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第九章第七节方向导数与梯度一、方向导数二、梯度三、物理意义l),,(zyxP一、方向导数定义:若函数),,(zyxfρρf∆→0lim则称lf∂∂lf∂∂ρ为函数在点P 处沿方向l的方向导数.ρρ),,(),,(limzyxfzzyyxxf-∆+∆+∆+=→在点),,(zyxP处沿方向l (方向角为γβα,,) 存在下列极限:P'=记作xzyρ∆y∆xρ∆zρz lz ρPΔlim 0→=∂∂P ´P z = f (x,y )x 0y ρρ)()(lim00000→-∆+∆+=y ,x f y y ,x x f Q ρP f P f ρ)()(lim 0-'=→M是曲面在点P 处沿方向l 的变化率，即半切线Plz∂∂MN 方向导数.方向导数几何意义的斜率N,),,(),,(处可微在点若函数z y x P z y x f ),,(z y x P l 定理:则函数在该点沿任意方向l 的方向导数存在,ρρf l f ∆=∂∂→0lim γβαcos cos cos zf y f x f l f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂证明: 由函数),,(z y x f )(ρo z zf y y f x x f f +∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∆() ρ=且有)(ρo +在点P 可微,得ρP '故γβαcos cos cos zf y f x f ∂∂+∂∂+∂∂=对于二元函数,),(y x f 为α, β) 的方向导数为方处沿方向在点(),(l y x Pρρ),(),(lim 0y x f y y x x f l f -∆+∆+=∂∂→βαcos ),(cos ),(y x f y x f y x +=Plxy o xfl f ∂∂=∂∂特别:•当l 与x 轴同向()有时,2,0πβα==•当l 与x 轴反向()有时,2,πβπα==x f l f ∂∂-=∂∂l向角例1. 求函数在点P (1, 1, 1) 沿向量3)的方向导数.⎝⎛=∂∂∴Plu 1422⋅z y x ⎪⎭⎫⋅+1432y x 解: 向量l 的方向余弦为例2. 求函数在点P (2, 3)沿曲线朝x 增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为2)2,1(=x x 它在点P 的切向量为,171cos =∴α1760=xoy2P⎩⎨⎧-==1 2x y x x )4,1(=174cos =β1-例3. 设是曲面n 在点P (1, 1, 1 )处指向外侧的法向量,解:方向余弦为,142cos =α,143cos =β141cos =γ而P x u ∂∂=∂∂∴Pnu 同理得)1,3,2(2=方向的方向导数.P z y x )2,6,4(146=711=()1143826141⨯-⨯+⨯P y x z x 22866+=在点P 处沿求函数=n n二、梯度方向导数公式γβαcos cos cos zfy f x f l f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模: f 的最大变化率之值方向导数取最大值：⎪⎭⎫∂∂∂∂∂∂ ⎝⎛=z f y f x f G ,,)cos ,cos ,(cos 0γβα=l ,0方向一致时与当G l :G ()G lf=∂∂max1. 定义,f ad r g 即同样可定义二元函数),(yx P 称为函数f (P ) 在点P 处的梯度⎪⎭⎫∂∂∂∂∂∂ ⎝⎛=z f y f x f ,,记作(gradient),在点处的梯度G 说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2. 梯度的几何意义函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,面上的投在曲线xoy Cz y x f z ⎩⎨⎧==),(C y x f L =),(:*影称为函数f 的等值线.,,不同时为零设y x f f 则L *上点P 处的法向量为P y x f f ),(Pfgrad =o yx 1c f =2c f =3c f =)(321c c c <<设P 同样, 对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时, 其上点P 处的法向量为.grad P f ,),(y x f z =对函数指向函数增大的方向.3. 梯度的基本运算公式()(2)=gradC gradCuu(grad)=grad(4)+uvvuu gradv例 4.证:)(r f '==∂∂y r f )()( grad r f ∴)(1)(k z j y i x r r f++'=r rr f 1)('=rz r f z r f )()('=∂∂0)(r r f '=j y r f ∂∂+)(k z r f∂∂+)(222zy x x++P x o zy,)(r y r f 'i xr f ∂∂=)(试证r x r f )('=处矢径r 的模,r三、物理意义函数(物理量的分布)数量场(数性函数)场向量场(矢性函数)可微函数)(P f 梯度场)(grad P f ( 势)如: 温度场, 电位场等如: 力场,速度场等(向量场)注意:任意一个向量场不一定是梯度场.内容小结1. 方向导数•三元函数在点沿方向l (方向角),,γβα为的方向导数为γβαcos cos cos zf y f x f l f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂•二元函数在点),βα的方向导数为βαcos cos yf x f l f ∂∂+∂∂=∂∂沿方向l (方向角为2. 梯度•三元函数在点处的梯度为⎪⎭⎫∂∂∂∂∂∂ ⎝⎛=z f y f x f f ,,grad •二元函数在点处的梯度为)),(,),((grad y x f y x f f y x =3. 关系方向导数存在偏导数存在• •可微grad l f lf⋅=∂∂梯度在方向l 上的投影.思考与练习1. 设函数(1) 求函数在点M( 1, 1, 1 ) 处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向的夹角 .曲线1. (1)在点[])1,1,1(cos cos cos γβα⋅+⋅+⋅=∂∂z y x Mf f f l f解答提示:函数沿l 的方向导数lM (1,1,1) 处切线的方向向量)0,1,2(grad )2(=MfM M f l fgrad ∂∂=1306arccos=∴θl cos =θl备用题 1. 函数在点处的梯度解:则注意x , y , z 具有轮换对称性)2,2,1(92-=)2,2,1(92-(92考研)指向B ( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是.在点A ( 1 , 0 , 1) 处沿点A 2. 函数)ln(22z y x u ++=提示:则}cos ,cos ,{cos γβα=)1ln(+x )11ln(2++y (96考研)机动目录上页下页返回结束2121=将二元函数z= f(x , y)在点(x , y)的以下七个命题填入框图：（1）有定义（2）有极限（3）连续（4）偏导存在（5）方向导数存在（6）偏导连续（7）可微（6）（7）（3）（4）（5）（1）（2）⇒⇒问题：箭头是否可逆？不可逆的试举出反例。
方向导数与梯度的关系与计算公式方向导数（Directional Derivative）是多元函数在某个给定点上沿指
定方向的变化率。
它在物理学、工程学和优化问题中具有重要的应用。
在求解方向导数时，我们常常会遇到梯度（Gradient）的概念。
本文将
介绍方向导数与梯度之间的关系，并探讨它们的计算公式。
一、方向导数的定义
在多元函数中，给定一个点P(x₀, y₀, z₀)及一个单位向量u = (a, b, c)，其中a² + b² + c² = 1，方向导数Duf(x₀, y₀, z₀)表示函数f(x, y, z)
在P点上沿u方向的变化率。
方向导数用符号∇f(x₀, y₀, z₀)·u表示。
二、梯度的定义
梯度是一个向量，它在多元函数的每个点上都有定义。
对于二元函
数f(x, y)，梯度∇f(x, y)表示函数f在每个点上的变化率最大的方向。
梯度可以用向量形式表示为∇f(x, y) = (fx, fy)，其中fx和fy分别表示f对
x和y的偏导数。
对于三元函数f(x, y, z)，梯度∇f(x, y, z)表示函数f在每个点上的变
化率最大的方向。
梯度可以用向量形式表示为∇f(x, y, z) = (fx, fy, fz)，
其中fx、fy和fz分别表示f对x、y和z的偏导数。
三、方向导数与梯度的关系
在函数f(x, y, z)的某一点P(x₀, y₀, z₀)处，方向导数和梯度的关系
可以表示为：
Duf(x₀, y₀, z₀) = ∇f(x₀, y₀, z₀)·u
即，方向导数等于梯度与单位向量u的内积。
四、方向导数的计算公式
在笛卡尔坐标系中，给定一个点P(x₀, y₀, z₀)及一个非零向量u = (a, b, c)，其中a² + b² + c² = 1，方向导数可以通过以下公式计算：Duf(x₀, y₀, z₀) = fx(x₀, y₀, z₀)a + fy(x₀, y₀, z₀)b + fz(x₀, y₀, z₀)c
其中fx、fy和fz分别表示f对x、y和z的偏导数。
另外，如果向量u为单位向量，即a² + b² + c² = 1，则方向导数的绝对值最大值为梯度的模，即|Duf(x₀, y₀, z₀)| ≤ |∇f(x₀, y₀, z₀)||u|。
五、应用示例
以二元函数f(x, y) = x² + 2xy + y²为例，我们来计算在点P(1, 1)处沿向量u = (1, 2)的方向导数。
首先，计算梯度∇f(1, 1) = (fx(1, 1), fy(1, 1))。
对函数求偏导数得到fx = 2x + 2y，fy = 2x + 2y，因此∇f(1, 1) = (2(1) + 2(1), 2(1) + 2(1)) = (4, 4)。
然后，计算单位向量u = (1, 2)的方向导数：
Duf(1, 1) = ∇f(1, 1)·u = (4, 4)·(1/√5, 2/√5) = 4/√5 + 8/√5 = 12/√5
所以，在点P(1, 1)处沿向量u = (1, 2)的方向导数为12/√5。
六、总结
方向导数与梯度之间存在着紧密的关系，梯度可以视为方向导数的特例。
通过计算方向导数，我们可以了解函数在给定点上沿指定方向的变化率。
方向导数的计算公式可以通过求偏导数来实现。
在实际应用中，方向导数在优化、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
