黑龙江省牡丹江市第一高级中学2019届高三上学期开学摸底考试数学(文)试题 Word版含答案
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高三摸底考试数学（文科）试题
一、选择题（单选，每题5分，共60分）
1、已知向量()()
3,1,1,==b x a ，若b a ⊥
=（ ） A 2 B 3 C 2 D 4
2、设i 为虚数单位，复数z 满足()()
2
331i z i +-=∙+，则复数z 的共轭复数的虚部为（ ） A
i 3 B i 3- C
3 D 3-
3、已知0.3
4a =， 0.9
12b -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
， 62log 2c = 则,,a b c 的大小关系是（ ）
A
a <
b <
c B c a b << C c b a
<< D b c a << 4、设变量,x y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥-≥,022,0,
0y x y x x 则y x z 23-=的最大值为 （ ）
A 0
B 2
C 4
D 6
5、已知21)4
tan(=
-π
α，则α
αααcos sin cos sin -+的值为（ ） A
2
1
B 2
C -2
D 22 6、等差数列{}n a 中，564a a +=，则=∙⋅⋅⋅∙∙)22
2(log 102
12a a a
（ ）
A 10
B 20
C 40
D 22log 5+ 7、以下四个命题正确的个数为（ ）
（1）函数()y f x =为R 上的可导函数，则0)(0='x f 是0x 为函数()f x 极值点的充要条件； （2）若031
log 31log >>b a
，则10<<<a b ； （3）把C 1： y =cos x 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向
右平移
π
6
个单位长度，得到曲线C 2：y =sin (2x +2π3)；
（4）在ABC ∆中，“AC AB >”是“B C cos cos <”的充分不必要条件 A 1 B 2 C 3 D 0
8、已知一元二次不等式0)(<x f 的解集为1|{-<x x 或}2
1
>x ，则0)10(>x f 的解集为（ ）
A ()()+∞⋃-∞-,2lg 1,
B ()2lg ,1-
C ()+∞-,2lg
D ()2lg ,-∞- 9、设,,A B C 是半径为1的圆O 上的三点，且OB OA ⊥，则()()
-∙-的最大值是（ ） A 1 B
1 C
1 D
110、已知函数)(x f 是定义在区间()+∞,0上的可导函数，)(x f '为其导函数，当0>x 且
2≠x 时，()[]0)()(22<'+-x f x x f x ，若曲线)(x f y =在点())2(,2f 处的切线的斜率为
4-，则)2(f 的值为（ ） A 4 B 6 C 8 D 10
11、在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，若ABC ∆的面积为S ，且
14,122-+==c b S a ，则ABC ∆外接圆的面积为（ ）
A
2π
B π2
C π3
D 4
2π 12、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=10
,62
10
0,lg )(x x x x x f ，若函数[]92)(2)(2
-+-=b x bf x f y 有6个零点，
则b 的取值范围是（ ）
A ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫
⎝⎛97,3231,92 B ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,3231, C ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛1,3231,0 D ⎪⎭
⎫ ⎝⎛97,92 二、填空题：（每题5分，共20分） 13、若,x y 都是正数，且3x y +=，则
y
x 1
4+的最小值为__________ 14、在平面直角坐标系xOy 中，已知三点)4,3(),,2(),1,(C b B a A ，若向量与在向量方向上的投影相等，则2
2
b a +的最小值为_______ 15、若关于x 的函数)0(sin 2)(2>+++=t t
x x
x t x f 的最大值为M ，最小值为N ，且M+N=6，
则实数t 的值为_______ 16、下列结论：
（1）若0,0>>y x ，则“xy y x 222=+”成立的一个充分不必要条件是“2=x ，且
1=y ”；
（2）在ABC ∆中，若0<∙，则ABC ∆是钝角三角形； （3）存在0,1>>x a ，使得x a a x log <；
（4）在锐角ABC ∆中，若C A C A C B sin cos cos sin 2)cos 21(sin +=+，则必有A=2B ； 其中所有正确结论的序号为_______
三、解答题：（17-21题每题12分，是必做题；22与23题是选做，两选一写清题号，10分）
17、已知{}n a 是一个公差小于0的等差数列，且满足362755,16a a a a =+=。
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值。
18、已知锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，2223tan a
c b bc
A -+=。
（1）求A 的大小； （2）求C B cos cos +的取值范围。
19、已知函数1cos 2)6
2sin()(2-+-
=x x x f π。
（1）求函数)(x f 的最小正周期及单调递减区间；
（2）设A B C ∆三内角A 、B 、C 的对应边分别为c b a ,,，已知c a b A f ,,,2
1
)(=成等差数列，且9=∙,求a 的值。
20、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上顶点M 40
y ++=的距离为3.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 过点()4,2-且与椭圆C 相交于,A B 两点， l 不经过点M ，证明：直线MA 的斜率与直线MB 的斜率之和为定值.
21、设函数12
1ln )(2
+++
=x ax x x f 。
（1）当2-=a 时，求函数)(x f 的极值点；
（2）当0=a 时，证明：)(x f xe x ≥在()+∞,0上恒成立。
选做题：
22、选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设曲线1C 的参数方程为θθ
θ
(sin cos ⎩⎨
⎧==y x 为参数）
，将曲线1C 上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标
不变得到曲线2C 。
直线l 的极坐标方程为cos()4
π
ρθ-
=
(1)写出曲线2C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
(2)求曲线2C 上的点到直线l 的最大距离，并求出这个点的坐标. 23、选修4-5:不等式选讲
设函数()31,f x x x x R =--+∈． （1）解不等式()1f x <-；
（2）设函数()4g x x a =+-，且()()g x f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立，求实数a 的取值范围．
高三 文科数学 摸底考试 参考答案
一、
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C
C
B
C
B
B
A
D
D
A
A
A
二、
13 14
15 16 3
25
4 3
(1)(3)
三、17、（1）n a n 217-= （2）当8=n 时最大值为64
18、（1）3π （2）⎥⎦
⎤ ⎝⎛1,23 19、（1）π=T ，Z k k k ∈⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
++,32,6ππππ （2）23=a
20、（1）解:由题可得，
2
224
{3, 2,
c e a b a b c =
=+==+ ，解得4,2a b ==，所以椭圆C 的方程为
22
1164
x y +=. （2）易知直线l 斜率恒小于0，设直线l 方程： ()24,0y k x k +=-<，且1k ≠-，
()()1122,,,A x y B x y ，
联立()
22
24,{
1,164
y k x x y +=-+=得()()()221416216410k x k k x k k +-+++=，
则()()12122
2
1621641,1414k k k k x x x x k k +++=
=
++，
因为()()1221
121212
444422MA MB kx k x kx k x y y k k x x x x --+----+=
+=
， 所以()12
12244MA MB x x k k k k x x ++=-+ ()()()
()16212412211641k k k k k k k k +=-+=-+=-+（为定值）. 21、
22、解：（1）曲线C 21y +=，直线l 的方程为40x y +-=. 5分
（2）max d =3
1,).22
-- 10分 23、（1）⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,23 （2）[]0,4-。
