考研高数公式大全-常微分方程

高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x xμμμ-= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxee'= ⑽()ln xxaaa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d xxdx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()xxd ee dx = ⑽()ln xxd a aadx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a =⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dxx c x=+⎰ ⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan xdx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =+十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令nu x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。

高数微分方程公式大全微分方程是数学中的重要概念，包含了许多公式和方法。

下面我将从不同角度介绍一些常见的高等数学微分方程公式。

1. 一阶微分方程：可分离变量方程公式，dy/dx = f(x)g(y)，可通过分离变量并积分求解。

齐次方程公式，dy/dx = f(x)/g(y)，可通过变量代换或分离变量求解。

线性方程公式，dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过积分因子法或常数变易法求解。

2. 二阶微分方程：齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，可通过特征方程法求解。

非齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。

欧拉方程公式，x²d²y/dx² + pxdy/dx + qy = 0，可通过变量代换或特征方程法求解。

3. 高阶微分方程：常系数线性齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = 0，可通过特征方程法求解。

常系数线性非齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。

常系数二阶齐次方程公式，d²y/dx² + py' + qy = 0，可通过特征方程法求解。

4. 常见的变换和公式：指数函数变换，对于形如y = e^(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。

对数函数变换，对于形如y = ln(x)的方程，可通过变量代换进行求解。

三角函数变换，对于形如y = sin(kx)或y = cos(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。

常用公式，如指数函数的导数公式、对数函数的导数公式、三角函数的导数公式等。

考研数学高数公式：微分方程考研数学高数公式：微分方程第七章：微分方程考研要求1.了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

2.掌握可分离变量的微分方程，会用简单变量代换，解某些微分方程3.会解奇次微分方程，会用简单变量代换解某些微分方程4.掌握一阶线性微分方程的解法，会解伯努利方程5.会用降阶法解下列微分方程 y"=f(x,y')6.y"=f(y,y')7.掌握二阶常系数齐次微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次微分方程8.会解自由项为多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数，以及他们和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。

9.会解欧拉方程。

微分方程的基本公式和定理1、多元函数极限存在的条件极限存在是指P(x，y)以任何方式趋于P0(x0，y0)时，函数都无限接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0，y0)时，即使函数无限接近某一确定值，我们还不能由此断定函数极限存在。

反过来，如果当P(x，y)以不同方式趋于P0(x0，y0)时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。

例如函数：f(x，y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠02、多元函数的连续性定义设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)则称f(x，y)在点P0(x0，y0)连续。

性质(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。

性质(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。

3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。

高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x xμμμ-= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxee'= ⑽()ln xxaaa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d xxdx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()xxd ee dx = ⑽()ln xxd a aadx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a =⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dxx c x=+⎰ ⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan xdx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =+十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令nu x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。

（1） 概念微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。

微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。

如： 一阶：2dyx dx= 二阶：220.4d sdt=-三阶：32243x y x y xy x ''''''+-=四阶：()4410125sin 2y y y y y x ''''''-+-+=一般n 阶微分方程的形式：()(),,,,0n F x y y y'= 。

这里的()ny 是必须出现。

（2）微分方程的解设函数()y x ϕ=在区间上有阶连续导数，如果在区间上，()()()(),,0n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎢⎥⎣⎦则()y x ϕ=称为微分方程()(),,,,0n F x y y y '= 的解。

注：一个函数有阶连续导数→该函数的阶导函数也是连续的。

函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。

导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。

导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。

函数连续定义：设函数()y f x =在点的某一邻域内有定义，如果()()00lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点连续。

左连续：()()()000lim x x f x f x f x --→==左极限存在且等于该点的函数值。

右连续：()()()000lim x x f x f x f x ++→==右极限存在且等于该点的函数值。

在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。

如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。

函数在点连续()()()()00lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+→→→=== 1、()f x 在点有定义 2、()0lim x x f x →极限存在3、()()00lim x x f x f x →=（3）微分方程的通解如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。

常微分方程基本公式一、一阶常微分方程。

1. 可分离变量方程。

- 形式：(dy)/(dx)=f(x)g(y)- 解法：将方程变形为(dy)/(g(y)) = f(x)dx，然后两边分别积分∫(dy)/(g(y))=∫f(x)dx + C，其中C为任意常数。

2. 齐次方程。

- 形式：(dy)/(dx)=F((y)/(x))- 解法：令u = (y)/(x)，即y = ux，则(dy)/(dx)=u + x(du)/(dx)。

原方程化为u + x(du)/(dx)=F(u)，这是一个可分离变量方程，可按照可分离变量方程的方法求解。

3. 一阶线性微分方程。

- 形式：(dy)/(dx)+P(x)y = Q(x)- 通解公式：y = e^-∫ P(x)dx(∫ Q(x)e^∫ P(x)dxdx + C)二、二阶常系数线性微分方程。

1. 齐次方程。

- 方程形式：y''+py'+qy = 0（其中p,q为常数）- 特征方程：r^2+pr + q=0- 当特征方程有两个不同实根r_1,r_2时，通解为y = C_1e^r_1x+C_2e^r_2x；- 当特征方程有重根r时，通解为y=(C_1+C_2x)e^rx；- 当特征方程有一对共轭复根r_1,2=α±β i时，通解为y = e^α x(C_1cosβ x + C_2sinβ x)。

2. 非齐次方程。

- 方程形式：y''+py'+qy = f(x)- 通解结构：y = y_h+y_p，其中y_h是对应的齐次方程的通解，y_p是一个特解。

- 当f(x)=P_m(x)e^λ x（P_m(x)是m次多项式）时，特解y_p的形式：- 若λ不是特征方程的根，则y_p=Q_m(x)e^λ x（Q_m(x)是m次待定多项式）；- 若λ是特征方程的单根，则y_p=xQ_m(x)e^λ x；- 若λ是特征方程的重根，则y_p=x^2Q_m(x)e^λ x。

高等数学公式一、常用的等价无穷小当x →0时x x x x x （1+x ） ~-11x a(1+x )α-1 ~ αx (α为任意实数，不一定是整数)1x ~21x 2增加x x ~61x 3 对应 x –x ~ 61x 3x –x ~ 31x 3 对应 x - x ~ 31x 3二、利用泰勒公式= 1 + x + +！22x o （2x ） ）　（33 o !3sin x x x x +-=x 1 – +！22x o （2x ） （1+x ）=x – +22x o （2x ）导数公式： 基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（）公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμαααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

高数微积分基本公式大全1.导数的基本公式：-基本导数：(常数)' = 0, (x^n)' = nx^(n-1), (e^x)' = e^x, (a^x)' = a^xln(a), (ln(x))' = 1/x, (sin(x))' = cos(x),(cos(x))' = -sin(x), (tan(x))' = sec^2(x), (cot(x))' = -csc^2(x), (sec(x))' = sec(x)tan(x), (csc(x))' = -csc(x)cot(x).-乘法法则：(uv)' = u'v + uv'.-除法法则：(u/v)' = (u'v - uv') / v^2.-链式法则：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x).2.不定积分的基本公式：-基本积分：∫(k) dx = kx + C, ∫(x^n) dx =(1/(n+1))x^(n+1) + C, ∫(e^x) dx = e^x + C, ∫(1/x) dx =ln(|x|) + C, ∫(sin(x)) dx = -cos(x) + C, ∫(cos(x)) dx =sin(x) + C.-分部积分：∫(uv') dx = uv - ∫(u'v) dx.-特殊积分：∫(1/(1+x^2)) dx = arctan(x) + C,∫(1/(sqrt(1-x^2))) dx = arcsin(x) + C.3.微分方程的基本公式：-一阶线性微分方程：dy/dx + P(x)y = Q(x),解为y = e^(-∫P(x)dx) * (∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx + C).-齐次方程：dy/dx = f(y/x),令v = y/x，化为可分离变量的形式求解.-常系数线性齐次微分方程：ay'' + by' + cy = 0，其特征方程为ar^2 + br + c = 0，解为y = C1e^(r1x) + C2e^(r2x)。

一阶常微分方程公式大全一、一阶线性常微分方程。

1. 标准形式。

- 一阶线性常微分方程的标准形式为y'+p(x)y = q(x)。

2. 通解公式。

- 其通解公式为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。

- 推导过程：- 先求对应的齐次方程y'+p(x)y = 0的通解。

- 分离变量得(dy)/(y)=-p(x)dx。

- 两边积分∫(dy)/(y)=-∫ p(x)dx，得到ln y =-∫ p(x)dx + C_1，即y = Ce^-∫p(x)dx（C = e^C_1）。

- 然后用常数变易法，设原非齐次方程的解为y = C(x)e^-∫ p(x)dx。

- 对y求导得y'=C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫ p(x)dx。

- 将y和y'代入原方程y'+p(x)y = q(x)，可得C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫p(x)dx+p(x)C(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)。

- 化简得C'(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)，即C'(x)=q(x)e^∫ p(x)dx。

- 再积分C(x)=∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C，所以原方程的通解为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。

二、可分离变量的一阶常微分方程。

1. 标准形式。

- 可分离变量的一阶常微分方程的标准形式为g(y)dy = f(x)dx。

2. 通解求法。

- 对g(y)dy = f(x)dx两边分别积分，得到∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，其中C为任意常数。

- 例如，对于方程(dy)/(dx)=(x)/(y)，可化为ydy = xdx。

- 两边积分∫ ydy=∫ xdx，即frac{y^2}{2}=frac{x^2}{2}+C，整理得y^2-x^2=C_1（C_1 = 2C）。

微分方程部分重点内容1、变量可分离的微分方程(1)形式2 = /(x)g(v)或M (x)Mr(y)dx+N (x)N(y)dy = 0ax⑵通解或用欲+J诜訥=c2、齐次方程⑴形式字=疋)或字=斥)cix x ay y(2)通解［dU = f —+C (令上=“，则y = xii,字= “ + x半)或J- u J x x ax axr du cdx , x ml dx du、--------- =一+ C (令一则x=yu , — = w + y—)J - u J x y ay ay3、一阶线性微分方程(1)形式y' + p(x)y = q (x)(2)通解尸e^x)dx(J q⑴ e^x)dx dx + C)4、可降阶的高阶微分方程(1)k)= y(x),其中/(x)为已知函数积分〃次可得其通解(2)/ = /(%,/)(不显含y)令y f = p9则y” =卄于是，原方程可化为设①的通解为p =(p(x、C),即y' = 0（x,CJ （—阶）②由②可得通解y = ^(p(x.C i)clx+C2(3)/ = (不显含X)令y = p,则『”=卩=卑=卑勢=p学。

于是，原方程可化为ax ay ax ayp孑= f(y,p)(—阶)①dy设①的通解为〃 = 0(y,CJ,即V = 0(y,Cj (—阶)②由②可得通解r dy ---- :--- =x+ C、」0(y,cj _5、二阶线性微分方程(1)形式非齐次y" + p(x)y f + q(x)y = f(x)(1)齐次y" + p(x)y' + g(x)y = O (2)(2)解的结构定理1若y 2«为(2)的两个解，则G儿(x) + C』2(x)为(2)的解。

定理2若y2(x)为(2)的两个线性无关的解，则C$(x) + C*2(x)为(2)的通解。

XW、F ,(刀线性无关O丄心-建常数。

常微分方程知识点总结1. 常微分方程的定义：常微分方程是指包含未知函数及其导数的方程。

一般形式为：dy/dx=f(x,y)。

其中，y为未知函数，x为自变量，f为已知函数。

2.常微分方程的分类：常微分方程可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。

一阶常微分方程包含未知函数的一阶导数，高阶常微分方程则包含未知函数的高阶导数。

3.一阶常微分方程的解法：一阶常微分方程的解法有几种常见的方法。

一种是分离变量法，即将方程两边进行变量分离，然后进行积分。

另一种是齐次方程法，将方程进行变量替换后化为齐次方程，然后进行求解。

还有一种是线性方程法，将方程化为线性方程，然后进行求解。

4.高阶常微分方程的解法：对于高阶常微分方程，常用的方法是特征根法。

通过求解其特征方程得到特征根，然后根据特征根的个数和重数，确定齐次线性微分方程的通解形式。

再根据待定系数法确定非齐次线性微分方程的一个特解，进而得到非齐次线性微分方程的通解。

5.常微分方程的初值问题：常微分方程的初值问题指的是给定一个初始条件，求解满足该条件的函数。

在求解过程中，需要将初始条件代入方程，得到特定的常数，从而确定唯一的解。

6.常微分方程的数值解法：对于一些难以求解的常微分方程，可以采用数值解法进行求解。

常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法、亚当斯法等。

这些方法通过将微分方程转化为差分方程，然后进行迭代计算，逼近微分方程的解。

7.常微分方程的稳定性分析：稳定性分析是研究常微分方程解的长期行为。

可以通过线性化理论、相图等方法进行稳定性分析。

线性化理论通过线性化方程，判断非线性常微分方程解的稳定性。

相图是一种可视化的方法，通过绘制解的轨迹图，观察解的长期行为。

8.常微分方程的应用：常微分方程在各个领域都有广泛的应用。

在物理学中，常微分方程可以描述运动学问题、电路问题等。

在工程学中，可以应用于控制系统、电力系统等。

在生物学中，可以用于建立生物模型、研究生物过程等。

总结起来，常微分方程是数学中的一门重要学科，研究的是包含未知函数及其导数的方程。

常微分方程公式大全1、一阶微分方程：一阶微分方程是一类含自变量x与未知数y(x)及其一阶导函数y'(x)的方程，它可以表示为 F(x,y,y′)=0 。

如果可以解出y'，可表示为： dydx=f(x,y)2、一阶微分方程的其中一种解法--分离变量法：形如 dydx=M(x)·N(y) ：若N(y)≠0，我们可以化成（分离变量法）： 1N(y)dy=M(x)dx 然后两边同时积分：∫1N(y)dy=∫M(x)dx ，则得结果： F(y)=G(x)+C3、齐次方程：如果一阶微分方程可以化为如下形式： dydx=φ(yx) ，则称此类方程为齐次方程。

4、齐次方程一般解法：引出新的位置变量函数 u=yx ，就可以把它化成可以分离变量的方程！（1）由u=yx得到 y=ux（2）两边取x的微分得到 dydx=xdudx+u ，并代入dydx=φ(yx)（3）得到 u+xdudx=φ(u) 再换一下位置 duφ(u)−u=dxx（4）两边积分，得到∫duφ(u)−u=∫dxx（5）设Φ(u) 是 1φ(u)−u 的一个原函数，则得通解：Φ(u)=ln|x|+C ，再把 u=yx 代回这个式子，就得到齐次方程的通解。

5、一些可以转化成一阶齐次微分方程的一阶微分方程：形如 dydx=ax+by+ca1x+b1y+c1 ，其中 aa1≠bb1 （原因是只有这样才可以解出h和k）当c=c1=0时，方程是齐次的，否则是不齐次的。

在非齐次型的情况下，可用以下步骤解：（1）作代换 x=X+h ； y=Y+k 。

（2）求常数h和k：因为dx=dX；dy=dY。

所以方程代换后变成：dYdX=aX+bY+(ah+bk+c)a1X+b1Y+(a1h+b1k+c1) ，因为要使得方程是齐次，所以令后面的常数项为0，即 ah+bk+c=0 以及 a1h+b1k+c1=0联立这两个方程就可以解出h和k。

（3）求 dYdX=aX+bYa1X+b1Y 的通解后，把x-h代X，y-k 代Y，就得到原方程的通解。

高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=-⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xa x a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arc cot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()u v uv u v '''=+ 2u u v u v v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则（1）()()()()()()()nn n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()nn cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式（1）()()!n nx n = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x xd a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln x a d dx x a =⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dx x c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰⑺sin cos xdx x c =-+⎰⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin dx x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ c o t l n s i n x d x x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ c s c l n c s cc o t xd x x x c=-+⎰ 2211arctan x dx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =+九、下列常用凑微分公式十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令n u x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin axe xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos ax u e x x =均可。