圆型限制性三体问题平动点的稳定性

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拉格朗日点和平面圆三体问题[转]

拉格朗⽇点和平⾯圆三体问题[转]拉格朗⽇点和平⾯圆三体问题[转]中⽂名称：拉格朗⽇点英⽂名称：Lagrangian point定义：圆型限制性三体问题中存在的五个秤动点的总称。

包括两个等边三⾓形点和三个共线点。

拉格朗⽇点指受两⼤物体引⼒作⽤下,能使⼩物体稳定的点.⼀个⼩物体在两个⼤物体的引⼒作⽤下在空间中的⼀点，在该点处，⼩物体相对于两⼤物体基本保持静⽌。

这些点的存在由法国数学家拉格朗⽇于1772年推导证明的。

1906年⾸次发现运动于⽊星轨道上的⼩⾏星（见脱罗央群⼩⾏星）在⽊星和太阳的作⽤下处于拉格朗⽇点上。

在每个由两⼤天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗⽇点，但只有两个是稳定的，即⼩物体在该点处即使受外界引⼒的摄扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。

每个稳定点同两⼤物体所在的点构成⼀个等边三⾓.，1767年数学家欧拉Leonhard Euler (1707-1783)根据旋转的⼆体引⼒场推算出其中三个点（特解）L1、L2、L3，1772年数学家拉格朗⽇Joseph Lagrange(1736-1813) 推算出另外两个点（特解）L4、L5；但后来习惯上将这五个点都称为“拉格朗⽇Lagrange”或“拉格朗⽇点Lagrangian points”；有时也称为“平动点libration points”。

发现18世纪法国数学家、⼒学家和天⽂学家拉格朗⽇（拉格朗治）在1772年发表的论⽂“三体问题”中，为了求得三体问题的通解，他⽤了⼀个⾮常特殊的例⼦作为问题的结果，即：如果某⼀时刻，三个运动物体恰恰处于等边三⾓形的三个顶点，那么给定初速度，它们将始终保持等边三⾓形队形运动。

A.D1906年，天⽂学家发现了第588号⼩⾏星和太阳正好等距离，它同⽊星⼏乎在同⼀轨道上超前60°运动，它们⼀起构成运动着的等边三⾓形。

同年发现的第617号⼩⾏星也在⽊星轨道上落后60°左右，构成第2个拉格朗⽇（拉格朗治）正三⾓形。

第七章限制性三体问题

系统的质心又因为得到
π2月球质量与地月质量的比值0.01215
第5页/共27页
1.2 限制性三体问题的动力学方程
在BBR坐标系中
dr dr ωr dt I dt R
w=n=sqrt(u/a^3)
u=G(m1+m2) a=r12(即地月距离)
d 2r dt 2
I
d 2r dt 2
R
2ω dr dt
当
发现了三个平衡点，分别命名为：拉格朗日L1，L2，L3点。
第11页/共27页
1.3 拉格朗日解
地月系统：拉格朗日L1，L2，L3点(π2=0.01214)
第12页/共27页
1.3 拉格朗日解
地月系统5个拉格朗日点（以地球为坐标原点）
第13页/共27页
3/2
1.3 本节作业
作业：计算地月系统5个拉格朗日点（地球为中心）
y2)
1
d dt
1 r1
2
d dt
1 r2
第17页/共27页
2.1 雅可比积分
1 2
dv2 dt
1 2
2
d dt
(x2
y2)
1
d dt
1 r1
2
d dt
1 r2
d dt
1
2
v2
1 2
2 (x2
y2)
1
1 r1
2
1 r2
0
动能
旋转势能
势能
机械能
1 v2 2
1 2(x2
2
y2 ) 1
1 r1
思考题：拉格朗日存在的力学原理？
d 2r dt 2
R
2ω
dr dt

关于一些特殊的限制性三体问题的讨论

关于一些特殊的限制性三体问题的讨论一般来说,三体问题是不可积的,因此我们需要做一些近似。

其中很重要的一类就是限制性三体问题,这也是很多实际问题的很好的近似模型,例如,研究卫星的轨道演化的时候,不妨引入太阳+行星+无质量的测试粒子的模型,亦如研究太阳系主带小行星或者柯伊伯带天体的时候,也可以简化成太阳+木星或者海王星+无质量的测试粒子的模型；这些都是真实情况的很好近似。

特别的,我们所感兴趣的是等级式的系统(系统可以分成内部轨道和外部轨道因而保证了系统的稳定性),大体来说,限制性等级式三体问题可以分成外限制(测试粒子在外部轨道)和内限制(测试粒子在内部轨道)两种,我们在第一章和第二章中分别做讨论。

在对外限制问题的讨论中,我们利用展开了的摄动函数,得到最低阶的一个可积的系统,由此得出,这时候测试粒子的升交点经度可能会平动,并且此时伴有较高的倾角；更一般的,我们介绍了这个系统的演化特性。

而后我们引入高阶影响,特别关注了此时的偏心率的演化。

在近共面的情况下,我们得到此时的偏心率激发和共面情况没有(明显)差别的结论；在近极轨的条件下,我们发现,此时偏心率的激发可能会依赖初始的倾角的不同而分为两种情况,这是因为这两种不同的激发在相图中属于不同的平动区的缘故；并且,当轨道属于高激发区域时,偏心率可以从近零激发到0.3,这会极大的影响这种轨道的轨道稳定性,事实上,我们利用这种偏心率激发机制可以很好的限制环高偏心率双星的高倾角轨道的稳定性。

在对内限制问题的研究中,我们关注的重点是外部天体的平运动与内部测试粒子的进动频率相当的时候所引起的近共振的影响。

在共面的假设下,我们推导了含有偏心率的哈密顿量,并利用此时发生倍周期分叉临界点可以得出关于稳定性边界的限制。

我们也推导了高阶的描述倾斜轨道的演化的哈密顿量。

限制性三体问题共线平动点相流结构研究

ｇｉｅｍ。ｍａｌｏ．
通信作者简介：言俊（９３），，士，授，士生导师，李１４一男博教博研
究方向：航、导与控制。导制
２７２２
科
学
技
术
与
工
程
１卷１
点垂直于，的超平面，对任意充分接近的则
⑥
பைடு நூலகம்
２１ＳｉｅｈＥｇｇ０ｃＴｃ．ｎｎ．１．
限制性三体问题共线平动点相流结构研究
张汉清李言俊张科孙小炜
（西北工业大学航天学院，西安７０７西安应用光学研究所西安７０６）１０２；，１０５
区域相流的扭转特性，后为了克服流形管道破裂然
的问题，设计了一种打靶方法，算并分析了相流计长期演化的转移特性。
空间物资运输方便，非常适于进一步的深空探且
测，是建立太空基地和星际航行港的最佳选择。Ｃｎｅｌ于１６ｏｌ】ｙ９８年研究了平动点附近的相流结构，为平动点轨道的不变流形将分离转移与非认转移轨道，而转移轨道即可用来构造地月之间的低能飞行轨道。同时，ｃｅｅ也研究了平动点附ＭＧｈｅ
１７０。
，
将所得截面曲线绘制于同一幅图中，２显图

受摄圆型限制性三体问题平动点渐近稳定性法则及应用

收稿日期：００—０２１５—１。２
基金项目：西省白然科学基金资助项目（５１２）江西省教育厅科技项Ｆ（Ｊ８７）江０１０５；１ＧＪ３７。０作者简介：云辉（９７一）男，师，士。易１７，讲硕
一
）～）＋＝０（）。Ｙ＋（（）２）＋（）＝０㈩（ｎ＋）
：：。
，
（
）＋（。
２：
＋
这里（
）＝（Ｆ）Ｉ。Ｆ， …
＝
一
０（，方程（）（）式得（Ｙ，）解２、３，）即可得受摄动
第３５卷第１期２１年２月０１
南昌大学学报（科版）理ＪｕｎｌｆａｅａｇＵｉｒｉ（ａｕａＳｉｃ）ｏｒａｏＮｎｈｎｎｖｓｙＮｔｒｌｃｎｅｅｔｅ
Ｖ０．５Ｎｏ１３．１Ｆｅ２ｂ．０１１
摘
要：用著名的霍尔维茨（ｕｗｔ）理，到ｒ受摄圆型限制性三体问题平动点稳定的一个判别条件，应用利Ｈｒｉ定ｓ得并
它讨论了与速度有关的外力摄动对圆型限制性三体问题三角平动点稳定性影响，进了文Ｉ的主要结论。改２中
Ｙ
十二＝＋，２Ｆ
（）１
后的平动点（，），。一易知系统（）的平动点（，）特征方程为１Ｙ

中学物理解答限制性三体问题的讨论

中学物理解答限制性三体问题的讨论
限制性三体问题是物理学中比较有挑战的问题，也是一个不知道结论的
难题。

它涉及三个物体的相互作用，物体之间没有外力耦合且物体之间受到
引力，而且这个问题存在着对称性，没有解决办法，具体到这三个物体之间
受到指定引力作用，讨论其形成的结果。

回归到实际，我们可以考虑三个相同质量的星球，它们受到其他星球的
引力作用，这样也就形成一个方阵的形状。

这里的关键是物体之间的力矩，
三个物体的力矩之和必须为零，才能确保物体不会发生运动。

这显然意味着
物体之间的距离也是有限的，即使受到的力越来越大，它们还是会保持一个
固定的形状，也就是不断发生变形但总体不会偏离一个特定的位置。

三体问题实际上只有无穷多种解，这也是这个问题非常复杂的原因，一
不小心就会让物体进入到一个不稳定的状态，而这个状态的变形甚至会导致
物体之间的碰撞。

总体而言，解决带有限制性的三体问题是非常困难的任务，需要很高的数学计算能力，同时要利用力学中约束着运动物体的有限条件来
求解，以使三个物体能够不断稳定地发生变形，以便能够以一种较好的状态
来构成我们所想要的效果。

限制性三体问题及应用

方程表明m2相对m1的运动是以m1为焦点的开普勒运动，而m1和m2相对质心O的运动也分别是以O为焦点的开普勒运动。
以O为原点建立动坐标系，令x轴沿m1至m2的连线，z轴沿轨道平面法线， m1，m2在x轴上的坐标分别为a1和-a2（如图）。此坐标系随同m1,m2的圆轨道运动而绕z轴旋转。角速度:
依据此前的假设，只讨论质点m在(m1,m2)的轨道平面xoy内运动的简单情形。分别以ρ,ρ1, ρ2表示自点O, m1, m2指向点m的矢径。由叠加原理，m在m1,m2 的势场下，势函数表述为：
式中,
m受到的万有引力可表述为：
其动力学方程为：
以相对坐标系的相对倒数表述，得到动力学方程的标量形式： ρ 将
a
L1, L2, L3是由数学家欧拉推算出来的， L4, L5是由拉格朗日推算出来得。但后来习惯上将这五个点都称为拉格朗日点。从Hill曲线上可以看出， L1, L2, L3是不稳定平衡点，而L4, L5是稳定的平衡点。
拉格朗日平衡点的证实
拉格朗日点的求解多少显得有点象数学游戏。但是，后来的发现却证实了拉格朗日点的存在，并且发现这些点都具有非常重要的意义。
2 y 2 为质点m在坐标系内的令 v x
相对速度，能量积分为： v 2
V* E 2 m
V*为质点由m1和m2的引力场及动坐标系的离心力场组成的相对势能: V * V
V 2 x 2 y x c c x V 2c x c2 y y y
1906年，德国天文学家马克思· 沃尔夫发现了一颗奇异的小行星。它的轨道与木星相同，而不在通常所说火星轨道与木星轨道之间的小行星带里。最奇妙的是，它的绕日运动周期与木星相同。从太阳看去，它总是在木星之前60°运转，不会与木星贴近。天文学家沙利叶敏锐地意识到它可能位于拉格朗日所求解的特解点上。果然，天文学家很快就在木星之后60°的位置上，也发现了小行星。迄今为止，在木星前后这两个拉格朗日点上，已找到700颗小行星。这就是著名的特洛伊群和希腊群小行星。事实上，在任何双星系统、行星和太阳、卫星和行星的轨道面上，都存在5个拉格朗日点。其中L1, L2, L3不稳定，而L4, L5是稳定的。后来人们陆续发现，土卫三的L4和L5点有两个小卫星，分别是土卫十三和土卫十四；土卫四在L4点有一个卫星土卫十二。更多的发现无可争议地证实了拉格朗日点的存在。

圆形中动点问题的解题策略：

圆形中动点问题的解题策略：圆形中动点问题的解题策略
圆形中动点问题是一类在几何学中常见的问题，涵盖了动点在圆形表面的位置、路径、速度和加速度等相关计算和性质。

解决这类问题可以采用以下简单策略：
1. 确定圆的性质
首先，确定给定圆的半径和中心坐标。

这些参数将是解题的基础，用来计算动点相对于圆的位置。

2. 确定动点的位置
确定动点在圆上的位置。

可以使用动点在圆上的弧长或角度来描述其位置。

3. 计算动点的速度
根据题目所给的信息，计算动点在圆上的速度。

可以使用速度公式来计算动点的线速度。

4. 计算动点的加速度
如果题目要求，计算动点在圆上的加速度。

可以使用加速度公
式来计算动点的向心加速度和切向加速度。

5. 分析动点的运动轨迹
根据动点的速度和加速度，可以分析动点的运动轨迹。

根据速
度的方向和大小，以及加速度的方向和大小，可以确定动点在圆上
的运动性质。

6. 结论
总结分析结果，得出关于动点在圆上运动的结论。

以上是解决圆形中动点问题的一般策略，根据具体题目的要求，可能需要适当调整和扩展这些策略。

通过掌握这些基本策略，可以
更有效地解决圆形中动点问题。

圆形限制性三体问题

圆形限制性三体问题圆形限制性三体问题（Circular Restricted Three-Body Problem，简称CRTBP）是物理学家和天文学家研究系统动力学的一个重要实例，它描述了一个受两个大质量物体（太阳和月球）的引力影响，而另一个质量很小的物体（卫星）在其中轨道运动的系统。

CRTBP可以用来描述太阳-地球-月球系统，也可以用来描述任何其他两个大质量物体和一个质量很小的物体之间的关系。

CRTBP是一个复杂的非线性系统，它描述了三个物体之间的相互作用。

这个系统的特征是，它是一个非线性系统，即每个物体的行为可以有许多不同的解，而且这些解可能会影响其他两个物体的行为。

此外，由于物体之间的相互作用，系统的力学行为可能会发生混乱的变化，这种变化被称为“混沌”。

在CRTBP中，第一个物体被称为“主体”，第二个物体被称为“助力”，而第三个物体被称为“小物体”。

主体和助力可以是任何两个质量不同的物体，如太阳和月球，或是任何其他两个质量不同的物体，比如行星和小行星。

小物体的质量必须比主体和助力的质量都要小得多，因此它的运动受到主体和助力的合力影响。

圆形限制性三体问题最早是由法国天文学家和数学家J. L. Lagrange 在18th世纪提出的，但它直到20世纪中叶才得到了广泛的应用。

当时，CRTBP被用来模拟太阳-地球-月球系统，这样就可以更准确地预测月球的运动轨道。

后来，CRTBP被广泛应用于模拟行星、小行星和其他多体系统的运动。

CRTBP的数学模型非常复杂，它涉及到多个变量，因此它的解是非常困难的。

为了解决这个问题，物理学家和天文学家们必须使用各种数学工具，如微分方程、偏微分方程和矩阵方程，来求解CRTBP。

此外，由于CRTBP的复杂性，研究者们还必须使用计算机模拟，以确定三体系统的轨道运动。

CRTBP在现代物理学和天文学中仍然是一个重要的研究课题，它可以用来研究太阳系中的行星、小行星、卫星和其他多体系统的运动。

三体系培训内容

三体系培训内容概述：三体系是指由三个物体组成的力学系统，其中每个物体都对其他两个物体施加引力。

三体系是力学中的经典问题，具有复杂的动力学性质和丰富的现象。

一、三体问题的历史背景三体问题最早可以追溯到17世纪，由牛顿在其《自然哲学的数学原理》中提出。

牛顿通过分析地月系统中的引力相互作用，形成了对三体问题的基本理论框架。

随后，拉普拉斯和勒让德等科学家对三体问题进行了深入研究，提出了一系列重要的数学方法和解析解。

二、三体问题的分类根据三体系统的性质和约束条件的不同，三体问题可以分为多种类型。

常见的三体问题包括限制性三体问题、非限制性三体问题、相对论三体问题等。

1. 限制性三体问题限制性三体问题是指其中一个物体的质量可以忽略不计，另外两个物体的质量相对较大。

在这种情况下，可以将问题简化为二体问题和一个质点之间的相互作用。

著名的限制性三体问题有地月系统和太阳系中的某些小行星。

2. 非限制性三体问题非限制性三体问题是指所有物体的质量都不能忽略不计，它们之间的相互作用都需要考虑。

非限制性三体问题的求解更为复杂，通常需要借助数值模拟等方法。

这类问题在天体力学和宇宙学中具有重要的应用。

3. 相对论三体问题相对论三体问题是指在相对论框架下考虑引力相互作用的三体系统。

由于相对论效应的存在，物体的质量和速度会发生变化，从而影响系统的运动和结构。

相对论三体问题是理论物理和天体物理学中的前沿课题。

三、三体问题的动力学行为三体问题的动力学行为极其丰富多样，其中最著名的现象是混沌现象。

混沌现象是指系统对初始条件的微小变化极其敏感，导致系统的演化变得不可预测。

混沌现象在三体问题中经常出现，给问题的求解和研究带来了巨大的挑战。

三体问题还涉及到稳定性分析、周期解的存在性、能量守恒等重要问题。

通过对系统的数值模拟和分析，科学家们不断揭示三体问题的奥秘，为力学和天体物理学的发展做出了重要贡献。

四、三体问题的应用与研究方向三体问题不仅在理论物理学中具有重要地位，还广泛应用于天体力学、人造卫星轨道设计、行星运动预测等领域。

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x& v x ,
v&x
2vy
x
,
y& v y ,
v&y
2vx
y
,
z& v z ,
v&z
z
.
令方程组的右端全部为零则可解得平动点.
3.5.1 变分方程与线性稳定性
假定 m 稍微偏离一点平动点的位置 x0, y0, z0 T 到新的位置 x, y, z T ,其中：
Y& BAB -1Y
若存在向量 x和数量使 Ax x 则 x为矩阵A的特征向量而为相应的特征根
其中的 Bi 是矩阵 A 的第 i 个特征向量,并且这样的构造使得对角矩阵 Λ 中的第i个对角元素是矩阵 A 的第i个特征根.
根据前述对角系数矩阵常微分方程解的情况,Y&= BAB-1Y ΛY 的解是:
xy
0
=
2 xy
0
xz
0
yz
0,
0
zz 0
1
r13
r23
0
令
A
zz
0
0,可将
z 方向的运动分离出来：
Z&& A Z
Z0cost, 2A
这是一个简谐振动的方程,所以在 z 方向的运动是稳定的.
3.5.1 变分方程与线性稳定性
在上述方程中将z自由度分离,只考虑关于X,YT的方程：
X&
Y&
VV& &YX
0
0
xx0
yx 0
0 0
xy 0 yy 0
1 0 0
2
1002VVYXYX
.
各变量之间有耦合关系
例如VX VX X,Y,VY
平动点是否稳定,可以从X,Y,Z随时间的变化情况反映.Z是稳定的,而X,Y
的动力学演化情况则由上述常微分方程决定.
一般地,一个关于向量XX1,X2,L,XnT的常微分方程可写成如下形式:
Y&= BAB-1Y
X = B -1Y , X&= B -1Y&
并且其中的系数矩阵 Λ=BAB-1 是一个对角矩阵 :
B -1Y& AB -1Y
1 0 L 0
Λ =B A B -1
0
2
L
0
.
M M O M
0 0 L n
一般地,这样的变换矩阵 B 可以这样构造:
B = B1, B2,L , Bn ,
X &=AX.
A是nn矩阵
方程的解的情况由系数矩阵A决定.特别地,如果矩阵A是一个对角矩阵,该
方程的各个变量之间没有耦合关系,那么这个方程就可以解出来：
Adiag1,2,L,n X&i iXi Xi cieit i1,2,L,n
3.5.1 变分方程与线性稳定性
实际上,可以构造一个变换矩阵 B 使得 Y BX 从而将 X&= AX 变成
xy 0
0
2 .
yx 0 yy 0 2 0
特征根由下述方程给出
01
0
0
d e t
xx
0
xy 0
0
1
2 0
yx 0 yy 0 2
即
Axx AEx0 detAE 0为特征方程
由特征方程可以解出特征根
4
4
r15 0
x0 r25
0
1
y0
,
x x 0
1
A
3
1
x0
r15 0
2
x0
12
r25 0
,
yy
0
1
A
3
1
r15 0
r25
0
y
2 0
.
ห้องสมุดไป่ตู้
其中
A
zz
0
1 r13
0
r
3 2
0
3.5.2 共线平动点线性稳定性
对共线平动点 ,有 y0 0,则
0 0 0
xx
0
V&Y V&Z
yx
0
zx 0
0 0 0
xy 0 yy 0 zy 0
0 0 0
xz 0
yz 0
zz 0
1 0 0 0
2
0
0 1 0 2
0
0
0 0 1
X Y Z
0
V
X
0 0
V V
Y Z
在平动点有 z 0, 显然地：
xy
0,
0
xx
0
1
2A,
特征根方程:
yy
1 A.
0
4 2 A 2 1 2A 1 A 0.
令 2 B 2 A, C 2 1 2A 1 A 0,方程成为 :
d 2 z 0 Z
dt2
z
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z
而上述方程组的右端可以在 x0, y0, z0 T 附近作展开 ,比如：
x
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z
0 表示求导在 x 0 ,y 0 ,z 0 T 处进行
x
0
X
x
x
0
Y
y
x
0
Z
z
x
0
高
阶
项
3.5.1 变分方程与线性稳定性
在上述方程中略去高阶项 ,考虑到平动点的性质 ,最终可以将关于 X ,Y , Z T
的方程写成一阶形式：
X&
Y&
Z&
V&X
xx
0
yy 0
2
2
xx 0
yy
0
xy 0
0.
这个方程的根是容易求出的.
这是关于 2 的二次方程
3.5.1 变分方程与线性稳定性
为讨论平动点的稳定性 ,首先计算系数矩阵中的元素 :
xy
0
3
1
x0
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z .
X,Y,Z是小量
代入运动方程：
d 2 x0 X
dt2
d 2
y0 Y dt
x
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z
d 2 y 0 Y
dt2
d 2
x0 X
dt
y
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z
Yi cieit
可见 X & = A X 解 ( 由 X = B - 1 Y 给出 ) 的稳定性情况由系数矩阵 A 的特征根决定 .
3.5.1 变分方程与线性稳定性
考虑平动点的稳定性 ,系数矩阵为 :
0
0 1 0
0
0
0
1
A
x x 0
天体力学基础
第三章
限制性三体问题
3.5 平动点的线性稳定性
圆型限制性三体问题中 m的运动方程为：
&x&
2
y&
x
1 n 2 x 2 y 2 1 ,
2
r1 r2
&y&
2 x&
y
其中
r12 x y 2 z 2 ,
&z&
z
r
2 2
x
1
y2
z2.
该运动方程可以改写成一阶方程组的形式：