原子氧等侵袭，空间物资运输方便，且非常适于进一步的深空探测［2］，是建立太空基地和星际航行港的最佳选择.在空间飞行任务的历史中，利用拉格朗日点已完成了6项任务，所有的都是在日地系统中展开的，这一方面是由于日地系统中L1点流形能够到达地球附近，探测器可以方便地切入流形，使得转移轨道的设计较简单.在地月系统中，L1点流形无法到达地球附近，因此需要采用新的方法来设计转移轨道，Belbruno等［3］在1987年用数值方法发现了借助太阳引力的地月低能转移轨道，后来发展成为弱稳定边界理论.W.S.Koon等［4］应用不变流形理论在一定意义上证明了二维情况下地月低能转移轨道的存在.F.B.Zazzera等［5］基于Lambert弧拼接方法得到了地球-L1转移轨道，现有的数值优化方法基本上是“摸黑”搜索低能量转移轨道［6-8］，对轨道的转移机理缺乏认识.本文介绍了基于扰动流形的地月L1点和地球停泊轨道之间转移轨道的设计方法，给出了多种经过数值优化的转移轨道，然后在总结仿真结果的基础上提出了采用轨道角动量来分析轨道转移机理的方法，揭示了转移轨道所依据的动力学特征，最后给出了基于轨道转移机理设计的低能转移轨道.1 扰动流形方法由L1点Lyapunov轨道(Ax=10 470 km，Ay=31 068 km)向地球200 km停泊轨道的转移为例说明设计方法，由于CR3BP的对称性，地球向L1点Lyapunov轨道的转移为转移轨道沿x轴的镜像.由 CR3BP动力学［9-10］知，处在 L1点Lyapunov轨道上的探测器只需要很小的机动力便可进入L1点不稳定流形并零消耗地沿流形滑动，由于L1点不稳定流形不能到达地球附近，因此可以设法在流形上某处进行轨道机动，这种机动可以视作对原不稳定流形的速度扰动，这里将扰动后不稳定流形的演化称为扰动流形.若以探测器离开Lyapunov轨道的时刻为零时刻算起，设速度扰动施加的时刻为Δt，扰动大小为Δv1，扰动方向与轨道速度方向的夹角为α，则可将扰动流形表示为WL1，dis(Δt，Δv1，α)，由于流形上的每条轨道可以按其离开Lyapunov轨道的时刻t参数化，则扰动流形上的轨道可以表示为lL1，dis(t，Δt，Δv1，α)，因为引入速度扰动可使扰动流形到达距地球更近的位置，因此通过适当选择参数(Δt，Δv1，α)可使扰动流形与200 km地球停泊轨道相切，然后再选择合适的参数t，在流形上找到1条与停泊轨道相切的轨道，这样探测器就可以沿着该轨道从Lyapunov轨道出发经过2次轨道机动转移到地球停泊轨道，第1次机动Δv1使探测器离L1点不稳定流形进入扰动流形，第2次机动Δv2使探测器由扰动流形转移到地球停泊轨道.为计算扰动流形，需首先将L1点不稳定流形积分Δt时长，得到一系列状态向量，设其形式为(x，y，vx，vy)，则在施加大小为Δv、方向为α的扰动后得到的状态向量为对这一系列扰动状态向量进行积分，便可得到扰动流形.为计算探测器在切入地球停泊轨道时所需的第2次机动Δv2大小，需将切入点状态向量(设为Xr)由地月会合坐标系变换到惯性坐标系下其中，Xin为切入点在地月质心惯性系下状态向量，t为轨道机动时刻，则其中的速度分量;vpo为停泊轨道的轨道速度;R为地球半径;h为轨道高度，这里取作200 km.2 数值搜索结果由于地月三体问题的非线性，下面对L1-地球转移轨道进行数值求解，根据扰动流形上轨道的通用形式lL1，dis(t，Δt，Δv1，α)，算法分为如下步:1)根据实际探测任务和探测器性能指标对四维参数空间(t，Δt，Δv1，α)进行降维或约束，确定优化算法的参数搜索空间.2)以lL1，dis到地心的最近距离dmin(lL1，dis)为优化算法的目标函数.3)粗搜索.在搜索空间内均匀选择采样点，寻找满足dmin(lL1，dis)＜20 000 km的参数组合.4)精搜索.以上面得到的参数组合作为迭代初值，应用序列二次规划(SQP)优化算法，微调1个或多个参数，得到满足dmin(lL1，dis)=R+h的轨道.下面针对几种情况具体讨论转移轨道的数值搜索结果.2.1 Δv1机动方向与轨道速度方向相反的情况Δv1全部用于减小探测器动能，表1列出了所得到的3条转移轨道的相关轨道参数，其中ΔT为转移轨道的飞行时间.表1 反向机动的转移轨道参数?该类轨道与F.B.Zazzera基于Lambert弧拼接方法所得到的转移轨道类似，具有飞行时间较短的优点，对于地球到L1点的转移轨道，在实际任务中Δv2通常由运载火箭提供，而Δv1需由探测器本身提供，由于探测器本身携带的燃料有限，因此希望Δv1尽可能小，由表1看出，该类轨道Δv1较大，实现起来较困难.2.2 Δv1机动方向与轨道速度方向一致的情况该情况下，Δv1将使探测器动能增加，图1(a)显示了在(t=0，Δv1=180.4，α=0)时，dmin随机动时间Δt变化的曲线，可看出由于三体问题的非线性，轨道距地心的最近距离随机动时间剧烈变化，并且没有明显规律，取曲线上dmin等于停泊轨道半径的点p，其对应的转移轨道如图1(b)所示，表2总结了该类轨道的相关参数，该类轨道借助于增大的动能到达了月球附近，充分利用月球的引力作用使转移总能量消耗显著降低，另外该类轨道Δv1较小，但转移时间较长.图1 dmin的变化曲线及点p的径向机动转移轨道表2 径向机动的转移轨道参数?2.3 机动时间Δt较长的情况Δt较长也意味着总飞行时间较长，因此探测器有可能充分利用CR3BP轨道动力学特征，从而得到总能量消耗较小的转移轨道，表3总结了该类轨道的相关参数.从表中看出，该类轨道中确实有总Δv较小的情况，但也发现飞行时间较长并不总意味着能量消耗较小.表3 飞行时间较长的转移轨道参数?3 转移轨道机理分析第2节的参数空间数值搜索和优化方法并没有反映转移轨道内在的动力学原理，搜索过程具有相当的盲目性，并且由于三体问题的非线性和混沌效应，盲目地搜索并不总是能得到满足条件的优化轨道.通过对大量数值仿真结果的观察分析，发现虽然在CR3BP会合坐标系下探测器相对于原点的角动量不再守恒，但其取值依然存在一定的规律，并且是理解L1-地球转移轨道的关键.首先设探测器某时刻的状态向量为(x，y，，相对于坐标原点的角动量为h，探测器到原点的距离为d，则为了说明角动量变化的规律，选取3条Jacobi能量相同而初始角动量不同的轨道，求取轨道上每一点所对应的(d，h)值，并将其绘制在d-h平面，得到的d-h曲线如图2所示.图2 三条角动量不同的轨道对应的d－h曲线由轨道的d-h曲线图看出，同1轨道上每1点的角动量随离原点距离的增大而减小，并且d-h点均处于1个弧形区域内，随着轨道初始角动量的增大，d-h曲线所处的弧段逐渐缩短并向上移动，轨道所能达到的距地球最近的距离dmin变大.图3显示了3条初始角动量相同但Jacobi能量不同的轨道所对应的d-h曲线，可看出即使Jacobi能量不同，3条轨道的d-h曲线却基本重合，并具有相同的dmin值.根据此算例和大量数值仿真数据，可以得到以下的结论:1)轨道d-h曲线所处弧段与dmin值有对映关系，若要使轨道能够到达地球附近，其d-h曲线必须处在相应弧段内;2)轨道dmin值越小，则其d-h曲线所处弧段越低，对应的角动量越小;3)L1不稳定流形上的轨道普遍具有大角动量，其d-h曲线处于较高弧段，因此dmin值较大，无法到达地球附近.由以上分析可以看出，为使探测器由L1不稳定流形转移到地球附近，必须使d-h 曲线由高弧段转移到低弧段.显然，可行的方法是降低轨道角动量，一旦探测器处于低弧段内，它便能沿该弧段滑行到达地球附近.观察第2节采用优化算法所得到的各种转移轨道，可发现其轨道机动无一不是通过降低角动量来完成L1不稳定流形到地球停泊轨道的转移.图3 角动量相同而Jacobi能量不同的轨道对应的d－h点降低角动量得到转移轨道的原理，也可通过分析简化二体模型看出，由于L1-地球转移轨道本身的特点，在探测器飞向地球的轨道段可将月球引力视作一种小摄动，探测器仍近似遵循二体模型轨道动力学，为使探测器能到达地球附近，其轨道必须满足一定条件，设二体模型下探测器在惯性坐标系内的角动量为h，能量为C，则其中v为探测器速度向量，v⊥为v在垂直于探测器-地球连线方向上的分量，r为探测器位置向量，探测器在轨道近地点时有代入式(1)可解得其中|vperi|为探测器近地点速度，|rperi|为近地距.将|rperi|对|h|求导得于是，|rperi|为|h|的单调增函数，也就是说，在能量C不变的情况下，若要使轨道近地距等于地球停泊轨道半径，则角动量h的绝对值必须减小到一定程度，根据惯性坐标系到旋转坐标系的变换公式，旋转坐标系下的角动量也必需相应降低.4 基于转移机理的转移轨道设计根据降低角动量的方法不同，L1-地球转移轨道设计可归为如下2类:1)人工降低角动量.这种方法纯粹依靠变轨机动力来降低轨道角动量，对于大小相同的速度增量Δv1，其作用的位置距地球越远，且方向垂直于探测器-地球连线时，改变角动量的效果越明显，该类轨道的优点是总的转移时间较短，轨道稳定性较好，但相对下述第2类轨道总Δv增量稍大.2)借助月球引力降低角动量.数值仿真表明，当探测器飞越月球附近时，轨道角动量将受月球引力的影响而改变，例如图4(a)显示了t= 9.7、Δt=25.7，Δv1=100时，α在(0，2π)之间变化时得到的一族轨道，图4(b)显示了其中1条轨道s的d-h曲线，可以看出探测器飞离月球越近，月球引力对角动量的影响越显著，进一步分析发现探测器从图4(a)中A区域飞越月球时角动量将降低，从B区域飞越月球时角动量将增大.图4 月球引力对一族转移轨道的影响及其中1条轨道s的d－h曲线基于以上原理，可设计转移轨道使其尽可能多地穿越A区域，并且尽可能少地穿越B区域，从而使角动量下降到需要的水平，得到接近地球的转移轨道.该类轨道的优点是充分利用月球引力加速作用，总能量消耗较小，但由于该类轨道依赖于和月球精确的相对位置关系，微小的轨道误差便可能使探测器完全偏离预定轨道(如图1(a)所示)，因此对轨道测量和控制精度要求较高.以上2种方法并不相互排斥，因此可结合起来设计最优转移轨道，首先采用方法1)确定施加Δv1的位置和方向，然后采用方法2)结合优化算法得到Δv1的大小，最后计算得到Δv2.图5显示了结合2种方法设计的转移轨道以及对应的d-h曲线，轨道机动不但本身能降低角动量，而且使转移轨道2次穿越A区域，充分利用月球引力作用，该轨道具有能耗较小且稳定性较高的优点，但转移时间较长.图5 结合2种方法设计的转移轨道及其对应的d－h曲线，总Δv=3 136 m/s，Δ T=159 d5 结论本文介绍了基于扰动流形的L1-地球转移轨道设计方法，给出了各种经过数值优化的转移轨道，在总结数值仿真结果的基础上提出了采用轨道角动量分析轨道转移机理的方法，利用该方法可以克服数值优化方法在大范围参数空间搜索的盲目性，极大的降低计算量并提高轨道设计效率，能对轨道的转移机理进行定性的分析，类似地，该方法同样可以用来分析和设计地月低能转移轨道.本文是在平面模型下对设计方法进行论述的，但所介绍的方法也可扩展到三维模型下，这时轨道角动量是一空间矢量，设计方法应以减小该矢量模值为目标.参考文献:［1］KOON W S，LO M W，MARSDEN J E，et al.Dynamical systems，the three-body problem and space mission design［M］.New York:Springer-Verlag New York Inc，2007.［2］徐明.平动点轨道的动力学与控制研究综述［J］.宇航学报，2009，30(4):1299-1313.［3］BELBRUNO E A，MILLERr J K.Sun-perturbed earthto-moon transfers with ballistic capture［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics，1993，16(4): 770-775.［4］KOON W S，LO M W，MARSDEN J E，et al.Low energy transfer to the moon［J］.Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy，2001，81(1/2):63-73.［5］ZAZZERA F B，TOPPUTO F，MASSARI M.Assessment of mission design Including utilization of libration points and weak stability boundaries，final report，ESTEC contract No.18147/04/NL/MV［R］.Politecnico di Milano:ESTEC，2004.［6］BOOKLESS J，MCLNNES C.Control of lagrange point orbits using solar sail propulsion［J］.Acta Astronautica，2008，62:159-176.［7］ANDREU M A.The quasi-bicircular problem［D］.PhDthesis.Universitat de Barcelona，1999.［8］LI Mingtao，ZHENG Jianhua.The optimization of transfer trajectory for small amplitude halo orbits［J］.Measurement and Control，2008，41(3):81-84.［9］HOWELL K C，BECKMAN，PATTERSON C，et al. Representations of invariant manifolds for applications in three body systems［J］.Journal of the Astronautical Sciences，2006，54(1):69-93.［10］ANDERSON R L，LO M W，BORN G H.Application of local lyapunov exponents to maneuver design and navigation in the three-body problem ［C］//AAS/AIAA. Astrodynamics Specialist Conference Big Sky，AAS 03-569.Montana:Jet Propulsion Laboratory，2003:1-18.。

圆形限制性三体问题圆形限制性三体问题（Circular Restricted Three-Body Problem，简称CRTBP）是物理学家和天文学家研究系统动力学的一个重要实例，它描述了一个受两个大质量物体（太阳和月球）的引力影响，而另一个质量很小的物体（卫星）在其中轨道运动的系统。

CRTBP可以用来描述太阳-地球-月球系统，也可以用来描述任何其他两个大质量物体和一个质量很小的物体之间的关系。

CRTBP是一个复杂的非线性系统，它描述了三个物体之间的相互作用。

这个系统的特征是，它是一个非线性系统，即每个物体的行为可以有许多不同的解，而且这些解可能会影响其他两个物体的行为。

此外，由于物体之间的相互作用，系统的力学行为可能会发生混乱的变化，这种变化被称为“混沌”。

在CRTBP中，第一个物体被称为“主体”，第二个物体被称为“助力”，而第三个物体被称为“小物体”。

主体和助力可以是任何两个质量不同的物体，如太阳和月球，或是任何其他两个质量不同的物体，比如行星和小行星。

小物体的质量必须比主体和助力的质量都要小得多，因此它的运动受到主体和助力的合力影响。

圆形限制性三体问题最早是由法国天文学家和数学家J. L. Lagrange 在18th世纪提出的，但它直到20世纪中叶才得到了广泛的应用。

当时，CRTBP被用来模拟太阳-地球-月球系统，这样就可以更准确地预测月球的运动轨道。

后来，CRTBP被广泛应用于模拟行星、小行星和其他多体系统的运动。

CRTBP的数学模型非常复杂，它涉及到多个变量，因此它的解是非常困难的。

为了解决这个问题，物理学家和天文学家们必须使用各种数学工具，如微分方程、偏微分方程和矩阵方程，来求解CRTBP。

此外，由于CRTBP的复杂性，研究者们还必须使用计算机模拟，以确定三体系统的轨道运动。

CRTBP在现代物理学和天文学中仍然是一个重要的研究课题，它可以用来研究太阳系中的行星、小行星、卫星和其他多体系统的运动。

限制性三体问题中两类特殊轨道的应用研究圆型限制性三体问题描述不计质量的第三体在两个相互绕圆轨道运行的大天体引力作用下的运动。

由于其具有一个运动积分和五个平动解,相空间结构相对简单,广泛的应用在天文学的各个领域,是天体力学中最为重要的模型之一。

本文分为两部分,分别从应用的角度研究了圆型限制性问题两类特殊轨道：发生Kozai效应的轨道和弹道捕获的轨道。

第一部分中,我们主要研究气体盘的引力和阻力对圆型限制性三体问题中得到的经典的Kozai效应的影响。

第二部分中,我们在圆型限制性三体问题框架下,研究了月球附近发生弹道捕获的区域-弱稳定边界的结构和性质。

如果第三体绕某个大天体运动,且其轨道平面和两个大天体平面存在比较大的倾角,则其偏心率将被周期性激发到很大的值,这种效应即为Kozai效应。

本文以大倾角双星系统中星子碰撞生长过程为背景,研究了气体盘的引力和阻力对Kozai效应的影响。

通过理论分析和数值模拟的方法,我们发现盘的引力一方面可以抑制系统内部区域的Kozai效应,而另一方面可以对Kozai效应起到增强的作用：倾角很小的系统中某些位置Kozai效应也可以发生,并且发生Kozai 效应星子的最大偏心偏心率可以激发大很高的值(-1)。

气体盘的阻力的最大作用是使发生Kozai效应的星子迅速内迁并堆积在系统内部,有利于行星形成。

另外本文在平面圆型限制性三体问题框架下研究了航天器被月球弹道捕获的轨道。

可以发生弹道捕获的区域可以用弱稳定的边界(Weak Stability Boundary, WSB)来描述。

我们发现弱稳定边界主要有五种类型,即：(1)和流形相关的边界,(2)和碰撞奇点相关的边界,(3)和l(θ)相切的轨道对应的边界,(4)零开普勒能量的轨道对应的边界。

(5)与“伪稳定轨道”相关的边界。

我们给出五种不同类型边界的分布特征。

其中弱稳定边界中心近圆形稳定结构的边界大多为和流形相关的边界,通过数值方法,我们发现月球附近稳定流形上的轨道的第一个近月点为弱稳定边界中心近圆形稳定结构的上界。

三体问题在行星轨道运动中的应用研究三体问题是指在重力场中，三个相互作用的天体之间的运动问题。

在天文学中，研究三体问题对于理解行星轨道运动和宇宙演化具有重要意义。

本文将探讨三体问题在行星轨道运动中的应用研究。

行星轨道运动是天文学研究的热点之一。

在行星系中，行星的质量和运动速度不断变化，这个复杂的动态过程涉及到多个天体间的相互作用。

传统的行星运动模型往往假设行星与恒星的相互作用是简单的二体问题，但实际上，存在其他行星的干扰，众多天体运动的相互影响形成一个以恒星为中心的多体系统。

在实际观测中，行星系统的轨道参数常常很难准确测量，然而，根据三体问题的理论分析，我们可以通过观测天体的轨迹和与其他天体的相互作用来确定系统的动力学特征。

通过数值模拟等方法，可以研究行星之间的相互引力、近点和远点运动等现象。

三体问题的研究较早可以追溯到牛顿时代，当时人们尝试着理解行星系的运动规律。

然而，由于三体问题的复杂性，长期以来该领域的研究进展缓慢，直到20世纪才有了重大突破。

莱普尼兹通过数学方法提出了著名的“闵可夫斯基和”定理，证明了在某些特殊情况下三体问题的运动是完全可积的，即存在可积动量，轨迹可以通过一组加性与代数与可穿的函数来表示。

这一定理为后来的研究提供了重要的理论依据和方法。

目前，“敏感依赖于初始条件”的混沌现象在三体问题的研究中成为了一个重要的分支。

混沌现象指的是微小初始条件的变化会显著地导致系统长期演化产生不可预测的结果。

三体问题的混沌性质使得天体运动变得复杂而多变，无法简单地通过理论模型来描述其长期演化。

因此，对于行星轨道的数值模拟成为了研究三体问题的一种主要方法。

通过数值模拟，我们可以模拟行星系统在不同的初始条件下的演化过程，探究系统的本质以及关键参数对于轨道稳定性的影响。

研究表明，在某些初始条件下，行星系统可以呈现出一种稳定的共振结构，而在其他条件下则可能会发生“拍动”现象，即两个行星之间的距离产生周期性变化。

限制性三体问题中摄动运动方程的坐标系选择沈欣和;王文磊;许雪晴;周永宏;廖新浩【摘要】针对限制性三体问题,分别选取以中心天体和摄动体质心为坐标原点的惯性系,及以中心天体为坐标原点的非惯性系,讨论了不同坐标系下天体运动轨道描述的异同.利用运动天体轨道能量E的大小,可以确定受摄运动方程采用椭圆轨道根数还是采用双曲线轨道根数进行描述.为此,推导出一个关于轨道半长径和偏心率满足的临界关系判别式.结果表明,在摄动天体质量较大的情况下,非惯性系中存在大量轨道,这些轨道在原惯性坐标系中是稳定的椭圆轨道,转换到非惯性系中后却无法用椭圆轨道根数进行描述.只能引入双曲线轨道根数来描述轨道,由此将产生非惯性系下摄动运动方程轨道根数类型选择问题.最后,指出选择雅可比坐标系可以避免上述问题,并推导出适用于任意运动区域的具有统一形式的摄动函数展开式.【期刊名称】《天文学进展》【年(卷),期】2018(036)004【总页数】10页(P405-414)【关键词】限制性三体问题;椭圆运动;雅可比坐标系;摄动运动方程【作者】沈欣和;王文磊;许雪晴;周永宏;廖新浩【作者单位】中国科学院大学,北京100049;中国科学院行星科学重点实验室,南京210008;中国科学院上海天文台,上海200030;中国科学院大学,北京100049;中国科学院行星科学重点实验室,南京210008;中国科学院上海天文台,上海200030;中国科学院行星科学重点实验室,南京210008;中国科学院上海天文台,上海200030;中国科学院大学,北京100049;中国科学院行星科学重点实验室,南京210008;中国科学院上海天文台,上海200030;中国科学院行星科学重点实验室,南京210008;中国科学院上海天文台,上海200030【正文语种】中文【中图分类】P1331 引言对自然界中一切运动的描述，都必须在某一特定的参考空间中进行，如果选用的参考系不同，对同一运动的描述也会不同。

图３．３系统以恒定的扭矩作用在外行星上时，系统演化的三体模拟结果，在大约ｓ０００年时两行星进入５：ｌ共振俘获。

因为初始时扭矩仅仅作用在外行星上，所以此时主要是外行星向内迁移，外行星大致迁移Ｏ．１ＡＵ时，系统开始通约（５：１），根据外行星的迁移速率，这需要《ｌＯ‘妙。

而我们的实际计算与此结果是一致的，系统在《０．８×１０４妙时进入５：１共振俘获，俘获前后行星的迁移速率是不同的，将外行星的半长径进入共振前后的演化进行线性拟合可得，俘获前，外行星的迁移速率为ａｃ１．４×１０４一卅∥，而俘获后的迁移速率仅仅有＊２×１０一６彳【，／∥。

该共振的阶数较高，我们想了解一下其稳定性，为此，我们画出它的共振幅角（图３．４）。

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图３．４系统的５：ｌ共振幅角，可知，系统从８０００年时开始平动，一直持续到运算截止时间３００００年时。

可以看出该轨道是稳定的共振轨道，至少在几万年的时间尺度上看都是稳定的。

尽管比较的稳定，从轨道的运动幅角可以看出，它不是一个规则的共振轨道，幅角的值几乎充满了区间［０，２厅Ｉ，所以，下面我们倾向于找到一条比较规则的共振轨道。

为此，对于非保守系统我们扫描与前面不同的根数，令内外行星都从近点开始计时，内外行星的半长径和偏心率都采用真实值，而令内外行星的相位差恒定，我们找到了一条５：２的共振轨道，它是一条规则的共振，系统迁移到５：２共振俘获前所走的距离较大，所以，用的时间也比较的长，在瞳１．８×１０４沙时系统才进入共振。

系统的动力学演化见图３．５：
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地月低能轨道转移的混沌控制方法郑越;泮斌峰;唐硕【摘要】针对航天器在混沌区域的滑行时间过长,提出一种低能地月轨道转移的混沌控制方法.首先通过地月圆形限制性三体问题(CRTBP)的庞加莱截面图,将混沌区域进行分层并分析其规律,再利用混沌轨道对初始状态高度敏感的特性,在尽可能减少运送时间的前提下实现地月低能轨道转移.该方法的优点是利用混沌区域的固有规律,不需要依靠周期轨道特性.仿真结果表明,本文提出方法仅需施加2～4次脉冲,明显缩短混沌区域的滑行时间,从而实现地月低能转移.【期刊名称】《宇航学报》【年(卷),期】2018(039)007【总页数】9页(P751-759)【关键词】庞加莱截面;混沌;混沌控制;圆形限制性三体问题;轨道转移【作者】郑越;泮斌峰;唐硕【作者单位】西北工业大学航天学院,西安710072;陕西省空天飞行器设计重点实验室,西安710072;西北工业大学航天学院,西安710072;陕西省空天飞行器设计重点实验室,西安710072;西北工业大学航天学院,西安710072;陕西省空天飞行器设计重点实验室,西安710072【正文语种】中文【中图分类】V412.410 引言三体模型下航天器轨道常常呈现混沌运动状态。

利用混沌的遍历特性，能够使航天器在不耗能的情况下飞行到想要的合理位置。

但由于混沌运动本身具有内在随机性和长期趋势不可预见性，导致航天器在混沌区域的滑行时间过长。

因此，在利用三体模型下混沌运动低能量特性的同时，如何有效减少轨道转移时间是实现大规模、低成本探月活动的迫切需求，对探月工程的发展具有非常重要的意义。

目前采用混沌控制理论设计轨道的研究尚处于起步阶段。

1995年，Bollt等[1]基于庞加莱截面对流形进行多次截断来实现地月低能转移，有效地减少航天器在混沌区域的滑行时间，转移过程中施加了8次脉冲。

随后，Schroer等[2]通过对一组不稳定周期轨道进行打靶，利用比Bollt的方法略高的能量缩短了地月转移时间，转移过程中需要至少4次脉冲。

圆型限制性三体问题下Halo-绕月轨道的星间测距定轨杜兰;张中凯;于亮;陈世杰【期刊名称】《测绘学报》【年(卷),期】2013(042)002【摘要】在传统星座自主定轨中,SST(satellite to satellite tracking)可以同时提供轨道的大小、形状和星座相对方位信息,但不能确定星座的绝对定向.针对这一亏秩问题,联合圆型限制性三体模型CRTBP(circle restricted three body problem)下的一种平动点周期轨道-Halo轨道飞行器,与二体问题轨道卫星组成扩展星座.利用两种力模型的特性差异,可以去除星座系统上的相关性,避免星座的整体旋转,从而确定星座的全部轨道状态参量.分析Halo轨道的力模型及性态特点,从系数矩阵的相关性角度讨论引进Halo轨道对定轨法矩阵正定性的改善作用,利用地月系L1平动点附近的Halo轨道与月球低轨卫星(LMO)的星间链路,在理想CRTBP框架下进行自主定轨仿真.初步验证了LMO-Halo星座定轨可行性,为开展附加平动点轨道的星座SST定轨提供了参考依据.【总页数】7页(P184-190)【作者】杜兰;张中凯;于亮;陈世杰【作者单位】信息工程大学导航与空天目标工程学院,河南郑州450052;中国科学院上海天文台,上海200030;信息工程大学导航与空天目标工程学院,河南郑州450052;61363部队,陕西西安710054;信息工程大学导航与空天目标工程学院,河南郑州450052【正文语种】中文【中图分类】P207【相关文献】1.椭圆限制性三体问题模型下平动点拟周期轨道卫星的自主定轨分析 [J], 熊欢欢;高有涛;2.椭圆限制性三体问题模型下平动点拟周期轨道卫星的自主定轨分析 [J], 熊欢欢;高有涛3.圆型限制性三体问题中转移轨道类型的数值研究 [J], 黄宇;林帆;沈怡晴;王瑞芳;高发宝;;;;;4.含辐射和扁率的圆型限制性三体问题的\r轨道稳定性研究 [J], 石绍伍;马大柱5.基于星间测距/轨道定向参数约束的导航卫星自主定轨研究 [J], 陈金平;焦文海;马骏;宋小勇因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。