初中数学竞赛辅导 第十五讲 乘法公式(含答案)

高斯 1777 1855 ，德国数学家、天文学家和物理学家，有“数学王子”之称，高斯的成就遍布数学的各个领域，在数论、非欧几何、重变函数论、椭圆函数论等方面均有创始性贡献，他十分着重数学的应用，并且在对天文学、大地丈量学和磁学的研究中也着重于用数学方法19．乘法公式解读课标多项式的形式是多种多样的，两个有必定关系的特别多项式相乘，结果经常简短而优美． 乘法公式是多项式相乘得出的既有特别性又有适用性的详细结论，学习乘法公式应注意： 1．理解公式，掌握公式的结构特点；2．认识公式的变形与发展；3．灵巧运用公式，既能正用、又能逆用，并且还可以适合变形或从头组合，综合运用公式； 4．掌握公式的几何意义，意会数形联合的思想．问题解决例 1 假如正整数 x ， y 知足方程 x 2 y 264 ，则这样的正整数对x , y 的个数是 ______．试一试 a 2b 2a b a b ， a b 以 a b 的奇偶性相同，这个十分简单的结论是解本例的基础．例 2 已知 a 、 b 、 c 知足 a 22b 7 ， b 22c 1， c 26a 17 则 ab c 的值等于（）A ． 9B ． 3C ． 4D ． 5试一试 由条件等式联想到完整平方式，解题的切入点是整体考虑． 例 3计算1 2 4 8 16 （ ） 212 12 1212112 1（ 2）200420032220042002 2004200433（ 3）45.1 13.945.1 13.931.2试一试关于（ 1），经过对待求式适合变形，使之切合平方差公式的结构特点；关于（ 2），用字母表示数，将数值计算转变为式的计算．例 4 老师在黑板上写出三个算式52328 2，927 2 8 4 ，152 32 8 27 ，王华接着又写了两个拥有相同规律的算式： 112 52 8 12 ， 152 7 2 8 22（ 1）请你再写出两拥有上述规律的版式； （ 2）用文字写出上述算式反应的规律；（ 3）证明这个规律的正确性．试一试 由特别到一般，用字母表示算式反应的规律并证明．5 1 ）已知 x 2y 2 z 2 2 x 4 y 6z 14 0 ，求 x y z的值．例 （（2）26 52 12，53 7 2 22， 26 53 1378 ， 1378 372 32随意精选此外两个近似 26 、 53 的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍旧是 两个平方数的和吗？你能说出此中的道理吗？x ， y， z ，的值：关于（ 2），剖析 关于（ 1），由平方和联想到完整平方公式及其逆用， 利用配方求出 从试验下手，而后给出一般情况的证明．解（ 1）由条件得x 22z20 ， x 1 ， y2 ， z3 ，原式 2．1y 23（ 2）一般地，设 m a 2b 2 ， nc 2d 2 ，则 mna 2b 2c 2d 2a 2c 2b 2d 2 b 2c 2 a 2d 2a 2c 2b 2 d 22abcd b 2 c 2 2abcd a 2 d 2ac bd或 ac bd22bc ad22bc ad智慧数例 6 整数问题常是饶有兴趣又发人思虑的，若对整数作一些特别的规定， 就会获得一些特别定义下的新数，并由此产生令人思虑的问题，我们规定：若一个自然数能表示成两个非零自然数的平方差，则把这个自然数称为“智慧数”，如16 52 32 ，则 16 称为智慧数．请判断：在自然数列中，从数 1起，第 2000 个智慧是哪个数？剖析与解 要确立第 2000 个智慧数，应先找到智慧数的特点及散布规律．由于 2k 24 ，并且是 4 的倍数的数也是智慧数．由此可知，被4除 2的1 k 1 k2 ，明显，每个大于 偶数都不是智慧数．所以， 自然数列中最小的智慧数是 3 ，第 2 个智慧数是 5 ，从 5 起，挨次是 5 ，7 ，8 ；9 ，11 ，12；13 ， 15 ， 16 ； 17 ， 19 ， 20 ； 即按 2 个奇数，一个 4 的倍数，三个一组地挨次摆列下去．依据这个结论，我们简单知道： 由于 2000 1 3 666 1 ，所以第 1999 个智慧数是 4 666 4 2668 ，故第 2000 个智慧数 是 2669 ． 数学冲浪知识技术广场 1．若 a 22ab b20 ，则代数式a a4ba 2b a 2b 的值为．2．已知 m 28， m n 2n2=______． n 2，则 m 23．已知 x 22x 2y1 0 ，则 xy 999=______ ．y4 ．已知 a 2 b 2 2a 4b5 0 ，则 2a 24b 3 的值为 _______．5．已知以 a 、 b 、 x 、 y 知足 ax by 3 ， ay bx 5 ，则 a 2 b 2 x 2 y 2 的值为 ______．6．如图，从边长为 a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形，而后将节余部分剪拼成一个长方形，上述操作所能考证的等式是（ ）ababA ． a 2 b 2ab a bB ． a 2a 2 2ab b 2bC ． a b 222ab b 2D ． a 2ab a a ba7．已知 a1 x 20 ， b 1 x 19 ， c 1 x 21 ，则代数式 a2 b 2c 2 ab bcac 的值是（）20 20 20 A ． 4B ． 3C ． 2D ． 1 8．已知xy 1 ， x 2 y 22 ，那么 x 4 y 4 的值是（ ）A ． 4B ． 3C ．7D ．5229．若 a、 b 为有理数，且 2a 22ab b 2 4a 4 0 ，则 a 2b ab 2 =（ ）A ． 8B ． 16C ． 8D ．1610．在 2004 ， 2005 ， 2006 ， 2007 这四个数中，不可以表示为两个整数平万的数是（ ）A ． 2004B ． 2005C ． 2006D ． 2007 11．计算（ 1）671721741781 1（ 2）24690 12345 12347 123462 （3） 20052004222220052003 2005200512 ． 一个自然数减去 45后是一个完整平方数，这个自然数加上 44后还是一个完整平方数，试求这个自然数． 思想方法天地13 ．已知 2007a 2005 a 222006 ，那么 2007 a2005 a =_____ ．14 ．已知 a b4 ， ab c 2 4 0 ，则 a b =______．n15．杨辉三角是一个由数字摆列成昀三角形数表， 一般形式如下图， 此中每一横行都表示 a b （此处 n 0 ， 1， 2 ， 3 ， 4， 5 ， 6 ）的睁开式中的系数，杨辉三角最实质的特点是，它的两条斜边都是由数字 1构成的，而其他的数则是等于它“肩”上的两个数之和．11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 51 01 0 5 1161 5 201 561a 01ba b 1 a ba 2a 2 2ab b 2ba 3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3ba 4 a 4 4a 3b 6a 2b 2 4ab 3 b 4ba 5a 5 5a 4b 10a 3 b 2 10a 2 b 3 5ab 4 b 5ba 6a 6 5a 5b 15a 4 b 2 20a 2 b 3 15a 2 b 4 6ab 5 b 6b上图的构成规律你看懂了吗？7______．请你直接写出 a b杨辉三角还有另一个特点（ 1）从第二行到第五行，每一行数字构成的数（如第三行为 121）都是上一行的数与 ______积．（ 2）由此你可写出 115 =______．（ 3）由第 _____行可写出 118 =______．16．假如 a 2b 3c 12 ，且 a 2 b 2 c 2ab bc ca ，则 a b 2c 3 的值是（ ）A ． 12B ． 14C 16D ． 18．17 ．假如 xy 1 ， x 2 y 2 3 ，那么 x 3 y 3 的值为（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 518 ．把 2009 表示成两个整数的平方差的形式，则不一样的表示法有（ ）A ．16 种B ． 14种 C ． 12种 D ．10种 22 02 ，19 ．假如一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神奇数” ，如 412 42 22，20 6242 ，所以 4 ， 12 ， 20这三个数都是神奇数．（ 1） 28 和 2012 这两个数是神奇数吗？为何？（2）设两个连续偶数为 2k 2 和 2k （此中 k 取非负整数），由这两个连续偶数结构的神奇数是 4 的倍数吗？为何？ （3）两个连续奇数的平方差（取正当）是神奇数吗？为何？ 20 ．已知 a b c 0 ， a 2 b 2 c 2 1（ 1）求 ab bc ca 的值；（4442）求 a b c 的值．应用研究乐园21 ．（ 1）证明：奇数的平方被 8除余 1．（ 2）请你进一步证明：2006不可以表示为 10 个奇数的平方之和．22．某校举行春天运动会时，由若干名同学构成一个 8 列的长方形行列．假如原行列中增 120 人，就能构成一个正方形行列；假如原行列中减少 120 人，也能构成一个正方形行列．问原长方形行列有多少名同学？19 乘法公式问题解决例 1 2 对 x y x y 64， x y xy 0 且xy 与 xy 的奇偶性相同，得x y 32 x y 16x y2 ， y 4 ， x 则 x 17 x 10y ， 615 y 例 2B 三等式相加得：a 3 2b1 2 c 1 2 0a3 ， b 1， c 1例 3（1）原式2 1 2 1 221 241 281 216 1122 1 22 1 241 28 1 216 11232 1 1232a 2（ 2）设 200420003a ，则原式1a 1 2a 21a211 2 a 2 12（ 3）原式45.1 13.9 45.12 45.1 13.9 13.9245.1 13.945.1 13.945.1213.93481例 4（1）略（ 2）规律：随意两个奇数的平方差等于 8 的倍数（ 3）设 m 、 n 为整数，2m 1 22n 24 m n m n 11当 m 、 n 同奇或同偶， 4 m n 是 8 的倍数，当 m 、 n 一奇一偶， 4 mn 1 是 8 的倍数．数学冲浪1． 0 2． 523． 1 由条件得 x y 14． 75． 34 原式 a 2 x 2 a 2 y 2 b 2 x 2 b 2 y 2ax2ay2bybx6． A17．B 原式ab 2b c 2c a 228． C9． Ba2a2 2b 10 ． C 形如 4k 或 2k 1 的数为“智慧数” 11 1 16 2 24690 3 1） 7 ；（ ）．（；（） 2 2①12．设这个自然为x ，由题意得 x 45 m x 44 n 2② ② -①得 n 2 m 2 89，即 n m n m 89 1 进而n m 89 ，解得n 45nm 1m44故 x452 44 198113． 4016 原式 2007 a22005 a2 2007 a 2005 a14． 0把 a b4 代入 ab c 24 0得 b 2c 2 0 ， b 2 ，2C 0 ， a24 2 ， a b 015．略（ 1） 11 （ 2） 161051 （ 3） 9 ； 21435888116． B 由 a 2 b 2 c 2 ab bc ac ，得1a b 2bc 2a c 2 0 ，进而 abc 22217． C2xyxx 2y 22yxy1 ， x 3 y 3x y x 2 xy y 2418 ． C提示：xy x y2009 241有 6 个正因数，分别是 1， 7，41，49，287和 2009 ，7 所以对应的方程组为：x y1,7 , 41, 49 , 2872009 , 1, 7 , 41, 49 , 287 , 2009x y2009 , 287 , 49 , 41,7 , 1,2009, 287, 49, 41, 7, 1故 x , y 共有 12 组不一样的表示19．（ 1） 28 4 7 82 62 ， 2012 4 503 5042 5022 故 28 和 2012 都是神奇数．（2） 2k 2 22k 24 2k1 ，为 4 的倍数．（ 3）神奇数是4 的倍数，但必定不是8 的倍数，但 2n 22n 1 28n ，1故两个连续奇数的平方差不是神奇数20 ．（ 1） a b c 2a 2 b2c22ab 2bc 2ac ，得 ab bc ca12（ 2）由 abbc ca 12，得 ab bc ca 21 ，即 a 2b2 b 2c 2 c 2a22abc a bc 144得 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 14又 a 2b 2c 2 1 ，平方得 a 4 b 4 c 42a 2b 2 2b 2c 2 2c 2a 2 1故44422 22 221 2 1 1a b c 1 2 a b b c c a4 2221 ．（ 1）2n 1 4n n 1 18| 4n n 1 ，故奇数的平方被 8 除余 1x 2 x 3x 10 2006．（ 此中 x ，x（ ）假定 2006 能够表示为 10 个奇数的平方之和， 也就是 x 1， ，2222212 x 10 是奇数）等式左侧被 8 除余 2 ，而 2006 被 8 除余 6 ，矛盾．故 2006 不可以表示为 10 个奇数的平方之和．8x120222．设m ①， m 、 n 均为正整数，且 m n ，① -②8x 120=n2②得 mn n n240 24 3 522都是8 的倍数，则 m 、 n 能被 4 整除， m n 、 m n 均能被 4 整除，m ， n。

专题复习：乘法公式知识点归纳及典例+练习题一、知识概述 1、平方差公式 由多项式乘法得到 (a＋b)(a－b) ＝a －b . 即两个数的和与这两个数的差的积，等于它们的平方差. 2、平方差公式的特征 ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)； ③公式中的 a 和 b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对于形如两数和与这两数差相乘的形式，就可以运用上述公式来计算． 3、完全平方公式 由多项式乘法得到（a±b） ＝a ±2ab＋b2 2 2 2 2即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的 2 倍. 推广形式：（a＋b＋c） ＝a ＋b ＋c ＋2ab＋2bc＋2ca 4、完全平方公式的特征 (a＋b) ＝a ＋2ab＋b 与(a－b) ＝a －2ab＋b 都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数 和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式． ①两公式的左边：都是一个二项式的完全平方，二者仅有一个符号不同；右边：都是二次三项式，其 中有两项是公式左边两项中每一项的平方，中间是左边二项式中两项乘积的 2 倍，两者也仅有一个符号不 同． ②公式中的 a、b 可以是数，也可以是单项式或多项式． ③对于形如两数和(或差)的平方的乘法，都可以运用上述公式计算． 5、乘法公式的主要变式 （1）a －b ＝(a＋b)(a－b); （2）(a＋b) －(a－b) ＝4ab; （3）(a＋b) ＋(a－b) ＝2(a ＋b )； （4）a ＋b ＝(a＋b) －2ab＝(a－b) ＋2ab （5）a ＋b ＝(a＋b) －3ab(a＋b)． 熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程． 注意：(1)公式中的 a，b 既可以表示单项式，也可以表示多项式. (2)乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用. (3)这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜.3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2二、典型例题讲解 例 1、计算： (1)(3a＋2b)(2b－3a)； (2)(x－2y)(－x－2y)；(3) (4)(a＋b＋c)(a－b－c). 解：；(1)原式＝(2b＋3a)(2b－3a) ＝(2b) －(3a) ＝4b －9a2 2 2 2(2)原式＝(－2y＋x)(－2y－x) ＝(－2y) －x ＝4y －x2 2 2 2(3)原式＝＝＝ (4)原式＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)] ＝a －(b＋c)2 2 2 2＝a －(b ＋2bc＋c ) ＝a －b －2bc－c 例 2、计算： (1)2004 －19962 2 2 2 2 22(2)(x－y＋z) －(x＋y－z)2(3)(2x＋y－3)(2x－y－3)． 解：(1)2004 －1996 ＝(2004＋1996)(2004－1996) ＝4000×8＝32000 (2)(x－y＋z) －(x＋y－z)2 2 2 2＝[(x－y＋z)＋(x＋y－z)][ (x－y＋z)－(x＋y－z)]＝2x(－2y＋2z)＝－4xy＋4xz （3）(2x＋y－3)(2x－y－3)＝[(2x－3)＋y][(2x－3)－y] ＝(2x－3) －y ＝4x －12x＋9－y ＝4x －y －12x＋9； 例 3、计算： (1)(3x＋4y) ； (3)(2a－b) ；2 2 2 2 2 2 2 2 2(2)(－3＋2a) ； (4)(－3a－2b)22解：(1)原式＝(3x) ＋2·3x·4y＋(4y) ＝9x ＋24xy＋16y2 2 22(2)原式＝(－3) ＋2·(－3)·2a＋4a ＝4a －12a＋922(3)原式＝(2a) ＋2·2a·(－b)＋(－b) ＝4a －4ab＋b2 222(4)原式＝[－(3a＋2b)] ＝(3a＋2b)2 22＝(3a) ＋2·(3a)·2b＋(2b) ＝9a ＋12ab＋4b2 22例 4、已知 m＋n＝4， mn＝－12，求(1)；（2）；（3）．解：（1）；（2）；（3）2．例 5、多项式 9x ＋1 加上一个单项式后，使它能够成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 ________(填上一个你认为正确的即可)． 分析： 解答时，很多学生只习惯于课本上的完全平方的顺序，认为只有添加中间(两项的乘积的 2 倍)项，即 9x ＋1＋6x＝(3x＋1) 或 9x －6x＋1＝(3x－1) ；但只要从多方面考虑，还会得出2 2 2 2，9x ＋1－1＝9x ＝(3x) ， 9x ＋1－9x ＝12， 所以添加的单项式可以是 6x，22222－6x，，－1，－9x ．2答案：±6x 或 例 6、计算：或－1 或－9x2，并说明结果与 y 的取值是否有关． 解：从上述结果可以看出，结果中不含 y 的项，因此结果与 y 的取值无关． 点评： (1)利用平方差公式计算的关键是弄清具体题目中，哪一项是公式中的 a，哪一项是公式中的 b； (2)通常在各因式中， 相同项在前， 相反项在后， 但有时位置会发生变化， 因此要归纳总结公式的变化， 使之更准确的灵活运用公式． ①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a －b ； ②符号变化：(－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b) －a ＝b －a ； ③系数变化：(3a＋2b)(3a－2b)＝(3a) －(2b) ＝9a －4b ； ④指数变化：(a ＋b )(a －b )＝(a ) －(b ) ＝a －b ； ⑤连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a ＋b )(a ＋b ) ＝(a －b )(a ＋b )(a ＋b )＝(a －b )(a ＋b ) ＝a －b ； ⑥逆用公式变化：(a－b＋c) －(a－b－c)2 2 8 8 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2 2 4 4 3 3 3 3 3 2 3 2 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2＝[(a－b＋c)＋(a－b－c)][(a－b＋c)－(a－b－c)] ＝4c(a－b)． 例 7、已知 ．求 分析：的值．若直接代入求解则十分繁杂。

全国初中数学竞赛辅导（初1）第15讲奇数与偶数教师版第⼗五讲奇数与偶数通常我们所说的“单数”、“双数”，也就是奇数和偶数，即±1，±3，±5，…是奇数，0，±2，±4，±6，…是偶数．⽤整除的术语来说就是：能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数．通常奇数可以表⽰为2k+1(或2k-1)的形式，其中k为整数，偶数可以表⽰为2k的形式，其中k 是整数．奇数和偶数有以下基本性质：性质1 奇数≠偶数．性质2 奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数．性质3 奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数．性质4 奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数．性质5 若⼲个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．性质 6 如果若⼲个整数的乘积是奇数，那么其中每⼀个因⼦都是奇数；如果若⼲个整数的乘积是偶数，那么其中⾄少有⼀个因⼦是偶数．性质7 如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差)是奇数，那么这两个整数⼀定是⼀奇⼀偶．性质8 两个整数的和与差的奇偶性相同．性质9 奇数的平⽅除以8余1，偶数的平⽅是4的倍数.性质10 整数a和|a|有相同的奇偶性性质11 两个连续的整数中，必有⼀个是奇数，⼀个是偶数，两个相邻整数之和是奇数，之积是偶数.性质12 如果若⼲个整数之和是奇数，那么其中⾄少有⼀个是奇数；如果奇数个整数之和是偶数，那么其中⾄少有⼀个是偶数．下⾯我们给出性质7⾄性质9的证明．性质7的证明设两个整数的和是偶数，如果这两个整数为⼀奇⼀偶，那么由性质2知，它们的和为奇数，因此它们同为奇数或同为偶数．同理两个整数的和(或差)是奇数时，这两个数⼀定是⼀奇⼀偶．性质8的证明设两个整数为X，y．因为(x+y)+(x-y)=2x为偶数，由性质7便知，x+y与x-y同奇偶．性质9的证明若x是奇数，设x=2k+1，其中k为整数，于是x2=(2k+1)2=4k3+4k+1=4k(k+1)+1．因为k与k+1是两个连续的整数，它们必定⼀奇⼀偶，从⽽它们的乘积是偶数．于是，x2除以8余1．若y是偶数，设y=2t，其中t为整数，于是y2=(2t)2=4t2所以，y2是4的倍数．例1 在1，2，3，…，1998中的每⼀个数的前⾯，任意添上⼀个“+”或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？解由性质8知，这最后运算所得的奇偶性同1+2+3+…+1998=999×1999的奇偶性是相同的，即为奇数．例2 设1，2，3，…，9的任⼀排列为a1，a2，…，a9.求证：(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是⼀个偶数．证法1 因为(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+…+(a9-9)＝(a1+a2+…+a9)-(1+2+…+9)=0是偶数，所以，(a1-1)，(a2-2)，…，(a9-9)这9个数中必定有⼀个是偶数(否则，便得奇数个(9个)奇数的和为偶数，与性质4⽭盾)，从⽽由性质5知(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶数．证法2 由于1，2，…，9中只有4个偶数，所以a1，a3，a5，a7，a9中⾄少有⼀个是奇数，于是，a1-1，a3-3，a5-5，a7-7，a9-9⾄少有⼀个是偶数，从⽽(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶数．例3 有n个数x1，x2，…，x n，它们中的每⼀个数或者为1，或者为-1．如果x1x2+x2x3+…+x n-1x n+x n x1=0，求证：n是4的倍数．证我们先证明n=2k为偶数，再证k也是偶数．由于x1，x2，…，x n。

装订线初一数学竞赛培优第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。

特别地，如果r=0，那么a=bq。

这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。

2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。

3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。

（1）式称为n的质因数分解或标准分解。

4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。

5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。

因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。

下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。

一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。

这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0； 2．带余形式：a=bq+r ；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数。

例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。

专题02 乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：1．熟悉每个公式的结构特征；2．正用 即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用； 3．逆用 即将公式反过来逆向使用； 4．变用 即能将公式变换形式使用；5．活用 即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．例题与求解【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是 ．（全国初中数字联赛试题）解题思路：因22()()a b a b a b -=+-，而a b +a b -的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．【例2】（1）已知,a b 满足等式2220,4(2)x a b y b a =++=-，则,x y 的大小关系是( )A ．x y ≤B ．x y ≥C ．x y <D ．x y >（山西省太原市竞赛试题）（2）已知,,a b c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=-，则a b c ++的值等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5（河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较,x y 的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．【例3】计算下列各题：（1） 2486(71)(71)(71)(71)1+++++；（天津市竞赛试题） （2）221.23450.76552.4690.7655++⨯；（“希望杯”邀请赛试题）（3）22222222(13599)(246100)++++-++++．解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．【例4】设221,2a b a b +=+=，求77a b +的值． （西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能直接求出77a b +的结构，必须把77a b +表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．【例5】观察：222123415;2345111;3456119;⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算20002001200220031⨯⨯⨯+的结果（用一个最简式子表示）．（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．【例6】设,,a b c 满足2223331,2,3,a b c a b c a b c ++=++=++=求：（1）abc 的值； （2）444a b c ++的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．能力训练A 级1．已知22(3)9x m x --+是一个多项式的平方，则m = ． （广东省中考试题） 2．数4831-能被30以内的两位偶数整除的是 ．3．已知222246140,x y z x y z ++-+-+=那么x y z ++= ．（天津市竞赛试题）4．若3310,100,x y x y +=+=则22x y += ．5．已知,,,a b x y 满足3,5,ax by ax by +=-=则2222()()a b x y ++的值为 ．（河北省竞赛试题）6．若n 满足22(2004)(2005)1,n n -+-=则(2005)(2004)n n --等于 ． 7．22221111(1)(1)(1)(1)2319992000----等于（ ） A ．19992000 B ．20012000 C ．19994000D ．200140008．若222210276,251M a b a N a b a =+-+=+++，则M N -的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．可正可负9．若222,4,x y x y -=+=则19921992xy +的值是（ ）A ．4B ．19922C ．21992D ．4199210．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ （“CASIO ”杯全国初中数学竞赛试题）11．设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数． （“希望杯”邀请赛试题）12．观察下面各式的规律：222222222222(121)1(12)2;(231)2(23)3;(341)3(34)4;⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+ 写出第2003行和第n 行的式子，并证明你的结论．B 级1．()na b +展开式中的系数，当n =1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出901.1的值为 ． （《学习报》公开赛试题）2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为,,a b c ，则222a b c ab bc ac ++---的值为 ．（天津市竞赛试题）3．已知,,x y z 满足等式25,9,x y z xy y +==+-则234x y z ++= ．4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为 ．（全国初中数学联赛试题）5．已知19992000,19992001,19992002a x b x c x =+=+=+，则多项式222a b c ab bc ac ++---的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）A ．16种B ．14种C ．12种D ．10种（北京市竞赛试题）7．若正整数,x y 满足2264x y -=，则这样的正整数对(,)x y 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（山东省竞赛试题）8．已知3a b -=，则339a b ab --的值是（ ）A ．3B ．9C ．27D ．81（“希望杯”邀请赛试题）9．满足等式221954m n +=的整数对(,)m n 是否存在？若存在，求出(,)m n 的值；若不存在，说明理由．第2题图11 2 1 1 3 311 4 6 4 1 1510 10 5 1… … … … … … …。

华夏教育 初二数学乘法公式一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2数形结合的数学思想认识乘法公式：假设a 、b 都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。

如图1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为(a+b)(a-b)，通过左右两图的对照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2；图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2与(a-b)2，通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2与(a-b)2=a 2-2ab+b 2。

二、乘法公式的用法(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础。

注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．例1 计算：()()53532222x y x y +- 解：原式()()=-=-53259222244x y x y例2 计算(-2x 2-5)(2x 2-5)分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x 2”符号相反，因而“-5”是公式(a +b )(a -b )=a 2-b 2中的a ，而“2x 2”则是公式中的b ．解：原式=(-5-2x 2)(-5+2x 2)=(-5)2-(2x 2)2=25-4x 4．例3 计算(-a 2+4b )2分析：运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时，“-a 2”就是公式中的a ，“4b ”就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2)2时，则“4b ”是公式中的a ，而“a 2”就是公式中的b ．（解略）(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。

例1 计算：()()()()111124-+++a a a a 解：原式()()()=-++111224a a a ()()=-+=-111448a a a例2 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)=（28-1）（28+1）=216-1三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。

18.乘法公式知识纵横乘法公式(multiplication formula)是在多项式乘法的基础上,•将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘,得出的既有特殊性、•又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式;2.根据待求式的特点,模仿套用公式;3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式;4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式.例题求解【例1】•(•1)•已知两个连续奇数的平方差为•2000,•则这两个连续奇数可以是______.(江苏省竞赛题)(2)已知(2000-a)·(1998-a)=1999,那么,(2000-a)2+(1998-a)2=________.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组;(2)视(2000-a)·(1998-a)为整体,•由平方和想到完全平方公式(formula for the square the sum)及其变形.解:(1)设两个连续奇数为x,y,且x>y,则2220002x yx y⎧-=±⎨-=⎩得x+y=1000或x+y=-1000,解得(x,y)=(499,501)或(-501,-499).(2)4002 提示:(2000-a)2+(1998-a)2=[(2000-a)-(1998-a)]2+2(2000-a)·(1998-a)【例2】若x是不为0的有理数,已知M=(x2+2x+1)(x2-2x+1),N=(x2+x+1)(x2-x+1),则M与N 的大小关系是( ). (“祖冲之”杯邀请赛试题)A.M>NB.M<NC.M=ND.无法确定思路点拨 运用乘法公式,在化简M 、N 的基础上,作差比较它们的大小.解:选B【例3】计算:(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1; (天津市竞赛题)(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452. (江苏省竞赛试题)思路点拨 若按部就班计算,显然较繁,能否用乘法公式,简化计算,关键是对待求式恰当变形,使之符合乘法公式的结构特征,对于(2),由于数字之间有联系,•可用字母表示数(称为换元),将数值计算转化为式的计算,更能反映问题的本质特征.解:(1)原式=(7-1)(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1=716(2)设1.345=x,则原式=x(x-1)·2x-x 3-x(x-1)2=-x=-1.345【例4】(1)已知x 、y 满足x 2+y 2+54=2x+y,求代数式xy x y+的值. (“希望杯”邀请赛试题) (2)整数x,y 满足不等式x 2+y 2+1≤2x+2y,求x+y 的值. (第14届“希望杯”邀请赛试题)(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:•第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b;乙商场:两次提价的百分率都是 2a b + (a>0,•b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,•则哪个商场提价最多?说明理由. (2003年河北省竞赛题)思路点拨 对于(1)、(2)两个未知数一个等式或不等式,•须运用特殊方法与手段方能求出x 、y 的值,由平方和想到完全平方公式及其逆用,解题的关键是拆项与重组;对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示,作差比较它们的大小.解:(1)提示:由已知得(x-1)2+(y-12)2=0,得x=1,y=12,原式=13(2)原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x 、y 为整数,(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,•所以可能有的结果是1010x y -=⎧⎨-=⎩或1110x y -=±⎧⎨-=⎩或1011x y -=⎧⎨-=±⎩,解得11x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩ 或 12x y =⎧⎨=⎩或10x y =⎧⎨=⎩,x+y=1或2或3 (3)甲、乙、丙三个商场两次提价后,价格分别为(1+a)(1+b)=1+a+b+ab; (1+2a b +)·(1+2a b +)=1+(a+b)+( 2a b +)2; (1+b)(1+a)=1+a+b+ab; 因(2a b +)2-ab>0,所以(2a b +)2>ab, 故乙商场两次提价后,价格最高.【例5】已知a 、b 、c 均为正整数,且满足a 2+b 2=c 2,又a 为质数. 证明:(1)b 与c 两数必为一奇一偶; (2)2(a+b+1)是完全平方数.思路点拨 从a 2+b 2=c 2的变形入手;a 2=c 2-b 2,运用质数、奇偶数性质证明.解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又c+b 与c-b 同奇同偶,c+b>c-b,故a•不可能为偶质数2,a 应为奇质数,c+b 与c-b 同奇同偶,b 与c 必为一奇一偶.(2)c+b=a 2,c-b=1,两式相减,得2b=a 2-1,于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a 2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.学力训练一、 基础夯实1.观察下列各式:(x-1)(x+1)=x 2-1;(x -1)(x 2+x+1)=x 3-1;(x -1)(x 3+x 2+x+1)=x 4-1.根据前面的规律可得 (x -1)(x n +x n-1+…+x+1)=_______.(2001年武汉市中考题)2.已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a b a b+-=_____. (2001年杭州市中考题) 3.计算:(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655=_______;(2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________;(3) 2221999199819991997199919992+-=___________. 4.如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形,•请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a 、b 的恒等式________.(2003年太原市中考题) 5.已知a+1a =5,则=4221a a a++=_____. (2003年菏泽市中考题)6.已知a-b=3,b+c=-5,则代数式ac-bc+a 2-ab 的值为( ).A.-15B.-2C.-6D.6 (2003年扬州市中考题)7.乘积(1-212)(1-213)……(1-211999)(1-212000)等于( ). A. 19992000 B. 20012000 C. 19994000 D. 20014000(2002年重庆市竞赛题)8.若x -y=2,x 2+y 2=4,则x 2002+y 2002的值是( ).A.4B.2002C.2D.49.若x 2-13x+1=0,则x 4+41x的个位数字是( ). A.1 B.3 C.5 D.710.如图①,在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②),通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是().A.a 2-b 2=(a+b)(a -b)B.(a+b)2=a 2+2ab+b 2C.(a -b)2=a 2-2ab+bD.(a+2b)(a -b)=a 2+ab -2b 2 (2002年陕西省中考题)11.(1)设x+2z=3y,试判断x 2-9y 2+4z 2+4xz 的值是不是定值?如果是定值,•求出它的值;否则请说明理由.(2)已知x 2-2x=2,将下式先化简,再求值:(x -1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1).(2003年上海市中考题)12.一个自然数减去45后是一个完全平方数,这个自然数加上44后仍是一个完全平方数,试求这个自然数.13.观察:1·2·3·4+1=522·3·4·5+1=1123·4·5·6+1=192……(1)请写了一个具有普遍性的结论,并给出证明;(2)根据(1),计算2000·2001·2002·2003+1的结果(用一个最简式子表示).(2001年黄冈市竞赛题)二、能力拓展14.你能很快算出19952吗?为了解决这个问题,我们考察个位上的数字为5的自然数的平方,•任意一个个位数为5的自然数可写在10n+5(n为自然数),即求(10n+5)2的值,试分析n=1,n=2,n=3,……这些简单情形,从中探索其规律,并归纳猜想出结论.(1)通过计算,探索规律.152=225可写成100×1×(1+1)+25;252=625可写成100×2×(2+1)+25;352=1225可写成100×3×(3+1)+25;452=2025可写成100×4×(4+1)+•25;•……752=•5625•可成写__________;852=7225可写成__________.(2)从第(1)题的结果,归纳,猜想得(10n+5)2=________.(3)根据上面的归纳猜想,请算出19952=________. (福建省三明市中考题)15.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z=________.(2001天津市选拨赛试题)16.(1)若x+y=10,x3+y3=100,则x2+y2=________. (2)若a-b=3,则a3-b3-9ab=________.17.1,2,3,•……,•98•共98•个自然数中,•能够表示成两整数的平方差的个数是________.(全国初中数学联赛试题)18.已知a-b=4,ab+c2+4=0,则a+b=( ).A.4B.0C.2D.-219.方程x2-y2=1991,共有( )组整数解.A.6B.7C.8D.920.已知a、b满足等式x=a2+b2+20,y=4(2b-a),则x、y的大小关系是( ).A.x≤yB.x≥yC.x<yD.x>y (2003年太原市竞赛题)21.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a2+b2+c2-•ab-•bc-c a的值为( ).A.0B.1C.2D.3 (2002年全国初中数学竞赛题)22.设a+b=1,a2+b2=2,求a7+b7的值. (西安市竞赛题)23.已知a满足等式a2-a-1=0,求代数式a8+7a-4的值. (2003年河北省竞赛题)24.若x+y=a+b,且x2+y2=a2+b2,求证:x1997+y1997=a1997+b1997. (北京市竞赛题)三、综合创新25.有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场),用x1,y1•顺次表示第一号选手胜与负的场数;用x2,y2顺次表示第二号选手胜与负的场数,……;用x10,y10•顺次表示十号选手胜与负的场数.求证:x12+x22+……+x102=y12+y22+……+y102.26.(1)请观察:25=521225=352112225=335211122225=33352……写出表示一般规律的等式,并加以证明.(2)26=52+12,53=72+22,26×53=1378,1378=372+32.任意挑选另外两个类似26、53的数,使它们能表示成两个平方数的和,把这两个数相乘,乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?答案1.x n+1-12.-133.(1)4;(2)3897326;(3)124.(a+b)2-4ab=(a-b)25.246.C7.D 提示;逆用平方差公式,分解相约8.C 提示:由已知条件得xy=09.D 提示:x≠0,由条件得x+1x=13,x4+41x=(x2+21x)2-2=[(x+1x)2-2]2-2 10.A11.(1)定值为0 提示:由条件得x-3y=-2z,原式=(x-3y)·(x+3y)+4z2+4xz=-2z·(x+3y)+4z2+4xz=4z2+2xz-6yz=4z2+2z(x-3y)=0(2)原式=3x2-6x-5=3(x2-2x)-5=1.12.提示:设这个自然数为x,由题意得224544x m x n ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩②-①得n2-m2=89 即(n+m)(n-m)=89×1从而891n mn m+=⎧⎨-=⎩,解得4544nm=⎧⎨=⎩(m,n都为自然数) 故 x=45-44=1981.13.(1)对于自然数n,有n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2,证明略.(2)由(1)得原式=(20002+3×2000+1)2=4006001214.(1)100×7×(7+1)+25;100×8×(8+1)+25.(2)(10n+5)2=10n(n+1)+25(3)19952=(10×199+5)2=10×199×(199+1)+25=398002515.216.(1)40 提示:x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=(x+y)[(x+y)2-3xy];(2)27.17.73 提示:x=n2-m2=(n+m)(n-m)(1≤m<n≤98,m,n为整数),因n+m与n-m•的奇偶性相同,故x是奇数或是4的倍数.18.B提示:把a=b+4代入ab+c2+4=0得(b+2)2+c2=019.C 提示:(x+y)(x-y)=1×1991=11×181=(-1)×(-1991)=(-11)×(-181)20.B提示:x-y=(a+2)2+(b-4)2≥021.D 提示:原式=12[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]22. 718 提示:由a+b=1,a 2+b 2=2,得ab=-12, 利用a n+1+b n+1=(a n +b n )(a+b)-ab(a n-1+b n-1)•可分别求得 a 3+b 3=52,a 4+b 4=72,a 5+b 5=194 ,a 6+b 6=264. 23.48 提示:由a 2-a-1=0,得a -a -1=1,进而a 2+a -2=3,a 4+a -4=7, 所以a 8+7a -4=a 4(a 4+a -4)+7a -4-•1=7a -4+7a -4-1=7(a 4+a -4)-1=48.24.提示:设2222x y a b x y a b+=+⎧⎨+=+⎩, 则由①2-②得2xy=2ab ③ ②-③,得(x-y )2=(a -b)2,即│x-y │=│a-b │则x-y=a-b 或x-y=b-a,分别与x+y=a+b 联立解得x a y b =⎧⎨=⎩或x b y a =⎧⎨=⎩25.提示:由题意知:x i +y i =9(i=1,2,…,10)且x 1+x 2+…+x 10=y 1+y 2+…+y 10 因(x 12+x 22+…+x 102)-(y 12+y 22…+y 102)=(x 12-y 12)+(x 22-y 22)+…+(x 102-y 102) =(x 1+y 1)(x 1-y 1)+(x 2+y 2)(x 2-y 2)+…+(x 10+y 10)(x 10-y 10) =9[(x 1+x 2+…+x 10)-(y 1+y 1+…+y 10)]=026.(1)提示:经观察,发现规律: (1)111n - 个 2225n 个=((1)3335n - 个)2 ,实际上, ((1)3335n - 个)2=(3332n + 个)2=(13×9992n + 个)2 =[13(10n -1)+2]2=(1053n +)2=2109n +1109n ++259 =21019n -+11019n +-+2529+= 2111n 个+ (1)111n + 个+3 = (1)111n - 个 2225n 个(2)一般地,设m=a 2+b 2,n=c 2+d 2,则mn=(a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+b 2d 2+b 2c 2+a 2d 2=a2c2+b2d2+2abcd+b2c2-•2abcd+a2d2=(ac+bd)2+(bc-ad)2或(a c-bd)2+(bc+ad)2.。

第十五讲 多边形的有关问题趣题引路】如图15-1，用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律，拼成若干个图案． (1)第四个图案中有白色地面砖 块． (2)第n 个图案中有白色地面砖 块． 第一个图案有白砖数6， 6＝4×1＋2； 第二个图案有白砖数10，10＝4×2＋2； 第三个图案有白砖数14，14＝4×3＋2； 第四个图案有白砖数18，18＝4×4＋2； ……一般地，第n 个图案有白色地砖(4n ＋2)块．图15-1...知识拓展】1．多边形的基本知识主要是指多边形的边、内外角、对角线、凸多边形、凹多边形等基本概念和多边形内角和定理、外角和定理，其中多边形内、外角和定理是解有关多边形问题的基础．2．多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来解决，将多边形问题转化为三角形问题来解决是解多边形问题的基本策略，从凸n 边形的一个顶点引出的对角线把凸n 边形分成(n －2)个三角形，凸n 边形一共可引出(3)2n n -条对角线． 3．多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，但外角和却总是不变的，所以，我们常以外角和的“不变”来制约内角和的“变”，把内角问题转化为外角问题来处理，这也是解多边形相关问题的常用技巧．4．多边形的内角和为(n －2)180°；外角和为360°； 正多边形的每个内角为(2)180n n -，每个外角为360n．一、多边形的内角与外角例1 (2003年全国联赛题)在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是( )个． A ．0 B ．1 C ．3 D ．5解析 由于任何凸多边形的所有外角之和都是360°，故外角中钝角的个数不超过3个．又因为内角与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过3个．实际上，容易构造出内角中有三个锐角的凸10边形．故选C ．点评 把内角问题转化为外角问题考虑．例2 一个凸n 边形，除了一个内角外，其余(n －1)个角之和为2002°，求n 的值．解析 本题实际上是求多边形内角和的延伸，要注意n 为自然数且每个内角不大于180°这两个隐含条件．解 设除去的这个内角是x 度，则(n －2)×180°－x °＝2002°，那么(n －2)×180°＝2002°＋x°．显然2002°＋x °应是180°的倍数，故x °＝158°，这时求得n ＝14．二、多边形的边例3 (2002年全国竞赛题)若1239A A A A 是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于( )A ．B ．C ．()12a b + D ． a b + 解析 此题以正九边形为背景，考察观察能力和构造能力．不必画出完整图形，只需画出有用的局部图形．图15-215解 如图15-2，延长A 1A 2、A 5A 4．相交于点P ，连结A 2A 4，则A 2A 4// A 1A 5，且A 2A 4＝A 1A 3＝b ，因为正九边形的每一个内角为(92)1801409-⋅=，所以∠A 2A 1A 5＝∠A 4A 5A 1(92)18031402-⋅-⨯=60=，故△P A 1A 5和△P A 2A 4均为正三角形．所以A 2P ＝A 2 A 4＝A 1 A 3＝b ．于是A 1 A 5＝A 1 P ＝A 1 A 2＋A 2 P ＝a ＋b ．选D ．例4 (1999年全国联赛题)设有一个边长为1的正三角形，记作A 1[如图15-3(1)]．将A 1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A 2，[如图15-3(2)]；将A 2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 3[如图15-3(3)]；再将A 3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 4，那么，A 4的周长是 ．图15-3(1)解析 从基本图形入手计算，寻找规律．解 从A 1开始，每进行一次操作，所得到的图形的周长是原来图形周长的43倍．所以， A 2的周长是4343⨯=；A 3的周长是416433⨯=；A 4的周长是41664339⨯=．三、多边形的对角线问题例5 (1)计算凸十边形所有对角线的条数，以及以凸十边形顶点为顶点的三角形的个数．(2)在凸十边形每个顶点处任意标上一个自然数，在(1)中的三角形，若三个顶点所标三数之和为奇数，则该三角形称为奇三角形；若三数之和为偶数，则称偶三角形，试判断：奇三角形个数是奇数还是偶数，并证明你的结论．解析(1)共有(103)10352-⨯=条对角线，因为边与对角线共有45条，每条属于8个三角形的边，则三角形个数为4581203⨯=个． (2)奇三角形个数是偶数．因为凸十边形每个顶点属于40个三角形，也就是说凸十边形每个顶点所写的数在总和中计算了40次，那么总和应为十顶点所标数和的40倍，则一定是偶数，偶三角顶点之和必为偶数．故奇三角形个数必为偶数．四、多边形的证明问题例6 已知凸六边形的周长等于20，各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构成三角形．求证：这样的六边形有无穷多个．解析 由n 边形(n ≥4)的不稳定性知，若存在一个这样的六边形，则必有无穷多个．故下面寻找是否存在六个正整数a 1，a 2，…，a 6(不妨设a 1≤a 2≤…≤a 6)，满足(1)12620a a a +++=；(2)12123234345456,,,,a a a a a a a a a a a a a a ≤+≤+≤+≤+≤； (3)123456++a a a a a a ++>．如果这样的六边形存在，则以126a a a ，，，为边长的六边形即符合要求．实际上，对任选三个整数61i j k a a a a ≤≤≤≤，必有i j k a a a +≤，可见此六边形的任意三边不能构成三角形，如121a a ==，32a =，43a =，55a =，68a =，满足上述全部条件．所以，这样的六边形有无穷多个．点评 本题首先证明了这样的六边形存在，然后根据n 边形(n ≥4)的不稳定性，说明这样的六边形有无穷多个．五、多边形中的开放性问题例7 (1999年全国联赛题)在正五边形ABCDE 所在平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形．这样的不同的点P 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析 可先动手画出简图．由△PCD 与△BCD 的面积相等及等积变换的思想，点点P 应在平行于CD 且与CD 的距离等于B 点到CD 的距离的直线l 上，这样的直线l有两条，且位于CD 的两侧．然后再根据△ABP 为等腰三角形确定点P 的个数．图15-4如图15-4，由S △PCD ＝S △BCD 知，点P 只能在直线l 1(即直线BE )与直线l 2上，其中l 2与CD 平行且与CD 的距离等于l 1与CD 的距离．在等腰△ABP 中，按其底边可分如下三种情形：(1)当AB 为底边时，AB 的垂直平分线分别与l 1、l 2交于P 1、P 2，则P 1、P 2是符合条件的点． (2)当P A 为底边时，以B 为圆心，BA 为半径作圆，与l 1交于P 3、P 4两点，则P 3、P 4符合条件． (3)当PB 为底边时，只有E 点符合条件．综上所述，共有P 1、P 2、P 3、P 4、E 五个点符合题设全部条件，故应选D ．点评 解答这类计数问题，需要分清谁是底，谁是腰，可直接通过作图确定点P 的个数，这里主要应用了交轨法．好题妙解】佳题新题品味例1 一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数有( )A ．9条B ．8条C ．7条D ．6条解析 每一内角为140°，得每一外角为40°，360°÷40°＝9，即边数为9，故从一个顶点可作对角线9－3＝6条，选D ．例2 设12n A A A 是一个有n 个顶点的凸多边形，对每一个顶点(1,2,3,,)i A i n ，将构成该角的两边分别反向延长至12,i i A A ，连接12,i i A A ，得到两个角12,i i A A ∠∠(扫描件版本中有错)，那么所有这些新得到的角的度数的和是 ．解析 注意每一内角与相邻的外角互补即可求． 故：n ×180°－(n －2)·180°＝360°．例3 正五边形广场ABCDE 的周长为2000m ，甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发绕广场沿A →B →C →D →E →A 的方向行走，甲的速度为50m/min ，乙的速度为46m/min ，则出发后经过 min ，甲、乙第一次行走在同一条边上．解析 设甲走完x 条边时，两人走在同一条边上，此时甲走了400x m ，乙走了4004636850xx ⨯=m ，甲、乙两人的距离不大于正五边形的边长400m ，所以(368x ＋800)－400x ≤400．解得x ≥12.5．而x 为整数，取x ＝13． 所以，甲、乙走了40010450x=min 后走到一条边上．中考真题欣赏例4 (吉林省)如图15-5，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题．(1)在第n 个图中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖(均用含n 的代数式表示)．(2)设铺地面用瓷砖的总数为y ，请写出y 与(1)中n 的函数关系式(不要求写自变量n 的取值范围)． (3)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n 值． (4)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(3)中共需花多少元钱购买瓷砖？ (5)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情况？请通过计算说明，为什么？图15-5解析()()()() 1231n n n n n n n n ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯+++： 1 2 3 白砖： 1 2 2334 黑砖：34-1 2 45-2 3 56-3 4-解(1)n ＋3，n ＋2．(2)y ＝(n ＋3)(n ＋2)． (3)当y ＝506时，(n ＋3)(n ＋2)＝506， 解得n 1＝20，n 2＝－25(舍去)． 白色砖数：n (n ＋1)＝20×(20＋1)＝420． 黑色砖数：506－420＝86．(4)共需钱数：86×4＋420×3＝1604(元)(5)n (n ＋1)＝(n ＋2)(n ＋3)－n (n ＋1)，化简得n 2－3n －6＝0，解得n ．因n 的值不是整数， ∴不存在黑、白瓷砖块数相等的情形．竞赛样题展示例1 (2004年江苏省初中竞赛题)在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为2002°，则这个多边形的边数为( )A ．12B ．12或13C ．14D ．14或15解析 设这个多边形为n (n 为正整数)边形，由题意2002°<(n －2)×180°<2002°＋360°，111113159090n <<． 所以，n ＝14或15．选D ．例2 (2002年上海市竞赛题)平面上有7个点，它们之间可以连一些线段，使7点中的任意3点必存在2点有线段相连．问至少要连多少条线段？证明你的结论．解析(1)若7个点中，有一点孤立(即它不与其他点连线)，则剩下6点每2点必须连线，此时至少要连65152⨯=条． (2)若7点中，有一点只与另一点连线，则剩下5点每2点必须连线，此时至少要连541112⨯+=条． (3)若每一点至少引出3条线段，则至少要连732⨯条线段．由于线段数为整数，故此时至少要连11条． (4)若每点至少引出2条线段，且确有一点(记为A )只引出2条线段AB 、AC ，则不与A 相连的4点每2点必须连线，要连4362⨯=条．由B 引出的线段至少有2条，即除BA 外还至少有一条．因此，此时至少要连6＋2＋1＝9条．图15-6图15-6给出连9条线的情况．综合(1)~(4)，至少要连9条线段，才能满足要求．例3 (第14届希望杯)两条直线上各有n 个点，用这n 对点按如下规则连结线段： ①同直线上的点之间不连结；②连结的任意两条线段可以有共同的端点，但不得有其他的交点． (1)画图说明当n ＝1，2，3时，连结的线段最多各有多少条？(2)由(1)猜想n (n 为正整数)对点之间连结的线段最多有多少条，证明你的结论． (3)当n ＝2003时，所连结的线段最多有多少条？图15-7解析 (1)由图15-7可以看出，n ＝1时，最多可以连结1条线段，n ＝2时，最多可以连结3条线段，n ＝3时，最多可以连结5条线段．(2)猜想：对于正整数n ，则n 对点直接连结的直线段最多有2n －1条． 证明 将直线标记为l 1、l 2，它们上面的点从左到右排列分别为123,,,,n A A A A 和123,,,,n B B B B ，设这n 对点之间连结的直线段最多有P n 条，显然，其中必有n n A B 这一条，否则，P n 就不是最多的数． 当在l 1，l 2分别加上第n +1个点时，不妨设这两个点在A n 与B n 的右侧，那么除了原来已经有的P n 条直线段外，还可以连结A n+1B n ，An +1B n +1这两条线段，或连结A n B n +1，A n +1B n +1这两条线段． 所以P n +1≥P n +2．l 2l 1B n+1B i+1B i A n+1A n另一方面，设对于n +1对点有另一种连法：考虑图中以A n +1为端点的线段，若以A n +1为端点的线段的条数大于1，则一定可以找到一个i ≤n ，使得对于任意的j <i ，A n +1B j ，都不在所画的线段中，这时，B i +1，B i +2，...，B n +1，只能与A n +1连结，不妨设A n +1B i +1，A n +1B i +2，…，A n +1B n +1都已连结，此时图中的线段数为P n +1，我们做如下操作：去掉A n +1B i ，连结A n B i +1，得到新的连结图，而新的连结图满足要求且线段总数不变，将此操作一直进行下去，直到与A n +1连结的线段只有一条A n +1B n +1为止．最后图中，与点B n +1相关的线段只剩两条，即A n B n +1，A n +1B n +1，去掉这两条线段，则剩余P n +1-2条线段，而图形恰是n 对点的连结图，所以P n +1-2≤P ． 由此我们得到P n +1=P n +2，而P 1=1，P 2=3，所以P n =1+2×(n -1)=2n -1． （3）当n =2003时，P 2003=4005（条）．过关检测】A 级1．一个凸n 边形共有54条对角线，则它的内角和是（ ） A ．1080° B ．1440° C ．1800° D ．1620°2．（1999年全国初中联赛试题）一个凸n 边形的内角和小于1999°，那么n 的最大值是（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．143．（第12届“希望杯”邀请赛试题）凸n 边形中有且仅有两个内角为饨角，则n 的最大值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．（美国中小学数学课程标准）如图，用硬纸片剪一个长为16cm 、宽为12cm 的长方形，再沿对角线把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来，其中周长最大的是 cm ，周长最小的是 cm ．16cm12cm5．如图，ABCD 是凸四边形，AB =2，BC =4，CD =7，则线段AD 的取值范围是 ．DC BA6．如图，五边形ABCDE 中，AB=AE ，BC+DE=CD ，∠ABC +∠AED =180°，连接AD ． 求证：AD 平分∠CDE ．EDBAB 级1．一个凸n（n≥4）边形的每个外角的度数均为相等的奇数，则这样的凸多边形共有（）A．4种B．6种C．3种D．2种2．一个凸n边形最小内角为95°，其他内角依次增加10°，则n等于（）A．6 B．12 C．4 D．103．如图所示，CD//AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=124°，∠E=80°，求∠F的大小．F EDCBA4．若凸4n+2边形A1A2…A4n+2（n为自然数）的每个内角都是30°的整数倍，且∠A1=∠A2=∠A3=90°．求n所有可能的值．5．平面上给出4点，其中任意3点不共线，这4点组成4个三角形.请判断；这4个三角形中最多有几个锐角三角形？证明你的结论．6．已知一个凸n边形各内角度数均相等，且度数是奇数.问这样的多边形有几种？证明你的结论．()。

初中数学竞赛培训（初二）（15）一、填空题1．计算（13+）2005－2（13+）2004－2（13+）2003+2005=_________.2．一个正整数，如果加上100后是一个平方数，如果加上168后又是另一个平方数，则这个正整数是_________.3．在四边形ABCD 中，AD=DC ，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB 于E ，若四边形ABCD 的面积为8，则DE 的长为___________.4.在△ABC 中，AB=AC ，腰上的高BD=2，底边上的高AE=4，则tanC 的值为_________.5．已知a 、b 、c 、d 均为质数，且满足10＜c ＜d ＜20，又c －a 也是非偶质数， d 2－c 2=a 3b(a+b)，则ab(c+d)的值为___________.6．如图，在等边△ABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，D 为MN 上任意一点，BD 、CD 的延长线分别交AC 、AB 于点E 、F ，若311=+BF CE ，则S △ABC =__________. 二、简答题1．已知非零实数a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=1，3)11()11()11(-=+++++b a c c a b c ba ，求a+b+c 的值.2．甲、乙两班同时从学校A出发去距离学校75km的军营B军训，甲班学生步行速度为4km/h，乙班学生步行速度为5km/h，学校有一辆汽车，该车空车速度为40km/h，载人时的速度为20km/h，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？初中数学竞赛培训（15）答 案一、填空题1．2005解：设x=13+ 则x －1=3 ∴ x 2－2x －2=0原式=x 2005－2x 2004－2x 2003+2005=x 2003(x 2－2x －2)+2005=20052． 156解：设所求正整数为x ， 则x+100=m 2， x+168=n 2，其中m 、n 都是正整数 ∴n 2－m 2=68(n －m)(n+m)=22×17∵n －m 、n+m 具有相同的奇偶性∴⎩⎨⎧⨯=+=-1722m n m n 解得⎩⎨⎧==1816n m ∴x=156 3． 22解：把△ADE 绕A 点旋到△DCF 处，使AD 与CD 重合则△DCF ≌△ADE∴DF=DE ， ∠DCF=∠A∵∠A+∠DCB=180°∴∠DCF=∠DCB=180°∴F 、C 、B 三点共线∴S ABCD =S DEBF易证DEBF 是正方形 ∴DE 2=8 ∴DE=224．15解：∵AC ·BD=BC ·AE ，AE=4， BD=2 ∴AC=2BC由三线合一可知 CE=21BC ∴AC=4CE ∴tan C=15=CE AE 5． 180解：因为a 、b 、c 、d 均为质数，且10＜c ＜d ＜20所以c 、d 只能为11、13、17或19，且c ≠19又c －a 也是非偶质数，所以a=2分别取c=11，13，17，则c －a=9，11，15，只有c=13符合要求把c=13，a=2代入d 2－c 2=c 3b(a+b)得d 2－132=8b(2+b)（1）若d=17，则b 2+2b －15=0 解得b=3或b=－5（舍去）（2）若d=19，则b 2+2b －24=0 解得b=4或b=－6 都不舍∴a=2，b=3，c=13，d=17∴ab(c+b)=6×30=1806．43 解：过点D 作DS ∥BM ，DT ∥CN 交BC 于S 、T ，易证MDSB 、NDTC 都是平行四边形△DCT 是等边三角形DS ∥BM ⇒BCSC BF DS = DT ∥CN ⇒BC BT CE DT = ∴BC BC BC BC ST BC BT CS BF CE 3212311=•=•+=+ ∴3BC=3， BC=1∴S △ABC =43 二、简答题1．解：∵abc ≠0∴对第二个等式两边同乘abc ，得a 2(c+b)+b 2(a+c)+c 2(b+a)=－3abca 2c+a 2b+b 2a+b 2c+c 2b+c 2a+3abc=0ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)+abc+abc+abc=0(a+b+c)(ab+bc+ac)=0∴a+b+c=0 或ab+bc+ac=0当ab+bc+ac=0时，由（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac=1得 a+b+c=±1∴a+b+c=0 ,1 ,－12．解：设甲班学生从学校A 乘汽车出发至E 处下车步行，乘车akm ，空车返回至C 处，乙班同学于C 处上车，此时已步行了bkm.则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=-+47520754054020a b b a b b a a 解得a=60 b=20 ∴至少需要4364152060=+（h ）。

初中数学竞赛辅导资料第一讲数的整除一、内容提要：如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除.能被7整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。

如1001100－2＝98〔能被7整除〕又如7007700－14＝686，68－12＝56〔能被7整除〕能被11整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除如1001100－1＝99〔能11整除〕又如102851028－5＝1023102－3＝99〔能11整除〕第二讲倍数约数一、内容提要1、两个整数A和B〔B≠0〕，如果B能整除A〔记作B｜A〕，那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。

例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。

2、因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。

0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。

如0是7的倍数，7是0的约数。

3、整数A〔A≠0〕的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。

4、整数A〔A≠0〕的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。

例如6的约数是±1，±2，±3，±6。

5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。

6、公约数只有1的两个正整数叫做互质数〔例如15与28互质〕。

7、在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数。

假设用字母表示可记作：A ＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除。

例如23＝3×7＋2，那么23－2能被3整除。

第三讲质数合数一、内容提要1、正整数的一种分类：1⎧⎪⎨⎪⎩质数合数质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数〔质数也称素数〕。

①(-2ab + 5x)(5x + 2ab)②(ax —)(— ax — y) ③(—ab — c)(ab — c) ④(mn)( — m — n) (A)4 个(B)3 个 2.若 x + y = 6, x — y = 5,贝U x 2— y 2等于((A)11一、填空题 1直接写出结果：⑴(x + 2)(x — 2)= _______ ;(2)(2x + 5y)(2x — 5y)= _____ (3)(x — ab)(x + ab)= ______ ; (4)(12+ b 2)(b 2— 12)= _____ .2.直接写出结果：(1)(x + 5)2= _______ ； (2)(3m + 2n)2= ______ ；2b 2(3)(x — 3y 『= _______ ; (4)(2a)2 =________ ； 3⑸(-x + y)2= _______ ; (6)(— x — y)2= _____ .3•先观察、再计算：(1)(x + y)(x — y)= _____ ; (2)(y + x)(x — y)= ______ ; (3)(y — x)(y + x)= _____ ; (4)(x +y)(— y + x) = ______ ; (5)(x — y)(—x — y) = ___ ;(6)(— x — y)(— x +y) = _____ .4. ______________________________________ 若 9x 2+ 4y 2= (3x + 2y)2+ M ，贝U M = _______________________________________ . 、选择题1•下列各多项式相乘，可以用平方差公式的有（）.(B) 153.下列计算正确的是().(A)(5 — m)(5+ m) = m 2— 25 (C) (— 4 — 3n)(— 4+ 3n)=— 9n 2+16 4.下列多项式不是完全平方式的是((A)x 2— 4x — 4 (C)9s f + 6ab + b 2 5.下列等式能够成立的是( ).(A)(a — b)2= (— a- b)2 (C)(m — n)2 = (n — m)2 (C)2 个(D)1 个).(C) 30 (D)60(B)(1 — 3m)(1 + 3m) = 1 — 3m 2 (D) (2ab — n)(2ab + n) = 4ab 2 — n 2).(B)- m 2 m4(D)4t 2 + 12t + 9(B)(x — y)2= x 2 — y 2(D)(x —y)(x+ y)= (—x—y)(x—y)6•下列等式不能恒成立的是().(A)(3x—y)2= 9x2—6xy+ y21 2(C)(—m n)2三、计算题2 b 21 (3a -)(3a2 1m mn n4(B)(a+ b —c)2= (c—a—b)24 4(D)(x —y)(x+ y)(x —y) = x —y2. (x n—2)(x n+ 2).3. 乎)( 3n 詈). 4 2x 3y 3y 2x2 . 35. 6. (—m2n + 2)(—m2n—2).7 . (4x 2 、23y).2& (3mn—5ab).9. (5a2—b4)2.10. (—3X2+ 5y)2.11. (—4X3— 7y2)2. 12. (y—3)2—2(y+ 2)(y—2).四、解答题1. 应用公式计算：(1)103 X 97; (2)1.02 X 0.98 ;(3)10- 967 7 2. 当X= 1, y= 2 时，求(2X— y)(2x+ y)—(X + 2y)(2y—x)的值.1 2 c3. 用适当方法计算：(1)(40—)2;(2)2992.B 、Qm2丄n3)(丄m22 5 2丄n3)54. 若a+ b= 17, ab= 60,求(a—b)2和a2+ b2的值.一、填空题a a1. ( 3 -)(3 -) = ______________ .2 22. __________________________ (—3x—5y)(—3x+ 5y) = .3•在括号中填上适当的整式：(1)(x+ 5)( _____ )= x2—25; (2)(m—n)( ____ ) = n2—m2；(3)(—1—3x)(_ )=1 —9x2;(4)(a+ 2b)( )=4b2—a2 4. (1)x2—10x+=( —5)2：(2)x2++ 16=( —4)2；(3)x2—x+=(x —)2；(4)4x2++ 9=( + 3)2.5. 多项式x2—8x+ k是一个完全平方式，则k= ________6. ___________________________________________ 若x2+ 2ax+16是一个完全平方式，则a= ______________________________________ .、选择题1•下列各式中能使用平方差公式的是（）.A、(x2—y2)(y2+x2)C、(—2x—3y)(2x+ 3y)D、(4x—3y)(—3y+ 4x)2. 下面计算(一7+ a+ b)(—7—a—b)正确的是().A、原式=(—7+ a+ b)[ —7—(a+ b)] == —7 —(a+ b)2B、原式=(—7 + a+ b)[ —7—(a+ b)]= 7?+ (a+ b)?C、原式=[—(7—a—b)][ —(7 + a+ b)] = 7?—(a+D、原式=[—(7 + a) + b][ —(7 + ——b] = (7 + a)2 —b?3. （a+ 3）（a + 9）（a— 3）的计算结果是（）.A、a4+ 81B、—a4—81C、a — 81D、81 —a44. 下列式子不能成立的有()个.①(一y)2= (y—x)2②(一2b)2= a—4 b2③(一b)3= (b—a"a—b)2④(+ y)(x—y)= (—x—y)(—x+ y)⑤ 1 — + x)2=—x2—2xA、1aB、2b、2,,,,十, 一、,一,，C、3D、45.计算(- -）的结果与下面计算结果一样的是( ).2 21 2 1 2A、2(ab) B、尹b) abC、,a b)2 ab D、丄(a b)2ab4 4二、计算题1. ( 3a21b2)( 2b23a2).2. (x+ 1)(x2+ 1)(x—1)(x4+ 1).3. (m—2n)(2n+ m)—(—3m—4n)(4n—3m).5. (x—2y)2+ 2(x+ 2y)(x—2y) + (x+ 2y)2.4. (2a+ 1)2(2a—1)2.6. (a+ b+ 2c)(a+ b—2c).7. (x+ 2y —z)(x—2y+z).8. (a+ b+ c)2. 9. (x 2y -1)2.38米、宽少6米，且场地面积比花四、解答题1. 一长方形场地内要修建一个正方形花坛，预计花坛边长比场地的长少坛面积大104平方米，求长方形的长和宽.2. 回答下列问题：(1) 填空：X2占(X 丄)2__________ = (X -1)2________X X X1 2 1(2) 若a —5，则a —的值是多少？a a2 1(3)若a—3a+ 1 = 0,则a —的值是多少？a1•巧算：（1）（1 2）（1 *）（i 訓土）土；(2)(3+ 1)(32+ 1)(34+ 1)(38+ 1)…32+ 1).2. 已知：x, y为正整数，且4x2—9y2= 31,你能求出x, y的值吗？试一试.3. 若x2—2x+ 10+ y2+ 6y= 0,求(2x—y)2的值.4. 若a + b4+ 才b2= 5, ab= 2,求a + b2的值.5.若△ ABC三边a, b, c满足a2+ b2+ c2= ab+ bc+ ca,试问△ ABC的三边有何关系？1. B2. C3. C4. A5. C6. D三、计算题C 4b 22n4 2 9 22 23 22y1. 9a2. x — 4.3. — m n •4. xy • 5. 449163 26. m 4n 2— 47.9 2x 2+xy + 4 2-y 2.8. 9m 2n 2— 30mnab + 25a 2b 2.16916四、解1. (1)9991; (2)0.9996; (3)9948492.— 15.1 3. (1)1640; (2)89401.4提升精练4. 49; 169. 一、 填空题1. 9.2. 9x 2 —25y 2.3. (1)x — 5. (2)— m — n . (3)3x — 1. (4)2b —a.1. 6. 4. 16a 4— 8才 +1 5. 4x 2.a 2+ b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac 乘法公式参考答案巩固专练 一、 填空题 1.(I)x 2 — 4； (2)4X 2— 25y 2; (3)x 2—帝；(4)b 4— 144.2. (I)x 2 + 10X + 25; (2)9m 2 + 12mn + 4n 2; (3)x 2— 6xy + 9y 2; (4)4a 2 4ab3(5)x 2— 2xy + y 2; (6)x 2 + 2xy + y 2.3. (1)x — y 2; (2)x — y ; (3)y 2— x 2; (4)x 2— y 2; (5)y 2— x 2; (6)x 2 — y 2.4. — 12xy . 二、选择题1 14. (1)25; x ; (2)— 8x ; x ; (3) ; (4)12x ; 2x .5. 16.6.± 4.4 2二、选择题^b 4 9a 42. x 8— 13.— 8m 2 + 12n 24a 2+ 2ab + b 2— 4c 2 7. x 2— 4y 2— z 2+ 4yz & 2 2 9. x 4xy 4y四、解答题1.长12米，宽10米.2. (1)2; 2; (2)23; (3)7.跨越导练1. A2. C3. C三、计算题 4. B 5. D9. 25a 4— 10s ?b 4+ b 8. 10. 9x 4— 30x 2y + 25y 2. 11. 16x 6+ 56x 3?+ 49y 4. 12.— y 2 — 6y + 17.1 2n 1 1 丄“1. (1)2. (2)— 3—2. x= 8; y= 53. 254. 35.相等.2 2。

1.2 乘法公式◆赛点归纳乘法公式是多项式相乘得出的有规律性和实用性的具体结论，是多项式乘法运算和相关恒等变形的重要工具．除教材里介绍的平方差公式和完全平方公式外，另外补充几个常用公式：（1）（a±b ）（a 2ab+b 2）=a 3±b 3；（2）（a±b ）3=a 3±3a 2b+3ab 2±b 3；（3）（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac ．◆解题指导例1 （2004，河北省竞赛）已知实数a 、b 、x 、y 满足ax+by=3，ax －bx=5，则（a 2+b 2）（x 2+y 2）的值为________．【思路探究】显然将已知的代数式的值直接代入要求的代数式中，是难以求其值的，但将已知的两个代数式平方后，加以比较，就可发现它们之间的关系．例2 （2000，重庆市竞赛）计算：（1－22221111)(1)(1)(1)2319992002---）． 【思路探究】本题若直接计算是很复杂的，因每个括号内都是两个数的平方差，故利用平方差公式可使计算简化．例 3 （2004，河北省竞赛）已知四边形四条边的长分别是m 、n 、p 、q ，•且满足m 2+n 2+p 2+q 2=2mn+2pq ，则这个四边形是（ ）．A ．平行四边形B ．对角线互相垂直的四边形C ．平行四边形或对角线互相垂直的四边形D ．对角线相等的四边形【思路探究】由观察可知，条件等式具有完全平方公式的特征．故由条件等式变形，可得这个四边形的四边之间的关系．【思维误区】有位同学这样解答例3，你认为对吗？【解】 ∵m 2+n 2+p 2+q 2=2mn+2pq ，∴（m 2+n 2－2mn ）+（p 2+q 2－2pq ）=0，∴（m －n ）2+（p －q ）2=0，∴m=n ，p=q ．故这个四边形是平行四边形．例4 （2002，全国竞赛）已知a=1999x+2000，b=1999x+2001，c=1999x+2002，•则多项式a2+b2+c2－ab－bc－ca的值为（）．A．0 B．1 C．2 D．3【思维探究】多项式a2+b2+c2－ab－bc－ca具有完全平方式的基本特征，经过变形可转化为（a－b）2、（b－c）2、（c－a）2的代数和的形式，再结合题设，即可求其值．例5（2003，天津市竞赛）使得2n（n+1）（n+2）（n+3）+12可表示为2•个正整数平方和的自然数n（）．A．不存在B．有1个C．有2个D．有无数个【思路探究】首先需判断2n（n+1）（n+2）（n+3）+12的奇偶性，显然这个数是偶数，然后推证某两个数平方和是否是偶数．若是，再推导其个数；若不是，就不存在这样的自然数n．例6已知a、b、c满足a2+b2=20053－c2，求（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2的最大值．【思路探究】条件等式和待求代数式都涉及数的平方关系，由此联想到利用完全平方公式求其最大值．【拓展题】已知正整数a、b、c满足不等式a2+b2+c2+42<ab+9b+8c，求a、b、c的值．◆探索研讨乘法公式在代数式计算、化简和恒等变形中，有着广泛的应用．在相关应用中要活用它，既要注意正向运用，又要注意逆向运用，请结合本节例题总结你的发现．◆能力训练1．（2005，武汉市“CASIO杯”选拔赛）如果x+y=1，x2+y2=3，那么x3+y3的值为（）．A．2 B．3 C．4 D．52．（2004，北京市竞赛）如果a+2b+3c=12，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，则a+b2+c3=（）．A．12 B．14 C．16 D．183．（2003，太原市竞赛）已知a、b是实数，x=a2+b2+20，y=4（2b－a），则x、y•的大小关系是（）．A．x≤y B．x≥y C．x<y D．x>y 4．有理数a、b满足│a+b│<│a－b│，则（）．A．a+b≥0 B．a+b<0 C．ab<0 D．ab≥05．已知实数a、b满足条件a2+4b2－a+4b+54=0，那么－ab的平方根是（）．A．±2 B．2 C．±12D．126．（2001，“希望杯”，初二）若△ABC的三边长是a、b、c，且满足a4=b4+c4－b2c2，•b4=c4+a4－a2c2，c4=a4+b4－a2b2，则△ABC是（）．A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形7．a、b、c、d都是正数，以下命题中，错误的命题是（）．A．若a2+b2+c2=ab+bc+ca，则a=b=cB．若a3+b3+c3=3abc，则a=b=cC．若a4+b4+c4+d4=2（a2b2+c2d2），则a=b=c=dD．若a4+b4+c4+d4=4abcd，则a=b=c=d8．*多项式5x2－4xy+4y2+12x+2015的最小值是（）．A．2004 B．2005 C．2006 D．20079．已知：a=－2000，b=1997，c=－1995，那么a2+b2+c2+ab+bc－ac的值是________．10．*已知a是实数，且使a3+3a2+3a+2=0，那么（a+1）2004+（a+1）2005+（a+3）2006+（a+3）2007的值是_______．11．（2000，“希望杯”，初一）已知a=1999，b=1，则a2+2b2+3ab=_______．12．（2002，北京市竞赛）已知x2+y2+z2－2x+4y－6z+14=0，则（x－y－z）2002=________．13．（2003，河北省竞赛）已知实数a满足a2－a－1=0，则a8+7a－4的值为_______．14．（2003，北京市竞赛）若（2x－1）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a2+a4=_______．15．计算下列各题：（1）333199********199********--⨯⨯；（2）1.345×0.345×2.69－1.3453－1.345×0.3452．16．计算：（1）6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）+1；（2）19492－19502+19512－19522+…+19972－19982+19992．17．（2004，北京市竞赛）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且满足a4+b4+c4=a2c2+b2c2．•试判断△ABC的形状．18．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，•已知相对的两个面上二数之和相等．如果13、9、3的对面的数分别是a、b、c，试求a2+b2+c2－ab－bc－ca之值．139 3答案:解题指导例1 34．[提示：（a2+b2）（x2+y2）=a2x2+a2y2+b2x2+b2y2 =（a2x2+b2y2+2abxy）+（a2y2+b2x2－2abxy）=（ax+by）2+（ay－bx）2=32+52=34．]例2 原式=（1－12）（1+12）（1－13）+（1+13）…（1－1111 )(1)(1)(1 1999199920002000 ++-+）=12×32×23×43×34×…×19982000199920011200120011999199920002000220004000⨯⨯⨯=⨯=.例3 C [提示：（m－n）2+（p－q）2=0，若m、n是四边形的一组对边，则p、q•是它的另一组对边，这个四边形是平行四边形；若m、n是四边形一组邻边，则p、q•是它的另一组邻边，这个四边形是对角线互相垂直的四边形．]例4 D [提示：∵a－b=1999x+2000－（1999x+2001）=－1，b－c=1999x+2001－（1999x+2002）=－1，c－a=1999x+2002－（1999x+2000）=2，∴a2+b2+c2－ab－bc－ca=12[（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2]=12[（－1）2+（－1）2+22]=3．]例5 A [提示：原式=2（n2+3n）（n2+3n+2）+12．设n2+3n+1=t，则t为奇数，令t=2k+1，原式=4（2k2+2k+3）．若原式可表示为两个正整数x、y的平方和x2+y2，可知x、y均为偶数，不妨设x=2u，y=2v，于是有u2+v2=2k2+3k+3=2k（k+1）+3．因2k（k+1）+3为4p+3型，其中p为正整数，而u2+v2不可能为4p+3型，故满足条件的自然数n不存在．]例6 ∵a2+b2+c2=2005 3，∴（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2=2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=3（a2+b2+c2）－（a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca）=3×20053－（a+b+c）2=2005－（a+b+c）2≤2005．∴（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2的最大值是2005．【拓展题】∵a2+b2+c2+42<ab+9b+8c，∴a2+b2+c2+43≤ab+9b+8c，∴a2+b2+c2－ab－9b－8c+43≤0，∴（a－12b）2+34（b－6）2+（c－4）2≤0，∴（a－12b）2=0，34（b－6）2=0，（c－4）2=0．∴a－12b=0，b－6=0，c－4=0．∴a=3，b=6，c=4．能力训练1．C [提示：由2xy=（x+y）2－（x2+y2）=－2，得xy=－1．∴x3+y3=（x+y）（x2－xy+y2）=x2+y2－xy=4．]2．B [提示：由a2+b2+c2=ab+bc+ca，得（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2=0．∴a=b=c．∴6a=12，即a=2．∴a+b2+c2=2+22+22=14．]3．B [提示：∵x－y=a2+b2+20－4（2b－a）=（a+2）2+（b－4）2≥0，∴x≥y.] 4．C [提示：∵│a+b│<│a－b│，∴（a+b）2<（a－b）2，即a2+2ab+b2<a2－2ab+b2．不等式两边都减去a2+b2，则有ab<－ab，故只有ab<0时，才能成立．]5．C [提示：∵a2+4b2－a+4b+54=0，∴（a－12）2+（2b+1）2=0，∵（a－12）2≥0，（2b+1）2≥0，∴a=12，b=－12．∴－ab=14，14的平方根是±12．]6．D [提示：∵a4+b4+c4=（b4+c4－b2c2）+（c4+a4－a2c2）+（a4+b4－a2b2），∴a4+b4+c4－a2b2－b2c2－a2c2=0．∴2a4+2b4+2c4－2a2b2－2b2c2－2a2c2=0．∴（a2－b2）2+（b2－c2）2+（c2－a2）2=0．∵（a2－b2）2≥0，（b2－c2）2≥0，（c2－a2）2≥0，∴a2=b2=c2．∵a、b、c为△ABC的边长，∴a=b=c．]7．C [提示：（1）∵2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=0，∴（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2=0．∴a=b=c．故命题A正确．（2）a3+b3+c3－3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－bc－ac）=0，∵a+b+c≠0，∴a2+b2+c2－ab－bc－ac=0，由（1）得a=b=c．故命题B正确．（3）∵a4+b4+c4+d4－2a2b2－2c2d2=0，∴（a2－b2）2+（c2－d2）2=0．∴a2=b2，c2=d2，∴a=b，c=d．但不一定有b=c，命题C错误．（4）∵a4+b4+c4+d4－4abcd=0，∴（a2－b2）2+（c2－d2）2+2（ab－cd）2=0，∴a2=b2，c2=d2，且ab=cd．∴a=b=c=d，命题D正确．]8．C [提示：5x2－4xy+4y2+12x+2015=（x2－4xy+4y2）+（4x2+12x+9）+2006=（x－2y）2+（2x+3）2+2006．∵（x－2y）2≥0，（2x+3）2≥0，∴原式的最小值为2006．]9．19 [提示：∵（a+b）2+（b+c）2+（a－c）2=a2+2ab+b2+b2+2bc+c2+a2－2ac+c2=2（a2+b2+c2+ab+bc－ac），又a+b=－2000+1997=－3，b+c=1997－1995=2，a－c=－2000+1995=－5，∴（a+b）2+（b+c）2+（a－c）2=（－3）2+22+（－5）2=38．∴a2+b2+c2+ab+bc－ac=19．]10．2 [提示：∵a3+3a2+3a+2=0，∴（a+1）3+1=0，即（a+1）3=－1．∴a+1=－1，∴a+3=1．∴（a+1）2004+（a+1）2005+（a+3）2006+（a+3）2007=（－1）2004+（－1）2005+12006+12007=2．] 11．4002000．[提示：a2+2b2+3ab=a2+2ab+b2+b2+ab=（a+b）2+b（a+1）=（1999+1）2+（1999+1）=20002+2000=4002000．]12．0 [提示：x2+y2+z2－2x+4y－6z+14=x2－2x+1+y2+4y+4+z2－6z+9=0，即（x－1）2+（y+2）2+（z－3）2=0．∴x－1=0，y+2=0，z－3=0，∴x=1，y=－2，z=3．∴（x－y－z）2002=（1+2－3）2002=0．]13．48 [提示：∵a2－a－1=0，a－a－1=1．∴a2+a－2=3，a4+a－4=7．∴a8+7a－4=a4（a4+a－4）+7a－4－1=7（a4+a－4）－1=7×7－1=48．] 14．－120 [提示：令x=0，代入，得a0=－1，令x=1，代入，得a5+a4+a3+a2+a1+a0=1；（1）令x=－1，代入，得－a5+a4－a3+a2－a1+a0=－243．（2）（1）+（2）相加，得a4+a2+a0=－121．故a2+a4=－120．]15．（1）令1000=a，999=b，则原式=3333223332222()333() ()a b a b a a b ab b a b a b aba b a b ab ab a b ab+--+++--+==+++=3．（2）令0.345=a，则1.345=a+1，2.69=2（a+1）．∴原式=（a+1）a×2（a+1）－（a+1）3－（a+1）a2=2a3+4a2+2a－a3－3a2－3a－1－a3－a2=－（a+1）=－1.345．16．（1）原式=（7－1）（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）+1 =（72－1）（72+1）（74+1）（78+1）+1…=（78－1）（78+1）+1=716－1+1=716．（2）原式=（1949+1950）（1949－1950）+…+（1997+1998）（1997－1998）+19992=－（1949+1950+…+1997+1998）+19992=19992－(19491998)502+⨯=3897326．17．∵a4+b4+12c4=a2c2+b2c2，∴（a4－a2c2+14c4）+（b4－b2c2+14c2）=0．∴（a2－12c2）2+（b2－12c2）2=0．∵（a2－12c2）2≥0，（b2－12c2）2≥0，∴a2=12c2，b2=12c2，∴a2=b2，a2+b2=c2．∴a=b，且a2+b2=c2．故△ABC是等腰直角三角形．18．∵a+13=9+b=3+c，∴a－b=－4，b－c=－6，c－a=10．∴a2+b2+c2－ab－bc－ca=12[（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2]=12[（－4）2+（－6）2+102]=76．。

2020年暑假初升高衔接课——乘法公式主要讲解几个常见公式的证明，并补充一些常用的公式公式一、平方差公式在实际应用中，需要将公式进行变形，常见的变形如下：1.2.3.4.5.公式三、立方和公式公式四、立方差公式例1、计算例2、计算例3、已知a、b是方程的两个根，求：（1）；（2）；（3）；（4）【解答】（1）77；（2）（3）112；（4）24【解析】∵a、b是方程的两个根，∴a+b=7，ab＝11.（1）；（2）；（3）；乘法公式巩固练习一. 选择题1．下列式子计算正确的是（）A．m3•m2＝m6B．（﹣m）﹣2＝C．m2+m2＝2m2D．（m+n）2＝m2+n2【解答】C【解析】A、m3•m2＝m5，故A错误；B、（﹣m）﹣2＝，故B错误；C、按照合并同类项的运算法则，该运算正确．D、（m+n）2＝m2+2mn+n2，故D错误．2．如图（1），边长为m的正方形剪去边长为n的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论（）A．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2B．（m+n）2＝m2+2mn+n2C．（m﹣n）2＝m2+n2D．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）【解答】D【解析】图（1）中，①、②两部分的面积和为：m2﹣n2，图（2）中，①、②两部分拼成长为（m+n），宽为（m﹣n）的矩形面积为：（m+n）（m﹣n），因此有m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），3．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，能根据图形的面积关系得到的关系式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．b（a﹣b）＝ab﹣b2D．ab﹣b2＝b（a﹣b）【解答】A【解析】（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2.4．如图1的8张长为a，宽为b（a＜b）的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）A．b＝5a B．b＝4a C．b＝3a D．b＝a【解答】A【解析】设左上角阴影部分的面积为S1，右下角的阴影部分的面积为S2，S＝S1﹣S2＝AD•AB﹣5a•AD﹣3a•AB+15a2﹣[BC•AB﹣b（BC+AB）+b2]＝BC•AB﹣5a•BC﹣3a•AB+15a2﹣BC•AB+b（BC+AB）﹣b2＝（5a﹣b）BC+（b﹣3a）AB+15a2﹣b2．∵AB为定值，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，∴5a﹣b＝0，∴b＝5a．5．已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（）A．12 B．20 C．28 D．36【解答】C【解析】∵实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2＝5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）＝20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]＝28﹣2（x+y+z）2≤28∴当x+y+z＝0时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28．二．填空题6．已知（a+b）2＝7，a2+b2＝5，则ab的值为．【解答】﹣1【解析】∵（a+b）2＝7，∴a2+2ab+b2＝7，∵a2+b2＝5，∴7+2ab＝5，∴ab＝﹣1．7．我们规定一种运算：，例如＝3×6﹣4×5＝﹣2，．按照这种运算规定，当x＝时，＝0．【解答】8【解析】由题意得（x+2）（x﹣2）﹣（x+4）（x﹣3）＝0，x2﹣4﹣（x2+x﹣12）＝0，解得x＝8．8．如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2，……，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为S n，则S2020﹣S2019的值为．【解析】连接EC，∵正方形ACDE和正方形CBFG，∴∠ACE＝∠ABG＝45°，∴EC∥BG，∴△BCG和△BEG是同底（BG）等高的三角形，即S△BCG＝S△BEG，∴当BC＝n时，S n n2，∴S2020﹣S201920202201922020+2019）（2020﹣2019）＝；9．如果，那么a+2b﹣3c＝．【解答】0【解析】原等式可变形为：a﹣2+b+1+ ﹣5（a﹣2）+（b+1）+ +5＝0（a﹣2+4+（b+1+1+ 0（﹣2）2+﹣1）2+ 0；即：﹣2＝0﹣1＝0﹣1＝0，∴＝2，＝1＝1，∴a﹣2＝4，b+1＝1，c﹣1＝1，解得：a＝6，b＝0，c＝2；∴a+2b﹣3c＝6+0﹣3×2＝0．10．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）4展开式共有项，系数分别为；（2）（a+b）n展开式共有项，系数和为．【解答】（1）5；1，4，6，4，1；（2）n+1，2n【解析】（1）展开式共有5项，展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1，（2）展开式共有n+1项，系数和为2n．三．解答题11．已知x+y＝﹣6，xy＝5，求下列代数式的值：（1）x+y（1﹣x）；（2）x2+y2．【解答】（1）﹣11；（2）26【解析】（1）∵x+y＝﹣6，xy＝5，∴原式＝x+y﹣xy＝﹣6﹣5＝﹣11；（2）∵x+y＝﹣6，xy＝5，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（﹣6）2﹣2×5＝26．12．已知A＝2x+3，B＝x﹣2．化简A2﹣AB﹣2B2，并求当x＝【解答】1【解析】∵A＝2x+3，B＝x﹣2，∴A2﹣AB﹣2B2＝（2x+3）2﹣（2x+3）（x﹣2）﹣2（x﹣2）2＝4x2+12x+9﹣（2x2﹣4x+3x﹣6）﹣2（x2﹣4x+4）＝4x2+12x+9﹣2x2+4x﹣3x+6﹣2x2+8x﹣8＝21x+7，当x＝21×（）+7＝1．13．先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2]÷y，其中x＝﹣1，y＝﹣2．【解答】﹣2【解析】原式＝（x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2﹣2y2）÷y＝（﹣4xy+3y2）÷y＝﹣4x+3y，当x＝﹣1，y＝﹣2时，﹣4x+3y＝4﹣6＝﹣2．14. 已知，求的值.【解析】15. （1，，求的值；（2）若，求的值.【解答】（1）40；（2）27【解析】（1）将代入得.16. 已知三角形的三条边分别是a、b、c，且满足等式，试确定三角形的形状.【解答】等边三角形【解析】由已知得，∵a、b、c，∴，即，，，，，，即三角形为等边三角形.17．前面学习中，一些乘法公式可以通过几何图形来验证，请结合下列两组图形回答问题：图①说明：左侧图形中阴影部分由右侧阴影部分分割后拼接而成；图②说明：边长为（a+b）的正方形的面积分割成如图所示的四部分．（1）请结合图①和图②分别写出学过的两个乘法公式：图①：；图②：．（2）请利用上面的乘法公式计算：①1002﹣99×101；②（60）2．【解答】（1）①（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，②（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）①1，②3602【解析】（1）由图①可得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；由图②可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）①1002﹣99×101＝1002﹣（100﹣1）×（100+1）＝1002﹣（1002﹣1）＝1002﹣1002+1＝1；②（60）2＝（）2＝3600+2+＝3602．18．要说明（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc成立，三位同学分别提供了一种思路，请根据他们的思路写出推理过程．（1）小刚说：可以根据乘方的意义来说明等式成立；（2）小王说：可以将其转化为两数和的平方来说明等式成立；（3）小丽说：可以构造图形，通过计算面积来说明等式成立．【解答】见解析【解析】（1）小刚：（a+b+c）2＝（a+b+c）（a+b+c）＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）小王：（a+b+c）2＝[（a+b）+c]2＝（a+b）2+2（a+b）c+c2＝a2+b2+2ab+2ac+2bc+c2；（3）小丽：如图所示：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+ab+ac+bc+ab+ac+bc，19．【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x 的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题．①已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值；②已知（2021﹣c）（c﹣2019）＝2020，求（2021﹣c）2+（c﹣2019）2的值．【解答】（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy；（2）①13；（2）﹣4036【解析】（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy．（2）①由题意得：把a2+b2＝10，a+b＝6代入上式得，②由题意得：（2021﹣c）2+（c﹣2019）2＝（2021﹣c+c﹣2019）2﹣2（2021﹣c）（c﹣2019）＝22﹣2×2020＝﹣4036．20．如图1，是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块相同的小长方形，然后拼成一个正方形（如图2）．（1）用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1：S阴影＝．方法2：S阴影＝．（2）写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系为．（3）①若（2m+n）2＝14，（2m﹣n）＝6，则mn的值为．②已知x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．【解答】（1）4ab，（a+b）2﹣（a﹣b）2；（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）①40，②x﹣y＝6，或x﹣y ＝﹣6【解析】（1）方法1：图2的阴影部分面积等于图1的面积，即2a×2b＝4ab，方法2：大正方形与小正方形的面积差，即（a+b）2﹣（a﹣b）2，（2）由（1）可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，（3）①由（2）得，4mn＝（m+n）2﹣（m﹣n）2＝142﹣62＝（14+6）（14﹣6）＝20×8＝160，∴mn＝160÷4＝40，②由（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，可得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，把x+y＝10，xy＝16代入得，（x﹣y）2＝102﹣4×16＝36，∴x﹣y＝6，或x﹣y＝﹣6．21．请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．方法1：；方法2：；（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：；（3）利用（2）中结论解决下面的问题：若ab＝2，a+b＝4，求a2+b2的值．【解答】（1）a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）12【解析】（1）方法1，阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，即，a2+b2，方法2，阴影部分的面积等于总面积减去两个长方形的面积，即，（a+b）2﹣2ab，（2）两种方法求得的结果相等，因此有，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，（3）由（2）得，ab＝2，a+b＝4，求a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣4＝12．22．如图是一个长为4a、宽为b的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）图2中的阴影部分面积为：（用a、b的代数式表示）；（2）观察图2，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；（3）利用（2）中的结论，若x+y＝5，xy＝，求（x﹣y）2的值；（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，请你写出这个等式；（5）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2，…，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为S n，则S2020﹣S2019的值为．【解答】（1）（a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2；（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）16；（4）（3a+b）（a+b）＝3a2+b2+4ab；（5）2019.5【解析】（1）图2中，阴影部分的边长为（a﹣b）的正方形，因此面积为（a﹣b）2，也可以从边长为（a+b）的正方形面积减去图1的面积，即（a+b）2﹣4ab＝a2+b2﹣2ab，（2）通过（1）的计算可知，（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝26﹣9＝16，（4）整体长方形的面积为（3a+b）（a+b），图中八个四边形的面积和为3a2+b2+4ab，因此有：（3a+b）（a+b）＝3a2+b2+4ab，（5）如图，连接EC，则EC∥BG，如图所示：∴S△BEG＝S△CBG＝BC2，∴S2020﹣S20192020220192，＝2020+2019）（2020﹣2019），＝2019.5，。

在整式及其加减运算后，进一步学习整式的乘除，是对整式运算的延展和补充．整式的乘除法的基础是同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，单项式除以单项式、多项式除以单项式等运算．通过这节课的学习，一方面加强对整式乘除运算的进一步理解，另一方面也为后期学习分式的运算奠定基础．1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按”先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：()()()22224245234312xy x y x y x y x y⋅-=⋅-=-．2、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项．再把所得的积相加．例如：()m a b c⋅++=ma mb mc++．3、多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用公式表示为：()()()()m n a b m n a m n b ma na mb nb++=+++=+++．4、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为：m n m na a a-÷=（m、n都是正整数且m n>，0a≠）．整式的乘除法综合知识结构知识精讲内容分析2/ 135、规定()010a a =≠；1p p a a-=（0a ≠，p 是正整数）． 6、单项式除以单项式的法则：两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 7、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加． （1）多项式除以单项式，商式与被除式的项数相同，不可丢项． （2）要求学生说出式子每步变形的依据．（3）让学生养成检验的习惯，利用乘除逆运算，检验除的对不对． 一、选择题1. 下列运算中结果正确的是（）．A 、336x x x ⋅=；B 、224325x x x +=；C 、()325x x =；D 、()222x y x y +=+．【答案】A【解析】B 正确答案为：222325x x x +=； C 正确答案为()326x x =；D 正确答案为()2222y xy x y x ++=+．【总结】本题主要考查对整式的运算法则的理解和运用．2. 在下列的计算中正确的是（ ）． A 、255x y xy += B 、()()2224a a a +-=+ C 、23a ab a b ⋅=D 、()22369x x x -=++【答案】C【解析】A 的两个单项式不能合并； B 正确答案为()()2224a a a +-=-；D 正确答案为()22369x x x -=-+．【总结】本题主要考查对整式的运算法则的理解和运用．3. 下列运算中正确的是（ ）．A 、()()632632x x x ÷=B 、()()826842x x x ÷=C 、()()233xy x y ÷=D 、()()222x y xy xy ÷=【答案】B【解析】A 正确答案为()()633632x x x ÷=；C 正确答案为()()22333xy x xy ÷=；D 正确答案为()()2221x y xy ÷=．【总结】本题主要考查对整式的除法则的理解和运用．4. 计算()()()224a b a b ab ⎡⎤+--÷⎣⎦的结果是（）． A 、4a b + B 、4a b- C 、1D 、2ab【答案】C【解析】原式=()[]()()1444222222=÷=÷-+-++ab ab ab ab b a ab b a ． 【总结】本题属于混合运算，计算时注意对相关运算法则的准确运用．5. 如果()24343a ab M a b -÷=-+，那么单项式M 等于（ ）．A 、abB ．ab -C ．a -D ．b -【答案】C【解析】∵()()b a a b a a ab a 3434342+--=-=-， ∴a M -=． 【总结】本题主要考查对整式的除法则的理解和运用．6. 已知2264x kxy y -+是一个完全平方式，则k 的值是（ ）．A 、8B 、±8C 、16D 、±16【答案】D【解析】()()()222222648=288x kxy y x kxy y x xy y -+=-+±-⨯±+±． 【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解和运用．4/ 137. 如下图（1），边长为a 的大正方形中一个边长为b 的小正方形，小明将图（1）的阴影部分拼成了一个矩形，如图（2）．这一过程可以验证（ ）． A 、()2222a b ab a b -=-+B 、()2222a b ab a b ++=+； C 、()()22232a ab b a b a b +=---D 、()()22a b a b a b =-+-【答案】D【解析】图1中，阴影部分的面积为22b a -，图2中，阴影部分为长方形，长为()b a +，宽为()b a -，面积为()()b a b a +-．【总结】本题通过图形面积的转化加强对平方差公式的理解．8. 已知7115P m =-，2815Q m m =-（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（ ）A 、P Q >B 、P Q =C 、P Q <D 、不能确定【答案】C【解析】0432111157158222>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-m m m m m m P Q ．【总结】本题主要考查通过作差法来比较两个数的大小．二、填空题9. 若5320x y --=，531010x y ÷= ． 【答案】100【解析】∵5320x y --=，∴532x y -=，∴535321010=1010100x y x y -÷==． 【总结】本题主要考查对同底数幂相除的法则的逆用．10. 已知2m n +=，2mn =-，则()()11m n --=___ ____． 【答案】-3【解析】()()()()11111223m n m n mn m n mn --=--+=-++=-+-=-．【总结】本题一方面考查整式的乘法，另一方面考查整体代入思想的运用．11. 若226m n -=，且3m n -=，则m n += ．【答案】2．【解析】∵()()226m n m n m n -=+-=，3m n -=，∴2m n +=．【总结】本题主要考查对平方差公式的运用．12. 方程()()()()32521841x x x x +--+-=的解是_______． 【答案】3=x ．【解析】∵()()()()32521841x x x x +--+-=， ∴()4181621565222=-+---+-x x x x x x ，即4816=x ， ∴3=x ．【总结】本题通过利用整式的乘法来进行方程的求解．13. 已知251x x -=，那么221x x +=_______． 【答案】27【解析】∵251x x -=， ∴51=-x x ． ∴2512=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x , ∴252122=-+x x ． ∴22127x x +=． 【总结】当两个数互为倒数时，已知它们的和或者差，都可以利用完全平方公式求出它们的平方和．14. 计算()()32223x xy x y ⋅-⋅-的结果是．【答案】5918y x -【解析】()()()322226395232918x xy x y x x y x y x y ⋅-⋅-=⋅⋅-=-．【总结】本题主要考查对单项式乘以单项式法则的理解和运用．6/ 1315. 已知5x -与一个整式的积是234251520x x y x +-，则这个整式=_________________． 【答案】32435x y x x +--．【解析】()()234232515205534x x y x x x x y x +-÷-=--+． 【总结】本题主要考查对整式的除法的法则的理解和运用．16. 已知223x x +-能整除3249x x mx n +++，求m ，n 的值． 【答案】10-=m ，3-=n ．【解析】∵()()()322492331x x mx n x x A x x A +++=+-⋅=+-⋅，∴3-=x 和1=x 满足09423=+++n mx x x ．则()()⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯+⨯=+--⨯+-⨯019140339342323n m n m ， ∴⎩⎨⎧-=-=310n m ． 【总结】本题是一道综合性比较强的题目，计算时要注意方法的选择．三、简答题17. 计算：()()()2x y x y x y --+-． 【答案】xy y 222-．【解析】原式=()xy y y x xy y x 22222222-=---+． 【总结】本题主要考查对整式运算中的相关法则的运用．18. 计算：（1）()()()()233322222x y xy x y x ⋅-+-÷； （2）()()222226633m n m n m m --÷-．【答案】（1）736x y -；（2）．【解析】（1）原式=()()()()233322222x y xy x y x ⋅-+-÷()()()629324282x y xy x y x =⋅-+-÷737373246x y x y x y =--=-；1222++-n n（2）原式=()()()2222222636333m n m m n m m m ÷--÷--÷-2221n n =-++．【总结】本题主要考查对整式运算中的相关法则的运用． 19. 计算：()()2566x x x +-÷+． 【答案】1-x【解析】()()()1616-=+÷-+x x x x ．【总结】本题主要是利用因式分解进行多项式除以多项的计算．20. 计算：（1）()()423()x y x y x y --+-； （2）()()56423333632a b c a b c a b c ÷-÷．【答案】（1）y x y xy x +---221252；（2）-1．【解析】（1）原式=2223812x xy xy y x y +---+222512x xy y x y =---+；（2）原式=()122333333-=÷-c b a c b a ．【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用．21. 计算下列各题：（1）()()()253nnm m mn a a a ⋅-÷；（2）323322227533x y xy y y ⎛⎫⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）mn a 2；（2）y xy x +-221533．【解析】（1）原式=mn mn mn mn a a a a 256=÷⋅；（2）原式=()y xy x y y y xy y y x +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛÷-⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝⎛221533232327325232323223．【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用．22. 若36,92m n ==求2413m n -+的值． 【答案】278/ 13【解析】()()222412422333339362327m n m n m n -+=÷⋅=÷⋅=÷⨯=．【总结】本题是对幂的运算的综合运用．23. 解不等式：()()()()138552x x x x x +++>+--．【答案】25->x【解析】22583322-->++++x x x x x ，3012->x ，25->x ．【总结】本题主要是利用整式的乘法来求解不等式的解集．24. 已知：230x -=，求代数式()()2259x x x x x ---＋的值． 【答案】0【解析】∵230x -=．∴原式=322325949(23)(23)0x x x x x x x -+--=-=+-=． 【总结】本题主要是对整体代入思想的运用．25. 先化简，再求值：()()2––a b b a b +，其中2a =，12b =-． 【答案】5【解析】原式=ab a b ab b ab a -=-++-22222，当2a =，12b =-时，原式=521222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-． 【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用．26. 先化简，再求值：()()()()232325121x x x x x +-----，其中13x =-．【答案】-8【解析】原式=()()591445549222-=+-----x x x x x x ，当13x =-时，原式=85319-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯．【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用．27. 先化简，再求值：()()()231332222x y x y y x ⎡⎤⎡⎤-÷-÷-⎣⎦⎣⎦，其中2,1x y ==- 【答案】5【解析】原式=()()()y x y x y x y x -=-÷-÷-22226613，当2,1x y ==-时，原式=()5122=--⨯．【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用．28. 一个多项式除以223x x -+，得商为1x +，余式为25x -，求这个多项式． 【答案】2323-+-x x x ．【解析】()()()223125x x x x -+++-322223325x x x x x x =+--+++-3232x x x =-+-． 【总结】本题主要是考查对题目的理解能力．29. 若()03210x y +-无意义，且25x y +=，求,x y 的值． 【答案】0=x ，5=y ．【解析】由题意可知：01023=-+y x ．又∵25x y +=， ∴0=x ，5=y ．【总结】本题主要考查0a 有意义的条件．30. 若()()228 3x mx x x n +--+的展开式中不含2x 和3x 项，求m 和n 的值． 【答案】3=m ，17=n ．【解析】原式=432322338248x x nx mx mx mnx x x n -++-+-+-()()()432338248x m x n m x mn x n =+-+--++-．∵展开式中不含2x 和3x 项， ∴03=-m ，083=--m n ， ∴3=m ，17=n ．10/ 13【总结】本题主要考查多项式的乘法运算结果中不含有某一项的意义．31. 若a =2005，b =2006，c =2007，求222a b c ab bc ac ++---的值． 【答案】3 【解析】原式=()()()[]362121222=⨯=-+-+-b c c a b a ． 【总结】本题主要是对完全平方公式的综合运用．32. 说明代数式()()()2()2x y x y x y y y ⎡⎤--+-÷-+⎣⎦的值，与y 的值无关．【解析】原式=()[]()()()x y x y y y xy y y y y x xy y x =++-=+-÷-=+-÷---+2222222222，∴此代数式的值与y 的值无关．【总结】本题主要考查多项式的乘法运算结果中不含有某一项的意义．33. 如图所示，长方形ABCD 是“阳光小区”内一块空地，已知AB =2a ，BC =3b ，且E 为AB边的中点，13CF BC =，现打算在阴影部分种植一片草坪，求这片草坪的面积．【答案】ab 2．【解析】ab b a b a 22213221=⋅⋅-⋅⋅．【总结】本题主要考查整式的乘法在实际问题中的运用．34. “光明”中学为了改善校园建设，计划在长方形的校园中间修一个正方形的花坛，预计正方形花坛的边长比场地的长少8米，比它的宽少6米，并且场地的总面积比花坛的面积大104平方米，求长方形的长和宽． 【答案】场地的长为12米，宽为10米．【解析】设正方形的边长为x ，则场地的长为()8+x 米，宽为()6+x 米． 则()()104682=-++x x x ，解得：4=x∴场地的长为12米，宽为10米．【总结】本题主要考查整式的运算在实际问题中的运用．四、解答题35. 已知：2223421111533n n n n xyz m x y z x y z ++-+⎛⎫-⋅=÷ ⎪⎝⎭，且正整数x 、z 满足：12372x z -⋅=，求m 的值．【答案】527．【解析】∵2223421111533n n n n xyz m x y z x y z ++-+⎛⎫-⋅=÷ ⎪⎝⎭， ∴32322215191z y x m z y x =⋅．∴xz z y x z y x m 5391151222323=÷=．∵正整数x 、z 满足：12372x z -⋅=， ∴3=x ，21=-z ．∴3=x ，3=z ，∴5273353=⨯⨯=m ．【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用．36. 已知()5329812f x x x x =-+，()6545476912g x x x x =-+．求：()()()25318f x x g x x ⎛⎫÷--÷- ⎪⎝⎭的值．【答案】x x x 4301435823-+-．【解析】()()()25318f x x g x x ⎛⎫÷--÷- ⎪⎝⎭()()⎪⎭⎫⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+---÷+-=2456235185127946531289x x x x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---+-=2342410215834383x x x x x xx x x 4301435823-+-=．【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用．12/ 1337. 已知关于x 的三次多项式除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求这个三次多项式．【答案】831133523-++-x x x ．【解析】设关于x 的三次多项式为：32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，且()f x 除以21x -与除 以24x -后，所得的商式分别为：ax m +与ax n +． 则()()3221()25ax bx cx d x ax m x +++=-⋅++-①()()3224()34ax bx cx d x ax n x +++=-⋅++-+②∴把1±=x 代入①可得：3-=+++d c b a ，7-=+-+-d c b a ． 把2±=x 代入②可得：2248-=+++d c b a ，10248=+-+-d c b a ．解得：35-=a ，3=b ，311=c ，8-=d ．∴ 关于x 的三次多项式为831133523-++-x x x ．【总结】本题是一道综合性比较强的题目，计算时要注意方法的选择．38. 阅读下列题目的解题过程：已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且满足222244c a c b a b -=-，试判断ABC ∆的形状． 解：222244c a c b a b -=-问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：； （2）错误的原因为：；（3）本题正确的结论为：．【解析】（1）（C ）；（2）因为()22b a -不能确定能不能为零． （3）ABC △为直角三角形或等腰三角形．∵222244c a c b a b -=-，∴()()()2222222b a b a b a c -+=-． ∴()()()02222222=-+--b a b a b a c ． ∴()[]()022222=-+-b a b a c ． ∴()0222=+-b a c 或22b a =． ∴222b a c +=或b a =或b a -=． ∵a 、b 、c 为ABC ∆的三边，∴222b a c +=或b a =．∴ABC △为直角三角形或等腰三角形．【总结】本题主要是对等式的基本性质的考查，等式两边同除的数一定不为零．2222222222()()()()()ABC c a b a b a b B c a b C ∆∴-=+-∴=+∴是直角三角形。

第十五讲乘法公式一、内容提要1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b) 由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

初中数学竞赛精品标准教程及练习15乘法公式乘法公式是初中数学中非常重要且常用的内容之一、它们能够帮助我们快速计算数值并解决问题，同时也能够提升我们的计算能力和思维能力。

在此，我将为大家介绍几个常用的乘法公式，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这些概念。

1.分配律：对于任意三个数a、b和c，我们有：a×(b+c)=a×b+a×c这个公式告诉我们，在乘法运算中，可以先将两个数相加，再将结果与第三个数相乘，得到的结果与先将第一个数与第三个数相乘，再将第二个数与第三个数相乘，最后将两个结果相加是相等的。

例如，计算2×(3+4)的结果就可以利用分配律：2×(3+4)=2×3+2×4=6+8=142.结合律：对于任意三个数a、b和c，我们有：(a×b)×c=a×(b×c)这个公式告诉我们，在乘法运算中，无论是先将前两个数相乘或是先将后两个数相乘，最后再将结果与第三个数相乘，得到的结果是相等的。

例如，计算(2×3)×4的结果就可以利用结合律：(2×3)×4=2×(3×4)=6×4=243.加法逆元：对于任意一个数a，我们有：a×(-1)=-a这个公式告诉我们，任意一个数与-1相乘，等于将该数变成其相反数。

例如，计算5×(-1)的结果就可以利用加法逆元：5×(-1)=-5这些乘法公式在解决实际问题中常常会被使用到。

例如，如果我们需要计算7×13，我们可以利用分配律将这个乘法拆分成两个更简单的乘法：7×13=7×(10+3)=7×10+7×3=70+21=91这样，我们就可以通过拆分成两个乘法，分别计算得到结果，再将结果相加得到最终答案。

练习题：1.计算：4×(7+8)÷22.计算：(6×9)÷3+(12×4)3.计算：(-3)×(-4)+(-2)×(-5)解答：1.首先计算括号内的加法：4×(7+8)÷2=4×15÷2接着计算乘法：4×15÷2=60÷2最后计算除法：60÷2=302.首先计算括号内的乘法：(6×9)÷3=54÷3接着计算除法：54÷3=18然后计算括号外的乘法：(6×9)÷3+(12×4)=18+(12×4)最后计算乘法：18+(12×4)=18+48=663.根据加法逆元的定义，可以得到：(-3)×(-4)+(-2)×(-5)=12+10然后计算加法：12+10=22通过以上的习题练习，我们可以更好地理解和掌握乘法公式的运用。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角2第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手3第一讲走进追问求根公式形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。

而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。

解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

【例题求解】【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。

思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。

【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（）A、一4B、8C、6D、0思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。

乘法公式知识点睛模块一平方差公式22a b a b a b()()平方差公式的特点：即两数和与它们差的积等于这两数的平方差。

①左边是一个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数。

②右边是乘方中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）。

注意：①公式中的a和b可以是具体的数也可以是单项式或多项式。

如：2x y x y x y(3)(3=9）；(2)(2)4a a a；2222a b a b a b。

()()()()()a b c a b c a b c；3535610②不能直接运用平方差公式的，要善于转化变形，也可能运用公式。

如：97103(1003)(1003)9991；22()()()()a b b a a b a b a b。

模块二完全平方公式222a b a ab b，()2a b a ab b；222()2即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍。

完全平方公式的特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中的每一项的平方，另一项是左边二项式中二项乘积的2倍，可简单概括为口诀：“首平方，尾平方，首尾之积2倍加减在中央”。

注意：①公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式。

②一些本来不是二项式的式子的平方也可以利用完全平方公式来计算，22a b a b c c()2()()[()]a b c a b c22222a b c ab ac bc222a ab b ac bc c222222例题精讲【例1】计算：⑴2x x x；⑵(23)(45)(23)(54)a b a b a b b a；(3)(3)(9)【答案】⑴2224x x x x x x；(3)(3)(9)(9)(9)81⑵原式2222(49)(2516)1006422514464244225a b a b a b a a b b；a b b a2244224224【例2】计算：2432212121211【答案】原式243264212121212112【例3】2111111111124162562n【答案】原式211111211111224162n4411121222nn ．【例4】计算：2481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)【答案】设2481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)S，两边乘以(31)，得2481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)(31)(31)S 22481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)6431∴641(31)2S，即6423231(31)(31)(31)2．【例5】求123517.....(21)n 的值.【答案】观察原式的每一项，均可写成121(1,2,...2)nn n 的形式，而121，故原式1122223517.....(21)(21)(21)(21)....(21)21n n n.【例6】⑴求24816326421212121212121A的个位数字：⑵2222222212345699100的值是( )A.5050.B.5050.C.10100.D.10100.【答案】⑴26421212121A64641282121212n 各位数字的循环4个一周期，周期为：2、4、8、6，128432，所以1282个位为6，故12821个位为5．(另解：5的奇数倍个位一定是5)⑵原式(12)(12)(34)(34)(56)(56)(99100)(99100)1(3711199)319915025050，故选 B.【例7】已知200520072006a ，200620082007b，200720092008c，比较三者大小．【答案】20052007(20061)(20061)12006200620062006a，200620081200720072007b，200720091200820082008c，易得abc ．【例8】若243(2)25x a x 是完全平方式，求a 的值．【答案】222243(2)25(2)3(2)5(25)xax x a x x即2243(2)2542025xa xxx或2243(2)2542025x a x xx 故3(2)20a或3(2)20a ，解得：143a或263a【例9】已知2216mkm 是完全平方式，则______k【答案】∵2216mkm 是完全平方式，∴28kmm ，解得4k 【例10】已知正方形的面积是222520xxyny (0x，0y)，则正方形的边长是_________（用含x 、y的代数式表示）【答案】设正方形的边长为a ．则2222520axxy ny∴222520xxyny 是a 的完全平方形式，∴22222520(5)25()xxy nyx x ny ny ∴1020n ，即4n∴正方形的面积是：222225204(52)ax xy yxy ，∴52ax y故正方形边长为：52xy【例11】推导2()abc 、2()a b c d 的公式，比较2()a b 、2()ab c 、2()ab c d 的公式，并探索规律.【答案】222()2ab a b ab 2222()222a b c ab c ab bc ca 222()()2()()()a bcd ab a bcd cd 2222222222abcdab acadbcbd cd观察上述三个公式，可发现如下规律：一、项数：设字母（或者说元）的个数为n ，则公式的展开式的项数为(1)12..2n n n；二、次数：每个公式的展开式中的每一项的次数均为2；三、系数：每个公式中每个字母的二次项的系数为1，其余均为 2. 根据上述规律，可写出任意个字母的完全平方公式.【例12】利用例题得出的规律推导2()a b c d 、2()a b c d 、2()a b c d e 的展开式.【答案】令22222()222222abcd abcdab ac adbc bdcd 中d d ，也就是以d 替换d 可得，22222()222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd 同理可知，22222()222222abcd ab c d abacadbcbdcd根据例题中归纳出来的规律，2()abc de 的展开式共有15项，所有字母的二次项的系数均为1，其他项的系数均为2，每一项的次数均为2，由上述特点可知222222()2222222222ab c d e ab cdeabacadaebcbdbecdcede【例13】2()________________________________________a b c d e .【答案】222222222222222abcdeab ac ad ae bc bd be cd ce de .【例14】已知三个数a b c ，，满足方程222214229221bac c ab abc，求abc .【答案】三式相加，得22222264abcab bc ca ，所以264a b c，8ab c .【例15】计算：⑴222()()()________________________________________a b b c a c ⑵222()()()________________________________________a b b c a c ⑶222()()()________________________________________ab bc a c 【答案】⑴222222222ab c ab bc ac ；⑵222222222a bcab bc ac ；⑶222222222ab c abbc ac ；【例16】已知12020ax，11920bx ，12120c x ，求代数式222abcab bc ca 的值.【答案】由12020ax，11920bx ，12120cx，可知，1ab，2b c，1ca 故22222211()()()6322a bc ab bccaab bc c a 【例17】已知35ab b c，2221abc，求abbcca 的值.【答案】由35ab b c可知，65ac ，故2222221()()()()2abbc ca ab c a b bc c a 1993621()225252525.【例18】如果a ，b ，c 是ABC △三边的长，且22()ab abc ab c ，那么ABC △是( )A.等边三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.形状不确定【答案】已知关系式可化为2220abcabbcac，即2221(222222)02abcab bc ac ，所以2221[()()()]02a b b c a c ，故a b ，b c ，c a .即a b c ．选A ．【例19】x ，y ，z 为有理数且2222()()()(2)yz zx x y y z x 22(2)(2)x z y x y z ，求222(1)(1)(1)(1)(1)(1)yz zx xy xyz 的值．【答案】先将已知等式222()()()yz xy z x 222(2)(2)(2)y z x x z y x y z 的等号两边分别展开，得：左边222222222x y z xy yz xz ；右边222666666xyzxyyz xz 对等号两边合并同类项，得2222222220xyzxy yz xz 即222()()()0.x y x z y z 因为x ，y ，z 均为实数所以xy z ，故222(1)(1)(1)(1)(1)(1)yz zx xy xyz222222(1)(1)(1)1(1)(1)(1)x y z xyz.【例20】如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（）A.1a B.21aC.221aa D.21aa 【答案】∵自然数a 是一个完全平方数，∴a 的算术平方根是a ，∴比a 的算术平方根大1的数是1a ，∴这个平方数为：2(1)21a a a．故选D ．【例21】设x 为正整数，若1x 是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是（）A.xB.21xxC.211xx D.212xx 【答案】设21yx ，则1yx ，那么它前面的一个完全平方数是：22(1)211211212y yy x x xx ，故选D ．【例22】⑴先化简后求值：2()()()2xy xy x y x ，其中3x， 1.5y.⑵计算：(22)(22)xyyx.【答案】⑴222222()()()2(2)2(22)2xy x y x y xxxy yxy x xxy x x y又3x， 1.5y ，故原式3 1.5 1.5xy.法2：2()()()2()22 1.5x y x y x y xx y xxxy ⑵原式222[2(2)][2(2)]4(2)444x y x y x y xxyy【例23】已知2()2210xy xy ，则999()x y ___________.【答案】解法一：由已知条件可知，2221222(1)0xyxyy x xy ，故1xy ，999()1x y .解法二：由已知条件可知，22()2()1(1)0x y x y xy ，故1x y，999()1xy .课后作业【习题1】记248(12)(12)(12)(12)(12)nx ，且12812x ，则______n 【答案】248(12)(12)(12)(12)(12)nx248(21)(12)(12)(12)(12)(12)n2(21)(21)21nnn∴2212112nnx ∴2128n ，∴64n【习题2】224488()()()()()________x y x y xy xy xy 【答案】1616xy【习题3】计算：23221111(1)(1)(1)(1)23410【答案】原式11111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)223344101013243491111111223345101021020【习题4】若式子294x M是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式M．【答案】若把M 视为2ab 这一项，22294(3)2xMx M ，此时M 可以为12x ；若把29x 视为2ab 这一项，2229942224xM Mx ，此时M 可以为48116x ；若把4视为2ab 这一项，22294(3)233xM x M xx，此时M 可以为249x，M 还可以是29x 、4．【习题5】计算：⑴2222111111(__________________)9164643abcabbcca ；⑵22224164816(____________4)mn p mn np pm p ；【答案】⑴13a ，14b ，12c ；⑵2m ，n .【习题6】计算：⑴22111111()()()()333939aa aaaa⑵22(3)(93)b a a abb ⑶222(2)4(2)a b a ab b ⑷4224(2)(2)(816)ab a b a a b b 【答案】⑴22336111111111()()()()()()3339392727729aaaaaaaa a；⑵22223333(3)(93)(3)(39)(3)27b a a abb ba b aba ba ba ；⑶2222222(2)4(2)(2)(42)a b a ab b a b a abb 3326336(8)6416ab aa bb ；⑷4224223642246(2)(2)(816)(4)124864ab a b aa b b ab aa b a bb .【习题7】已知10x y，33100x y，求22x y 的值．【答案】由333()3()xyxy xy x y ，得1000310100xy ，即30xy．所以222()240xyxy xy．。