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二次函数对称
二次函数y=aX^2+bX+c(a≠0)的对称轴为X=-b/(2a).
也就是说，二次函数y=aX^2+bX+c(a≠0)的图象关于直线X=-b/(2a)对称
二次函数对称轴的开口方向和大小，位置和对称轴公式的判断方法如下：
1、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
|a|越大，则抛物线的开口越小；|a|越小，则抛物线的开口越大。
2、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y 轴右侧。
（可巧记为：左同右异）
注意：“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。
“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。
在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别。
初中数学中考复习二次函数知识点总结归纳整理二次函数是中学数学中非常重要的一个内容，也是中考数学中的重点。
下面是对初中数学中考复习二次函数知识点的总结和归纳整理。
一、二次函数的定义1. 二次函数的一般形式：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
2.二次函数的图像为抛物线，开口方向与a的正负有关。
-当a>0时，抛物线开口向上。
-当a<0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的性质1.对称轴：二次函数的对称轴与抛物线的开口方向垂直，其方程为x=-b/2a。
2.顶点：二次函数的顶点位于对称轴上，其坐标为（-b/2a,f(-b/2a)）。
-当a>0时，顶点是抛物线的最低点。
-当a<0时，顶点是抛物线的最高点。
3. 判别式：对于二次函数y = ax² + bx + c，其判别式Δ = b² -4ac表示方程ax² + bx + c = 0的根的情况。
-当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
-当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
-当Δ<0时，方程没有实根。
4.单调性：-当a>0时，二次函数在对称轴左侧单调递增，右侧单调递减。
-当a<0时，二次函数在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增。
三、二次函数的图像特征1.a的正负决定了抛物线的开口方向。
2.，a，的大小决定了抛物线的陡峭程度，a，越大抛物线越陡峭。
3.当b=0时，抛物线经过原点。
4.当c=0时，抛物线经过x轴。
5.当a>0时，函数值在顶点处取得最小值。
6.当a<0时，函数值在顶点处取得最大值。
四、二次函数的方程求解1. 解二次方程ax² + bx + c = 0的一般步骤：- 利用判别式Δ = b² - 4ac判断方程的根的情况。
-若Δ>0，方程有两个不相等的实根，可以用求根公式x₁=(-b+√Δ)/2a和x₂=(-b-√Δ)/2a求解。
二次函数对称性分析二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c这样的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一条抛物线。
对于二次函数的对称性分析，有以下几个方面的内容可以展开：一、关于y轴对称:二次函数的图像关于y轴对称，当且仅当a = 0。
这是因为当a = 0时，二次函数变为一次函数，其图像为一条直线，直线与y轴显然是关于y轴对称的。
二、关于x轴对称:二次函数的图像关于x轴对称，当且仅当抛物线的顶点坐标的y值等于c，即f(x) = c。
这是因为顶点是抛物线的最高点或最低点，其对称轴为x轴。
若已知二次函数的标准式（顶点形式）为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标，可以直接得到抛物线关于x轴对称的条件为y = k。
三、关于原点对称:二次函数的图像关于原点对称，当且仅当抛物线的顶点坐标为原点，即(h,k) = (0,0)。
这是因为原点是坐标轴的交点，关于原点对称就是说抛物线与坐标轴的交点在同一直线上。
若已知二次函数的标准式（顶点形式）为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标，可以直接得到抛物线关于原点对称的条件为k = 0。
四、判定对称性的应用：通过对二次函数的对称性进行分析，可以得到二次函数的一些重要性质。
1. 对称轴的性质：二次函数的对称轴与抛物线的开口方向垂直。
对称轴的方程可以通过两个方法确定：（1）当已知二次函数为标准式f(x) = ax^2 + bx + c时，对称轴的方程为x = -b/(2a)；（2）当已知二次函数为顶点形式f(x) = a(x-h)^2 + k时，对称轴的方程为x = h。
2. 零点的性质：二次函数的图像与x轴的交点称为零点或根。
若二次函数关于x轴对称，则其零点个数为0、2或无穷多个。
当抛物线与x轴相切时，有一个实根；当抛物线与x轴交于两个不同的点时，有两个实根；当抛物线在x轴上方时，无实根。
二次函数的顶点与轴对称二次函数是数学中一种重要的函数形式，其表达式可以写成y =ax^2 + bx + c的形式，其中a、b、c都是实数且a ≠ 0。
本文将着重讨论二次函数的顶点与轴对称。
一、二次函数的顶点顶点是二次函数图像的最高或最低点，也是二次函数的关键特征之一。
要确定二次函数的顶点，我们可以利用一些简单的计算方法。
1. 完成平方二次函数的标准形式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c都是已知实数。
为了简化计算，我们可以将x^2项与x项配平，并加上一个平方的恒定项。
假设我们要求函数y = 2x^2 + 4x + 1的顶点。
首先，我们对x^2项进行平方配平，即取一半的b/a，即4/2 = 2，再平方得到4：y = 2(x^2 + 2x + 1) - 4 + 1接下来，我们将x^2项与x项配平，即加上一个平方的恒定项，即1：y = 2(x^2 + 2x + 1) - 4 + 1= 2(x + 1)^2 - 3这样，我们得到了一个可以简化计算顶点的形式，即y = a(x - h)^2+ k，其中(h,k)为顶点坐标。
对比原函数，我们可以得到顶点坐标为(-1,-3)。
2. 利用导数另一个求解二次函数顶点的方法是利用导数。
对于一元函数y = f(x)，其导数函数y'表示y相对于x的变化率。
当y' = 0时，函数达到极值，此时的x值就是函数的顶点。
对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其导数为y' = 2ax + b。
将y' = 0代入，我们可以求得x = -b/2a，这个值就是二次函数的顶点x坐标。
然后，我们将x代入原函数，即可求得顶点的y坐标。
以函数y = 2x^2 + 4x + 1为例，我们可以通过一阶导数找到顶点的x坐标：2ax + b = 02(2)x + 4 = 04x + 4 = 0x = -1将x = -1代入原函数，我们可以求得顶点的y坐标：y = 2(-1)^2 + 4(-1) + 1= 2 - 4 + 1= -1所以，函数y = 2x^2 + 4x + 1的顶点为(-1, -1)。
二次函数轴对称问题二次函数是中学数学常见的一种函数形式，它的图像通常是一个开口向上或开口向下的“U”型曲线。
对于二次函数的轴对称问题，我们通常会遇到以下几个方面的内容：一、二次函数的轴对称线问题二次函数的轴对称线有两种，即纵轴和横轴。
由于二次函数的轴对称性质，我们可以根据函数图像中一个点和轴对称线上对应的点之间的对称关系，很容易确定轴对称线在坐标系中的方程。
1、纵轴对称线问题对于以原点为顶点的二次函数来说，其图像在纵轴上是对称的。
此时，纵轴对称线就是$x$轴。
而对于一般情况下的二次函数$y=ax^2+bx+c$，我们可以通过将$x$代为$-x$，使得函数表达式变成$y=a(-x)^2+b(-x)+c=a(x^2-bx)+c$，显然，此时关于直线$x=\frac{b}{2}$对称。
2、横轴对称线问题对于一般情况下的二次函数$y=ax^2+bx+c$，我们可以通过将$y$代为$-y$，得到函数表达式为$-y=a(x-h)^2+k$。
此时，其图像在横轴上是对称的，横轴对称线就是直线$y=k$。
二、二次函数的最值问题如上文所述，二次函数的图像是一个开口向上或开口向下的“U”型曲线。
这条曲线有一个明显的最值点，对于开口向上的“U”型曲线，其最值点是最低点，也就是函数图像的顶点；对于开口向下的“U”型曲线，其最值点是最高点，也就是函数图像的顶点。
顶点坐标可以通过以下公式得出：$V(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
当然，也可以通过化简函数表达式(即配方法、完全平方公式等)来得到最值点坐标。
三、二次函数的正负性问题对于一般情况下的二次函数$y=ax^2+bx+c$，我们可以通过以下公式来判断其正负性：1、当$a>0$时，函数图像是一个开口向上的“U”型曲线，在$x=-\frac{b}{2a}$处达到最小值，函数值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，在其它点上方的函数值都比这个最小值大。
二次函数中的对称问题一、引言二次函数是高中数学中的重要内容，它具有许多特殊的性质和应用。
其中，对称性是二次函数的一个重要特征，也是解题时常用到的一个概念。
本文将详细介绍二次函数中的对称问题，包括轴对称、顶点对称和直线对称等内容。
二、轴对称1. 定义轴对称是指图形关于某条直线对称，即将图形沿着这条直线翻转180度后与原图形完全重合。
在二次函数中，轴对称通常指函数图像关于x 轴或y轴对称。
2. 关于x轴的轴对称若二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c，则其图像关于x轴的轴对称可以通过以下步骤求出：（1）令y = f(x)，即将x作为自变量代入函数；（2）将y变为-y，即将y坐标取反；（3）得到新的函数f(-x) = a(-x)^2 + b(-x) + c = ax^2 - bx + c；（4）新函数f(-x)就是原函数f(x)关于x轴的轴对称。
3. 关于y轴的轴对称若二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c，则其图像关于y轴的轴对称可以通过以下步骤求出：（1）令x = -x，即将x坐标取反；（2）得到新的函数f(-x) = a(-x)^2 - b(-x) + c = ax^2 + bx + c；（3）新函数f(-x)就是原函数f(x)关于y轴的轴对称。
三、顶点对称1. 定义顶点对称是指图形关于某个点对称，即将图形沿着这个点翻转180度后与原图形完全重合。
在二次函数中，顶点对称通常指函数图像关于顶点对称。
2. 求解方法若二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c，则其顶点坐标为：（1）横坐标为-xb/2a，即顶点在直线x=-b/2a上；（2）纵坐标为f(-b/2a)，即将横坐标代入原函数得到的值。
3. 顶点对称公式根据轴对称的知识，可以得到二次函数关于顶点对称的公式：（1）若二次函数关于y轴对称，则其顶点为(0, f(0))；（2）若二次函数关于x轴对称，则其顶点为(0, f(0))；（3）若二次函数既不关于x轴对称也不关于y轴对称，则其顶点为(-b/2a, f(-b/2a))。
关于二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2y a x b x c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=---；()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=---；2. 关于y轴对称2y a x b x c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+；()2y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=++；3. 关于原点对称2y a x b x c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx ca =--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．5. 关于点()m n，对称()2y a x h k=-+关于点()m n，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k=-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．。
中考考点二次函数知识点汇总全二次函数是高中数学中的重要内容之一，也是中考考试的重点内容。
它是由一次项、常数项和二次项组成的一元二次方程的图像，其函数关系为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
下面将汇总全面介绍中考中二次函数的知识点。
1.二次函数的图像特点：-当a>0时，二次函数的开口向上，图像是一个U型，顶点在下方；-当a<0时，二次函数的开口向下，图像是一个倒U型，顶点在上方；-函数的图像关于顶点对称。
2.顶点坐标与轴对称：-二次函数的顶点坐标是(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)为二次函数的定义域；-二次函数的轴对称是x=-b/2a。
3.判断二次函数的开口方向及平移：-当a>0时，二次函数的开口向上；-当a<0时，二次函数的开口向下；-平移后的二次函数的顶点坐标为(x-h,f(x-h))，其中h为平移的横坐标单位，f(x)为原二次函数。
4.与坐标轴的交点与函数值：- 与x轴的交点（零点）是二次方程ax²+bx+c=0的解；-与y轴的交点是二次函数的常数项c；-函数值f(x)是二次函数在x处的y值。
5.最值及取值范围：-当a>0时，二次函数的最小值是顶点的纵坐标，没有最大值，取值范围是[最小值,+∞)；-当a<0时，二次函数的最大值是顶点的纵坐标，没有最小值，取值范围是(-∞,最大值]。
6.对称轴的方程及关于顶点的对称点：-对称轴的方程是x=-b/2a；-对于点P(x,y)，在对称轴上的对称点是P'(-b/a-x,y)。
7.解析式与一般式转换：- 一般式：y=ax²+bx+c，解析式则为y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐标；- 解析式：y=a(x-p)(x-q)，则一般式为y=ax²-(ap+aq)x+apq，其中p、q是解析式的两个根。
8.方程与二次函数的关系：- 二次函数y=ax²+bx+c的解析式的自变量x和函数值y满足方程y=ax²+bx+c；- 方程y=ax²+bx+c=0的解是对应二次函数的图像在x轴上的交点。
初中数学二次函数图像的中考知识点总结
初中数学二次函数图像的中考知识点总结
二次函数图像要领：所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。
二次函数图像
1. 本身图像，旁边注明函数。
2. 画出对称轴，并注明直线X=什么 (X= -b/2a)
3. 与X轴交点坐标 (x1,0);(x2,0)，交点坐标(0,c)，顶点坐标(-b/2a, (4ac-b^2/4a).
轴对称
二次函数图像是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a
对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。
a,b同号，对称轴在y轴左侧
a,b异号，对称轴在y轴右侧
顶点
二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
当h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。
即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。
开口
二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时，二次函数图像向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图像的开口越小。
知识总结：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
初中数学二次函数的图像关于对称轴的对称点坐标如何确定二次函数的图像关于对称轴的对称点是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们确定二次函数图像的关于对称轴对称的点的坐标。
下面我将为你详细介绍二次函数图像关于对称轴的对称点坐标的确定方法，并提供一些解题技巧和实例。
一、二次函数图像关于对称轴的对称点的确定方法1. 对称点的定义：-二次函数图像关于对称轴的对称点是指图像中一个点和对称轴上的点关于对称轴对称，即它们的横坐标相等，纵坐标互为相反数。
2. 对称点的确定：-对称点可以通过对称轴的横坐标和已知点的纵坐标的关系来确定。
二、对称点的求解技巧1. 求解对称点的横坐标：-对称点的横坐标与已知点的横坐标相等，因为它们关于对称轴对称。
2. 求解对称点的纵坐标：-对称点的纵坐标是已知点的纵坐标的相反数，因为它们关于对称轴对称。
三、解题技巧和实例分析1. 解题技巧：-先确定二次函数的方程和对称轴的方程。
-求解对称点的横坐标，横坐标与已知点的横坐标相等。
-求解对称点的纵坐标，纵坐标是已知点的纵坐标的相反数。
2. 实例分析：例题：已知二次函数的方程为y = x² - 4x + 3，求二次函数图像关于对称轴x = 2的对称点坐标。
解析：首先，确定对称轴的方程为x = 2。
接下来，求解对称点的横坐标。
已知对称轴为x = 2，因此对称点的横坐标也为x = 2。
再求解对称点的纵坐标。
对称点的纵坐标是已知点的纵坐标的相反数。
已知点的纵坐标为y = 2² - 4*2 + 3 = -1，因此对称点的纵坐标为y = -(-1) = 1。
所以，二次函数图像关于对称轴x = 2的对称点坐标为(2, 1)。
通过这个例题，我们可以看出二次函数图像关于对称轴的对称点坐标是通过对称轴和已知点的纵坐标的关系来确定的。
希望以上内容对你理解二次函数图像关于对称轴的对称点坐标有所帮助。
中考数学复习考点知识归类讲解 专题21 二次函数中对称轴与对称问题知识对接考点一、求二次函数图象的顶点坐标、对称轴的3种方法1. 公式法:二次函数c bx ax y ++=2(a≠0)的图象的顶点坐标是)44,2(2ab ac a b -- 2.配方法:将抛物线的解析式配方,化为y=a(x-h)2+k 的形式,得到顶点坐标为(h,k),对称轴为直线x=h.3.运用抛物线的对称性:抛物线是轴对称图形,对称轴与抛物线的交点是顶点.若已知抛物线上两点(x 1,m),(x 2,m),则对称轴为直线x=221x x +,再将其代入抛物线的解析式,即可得顶点坐标.专项训练 一、单选题1．抛物线y ＝2（x +1）2﹣3的对称轴是（ ） A ．直线x ＝1B ．直线x ＝﹣1C ．直线x ＝3D ．直线x ＝﹣32．已知抛物线2y ax bx =+经过点(3,3)A --，且该抛物线的对称轴经过点A ，则该抛物线的解析式为（ ）A ．2123y x x =--B ．2123y x x =-+C ．2123yx x D ．2123y x x =+3．抛物线()20y axbx c a =++≠的对称轴是直线1x =-，其图象如图所示．下列结论：①0abc <；②()()2242a c b +<；③若()11,x y 和()22,x y 是抛物线上的两点，则当1211x x +>+时，12y y <；④抛物线的顶点坐标为()1,m -，则关于x 的方程21ax bx c m ++=-无实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，以直线1x =为对称轴的二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴负半轴交于A 点，则一元二次方程20ax bx c ++=的正数解的范围是（）．A ．23x <<B ．34x <<C ．45x <<D ．56x <<5．已知关于x 的二次函数2y x bx c =++的图象关于直线2x =对称，则下列关系正确的是（） A ．4b = B ．240b c -≤C ．0x =的函数值一定大于3x =的函数值D ．若0c <，则当2x =时，0y >6．点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（）A．154B．4 C．﹣154D．﹣1747．二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，那么tan∠CBA的值是（）A．23B．43C．2 D．348．已知二次函数y＝（2﹣a）23ax ，在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a 的值为（）A B C D．09．抛物线y=x2﹣2x﹣15，y=4x﹣23，交于A、B点（A在B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）A．B．C．D．10．已知抛物线c：y=x2+2x﹣3，将抛物线c平移得到抛物线c′，如果两条抛物线，关于直线x=1对称，那么下列说法正确的是（）A．将抛物线c沿x轴向右平移52个单位得到抛物线c′B．将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线c′C．将抛物线c沿x轴向右平移72个单位得到抛物线c′D．将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c′二、填空题11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+6x+c的对称轴与x轴交于点A，在直线AB ：y ＝kx +3上取一点B ，使点B 在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形为正方形，则c 的值为________．12．已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()3,4,M 是抛物线22(0)y ax bx a =++≠对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当b a的值确定时，抛物线的对称轴上能使AOM 为直角三角形的点M 的个数也随之确定．若抛物线22(0)y ax bx a =++≠的对称轴上存在3个不同的点M ，使AOM 为直角三角形，则ba 的值是____．13．如果一抛物线的对称轴为1x =，且经过点A （3,3），那么点A 关于对称轴的对称点B 的坐标为____________14．已知点A 、B 在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像上（A 在B 右侧），且关于图像的对称轴直线x ＝2对称，若点A 的坐标为（m ，1），则点B 的坐标为_______．（用含有m 的代数式表示）15．已知抛物线2441y ax ax a =-+-. （1）该抛物线的对称轴是x =________.（2）该抛物线与x 轴交于点A ，点B 与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(1,0)，若此抛物线的对称轴上的点P 满足APB ACB ∠<∠，则点P 的纵坐标n 的取值范围是________. 三、解答题16．已知抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴只有一个公共点()30A -,且经过点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）求抛物线的函数解析式；（2）直线l ：34y x m =+与抛物线2y ax bx c =++相交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），与对称轴相交于点P ，且B ，C 分布在对称轴的两侧．若B 点到抛物线对称轴的距离为n ，且()23CP t BP t =⋅≤≤． ①试探求n 与t 的数量关系；②求线段BC 的最大值，以及当BC 取得最大值时对应m 的值．17．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线213222y x x =+-交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ．（1）求线段BC 的长；（2）点P 为第三象限内抛物线上一点，连接BP ，过点C 作//CE BP 交x 轴于点E ，连接PE ，求BPE 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，以y 轴为对称轴，将抛物线213222y x x =+-对称，对称后点P 的对应点为点P '，点M 为对称后的抛物线对称轴上一点，N 为平面内一点，是否存在以点A 、P '、M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N 的坐标，若不存在，则请说明理由．18．已知一条抛物线顶点为(),2P m m -，且与x 轴交于点()2,0A m （0m >） （1）当2m =时； ①求二次函数解析式；②直线l ：y kx b =+（0k >）过定点()3,4-与抛物线交于B 、C 两点（B 在C 右侧），连接BP 、CP ，若PBC S =△，求直线l 的解析式；（2）若H 为对称轴右侧的二次函数图象上的一点，且OH 交对称轴于点M ，点N ，M 关于点P 对称，求证：N ，A ，H 三点共线．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 与x 轴分别交于点A (﹣1，0)和点B ，与y 轴交于点C (0，3)．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）如图1，点D 与点C 关于对称轴对称，点P 在对称轴上，若∠BPD ＝90°，求点P 的坐标；（3）点M 是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N 在抛物线的对称轴上，当BMN 为等边三角形时，请直接写出点M 的坐标．20．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （4，0），B （﹣2，0），C （0，﹣4）三点． （1）求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标；（2）如图1，点M 是抛物线对称轴上的一点，求△MBC 周长的最小值；（3）如图2，P 是线段AB 上一动点（端点除外），过P 作PD //AC ，交BC 于点D ，连接CP ，求△PCD 面积的最大值，并判断当△PCD 的面积取最大值的时，以PA 、PD 为邻边的平行四边形是否为菱形．21．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0,A B -两点，与y 轴交于点(0,3)C -．()1求抛物线的函数解析式；()2抛物线的对称轴与x 轴交于点M ．点D 与点C 关于点M 对称，试问在该抛物线上是否存在点P ．使ABP △与全ABD △全等﹖若存在，请求出所有满足条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴相交于点C ．连接,AC BC A C 、、两点的坐标分别为()1,0A C -、，且它的图象关于直线1x =对称 （1）求抛物线的函数关系式；（2）若点M N 、同时从A 点出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿AB AC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连接MN ，将AMN ∆沿MN 翻折，A 点恰好落在BC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以,,A N Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．23．如图所示，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且2OA =，4OB =，8OC =，抛物线的对称轴与直线BC 交于点M ，与x 轴交于点N ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是对称轴上的一个动点，是否存在以P 、C 、M 为顶点的三角形与MNB 相似？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（3）D 为CO 的中点，一个动点G 从D 点出发，先到达x 轴上的点E ，再走到抛物线对称轴上的点F ，最后返回到点C ．要使动点G 走过的路程最短，请找出点E 、F 的位置，写出坐标，并求出最短路程．（4）点Q 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点R 在x 轴上，是否存在以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．。
