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乘法公式一、常用公式：1．平方差公式：22()()a b a b a b -=+-；语言描述：两数之和与两数之差的乘积，等于它们的平方差。
2．完全平方公式：222()2a b a ab b +=++222()2a b a ab b -=-+即：222()2a b a ab b ±=±+；语言描述：两数之和（之差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们乘积的2倍． 二、拓展公式1．三元平方公式：2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++； 2．立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+； 3．立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++； 4．立方公式：33223()33a b a a b ab b ±=±+±．（1）如图，从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作所能验证的公式是__________．（2）计算：①()()b a b a 3+23-2②x y x y 7373⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪2424⎝⎭⎝⎭③()()x y x y -+-- ④()()x y y x 4-3-3-4 ⑤a b a b 11⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪33⎝⎭⎝⎭ ⑥()()x y ab x y ab 2323---⑦()()n n x y x y -2+2 ⑧()()()x x x 2+3-3+9（3）计算：①1141⨯1515②..801⨯799③22017-2016⨯2018④()()()()()248162+12+12+12+12+1+1模块一 平方差公式和完全平方公式例题1abab【解析】（1）如图，左图中阴影部分的面积为a b 22-，右图中阴影部分的面积为()()a b a b +-，而两图中阴影部分的面积应该是相等的，故验证的公式为()()a b a b a b 22+-=-．（2）①原式()()b a b a 2222=3-2=9-4；②原式x y x y 222273499⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪24416⎝⎭⎝⎭；③x y 22-；④y x 229-16；⑤b a 221-9；⑥a b x y 2642-；⑦n x y 22-4；⑧x 4-81．（3）①114111224⎛⎫⎛⎫1⨯=1+1-=1-= ⎪⎪15151515225225⎝⎭⎝⎭；②原式(.)(.)...22=80+0180-01=80-01=6400-001=639999； ③原式()()22=2017-2017+12017-1=2017-2017+1=1； ④原式32=2．（1）如图所示的几何图形可以表示的公式是_____________．（2）计算：①()a b 28+11②a b 24⎛⎫- ⎪23⎝⎭③()x y 432-3-4 ④()x y ab 222- ⑤(.)a b ab 222-3-05⑥()m n a b 2-11+13（3）计算：①2199②222017-4032⨯2017+2016【解析】（1）()a b a ab b 222+=+2+．整个大正方形的面积为()a b 2+，而四个小图形的面积之和为a ab b 22+2+； （2）①原式()a b a ab b 222=8+11=64+176+121；②原式a b a ab b 22241416⎛⎫=-=-+ ⎪23439⎝⎭；③x x y y 84369+24+16； ④x y x yab a b 422224-2+；⑤.a b a b a b 4233249+3+025；⑥m m n n a a b b 22121-286+169．（3）①()22199=200-1=40000-400+1=39601；②原式()222=2017-2⨯2016⨯2017+2016=2017-2016=1．计算：（1）a b a b 2211⎛⎫⎛⎫3--3+ ⎪ ⎪22⎝⎭⎝⎭ （2）()()x x 22+2-2例题2例题3bab abab b 2a 2（3）()()x y x y +5-9-5+9 （4）()()a b c a b c 2-+32+-3【解析】（1）ab -6；（2）[]()()()()()x x x x x x x 2222242+2-2=+2-2=-4=-8+16； （3）()()()x y x y x y 22+5-9-5+9=-5-9()x y y x y y 2222=-25-90+81=-25+90-81；（4）a b c bc 2224--9+6．【提示】整体思想：符号不变的看成一个整体．（1）化简求值：a b a b a b 2111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪⎪ ⎪454545⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中a =32，b =5．（2）化简求值：[()()()()]x y x x y x y x y x 2--3-2++-÷2，其中x =1，y =-2．【解析】（1）原式ab b 212=--1025，当a =32，b =5时，原式=-18． （2）原式()x x x 2=-÷2=-2，当x =1，y =-2时，原式1=-2．【提示】题型：利用公式化简求值．（1）要使多项式x mx 2++9成为一个完全平方式，则数m 的值是________．（2）如果多项式x y mxy 2249++916是一个完全平方式，则数m 的值是_______．（3）若()x a x 24-3-2+25是完全平方式，求a 的值．【解析】（1）±6；（2）±1．（3）()()()()x a x x a x x x x 222224-3-2+25=2-3-2+5=2±5=4±20+25，故()a -3-2=20或()a -3-2=-20，解得：a 14=-3或a 26=3．【提示】常考B 卷填空题，主要考查完全平方公式求参数．例题4例题5计算：（1）()x y z 23-+5（2）()x y 2-5-9 （3）a b c 2111⎛⎫++ ⎪342⎝⎭（4）()m n p 22-+4【解析】（1）x y z xy yz zx 2229++25-6-10+30．（2）x y xy y x 22+25+81-10+90-18．（3）a b c ab bc ca 222111111+++++9164643．（4）m n p mn np pm 2224++16-4-8+16．【提示】三元平方公式的展开．（1）()a b 3+3=______________________________________．（2）x y 321⎛⎫-4= ⎪2⎝⎭___________________________________．（3）()m n 323-3-2=__________________________________．【解析】（1）a a b ab b 3223+9+27+27；（2）x x y x y y 642231-3+24-648；（3）m m n m n n 962346-27-54-36-8．（1）已知1a =，2b =，则22(3)(93)b a a ab b +-+=__________．（2）若1x y -=，332x y -=，则22x xy y ++=__________．（3）已知3a b -=，2a c -=，求22()[()()()()]c b a b a c a b a c --+--+-的值是________．【解析】（1）35；（2）2233()()2x xy y x y x y ++=-÷-=；（3）原式=33()()27819a b a c =---=-=．模块二拓展公式例题6例题7例题8推导()a b 4+、()a b 5+的公式，比较()a b 2+、()a b 3+、()a b 4+、()a b 5+，并探索规律．【解析】()a b a ab b 222+=+2+()a b a a b ab b 33223+=+3+3+()()()()()a b a b a b a b a a b ab b 433223+=++=++3+3+a ab a b ab b 432234=+4+6+4+；()()()a b a b a a b a b ab b 5432234+=++4+6+4+a ab a b a b ab b 54322344=+5+10+10+5+．观察上述几个公式，可以发现如下规律： 一、项数：公式展开后的项数等于公式左端的指数加1；二、次数：展开式中字母的次数均等于公式的指数，比如完全平方公式的指数为2，则展开式中字母的次数也都是2，展开式按a 的降幂排列的同时，按b 的升幂排列．三、系数：首末两项的系数都是1，且这三个公式的展开式中各项系数满足右图. 右图中的系数表叫做杨辉三角．【提示】()n n n n n n n n nn n n n a b C a C a b C a b C ab C b 01-12-22-1-1+=+++++…．非常挑战 (1)14641313121111计算：（1）()()x x 333-1-1-3（2）x x x 2111⎛⎫⎛⎫⎛⎫++- ⎪⎪⎪242⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）()n m x y 2--（4）()a b xy 232-+【解析】（1）x 61-9；（2）x 41-16；（3）n m n m x y x y 22++2；（4）a b x y a bxy 422623+-2．计算：（1）2100-103⨯97（2）....2212345+07655+2469⨯07655【解析】（1）原式(1)()222=100-00+3100-3=100-100+9=9；（2）原式(..)22=12345+07655=2=4．计算：（1）()()()x y x y x y 2--+- （2）x y z y z x 3131⎛⎫⎛⎫2---+2 ⎪⎪5353⎝⎭⎝⎭（3）()()a ab b a ab b 2222++-+ （4）()()x y y x 2-+2-2+2【解析】（1）()()()()x y x y x y x xy y x y y xy 222222--+-=-2+--=2-2；（2）原式()()()()x y z y z x x z y 22313113=2---+2=2--535335x xz z y 222419=4-+-3925（3）原式[()][()]a b ab a b ab a a b b 22224224=+++-=++（4）原式[()][()]()x y x y x y x xy y 222=2+2-2-2-=4-2-=4-4+4-．（1）若多项式x x m 2-6+是完全平方式，则数m =____________．（2）已知多项式()x m xy y 22-2+1+4是一个完全平方式，则数m =____．【解析】（1）9；（2）1或-3．复习巩固演练1演练2演练3演练4计算：（1）()[()]a b a a b b 2222+4-2-（2）a a a a a a 22111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪⎪⎪⎪333939⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】（1）()[()]()()()a b a a b b a b a ab b a b 22222223322+4-2-=2+4-2+=8+a ab b 6336=64+16+；（2）a a a a a a a a a 22336111111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++=-+=- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪3339392727729⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．计算：（1）x x x x 421111⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪⎪⎪22216⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）()()()x x x x 24222+1++1-1（3）()[()()]x y z x y x y z z 22+-++++【解析】（1）x x x 642331-+-41664；（2）x x 126-2+1；（3）x x y xy y z 32233+3+3+-．（1）2155x y z ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭__________．（2）415x y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．【解析】（1）2221225210255x y z xy xz yz ++-+-； （2）4322341464625525125x xy x y x y y -+-+．演练5演练6演练7。
乘法公式概念总汇1、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即(a+b ) (a-b) =a 2 -b 2a(1)几何解释平方差公式 b-b -如右图所示：边长a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。
第一种：用正方形的面积公式计算：a2-b2;第二种：将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长为( a+b),宽为(a-b),它的面积是：(a + b) (a-b)结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。
所以：a2— b2= (a + b) (a —b)。
(2)在进行运算时，关键是要观察所给多项式的特点，是否符合平方差公式的形式，即只有当这两个多项式它们的一部分完全相同，而另一部分只有符合不同，才能够运用平方差公式。
平方差公式的a和b,可以表示单项式，也可以表示多项式，还可以表示数。
应用平方差公式可以进行简便的多项式乘法运算，同时也可以简化一些数字乘法的运算2、完全平方公式完全平方公式：两个数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的两倍，即(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2, (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2这两个公式叫做完全平方公式。
平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式说明：（1）几何解释完全平方（和）公式如图用多种形式计算右图的面积第一种：把图形当做一个正方形来看，所以它的面积就是：（a+b）2a ---- b-> 第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的长方形来看，其中大正方形的的边长是a,小正方形的边长是b,长方形的长是a,宽是b,所以它的面积就是：a2+ ab + ab + b2= a2+ 2ab + b2结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积所以：（a+b）2 = a2 + 2ab + b2（2）几何解释完全平方（差）公式如图用多种形式计算阴影部分的面积第一种：把阴影部分当做一个正方形来看，所以它的面积就是：（a-b）2第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的长方形来看，S阴影=5大正方形-S小正方形-2 1方形其中大正方形的的边长是a,小正方形的边长是b,长方形的长是（a-b）,宽是b,所以它的面积就是：a2-b2-2 , a -b b = a2-2ab , b2结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积所以：（a-b 2 =a2-2ab+b2(3)在进行运算时，防止出现以下错误：(a+b) 2=a2+b2, (a-b) 2 =a 2-b 2。
