拉格朗日点和平面圆三体问题[转]

摘要：详细分析并得出了限制性三体问题中的力学模型，并绘制了势能分布图。

提出了一种迭代计算拉格朗日点附近物体运动轨迹的方法。

结合得到的势能分布图，对每个拉格朗日点的特性进行了详细的描述。

关键词：拉格朗日点限制性三体问题力学特性限制性三体问题和拉格朗日点的研究文/仲泽昂在宇宙中，三体问题是一种广泛存在的相互作用系统。

早在十八世纪就由牛顿、拉格朗日等人开始了对它的研究。

而在很多情况下，例如考虑发射人造卫星，计算质量较小的卫星（如木星周围的特洛伊群小行星带）的轨迹时，就可以假定其中一个质点的质量相对于另两个可忽略不计，即以限制性三体问题为模型进行简化。

而拉格朗日点是限制性三体问题的解。

其解共有五个，前三个由欧拉算出，后两个由拉格朗日算出。

其中有两个是稳定的解，即在受外力后有回到原来的相对位置的趋势。

在这五个点上的质点将总是相对于另两个静止，这作为一特性已被广泛应用在天文学、航空航天等领域。

以日地系统为例，L1 点位于地球和太阳中间，适合停留空间太阳望远镜等设备，方便对太阳的直接观测。

L2点处背离太阳和其他干扰，可以实现低损伤，低油耗的停留，适宜停驻空间天文台，在深空天体特别是红外波段的观测中有着无可比拟的优势。

在本文中，我们将会对限制性三体问题进行力学分析，求出势能模型，并使用MATLAB 对限制性三体问题的模型画图。

通过分析各个特征点的周围势能的分布情况，以及所处的位置情况，对拉格朗日点的特性进行分析。

一、限制性三体问题的势能模型在限制性三体问题中，将质量较小的研究对象的质量计为m ，体系中另外两个质点的质量分别为M 1，M 2。

由限制性三体问题定义有：以M 1，M 2为参考系，对于研究对象m ，由万有引力提供向心力，且受系统转动而产生的惯性力。

系统将在同一平面内做角速度为ω的转动，其转动圆心为M 1，M 2的质心[1]。

设万有引力常量为r ，与M 1，M 2的质心间的距离为。

由牛顿第二定律，可得：上式中，第一项为M 1和m 之间的引力，第二项为M 2和m 之间的引力，第三项为旋转过程中m 所受的离心力。

地月系拉格朗日点地月系拉格朗日点是指在地球和月球组成的地月系统中，存在五个稳定平衡点的位置。

这些点是由法国数学家拉格朗日在1772年发现的，它们分别被标记为L1、L2、L3、L4和L5。

这些点相对于地球和月球的位置使得其中的物体能够在引力场中保持相对静止或者维持相对稳定的轨道。

首先，我们来看L1点。

L1点位于地球和月球的连线上，靠近地球一侧。

因为地球比月球质量大很多，引力使得物体在L1点保持相对静止。

这个点对于太阳天文学和航天科学非常重要，因为在这里放置卫星可以永远面向太阳，而不会被地球遮挡。

因此，许多重要的太阳观测卫星都被放置在L1点，例如SOHO卫星。

接下来，L2点位于地月系统中的另一侧，可以在地球和月球之间形成一个稳定的平衡区域。

L2点非常适合天文观测卫星，因为它可以在避免地球和月球的干扰下观测宇宙的更大范围。

L3点位于地月系统的惯性轴上，相对于地月连线在月球的反面。

然而，L3点是相对不稳定的，因为微小的干扰会使物体离开这个平衡点。

目前尚无卫星或空间探测器在L3点附近运行，但作为研究地月系的重要位置之一，这个点潜力巨大。

L4和L5点则分别位于地球和月球形成的等边三角形的顶点。

这些点是非常稳定的平衡点，这使得它们成为小行星、彗星和太空探测器的理想停靠点。

事实上，在L4和L5点附近，存在大量小行星家族，这些小行星与地球和月球共同绕太阳公转。

总之，地月系拉格朗日点提供了航天科学家和天文学家研究地球和月球系统的独特机会。

这些点的稳定性使得我们能够在这些位置放置卫星、观测宇宙，并进行深入的研究。

未来，随着航天技术的进步，我们有望利用拉格朗日点更多的发现新星系、探索宇宙奥秘。

科学家们对这些点的研究将会为航天技术和天文学的发展提供宝贵的指导。

拉格朗日定理的三个推论拉格朗日定理是数学中一个重要的定理，也是微积分中最基本的定理。

定理最初由法国数学家维塞尔拉格朗日于1797年提出，在之后的几百年里，许多数学家研究了它的各种推论，丰富和发展了它的内涵。

拉格朗日定理的三个推论是这样的：（1）假定函数f（x）的洛必达法则中的偏导数都存在，则：当在点a处f（x）取极大值时，其偏导数f（a）=0（2）当函数f（x）具有二阶线性连续可导性时，即f（x）和f （x）在点a处同时可导，并且f（a）≠0，则在点a处f（x）取极大值。

（3）如果f（x）的洛必达法则中的偏导数都存在，且在点a处f（x）取极小值，则f（a）=0。

拉格朗日定理的三个推论为数学家和科学家们提供了一种重要的理论工具，用来求解多元微积分中的极值问题，解决极值问题对于许多实际应用至关重要。

因此，研究拉格朗日定理及其推论及其应用，也十分值得关注和研究。

首先，关于拉格朗日定理的三个推论，第一个推论指出：假定函数f（x）的洛必达法则中的偏导数能够存在，当函数f（x）在点a 处取极大值时，其偏导数f（a）必定等于0，从而可以通过求解偏导数等于0的方程，获得函数的极值点。

第二个推论表明：当函数f（x）具有二阶线性连续可导性时，即f（x）和f（x）在点a处同时可导，且f（a）不等于0，则函数f（x）在点a处取得极大值。

而第三个推论认为，如果函数f（x）的洛必达法则中的偏导数都存在，且在点a处f（x）取极小值，则其偏导数f（a）必定等于0，这样我们就可以用同样的方法，求解f（x）的极小值点。

其次，拉格朗日定理的三个推论为科学家提供了研究和解决实际问题提供了重要的参考和指导，在工程和实际应用中都非常重要。

例如，在爆炸燃烧中，我们需要确定最佳燃烧比例，以达到最大爆炸效率，这时候就需要用到拉格朗日定理的三个推论来解决。

同样的，在传热学中，也有许多需要用到拉格朗日定理来求解的问题，因为传热学中的很多数学模型与拉格朗日定理的情况非常相似，均需要求解极值问题。

从“鹊桥”看拉格朗日点徐水一中吕猛看到“鹊桥”，大家一定会想到牛郎织女的故事，但今天我们所说的“鹊桥”是一颗中继卫星。

关于这颗卫星的由来，还得从我们的探月计划说起。

月球是地球唯一的一颗天然天体，由于地球强大的引力，使得月球的自转周期和其公转周期保持一致，这样我们在地球上看月球，就像大人和小孩儿手拉手转圈圈，大人不能看到孩子的背部一样，身处地球的我们只能看到月球的正面，看不到月球的背面（由于天平动效应我们能看到月球背面的极限为百分之十八）。

即使现在进入航天时代，由于月球整体的阻挡，月球背面仍然是地面通讯的禁区。

为实现对月球背面的研究，就必须把信号传递到那里，那么就需要一颗中继卫星。

“天链一号”是中国第一颗地球同步轨道数据中继卫星，其作用是提高中国载人航天飞行任务的测控覆盖率，将为中国神舟飞船以及未来空间实验室、空间站建设提供数据中继和测控服务。

同时，还将为中国中、低轨道资源卫星提供数据中继服务，为航天器发射提供测控支持。

2012年7月天链一号03星与01星、02星成功实现全球组网运行，建成比较完备的中继卫星系统，使我国具备了卫星全球通讯能力。

我们要实现月球背面通讯，这颗中继卫星要发射到那个位置呢？天链一号卫星的发射只需考虑地球的引力就可以了，而月球中继星要想稳定运行的话必须同时考虑到地球和月球的引力影响。

这样就变成了三体问题，而要解决三体问题就需要了解拉格朗日点。

拉格朗日点又称平动点，在天体力学中是限制性三体问题的五个特解。

“限制三体问题”是指研究的三个天体中，有一个天体的质量与其他两个天体的质量相比，小到可以忽略不计。

简单地说，就是“太阳-地球-小质量物体”或者“太阳-木星-小质量物体”。

三体问题中最简单的一种类型是平面圆形限制三体问题。

例如太阳-地球体系中，地球绕太阳运行，在空间中有些特定的位置可以放入第三个小质量物体，那么它所受到的太阳-地球体系的引力，恰好等于它与太阳-地球体系一起转动时所需要的向心力，小质量物体就可与太阳-地球体系的相对位置保持不变，（从圆周运动的角度看第三个小物体放在这个位置时，与地球具有相同的角速度）这就是平面圆形限制三体问题。

天体运动之拉格朗日点拉格朗日点也叫平动点，在航天中有很重要的应用。

在两个大物体(质量为M和m，比如太阳和地球，质心为C)的引力共同作用下小物体（质量为q，q<<M、q<<m，比如卫星）在空间中的一点相对两大物体基本保持静止的位置。

特征1、符合要求的点共有5个点（L1-L5），L1-L3与M、m总同线，L4-L5与M、m各自构成一个等边三角形。

2、三个星体均绕C做同周期的匀速圆周运动。

3、L1-L3是不稳定点，L4-L5是稳定点。

4、L1便于观测太阳，L2可适当消除太阳影响，L3无太大用处，L4-L5也叫为“三角拉格朗日点或特洛伊点”。

5、若M>>m，有C点距离A点很近。

题：（2012江苏物理8）2011年8月,“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道,我国成为世界上第三个造访该点的国家.如图所示,该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上,一飞行器处于该点,在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动,则此飞行器的：A.线速度大于地球的线速度B.向心加速度大于地球的向心加速度C.向心力仅由太阳的引力提供D.向心力仅由地球的引力提供题：2018年6月14日我国探月工程“嫦娥四号”的中继卫星“鹊桥”顺利进入地月拉格朗日L2点的运行轨道，为地月信息联通建“天桥”。

如图。

L2地月连线的延长线上，卫星只在地球引力和月球引力的共同作用下绕地心和月球同步做匀速圆周运动。

已知地球、月球、卫星的质量分别是M、m、q，地月间距为R，卫星到月球的距离为x，则：A 、)(R 1)(132x R x R +=+B 、)(R M 32x R m x += C 、)(R m )(M 322x R M x x R +=++ D 、)(Rm )(M 322x R m x x R +=++ 题：（2024 浙江金华）随着航天技术的不断发展，人类终将冲出太阳系，对遥远深空进行探索。

如图，a 星与b 星可以看作双星系统，它们均绕连线上的O （未画）点转动，a 星质量是b 星的81倍，假设人类发射了两个探测器1L 、2L 刚好处在该系统的两个拉格朗日点，位于这两个点的探测器能在a 星和b 星的共同引力作用下绕O 点做匀速圆周运动，并保持与a 星、b 星相对位置不变，探测器1L 与a 星球心、b 星球心的连线构成一个等边三角形，探测器2L 在a 星、b 星连线的延长线上。

高中物理三体问题
高中物理中的三体问题是指三个质量点在相互的万有引力作用下如何运动的问题。

这个问题在经典力学中是非常复杂的，因为三个以上的质量点之间的相互作用会导致系统的运动变得非常复杂，通常没有简单的封闭形式解。

在高中物理的范畴内，解决三体问题的方法通常限于数值解法，即通过计算机模拟来近似地描述三个星体的运动轨迹。

这个问题的难点在于，三个星体的相互作用会导致它们的运动不断地受到其他两个星体的影响，从而产生复杂的动力学行为。

在解决三体问题时，通常会采用以下步骤：
1.建立模型：首先，需要建立一个物理模型，通常假设三个星体都是质点，且它们之间的引力是唯一的作用力。

2.牛顿第二定律：根据牛顿第二定律，可以写出三个星体的运动方程，即它们的加速度与它们所受的引力之间的关系。

3.初始条件：确定三个星体的初始位置和速度，这些信息将用于启动数值模拟。

4.数值解法：使用数值解法（如欧拉法、龙格-库塔法等）来迭代地计算三个星体在每一小段时间间隔内的位置和速度。

5.分析结果：对模拟得到的数据进行分析，以绘制星体的运动轨迹和速度-时间图像，从而对三体系统的运动特性有一个直观的理解。

值得注意的是，三体问题的数值解法只能提供近似的结果，而且计算量通常非常大。

在实际的天体物理学研究中，三体问题也是高度复杂的，通常会使用更为高级的数值方法和理论研究来探讨。

从三体到拉格朗日点”初探1 引子——三体中匀速圆周运动问题研究（柴豪老师）三个质量不同的天体仅在万有引力的作用下绕某一定点做匀速圆周运动，则它们一定组成一个正三角形。

2 三体中三个匀速圆周运动半径的分析（笔者完成）如图1所示，A ，B ，C 三个天体的质量分别为123,,m m m ，始终构成一个边长为a 的 正三角形，绕其共同圆心'O做匀速圆周运动，图中(,0),(,0),)22a a A B C -。

A ， B 星系统的质心为D 在x 轴上坐标为12122D m m a x m m -=-+，CD ==。

设A ，B ，C 三天体的质心为'O ，则'O 在CD 的连线上，C 天体做匀速圆周的半径为'121123123C m m r C O CD m m m +==⋅=++（式中a 为正三角形的边长，123）同理可求得A 和B 的轨道半径分别为'23123123'13123123A B m m r AO AE m m m m m r BO BF m m m +==⋅=+++==⋅=++C 做匀速圆周运动过程中受到的万有引力的合力为232()C F m r Tπ== 代入C r后可求得2T =三体若始终构成一个边长不变的正三角形，则系统的周期与边长和三体的总质量有关。

2．1三体的一般轨道（若用等效质心法则三个天体一定组成一个正三角形，质心位置不变！） 如图2所示，当C 做匀速圆周运动时受到的万有引力的合力等效为一个质量为'C m 的天体在圆心所施加，即[1]'23322()C C C m m G m r r Tπ=，代入F 和C r 可求得223/2'12122123()()Cm m m m m m m m ++=++，同理得223/2223/2''2323131322123123()(),()()A B m m m m m m m m m m m m m m m m ++++==++++ 在图3中，令中心天体的等效质量为M ，某一个天体的质量为m ，则星体与中心天体的作用力可写为22222Mm m F Gk mk u r r=-=-=- 由比耐公式[2]2222()d u Fh u u d mθ+=-代入后得222222()d u h u u k u d θ+=即2222d u k u d hθ+= 设22k u h ξ=+，则220d d ξξθ+=图1 三体做匀速圆周运动图3 三体的一般轨道图2 三体等效质量的计算这个微分方程形式与谐振动方程完全一样，它的解为0cos()A ξθθ=-而22022cos()k k u A h h ξθθ=+=-+即222021/1cos()h k r huA kθθ==+- 三体问题中的某一个天体的轨道方程可写为01cos()pe ρθθ=+-式中e =22221()2k m E m rr r θ=+-&&，222,h p k GM k==，0θ与初始位置有关。

拉格朗⽇点的推导2018年8⽉9⽇拉格朗⽇点是天⽂学中的概念。

两个⼤质量的星体周围共存在五个这样的点：假如将⼩质量飞⾏器放在这些点以相同的⾓速度随着这两个天体转动，那么三者之间的相对位置将不变。

这样的点就称为拉格朗⽇点。

接下来就来具体求这些点的位置在什么地⽅。

为了对拉格朗⽇表⽰崇⾼的敬意，下⽂将采⽤理论⼒学中的拉格朗⽇⽅程来进⾏求解。

我们考虑两个⼤质量的星体只受到互相之间的引⼒作⽤⽽不受到任何其他的作⽤，围绕着质⼼作圆周运动。

这时候有⼀个⼩飞⾏器，⼩到其质量对引⼒场没有影响即不会对两个星体原来的运动产⽣⼲扰，这个飞⾏器受到两个星体对其的引⼒作⽤。

我们在以质⼼为原点的极坐标系下写出它的拉格朗⽇量L为：L=12m(˙r2+r2˙θ2)+GM1m√r2+r21+2rr1cos(θ−θ1)+GM2m√r2+r22−2rr2cos(θ−θ1)上式中m是飞⾏器质量，M1和M2分别是两个星体的质量。

r1和r2分别是两个星体到原点的距离，θ和θ1分别是飞⾏器的与极轴的夹⾓以及M1与极轴的夹⾓。

有了拉⽒量接下来就按部就班地进⾏计算：∂L ∂r =mr˙θ2−GM1m(r+r1cos(θ−θ1))(r2+r21+2rr1cos(θ−θ1))32−GM2m(r−r2cos(θ−θ1))(r2+r22−2rr2cos(θ−θ1))32d dt ∂L∂˙r=m¨r∂L∂θ=GM1mrr1sin(θ−θ1)(r2+r21+2rr1cos(θ−θ1))32−GM2mrr2sin(θ−θ1)(r2+r22−2rr2cos(θ−θ1))32d dt ∂L∂˙θ=mr2¨θ+2mr˙r˙θ12根据拉格朗⽇点的定义我们知道飞⾏器在拉格朗⽇点上的时候没有径向速度所以r对时间的求导都是0，其次两个星体是匀速圆周运动，⽽飞⾏器保持与他们的相对位置不变所以其⾓加速度也为0，加速度为常量等于两个星体的⾓速度。

所以有以下⽅程组：r˙θ2=GM1(r+r1cos(θ−θ1))(r2+r21+2rr1cos(θ−θ1))32+GM2(r−r2cos(θ−θ1))(r2+r22−2rr2cos(θ−θ1))32 M1r1sin(θ−θ1)(r2+r21+2rr1cos(θ−θ1))32=M2r2sin(θ−θ1)(r2+r22−2rr2cos(θ−θ1))32上述两个⽅程并不是全部了，此时别忘了两个星体的动量守恒，得到M1r1=M2r2上述⼆式可以化简为sin(θ−θ1)(r2+r21+2rr1cos(θ−θ1))32=sin(θ−θ1)(r2+r22−2rr2cos(θ−θ1))32于是就有两种情况即分⼦不为0那么分母相等。

拉格朗日点科技名词定义中文名称：拉格朗日点英文名称：Lagrangian point定义：圆型限制性三体问题中存在的五个秤动点的总称。

包括两个等边三角形点和三个共线点。

所属学科：天文学（一级学科）；天体力学（二级学科）本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布百科名片拉格朗日点指受两大物体引力作用下,能使小物体稳定的点. 一个小物体在两个大物体的引力作用下在空间中的一点，在该点处，小物体相对于两大物体基本保持静止。

这些点的存在由法国数学家拉格朗日于1772年推导证明的。

1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见脱罗央群小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。

在每个由两大天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，但只有两个是稳定的，即小物体在该点处即使受外界引力的摄扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。

每个稳定点同两大物体所在的点构成一个等边三角.目录概述发现现象拉格朗日点的五个特解L11L21L31L41L5天文学中的用途理性在太空闪光展开编辑本段概述就平面圆型三体问题，1767年数学家欧拉Leonhard Euler (1707-1783) 根据旋转的二体引力场推算出其中三个点（特解）L1、L2、L3，1772年数学家拉格朗日Joseph Lagrange (1736-1813) 推算出另外两个点（特解）L4、L5；但后来习惯上将这五个点都称为“拉格朗日Lagrange”或“拉格朗日点Lagrangian points”；有时也称为“平动点libration points”。

编辑本段发现18世纪法国数学家、力学家和天文学家拉格朗日（拉格朗治）在1772年发表的论文“三体问题”中，为了求得三体问题的通解，他用了一个非常特殊的例子作为问题的结果，即：如果某一时刻，三个运动物体恰恰处于等边三角形的三个顶点，那么给定初速度，它们将始终保持等边三角形队形运动。

A.D 1906年，天文学家发现了第588号小行星和太阳正好等距离，它同木星几乎在同一轨道上超前60°运动，它们一起构成运动着的等边三角形。

拉格朗⽇点和平⾯圆三体问题[转]拉格朗⽇点和平⾯圆三体问题[转]中⽂名称：拉格朗⽇点英⽂名称：Lagrangian point定义：圆型限制性三体问题中存在的五个秤动点的总称。

包括两个等边三⾓形点和三个共线点。

拉格朗⽇点指受两⼤物体引⼒作⽤下,能使⼩物体稳定的点.⼀个⼩物体在两个⼤物体的引⼒作⽤下在空间中的⼀点，在该点处，⼩物体相对于两⼤物体基本保持静⽌。

这些点的存在由法国数学家拉格朗⽇于1772年推导证明的。

1906年⾸次发现运动于⽊星轨道上的⼩⾏星（见脱罗央群⼩⾏星）在⽊星和太阳的作⽤下处于拉格朗⽇点上。

在每个由两⼤天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗⽇点，但只有两个是稳定的，即⼩物体在该点处即使受外界引⼒的摄扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。

每个稳定点同两⼤物体所在的点构成⼀个等边三⾓.，1767年数学家欧拉Leonhard Euler (1707-1783)根据旋转的⼆体引⼒场推算出其中三个点（特解）L1、L2、L3，1772年数学家拉格朗⽇Joseph Lagrange(1736-1813) 推算出另外两个点（特解）L4、L5；但后来习惯上将这五个点都称为“拉格朗⽇Lagrange”或“拉格朗⽇点Lagrangian points”；有时也称为“平动点libration points”。

发现18世纪法国数学家、⼒学家和天⽂学家拉格朗⽇（拉格朗治）在1772年发表的论⽂“三体问题”中，为了求得三体问题的通解，他⽤了⼀个⾮常特殊的例⼦作为问题的结果，即：如果某⼀时刻，三个运动物体恰恰处于等边三⾓形的三个顶点，那么给定初速度，它们将始终保持等边三⾓形队形运动。

A.D1906年，天⽂学家发现了第588号⼩⾏星和太阳正好等距离，它同⽊星⼏乎在同⼀轨道上超前60°运动，它们⼀起构成运动着的等边三⾓形。

同年发现的第617号⼩⾏星也在⽊星轨道上落后60°左右，构成第2个拉格朗⽇（拉格朗治）正三⾓形。

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三体问题拉格朗日类特解
我们要找三体问题中的拉格朗日特解。

三体问题是一个经典的力学问题，描述了三个质点在万有引力作用下的运动。

为了简化问题，我们通常使用拉格朗日方法来找到系统的特解。

假设三个质点的位置分别为 r1, r2 和 r3，并且它们的质量分别为 m1, m2
和 m3。

根据牛顿的万有引力定律，任意两个质点之间的力 F 可以用以下公式表示：F = G (m1 m2) / r1 - r2^2
其中 G 是万有引力常数。

拉格朗日方法是一种用于找到多体问题的特解的方法。

在这个问题中，我们需要找到满足以下条件的特解：
1. 系统总动量为零（即Σ p_i = 0）。

2. 系统总角动量为零（即Σ (r_i × p_i) = 0）。

3. 系统的能量 E 是常数。

现在我们要来解这个问题，找出满足这些条件的特解。

计算结果为： [{E: , J: [[, , ], [, , ], [, , ]]}]
所以，三体问题的拉格朗日特解为：能量 E = ，角动量矩阵 J = [[, , ], [, , ], [, , ]]。

太空停车埸——太阳系里的拉格朗日点我们在地面上行车，习惯于找一小块平地放心地停车，因为平地上停车不担心脱刹后游走。

如果能找到一块小凹地，将车停在凹地底部，更不用担心车子脱刹后会被大风“推走“。

斜坡上不能停车，道理很简单，因为那里随时都有可能滑走。

如下图中的小球，在A、B点都可以保持静止，但放在B位是最稳定。

＜地面上的两种安全停车位＞由此联想到太空中飞行的火箭，是否也能找到一块A类“平地“或B类“凹地”用于停泊，休息一下，甚或作些检修、“加油”之类时的服务，太空里能找到这样的停车点吗？众所周知，看似虚无的太空，其实充满星体伸出来的“万有引力”，它象一张无形的网，无时无刻都在牵拉着飞行中的火箭，火箭要么顺着引方向飞过去，要么保持一定的垂向速度，用飞弧形路线产生的惯性离心力来平衡引力，保持椭圆或抛物轨道飞行状态，似乎永远找不到不受万有引力牵拉的停泊点。

当周围有多个星体同时作用于飞行体时，空间会出现一种特殊区域，在那里，各星球的引力相互抵消（达到平衡），出现类似于地面上的“小平台”那样的小区域，也会出现“引力势”呈现低凹区的特殊点，这些点正是我们要寻找的“太空停车场”。

天文学称它为拉格朗日点。

下图表示在太阳和地球共同作用下，形成的五个特殊点，通常称为地日系拉格朗日点。

＜地日系拉格朗日L1～L5点＞十七世纪中叶，牛顿揭示了万有引力规律，紧接着，另一位法国数学家拉格朗日（1736－1813）在思考宇宙中“三体引力场”问题时，发现方程组在简化条件下可得到五个“特解”。

简化条件是：三个天体同处于同一个平面，相对位置固定，其中有一个小天体，忽略它对另两大天体的作用力，这样会求出五个力的平衡点（即上图的L1～L5），太阳系里每个行星都与太阳有相对固定的位置关系，所以轨道平面上都有5个平衡点，这里所说的平衡，是指两个大天体的引力和小天体随大天体系统同步公转的惯性力三者的矢量平衡。

我们的地球和月亮组成了“地月系”，在嫦娥登月工程中就曾成功地利用了月背的L2点，驻畄了鹊桥通讯卫星，携助嫦娥月背着陆立了大功。

三体问题的求解方法在力学中，三体问题指的是三个物体相互作用的问题。

虽然在日常生活中，我们不时会遇到涉及三个物体相互作用的问题，但是实际上，三体问题却是非常棘手的，因为没有任何一种通用的解法。

三体问题中的三个物体通常是指行星或者卫星等天体，而这些天体之间的相互作用往往由万有引力来描述。

然而，由于万有引力的非线性特性以及天体之间的相互作用方式复杂，使得三体问题成为了一个被众多天文学家和物理学家研究的难题。

尽管三体问题没有一个通用的解法，但是在过去的几个世纪里，人们已经发明了各种各样的求解方法。

下面就让我们来了解一下其中最重要的几种方法。

1. 径向速度法径向速度法是最早被提出来的一种三体问题求解方法。

在该方法中，三个行星被视为在一个平面内运动，且所有的运动仅限于平面内的直线运动。

这意味着，在任何时候，行星之间都是满足轨道方程的。

由于二元行星问题的解法已经被广泛的研究，因此径向速度法的难度主要在于求解第三个行星的运动方程。

该方法早期的版本要求算术精度非常高，但是随着计算机技术的迅速发展，径向速度法已经成为了一种非常可靠的方法。

2. 多项式级数法多项式级数法是一种比较新的三体问题求解方法，最初由P. A. Lauber在20世纪90年代提出来的。

该方法的核心思想是将三体问题转化为多项式级数问题。

该方法要求首先将所有天体之间的相互作用分离成单独的X、Y和Z方向上的作用力，然后将时间和位置表示成多项式级数形式。

之后，通过运算得出行星在不同时间点的位置和速度。

多项式级数法可以极大的提高算法的速度和精度，但是它也有一些缺点，比如不能精确地模拟出包括运动细节在内的所有行星运动。

3. 散射角法散射角法是一种用来求解三体问题的数值方法。

该方法的核心思想是将三体问题转化为一个二元散射角问题。

在该方法中，三个行星之间的相互作用可以看作是由一组二元组合而成的。

该方法要求首先在三个行星间进行随机散射，并记录下每个散射过程中的初始抛物线状态。

摘 要：在由一个大天体和一个小天体构成的系统中，在它们的轨道平面内存在这样的5个点，使得在这5个点上的质量可忽略的星尘或飞行器在两个天体的万有引力的作用下运动的过程中与两个天体保持相对静止，这样的点称为“拉格朗日点”。

下面将用数学中向量的理论对“拉格朗日点”进行理论推导。

关键词：拉格朗日点；万有引力；向量0 引 言如图1所示，1767年数学家欧拉推算出了拉格朗日点中的L1、L2、L3，1772年数学家拉格朗日又推算出了另外两个点L4、L5【1】。

美国普林斯顿大学的物理学教授杰拉尔德·基钦·奥尼尔提出在地月系统中的拉格朗日点上建造太空城的方案【2】。

2011年8月25日23时27分，经过77天的飞行，嫦娥二号在世界上首次实现从月球轨道出发，受控准确进入距离地球约150万公里远、太阳与地球引力平衡点——拉格朗日L2点的环绕轨道【3】。

图1【4】拉格朗日点中较难理解的是L4、L5点，这两个点分别与两个天体构成等边三角形。

对拉格朗日点的推导有说明的文献也很少。

如参考文献【2】的对于拉格朗日L4点的推导运用了复杂的几何知识。

下面将用简单的向量的方法去推导拉格朗日L4、L5点，并简要说明L1、L2、L3点的存在性。

1 推导过程1.1 L4、L5点的推导图2第 1 页 （共 4 页）如图2，我们以太阳系中的恒星太阳（Sun ）和最大的行星木星（Jupiter ）为例，设相SJOC恒星对它们质量可忽略不计的航天器c位于拉格朗日点上。

设太阳质量为M，木星质量为m，太空城市质量为u，系统的质心为O，=，=，=，三个向量的长度分别为R1,R2,R3.设|SJ|=R，由数学分析中的质心求法可得|OS|=R·，|OJ|=R·由于三个物体相对静止，故它们绕质心旋转的角速度相同，设其为ω，并设万有引力常数为G。

以J为研究对象有：G = mω2Rω2 = G对m用万有引力的向量形式有：G· + G· =ω2 = G·∵ + , +∴·· + · + · = ·∴() = · + ·又∵ = -· ,代入上式得() = m()——（*）当与不共线时，由（*）式，故R1 = R2 = R即c与S、J构成等边三角形，L4、L5的存在性得证1.2 L1、L2、L3点的简单说明当与共线时，仍可通过（*）式求解证得L1、L2、L3的存在性，但是求解过程是繁琐的。

拉格朗日经典证明例题引言拉格朗日经典证明例题是数学中经典的问题，涉及拉格朗日中值定理和导数的概念。

本文将介绍拉格朗日经典证明例题的背景和相关概念，并详细介绍如何进行证明。

拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理。

它描述了一个可导函数在某个区间内的平均变化率与该函数在区间内某一点的导数之间的关系。

拉格朗日中值定理是由18世纪法国数学家拉格朗日提出的，是微积分学中的基本工具之一。

拉格朗日中值定理的数学表述如下：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，那么在开区间(a, b)内至少存在一点c，使得f′(c)=f(b)−f(a)b−a拉格朗日经典证明例题下面我们将通过一个具体的例题来展示拉格朗日中值定理的应用和证明过程。

例题：已知函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且在(a, b)内恒有f’(x)≠0。

证明：函数f(x)在开区间(a, b)内至多有一点取到最大值和最小值。

证明：假设在开区间(a, b)内存在两个不同的点c1和c2，使得f(c1)和f(c2)都分别为f(x)在开区间(a, b)内的最大值和最小值。

由于函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，根据最大值和最小值定理，f(x)在闭区间[a, b]上必定存在最大值和最小值。

因此，f(c1)和f(c2)都为f(x)在闭区间[a, b]上的最大值和最小值。

根据拉格朗日中值定理，存在一个点c（c1 < c < c2），使得f′(c)=f(c2)−f(c1) c2−c1由于f’(x)≠0，并且f(c2)和f(c1)分别为f(x)在开区间(a, b)内的最大值和最小值，所以f(c2)≠f(c1)。

因此，上式可化简为f(c2)−f(c1)≠0c2−c1这与拉格朗日中值定理的前提条件相矛盾，因此假设不成立。

可得出结论，函数f(x)在开区间(a, b)内至多有一点取到最大值和最小值。