1复变函数论5

复变函数论总结摘要：对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结，对这一章也有了深入的认识，通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式，学习了圆域内泰勒级数的展开与环域内洛朗级数的展开，以及应用留数定理计算实变函数定积分，傅立叶积分与傅立叶变换。

关键词：复数；导数；解析；积分；柯西公式、定理；幂级数展开；留数；傅立叶积分与傅立叶变换1引言《复变函数论主要内容》第一章复变函数 complex function第二章复变函数的积分 complex function integral第三章幂级数展开 power series expansion第四章留数定理 residual theorem第五章傅立叶变换 Fourier integral transformation第一章复变函数§1.1 复数及复数的运算§1.2 复变函数§1.3导数§1.4解析函数§1.1 复数及复数的运算1．复数的概念的数被称为复数，其中。

；；ｉ为虚数单位，其意义为当且仅当时，二者相等复数与平面向量一一对应ｚ平面虚轴ｙ. （ｘ，ｙ）ｒｘ实轴模幅角 (ｋ)注意：复数“零”（即实部和虚部都等与零的复数）的幅角没有明确意义2．复数的表示代数表示三角表示指数表示一个复数ｚ的共轭复数注意：在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差3．无限远点在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复平面上的一点对应，而且称这一点为无限远点，我们把无限远点记作，它的模为无限大，幅角则没有明确意义4．复数的运算复数的加法法则：复数与的和定义是两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。

复数的加法满足交换律和结合律，且，当同一方向时等号成立。

复数的减法法则：且有复数的乘法法则：乘法的交换律、结合律与分配律都成立复数的除法法则：注意：采用三角式或指数式比较方便。

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析.( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数.( ) 3.若}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛.() 4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('z f ，则Cz f )(（常数）.( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点.()7.若)(lim 0z f z z存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D zz f . ()9.若f(z)在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(Cdzz f .()10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分）1、1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数）2.zz 22cos sin _________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2zz f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz 的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若nnz lim ，则nz z z nn...lim21______________.8.)0,(Re nz ze s ________，其中n 为自然数.9.zzsin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0z f z z.三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(z z z f ，求)(z f 在}1||0:{z z D内的罗朗展式.2..cos 11||z dz z3. 设Cdzz f 173)(2，其中}3|:|{z z C ，试求).1('i f 4. 求复数11z z w的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证:()(1)f z z z 在割去线段0Re 1z的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z上岸取正值的那支在1z的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f 在D 内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D 内连续.( ) 2. cos z 与sin z 在复平面内有界.( ) 3. 若函数f(z)在z 0解析，则f(z)在z 0连续. ( ) 4. 有界整函数必为常数.( ) 5. 如z 0是函数f(z)的本性奇点，则)(lim 0z f zz 一定不存在.( ) 6. 若函数f(z)在z 0可导，则f(z)在z 0解析.()7. 若f(z)在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(Cdzz f .() 8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f(z)在区域D 内解析，则|f(z)|也在D 内解析. ()10. 存在一个在零点解析的函数f(z)使0)11(n f 且,...2,1,21)21(nn n f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z，则____,arg __,||zzz 2.设C iyx zy xi xy x z f ),sin(1()2()(222，则)(lim 1z f iz ________.3.1||00)(z z nz zdz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz 的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f(z)的m 阶零点且m>0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z的周期为__________. 7. 方程083235zzz 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(zz f ，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f 的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z 处的值.3. 计算积分：i iz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||z ）的右半圆.4. 求dzzzz 22)2(sin .四. 证明题. (20分)1. 设函数f(z)在区域D 内解析，试证：f(z)在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分). 1. cosz 与sin z 的周期均为k2. ( )2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z)在z 0处解析，则f (z)在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z)在z 0解析，则f (z)在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{z z D上解析,且)1|(|1|)(|z z f ,则)1|(|1|)(|z z f . （）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( )9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0z z f . ( )二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2zz f ，则f (z)的定义域为___________.2. 函数e z的周期为_________. 3. 若nnni n n z )11(12，则nz nlim __________.4. zz22cos sin ___________.5.1||00)(z z nz zdz_________.（n 为自然数）6. 幂级数n nnx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2zz f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8.设1ze，则___z.9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0z f zz.10.____)0,(Res n zze .三. 计算题. (40分) 1.将函数12()zf z z e 在圆环域0z内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nnnznn!的收敛半径.3. 算下列积分：Czzz ze )9(d 22，其中C 是1||z .4. 求0282269z zzz在|z|<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ||时nz M z f |||)(|，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。