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同济大学 高等数学(上)课件D8_7方向导数与梯度

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D8-7方向导数、梯度

D8-7方向导数、梯度

方向导数或记为
z l
. ( x0 , y0 )
y

l
P0(•x0, y0 ) P( x0 x, y0 y)
o
x
2．方向导数的计算法
定理 若函数 z = f ( x , y )在 ( x0, y0 ) 可微 , 那末
函数在该点沿任一方向 l 的方向导数都存在，且有
f l
( x0 , y0 )
grad f ( x, y) fx( x, y)i f y( x, y) j
2．梯度与方向导数的关系
（1）
z l
grad f ( x, y) cos
其中 为grad f 与 l 的夹角.
grad f
l
证：
z l

fx ( x, y)cos

f y( x, y)cos
（3）f 在点P处沿哪个方向的方向导数最小？
其值是多少？
grad f (1,2,1) (1,1,2)
(2) 令 l grad f (1,2,1) (1,1, 2), 则
f l
(1,2,1) grad f (1, 2,1)
6
（3） f 在点P处沿 grad f (1,2,1) (1,1,2)
fx( x, y), f y( x, y) cos ,cos
grad f ( x, y) (cos ,cos ) cos
grad f ( x, y) 1 cos
a b =
（1）
z l

grad
f ( x, y) cos
其中 为grad f 与 l 的夹角.
例1 求函数 f ( x, y) x2 y2 在点(0, 0) 处沿方向

高等数学课件D8_7方向导数和梯度PPT共24页

高等数学课件D8_7方向导数和梯度PPT共24页

谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙

37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
高等数学课件D8_7方向导数和梯度
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比

方向导数和梯度ppt课件.ppt

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z cos 2cos 2 .
l
2
例 2 求函数 f ( x, y) x2 xy y2 在点（1，1）
沿与 x轴夹角为 的射线 l 的方向导数.并问在怎
样的方向上此方向导 数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？
解 由方向导数的计算公式知
f l
(1,1)
fx(1,1)cos
l
y
l
• P
沿什么方向是上坡且坡度最陡？
沿什么方向是下坡且坡度最小？
••
P( x0 , y0 )
o
x
讨论函数 z f ( x, y)在一点P沿某一方向
的变化率问题．
设函数 z f (x, y) 在点
y
l
P(x, y)的某一邻域U(P)
• P
y
内有定义，自点P 引射线 l．
••
设 x 轴与射线l 的夹角
u x2 y2 z2
ngrad2uxi22xiyj22yzjk2z2kx, ,2 y,2z
例如： 函数
u x2 y2 z2
gradu 如图所示.
gradu {2 x,2 y,2z} 梯度方向为向径方向
等 量 面 为 ： x2 y2 z2 c1 , x2 y2 z2 c2, x2 y2 z2 c3, x2 y2 z2 c4 ,
^
此式表明，当方向l和G方向一致时，即cos(G, l ) 1时，
方向导数u 取最大值，其值为: l
u G . l
由此得出，向量G就是函数 f 变化率最大的
方 向 ， 即 方 向 导 数 取 最大 值 的 方 向G，的 模
G 正好就是最大的方向导数值.
定义 设函数 u f ( x, y, z) 在区域 D 内具有一

高等数学 8-7.方向导数与梯度

高等数学 8-7.方向导数与梯度

π 方向导数达到最大值 2 ; 故 1）当α = 时， （ 4 5π π （2）当α = 时， 方向导数达到最小值− 2 ; 4 3π 7π π π （3）当α = 和α = 时，方向导数等于 0. 4 4
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u = f ( x, y, z )，它在空间一点 P( x0 , y0 , z0 ) 沿着方向 l = (cosα ,cos β ,cos γ ) 的方 向导数 ，可定义为 f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z ) − f ( x0 , y0 , z0 ) ∂f = lim ρ ∂l ρ →0
方向导数仍可理解 为曲线上一点处右 切线在新坐标系下 的斜率. 的斜率
y
t
P = ( x 0 , y0 )
v = (cos α ,sin α )
方向导数的物理意义：
设一质点 P 在三维空间的运动轨迹为 (时间t) 时间
x = x0 + t cos α , y = y0 + t sin α , z = f ( x0 + t cos α , y0 + t sin α )
y
l
• P′
•
•
ϕ
∆x
∆y
x
（如图） 如图）
ρ f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) 是否存在？ 是否存在？ lim ρ →0 ρ
上述极限若存在, 定义: 上述极限若存在 则称此极限为函数 f 在 P处沿方向 l 的方向导数 记为 方向导数, 处沿方向
∵ | PP ′ |= ρ = ( ∆x )2 + ( ∆y )2 , 且 ∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ), ∆z 考虑 , 当 P′沿着 l 趋于 P时，

高数 8-7方向导数与梯度~

高数 8-7方向导数与梯度~

的极值. 的极值.
B
C
f xx (x, y) = 6x + 6, f xy (x, y) = 0, f yy (x, y) = −6y + 6
A
在点(1,0) 处 在点
AC −B2 =12×6 > 0, A > 0,
为极小值; 为极小值;
在点(1,2) 处 在点
AC −B2 =12×(−6) < 0,
y
P
o
2x −1
60 = 17
例3. 设 n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处 处 在点P 在点 处沿
指向外侧的法向量, 指向外侧的法向量 求函数 方向 n 的方向导数 的方向导数. 解:
n = (4x , 6y , 2z) P = 2(2 , 3 , 1) 2 3 1 方向余弦为 cosα = , cos β = , cosγ = 14 14 14 ∂u 6x 6 = = 而 2 2 P ∂x P z 6x + 8y 14
ϕx ϕy
fx
=
fy
=− λ
极值点必满足
f x + λϕx = 0 f y + λϕy = 0 ϕ(x, y) = 0
引入辅助函数 F = f (x, y) + λϕ(x, y) 则极值点满足: 则极值点满足
辅助函数F 称为拉格朗日( 函数.利用拉格 辅助函数 称为拉格朗日 Lagrange )函数 利用拉格 函数 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 拉格朗日乘数法
当l 与G方 一 时, 方向导数取最大值： 向 致 方向导数取最大值： ∂f )= G max ( ∂l 方向： 方向：f 变化率最大的方向 这说明 G : 模 : f 的最大变化率之值

方向导数和梯度课件

方向导数和梯度课件

方向导数和梯度的应用领域
方向导数和梯度广泛应用于物理、工程、经济和计算机科学等领域，为我们理解和解决复杂问题提供了重要的 工具。
实际问题的应用案例
通过应用方向导数和梯度的方法，我们可以在实际问题中找到最优解、改进 算法和优化系统等诸多应用。
探索方向导数和梯度的未来发展方向
方向导数和梯度作为数学中的重要概念，尚存在很多研究方向和待解决的问题，我们对它们的深入研究具有重 要意义。
方向导数的物理意义
方向导数可以用来描述物理领域中的梯度、速度和加速度等概念，从而揭示了物理现象的本质。
方向导数的计算方法
方向导数可以通过梯度向量和给定方向的点乘来计算，也可、非负性以及与梯度方向垂直等多个重要性质，这些性质使得它在实际问题中具有广泛的 应用价值。
方向导数和梯度ppt课件
方向导数和梯度是数学中重要的概念，本课件将详细介绍它们的定义、计算 方法、性质以及实际应用案例。
什么是方向导数？
方向导数是一个矢量在某一方向上的变化率，衡量了函数在这个方向上的变 化速度。
方向导数的定义
方向导数可以通过对点P附近的函数进行极限计算得到，它表示了函数在某一点上的变化速率。
梯度的性质
梯度有着与方向导数类似的性质，包括线性性、非负性和与等值线垂直等特 点，这些性质使得梯度在优化问题中有着重要的应用。
梯度的理解和应用
梯度可以帮助我们理解函数的变化规律，从而用于解决最优化问题和优化算 法中的迭代过程。
方向导数与梯度的关系
方向导数和梯度之间有着密切的联系，它们在数学和物理问题中都有重要的应用。
各种方向导数的关系
在不同的坐标系下，方向导数的计算方法和具体表达式会有所差异，了解它 们之间的关系对于解决实际问题很有帮助。

《方向导数与梯度》课件

《方向导数与梯度》课件

方向导数在优化中的应用
总结词
方向导数是优化算法中常用的工具，它可以用于求解无约束和约束优化问题，以及用于 梯度下降法和牛顿法的实现。
详细描述
方向导数是优化算法中常用的工具，它可以用于求解无约束和约束优化问题。在无约束 优化问题中，方向导数可以用于梯度下降法和牛顿法的实现，通过不断沿着负梯度方向 搜索，找到函数的极小值点。在约束优化问题中，方向导数可以用于确定搜索方向和步
长，以避免进入不可行区域或避免目标函数的增加。
02
梯度
定义与性质
01
基本概念
02 梯度是标量场中某一点的方向导数最大的。
04
梯度的大小表示函数在该点的斜率，方向 表示函数在该点的增长方向。
计算方法
计算步骤
计算函数在这一点沿各个 方向的变化量。
确定函数在某一点的值。
计算方法
总结词
计算方向导数需要用到偏导数和方向余弦，常用的计算方法有解析法、数值法和图解法。
详细描述
计算方向导数需要用到函数的偏导数和方向余弦。首先求出函数的偏导数，然后根据方向余弦计算出方向导数。 常用的计算方法有解析法、数值法和图解法。解析法适用于数学函数，数值法适用于复杂函数，图解法适用于直 观理解。
05
实际应用案例
在机器学习中的应用
机器学习算法优化
方向导数和梯度在机器学习中用于优化算法，例如梯度下降法。通过计算梯度，可以找到函数值下降最 快的方向，从而更新模型的参数，使模型在训练数据上的表现更好。
方向导数和梯度的计算对于深度学习尤为重要，因为深度学习模型通常具有大量的参数，需要使用梯度 下降等优化算法进行训练。
在机器学习中的应用
01
特征选择与降维
02

同济版大一高数第九章第七节方向导数与梯度

同济版大一高数第九章第七节方向导数与梯度

ln( x + 1)
ln(1 + y 2 + 1)
1 = 2
8
例3. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
朝 x 增大方向的方向导数. 解:将已知曲线用参数方程表示为 x= x y = x2 −1 它在点 P 的切向量为 (1, 2 x) x = 2 = (1, 4) 1 4 ∴ cos α = , cos β = 17 17
2. 梯度的几何意义
等高线的画法
播放
16
例如, 例如,
函数 z = sin xy 图形及其等高线图形．
17
3. 梯度的基本运算公式
∂f, ∂f, ∂f = ∂x ∂y ∂z
(2) grad (C u ) = C grad u (4) grad ( u v ) = u grad v + v grad u
∂f ∂f ∂f = cos α + cos β ∂l ∂x ∂y
25
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
∂f ,∂f ,∂f grad f = ∂x ∂ y ∂z
• 二元函数 3. 关系 • 可微 方向导数存在
0
在点
处的梯度为
grad f = ( f x ( x, y ) , f y ( x, y ))
M (1,1,1) 处切ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的方向向量
l
∂f ∂l
在点M (1,1,1) 处 函数沿 l 的方向导数
M
= [ f x ⋅ cos α + f y ⋅ cos β + f z ⋅ cos γ
] (1,1,1)
23
(2) grad f

高数讲义第七节方向导数与梯度

高数讲义第七节方向导数与梯度

故
对于三元函数 u = f ( x , y , z ) ,它在点
处沿方向
的方向导数定义为
如果 u = f ( x , y , z ) 在点
处可微，则
例3 设 是曲面
在点
处的指向外侧的法向量，求函数 在此处沿方向 的方向导数.
解： 令 则曲面上任意一点 P ( x , y , z ) 处的法向量可取为
（2）等值线与梯度 等值线在点 P ( x , y ) 处的一 个法向量可取为
梯度与等值线的关系：
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数 在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点
，都可定义一个向量(梯度)
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.
一、问题的提出
考虑二元函数 z = f ( x , y ) 的偏导数
仅反映函数在水平方向 （横轴方向）上的变化率。 同理，偏导数 仅反映函数在垂直平方向 上的变化率。 在实际问题中，还需要考虑函数在斜方向上的变化 率问题，如冷热空气的流动，温度场的变化等。
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,4)，(5,4)．在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(4,3)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？
解 由梯度计算公式得 故
例5：设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为
解 故
例5：设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为 解
例5：设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为
解 （3）沿梯度方向温度变化率最大，最大值为
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同理得

u n
P
1 11 6 2 8 3 14 1 14 7
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二、梯度
f f f f cos cos cos 方向导数公式 l x y z f, f, f 令向量 G x y z l 0 (cos , cos , cos )
机动
2 x0 2 y 0 2 z 0 2 4 4 4 a b c
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M0
作业
P51 2，3，6，7，8，9，10
第八节 目录
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备用题 1. 函数
处的梯度 解: 则
在点
2 (1, 2 , 2) 9
(92考研)
注意 x , y , z 具有轮换对称性
ln( x 1)
ln(1 y 1)
2
1 2
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P
证明: 由函数 f ( x, y, z ) 在点 P 可微 , 得 f f f f x y z o ( ) x y z
P( x, y, z )

故

o ( )
f f f f f lim cos cos cos l 0 x y z
y
P
o
1 2
x
60 17
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例3. 设 n 是曲面 指向外侧的法向量, 求函数
方向 n 的方向导数. 解:
在点 P(1, 1, 1 )处
在点P 处沿
n (4 x , 6 y , 2 z ) P 2(2 , 3 , 1) 2 3 1 方向余弦为 cos , cos , cos 14 14 14 u 6x 6 而 2 2 P x P z 6x 8 y 14
当 l 0 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值： f G max l
这说明 G : 方向：f 变化率最大的方向
模 : f 的最大变化率之值
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1. 定义
向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient),
记作 grad f , 即
f, f, f x y z
同样可定义二元函数 在点 P( x, y ) 处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
2. 梯度的几何意义
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z f ( x, y ) 在 xoy 面上的投 对函数 z f ( x, y) ,曲线 z C * 影 L : f ( x, y ) C 称为函数 f 的等值线 .
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对于二元函数 f ( x, y ) , 在点 P( x, y ) 处沿方向 l (方向角
为, ) 的方向导数为 f f ( x x, y y ) f ( x, y ) lim l 0
y
l
l
f x ( x, y ) cos f y ( x, y ) cos
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三、物理意义
数量场 (数性函数)
函数
场
如: 温度场, 电位场等 向量场(矢性函数)
(物理量的分布)
如: 力场,速度场等
可微函数 f (P) (势) 梯度场 grad f ( P) (向量场)
注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.
例5. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点 q 处所产生的电位为 u ( r x 2 y 2 z 2 ), 试证 4 r q grad u E (场强 E r 0) 4π ε r 2 证: 利用例4的结果 grad f (r ) f (r ) r 0

f 则称 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. l
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定理: 若函数 f ( x, y, z ) 在点 P( x, y, z ) 处可微 , 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有 f f f f l cos cos cos l x y z
• 二元函数 在点 沿方向 l (方向角为
, )的方向导数为
f f f cos cos l x y
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2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
f ,f ,f grad f x y z
• 二元函数 3. 关系 在点 处的梯度为
grad u
q 4 r
r 0
q 4 r
r 0 E 2
这说明场强: 垂直于等位面,
且指向电位减少的方向.
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内容小结
1. 方向导数
• 三元函数
在点
沿方向 l (方向角
为 , , ) 的方向导数为 f f f f cos cos cos l x y z
P
o
x
特别:
f f • 当 l 与 x 轴同向 0 , 时, 有 2 l x f f • 当 l 与 x 轴反向 , 时, 有 l x 2
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例1. 求函数
3) 的方向导数 .
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
cos
f l M l grad f M l
6 arccos 130
2. P73 题 16
u n 2 x0 2 y0 2 z0 2 x0 2 2 y0 2 2 z0 2 a b c x0 2 y0 2 z0 2 2 4 4 4 a b c
解: 向量 l 的方向余弦为
u l
P
2 2x yz 14
3 x y 14
2
机动
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例2. 求函数
朝 x 增大方向的方向导数.
在点P(2, 3)沿曲线
解:将已知曲线用参数方程表示为 x x y x2 1 它在点 P 的切向量为 (1, 2 x) x 2 (1, 4) 1 4 cos , cos 17 17
grad f ( f x ( x, y ) , f y ( x, y ))
• 可微 方向导数存在
0
偏导数存在
f grad f l • l
梯度在方向 l 上的投影.
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思考与练习
1. 设函数
(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线
在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向 的夹角 . 2. P73 题 16
证:
x f (r ) f (r ) 2 2 2 r x y z
x
f (r ) y f (r ) z f (r ) , f (r ) y r z r f (r ) f (r ) f (r ) grad f (r ) j k i z P y z x r 1 f (r ) ( x i y j z k ) o r y 1 x (r ) r f (r ) r 0 f r
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,
指向函数增大的方向.
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3. 梯度的基本运算公式
(2) grad (C u ) C grad u (4) grad ( u v ) u grad v v grad u
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例4.
处矢径 r 的模 , 试证
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解答提示:
1. (1) 曲线 在点
M (1,1,1) 处切线的方向向量
l
函数沿 l 的方向导数 f f x cos f y cos f z cos (1,1,1) l M
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(2) grad f
M
(2 , 1 , 0)
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
第八章
三、物理意义
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一、方向导数
定义: 若函数 f ( x, y, z ) 在点 P( x, y, z ) 处
l
沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限: f lim
0

P
P( x, y, z )
f ( x x, y y, z z ) f ( x, y, z ) 记作 f lim l 0
2 (1, 2 , 2) 9
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u ln(x y 2 z 2 ) 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A 2. 函数
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 提示: 则
1 2
. (96考研)
{cos , cos , cos }
设 f x , f y 不同时为零 , 则L*上点P 处的法向量为 y f c3 ( f x , f y ) P grad f P f c2 同样, 对应函数 P 有等值面(等量面) f c1 o x 当各偏导数不同时为零时, 其上 ( 设 c1 c2 c3 ) 点P处的法向量为 grad f P .