梯度与导数

第九章第七节方向导数与梯度一、方向导数二、梯度三、物理意义l),,(zyxP一、方向导数定义:若函数),,(zyxfρρf∆→0lim则称lf∂∂lf∂∂ρ为函数在点P 处沿方向l的方向导数.ρρ),,(),,(limzyxfzzyyxxf-∆+∆+∆+=→在点),,(zyxP处沿方向l (方向角为γβα,,) 存在下列极限:P'=记作xzyρ∆y∆xρ∆zρz lz ρPΔlim 0→=∂∂P ´P z = f (x,y )x 0y ρρ)()(lim00000→-∆+∆+=y ,x f y y ,x x f Q ρP f P f ρ)()(lim 0-'=→M是曲面在点P 处沿方向l 的变化率，即半切线Plz∂∂MN 方向导数.方向导数几何意义的斜率N,),,(),,(处可微在点若函数z y x P z y x f ),,(z y x P l 定理:则函数在该点沿任意方向l 的方向导数存在,ρρf l f ∆=∂∂→0lim γβαcos cos cos zf y f x f l f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂证明: 由函数),,(z y x f )(ρo z zf y y f x x f f +∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∆() ρ=且有)(ρo +在点P 可微,得ρP '故γβαcos cos cos zf y f x f ∂∂+∂∂+∂∂=对于二元函数,),(y x f 为α, β) 的方向导数为方处沿方向在点(),(l y x Pρρ),(),(lim 0y x f y y x x f l f -∆+∆+=∂∂→βαcos ),(cos ),(y x f y x f y x +=Plxy o xfl f ∂∂=∂∂特别:•当l 与x 轴同向()有时,2,0πβα==•当l 与x 轴反向()有时,2,πβπα==x f l f ∂∂-=∂∂l向角例1. 求函数在点P (1, 1, 1) 沿向量3)的方向导数.⎝⎛=∂∂∴Plu 1422⋅z y x ⎪⎭⎫⋅+1432y x 解: 向量l 的方向余弦为例2. 求函数在点P (2, 3)沿曲线朝x 增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为2)2,1(=x x 它在点P 的切向量为,171cos =∴α1760=xoy2P⎩⎨⎧-==1 2x y x x )4,1(=174cos =β1-例3. 设是曲面n 在点P (1, 1, 1 )处指向外侧的法向量,解:方向余弦为,142cos =α,143cos =β141cos =γ而P x u ∂∂=∂∂∴Pnu 同理得)1,3,2(2=方向的方向导数.P z y x )2,6,4(146=711=()1143826141⨯-⨯+⨯P y x z x 22866+=在点P 处沿求函数=n n二、梯度方向导数公式γβαcos cos cos zfy f x f l f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模: f 的最大变化率之值方向导数取最大值：⎪⎭⎫∂∂∂∂∂∂ ⎝⎛=z f y f x f G ,,)cos ,cos ,(cos 0γβα=l ,0方向一致时与当G l :G ()G lf=∂∂max1. 定义,f ad r g 即同样可定义二元函数),(yx P 称为函数f (P ) 在点P 处的梯度⎪⎭⎫∂∂∂∂∂∂ ⎝⎛=z f y f x f ,,记作(gradient),在点处的梯度G 说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2. 梯度的几何意义函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,面上的投在曲线xoy Cz y x f z ⎩⎨⎧==),(C y x f L =),(:*影称为函数f 的等值线.,,不同时为零设y x f f 则L *上点P 处的法向量为P y x f f ),(Pfgrad =o yx 1c f =2c f =3c f =)(321c c c <<设P 同样, 对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时, 其上点P 处的法向量为.grad P f ,),(y x f z =对函数指向函数增大的方向.3. 梯度的基本运算公式()(2)=gradC gradCuu(grad)=grad(4)+uvvuu gradv例 4.证:)(r f '==∂∂y r f )()( grad r f ∴)(1)(k z j y i x r r f++'=r rr f 1)('=rz r f z r f )()('=∂∂0)(r r f '=j y r f ∂∂+)(k z r f∂∂+)(222zy x x++P x o zy,)(r y r f 'i xr f ∂∂=)(试证r x r f )('=处矢径r 的模,r三、物理意义函数(物理量的分布)数量场(数性函数)场向量场(矢性函数)可微函数)(P f 梯度场)(grad P f ( 势)如: 温度场, 电位场等如: 力场,速度场等(向量场)注意:任意一个向量场不一定是梯度场.内容小结1. 方向导数•三元函数在点沿方向l (方向角),,γβα为的方向导数为γβαcos cos cos zf y f x f l f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂•二元函数在点),βα的方向导数为βαcos cos yf x f l f ∂∂+∂∂=∂∂沿方向l (方向角为2. 梯度•三元函数在点处的梯度为⎪⎭⎫∂∂∂∂∂∂ ⎝⎛=z f y f x f f ,,grad •二元函数在点处的梯度为)),(,),((grad y x f y x f f y x =3. 关系方向导数存在偏导数存在• •可微grad l f lf⋅=∂∂梯度在方向l 上的投影.思考与练习1. 设函数(1) 求函数在点M( 1, 1, 1 ) 处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向的夹角 .曲线1. (1)在点[])1,1,1(cos cos cos γβα⋅+⋅+⋅=∂∂z y x Mf f f l f解答提示:函数沿l 的方向导数lM (1,1,1) 处切线的方向向量)0,1,2(grad )2(=MfM M f l fgrad ∂∂=1306arccos=∴θl cos =θl备用题 1. 函数在点处的梯度解:则注意x , y , z 具有轮换对称性)2,2,1(92-=)2,2,1(92-(92考研)指向B ( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是.在点A ( 1 , 0 , 1) 处沿点A 2. 函数)ln(22z y x u ++=提示:则}cos ,cos ,{cos γβα=)1ln(+x )11ln(2++y (96考研)机动目录上页下页返回结束2121=将二元函数z= f(x , y)在点(x , y)的以下七个命题填入框图：（1）有定义（2）有极限（3）连续（4）偏导存在（5）方向导数存在（6）偏导连续（7）可微（6）（7）（3）（4）（5）（1）（2）⇒⇒问题：箭头是否可逆？不可逆的试举出反例。

导数：,导数的意义为函数的变化率。

由定义可知，导数是对应一元函数的。

偏导数：()()()0000000,,,limx x f x x y f x y f x y x∆→+∆-=∆()()()0000000,,,limy y f x y y f x y f x y y∆→+∆-=∆.偏导数是对应于多元函数的。

其意义是：偏导数反应的是函数沿坐标轴方向的变化率。

方向导数：设l 为xOy 平面上以()000,P x y 为始发点的一条射线，()cos ,cos l αβ=e 是与l 同方向的单位向量。

则该射线的参数方程为：00cos cos x x t y y t αβ=+=+,那么，函数(,)f x y ,在()000,P x y 沿l 方向的方向导数为：()()()0000000,cos ,y cos ,lim t x y f x t t f x y f ltαβ+→++-∂=∂。

从方向导数的定义可知，方向导数()00,x y fl∂∂就是函数(,)f x y 在点()000,P x y 沿方向l 的变化率。

方向导数也是对应于多元函数的。

方向导数是一个标量值。

方向导数与偏导数的关系：如果函数(,)f x y 在点()000,P x y 可微分，那么函数在改点沿任意方向l 的方向导数存在，且有()()()000000,,cos ,cos x y x y ff x y f x y lαβ∂=+∂,其中()cos ,cos l e αβ=为方向l 的方向余弦。

（若方向()1,0l =e 也就是x 轴方向，则()0000,(,)x x y f f x y l∂=∂，若方向()0,1l =e 也就是y 轴方向，则()0000,(,)y x y ff x y l∂=∂）.梯度：设函数(,)f x y 在平面区域D 内有一阶连续偏导数，则对于每一个点()000,P x y D ∈都可以定出一个向量()()0000,,x y f x y f x y +i j ，这向量称为函数(,)f x y 在点()000,P x y 的梯度，即()()()000000 ,,,x y f x y f x y f x y =+grad i j 。

多元函数的方向导数与梯度在多元函数的研究中，方向导数和梯度是两个重要的概念。

它们帮助我们理解多元函数在不同方向上的变化规律，并且在最优化、微分方程等领域有着广泛的应用。

本文将介绍多元函数的方向导数和梯度的概念、计算方法以及它们之间的关系。

一、方向导数的定义和计算方法方向导数是用来描述多元函数在给定方向上的变化率的量。

对于一个可微的多元函数$f(x,y)$，在某一点$(x_0,y_0)$处的方向导数可以通过该点处的梯度和给定方向的向量点乘得到。

具体而言，给定一个方向向量$(a,b)$，则该方向上的方向导数可以表示为：$$D_{(a,b)}f(x_0,y_0) = \nabla f(x_0,y_0) \cdot \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix} = \frac{\partial f}{\partial x} \bigg\rvert_{(x_0,y_0)} \cdot a + \frac{\partial f}{\partial y} \bigg\rvert_{(x_0,y_0)} \cdot b$$其中，$\nabla f(x,y)$表示$f(x,y)$的梯度，即：$$\nabla f(x,y) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\\frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix}$$方向导数的计算方法是将方向向量与梯度向量进行点乘，再乘以对应偏导数的值。

方向导数的数值表示了函数在该方向上的变化率大小，可以用来判断函数在某一点处的增长方向以及变化快慢。

二、梯度的定义和性质梯度是一个向量，用来表示多元函数在某一点处变化最快的方向。

对于一个可微的多元函数$f(x,y)$，在某一点$(x_0,y_0)$处的梯度可以表示为：$$\nabla f(x_0,y_0) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}\bigg\rvert_{(x_0,y_0)} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \bigg\rvert_{(x_0,y_0)} \end{bmatrix}$$梯度的性质包括方向性和大小性。