- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
z
与法线方程. 解: 令 法向量
n
即 法线方程
z n ( y, x, e 1)
(2,1,0)
(1, 2, 0)
切平面方程
( x 2) 2( y 1) 0
x 2 y 1 z 0 1 2 0
第6节内容回顾
2) 显式情况. 空间光滑曲面 法向量
n ( f x , f y , 1)
z (1,2) cos y
例3. 设 n 是曲面 指向外侧的法向量, 求函数
方向 n 的方向导数. 解:
在点 P(1, 1, 1 )处
在点P 处沿
n (4 x , 6 y , 2 z ) P 2(2 , 3 , 1) 2 3 1 方向余弦为 cos , cos , cos 14 14 14 u 6x 6 而 2 2 x P z 6x 8 y P 14
当 l 0 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值： f G max l
这说明 G : 方向：f 变化率最大的方向
模 : f 的最大变化率之值
1. 定义 向量 记作grad
G
称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient),
f ,即
f f f , , x y z
同样可定义二元函数
在点 P( x, y ) 处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
例4、u f ( x, y, z) x 2 y 2 z 2 , 求gradf (1, 1, 2)
解： gradf( x, y, z) ( f x , f y , f z )
( 2 x, 2 y , 2 z )
即
16 x 9 y z 24 0
第6节内容回顾
曲面 在点
2. 曲面的切平面与法线 1) 隐式情况 . 空间光滑曲面
的法向量
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切平面方程
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 )
P
证明: 由函数 f ( x, y, z ) 在点 P 可微 , 得 f f f f x y z o ( ) x y z
P( x, y, z )
故
o ( )
f f f f f lim cos cos cos l 0 x y z
推广：三元函数的方向导数
定义: 若函数 f ( x, y, z ) 在点 P( x, y, z ) 处
l
沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限: f lim
0
P
P( x, y, z )
f ( x x, y y, z z ) f ( x, y, z ) 记作 f lim l 0
所得曲线在xoy面上投影如图
y f ( x, y) c2
P
f ( x, y) c1
gradf ( x , y )
梯度为等值线上的法向量
f ( x, y ) c
等值线
o
x
等值线的画法
播放
例如,
函数 z sin xy 图形及其等高线图形．
4、物理意义
数量场 (数性函数)
解: 设所求点为 法向量 n ( z
0
, z y , 1) ( y , x , 1) n ( x , y , z ) ( y0 , x0 , 1)
x
0 0
法线垂直于平面可知以上向量平行，即 y0 x0 1 3 1 因此得：x 3, y 1, z x y 3 1
n1 (2 x 3 , 2 y , 2 z ) (1,1,1) (1, 2 , 2 )
n 2 (2 , 3 , 5 )
因此切线的方向向量为 l n1 n 2 (16 , 9 , 1) x 1 y 1 z 1 由此得切线:
16
9
1
法平面: 16( x 1) 9( y 1) ( z 1) 0
0 0 0 0 0
又平面x 3 y z 9 0的法向量为（1,3,1）
x 3 y 1 z 3 法线方程为： 1 3 1
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
第九章
一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有 一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点 处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2) 处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才 能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向 （即梯度方向）爬行．
2. 梯度的基本运算公式
(2) grad (C u ) C grad u (4) grad ( u v ) u grad v v grad u
3. 梯度的几何意义 在几何上 z f ( x , y ) 表示一个曲面
曲面被平面 z
c
z f ( x, y) , 所截得 z c
P
P ( x, y )
f 则称 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. l
定理: 若函数 z f ( x, y) 在点 P( x, y) 处可微 , 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
f f f cos cos l x y
l
证明: 由函数 z f ( x, y) 在点 P 可微 , 得
法线方程 x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
2、求曲面
e z xy 3在点(2,1,0) 的切平面
f f • 当 l 与 x 轴同向 0 , 时, 有 2 l x f f • 当 l 与 x 轴反向 , 时, 有 l x 2
f f • 当 l 与 y轴反向 , 时, 有 l y 2
(t0 )( x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0
x 2 y 2 z 2 3x 0 练习1. 求曲线 在点(1,1,1) 的切线 2 x 3 y 5 z 4 0 与法平面. 解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为
例1. 求函数
3) 的方向导数 .
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
解: 向量 l 的方向余弦为
u l
P
2 2x yz 14
3 x y 14
2
例2 : 求z x 2 y 2在P(1, 2)处沿l ： P到N (5,5)的方向导数 解： l PN (4,3) | l | 5
同理得
1 11 6 2 8 3 14 1 14 7
思考题： 讨论函数 z f ( x , y ) x y 在 (0,0) 点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
2 2
z 分析： x
( 0,0 )
z 同理： y
沿任意方向l { x , y , z }的方向导数,
故沿任意方向的方向导数均存在且相等.
二、梯度
f f f f cos cos cos 方向导数公式 l x y z
f f f , , 令向量 G x y z
l 0 (cos , cos , cos )
gradf (1,1,2) (2,2,4)
2i 2 j 4k
例5、函数u xyz在点P(1,1, 2)处 沿什么方向的方向导数最大 ? 值为多少 ?
解： gradu (ux , u y , uz )
( yz, xz, xy)
所求方向为： m ( yz , xz , xy ) (1,1,2) (2, 2,1) 所求值为： | m | 3.
第6节内容回顾
x (t ) 1) 参数式情况. 空间光滑曲线 : y (t ) z (t ) 切向量 T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 ))
切线方程 法平面方程 1. 空间曲线的切线与法平面
x x0 y y0 z z0 (t0 ) (t0 ) (t0 )
| y | 故两个偏导数均不存在. ( 0 , 0 ) lim y 0 y
| x | f ( x ,0) f (0,0) lim lim 不存在 x 0 x 0 x x
z l
( 0,0 )
2 2 ( x ) ( y ) f ( x , y ) f (0,0) lim 1 lim 2 2 0 0 ( x ) ( y )
练习6：
x 2 y 2 z 2 3x 0 1、求曲线 在点(1,1,1) 的切线 2 x 3 y 5 z 4 0
与法平面方程.
2、求曲面
e z xy 3在点(2,1,0) 的切平面
z
与法线方程.
3、在曲面z xy上求一点，使这点处的法线 垂直于平面x 3 y z 9 0, 并写出该法线方程。
切平面方程
z z0 f x ( x0 , y0 ) ( x x0 ) f y ( x0 , y0 ) ( y y0 )
