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![复变函数论第三版课后习题答案[1]](https://img.taocdn.com/s1/m/03de2b78a26925c52cc5bf62.png)
第一章习题解答（一）1．设z ，求z 及Arcz 。
解：由于3iz e π-==所以1z =，2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=±。
2．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12z z 。
解：由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。
3．解二项方程440,(0)z a a +=>。
解：12444(),0,1,2,3k ii za e aek πππ+====。
4．证明2221212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。
证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。
5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。
证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。
证 由于1321===z z z，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。
因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。
![复变函数论第三版课后习题答案[1]](https://img.taocdn.com/s1/m/426672baf121dd36a32d824d.png)
第一章习题解答（一）1．设z ，求z 及Arcz 。
解：由于3i z e π-==所以1z =，2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=± 。
2．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12z z 。
解：由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。
3．解二项方程440,(0)z a a +=>。
解：12444(),0,1,2,3k ii z a e aek πππ+====。
4．证明2221212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。
证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。
5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。
证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。
证 由于1321===z z z，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。
因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。
第一章习题解答（一）1．设z ，求z 及Arcz 。
解：由于3i z e π-== 所以1z =，2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=±。
2．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12z z 。
解：由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。
3．解二项方程440,(0)z a a +=>。
解：12444(),0,1,2,3k ii za e aek πππ+====。
4．证明2221212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。
证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。
5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。
证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。
证 由于1321===z z z，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。
因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。
![[VIP专享]复变函数论第三版课后习题答案[1]46](https://img.taocdn.com/s1/m/372b8e816c175f0e7dd13733.png)
第一章习题解答（一）1．设，求及。
z z Arcz 解：由于3z e π-==所以，。
1z =2,0,1,3Arcz k kππ=-+=± 2．设，试用指数形式表示及。
121z z ==12z z 12z z 解：由于6412,2i i z e z i e ππ-====所以()64641212222i i iiz z e eeeπππππ--===。
54()146122611222ii i i z e ee z e πππππ+-===3．解二项方程。
440,(0)z a a +=>解：。
12444(),0,1,2,3k i za e aek πππ+====4．证明，并说明其几何意义。
2221212122()z z z z z z ++-=+证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++ 2221212122Re()z z z z z z -=+- 所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。
5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。
证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。
证 由于1321===z z z ，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。
因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又 )())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z 故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。
第一章习题解答（一）1．设z ，求z 及Arcz 。
解：由于3i z e π-== 所以1z =，2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=±。
2．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12z z 。
解：由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。
3．解二项方程440,(0)z a a +=>。
:解：12444(),0,1,2,3k ii za e aek πππ+====。
4．证明2221212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。
证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。
5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。
证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。
证 由于1321===z z z，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。
因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=]21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。
第二章 解析函数 习题课 1. 试问函数211z+在圆盘1||<z （称为单位圆盘）内是否连续？是否一致连续？2. 证明函数2||)(z z f =除去在0=z 外，处处不可微。
3. 设函数)(z f 在区域D 内解析。
证明：如果对每一点D z ∈，有0)('=z f ，那么)(z f 在D 内为常数。
4. 设函数)(z f 在区域D 内解析。
证明：如果)(z f 满足下列条件之一，那么它在D 内为常数：（1） )(Re z f 或)(Im z f 在D 内为常数； （2）|)(|z f 在D 内为常数。
5. 证明：若函数)(z f 在上半平面解析，则函数)(z f 在下半平面解析。
6. 试用柯西-黎曼条件，证明下列函数在复平面解析：z z e z zcos ,sin ,,2而下列函数不解析：z z e z zcos ,sin ,,2。
7. 证明在极坐标下的柯西-黎曼条件是：rv r u v r r u∂∂-=∂∂∂∂=∂∂θθ,1。
8. 已知任何区域D 内的解析函数)(z f 一定有任意阶导数。
证明：（1） )(z f 的实部和虚部在D 内也有任意阶导数，并且满足拉普拉斯方程：2222=∂∂+∂∂yU xU （2） 在D 内，222222|)('|4|)(|)(z f z f yx=∂∂+∂∂9. 试求出的ie+2、)1(Ln i +、ii 、21、2)2(-值。
10. 由w z sin =及w z cos =所定义w 的函数分别称为的反正弦函数和反余弦函数，利用对数函数求出它们的解析表达式。
11. 由2sinh zze e z --=及2cosh zz e e z -+=所定义w 的函数分别称为的双曲正弦函数和双曲余弦函数，证明：,cos cosh ,sin sinh iz z iz i z =-= 由此从关于三角函数的有关公式导出：1sinhcosh22=-z z ，212121sinh cosh cosh sinh )sinh(z z z z z z +=+，212121sinh sinh cosh cosh )cosh(z z z z z z +=+，y x i y x iy x sinh cos cosh sin )sin(+=+， y x i y x iy x sinh sin cosh cos )cos(-=+，zzz z zz sinh d cos d,cosh d sinh d ==。
习题一答案1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+ （2）(1)(2)i i i --（3）131i i i-- （4）8214i i i -+-解：（1）1323213iz i -==+， 因此：32Re , Im 1313z z ==-，1232, arg arctan , 3131313z z z i ==-=+（2）3(1)(2)1310i i iz i i i -+===---， 因此，31Re , Im 1010z z =-=，1131, arg arctan , 3101010z z z i π==-=--（3）133335122i i iz i i i --=-=-+=-， 因此，35Re , Im 32z z ==-，34535, arg arctan , 232i z z z +==-=（4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此，Re 1, Im 3zz =-=，10, arg arctan3, 13z z z i π==-=--2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）13i -+ （3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cossin22iii e πππ=+=（2）13i -+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3． 求下列各式的值：（1）5(3)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（5）3i （6）1i +解：（1）5(3)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin())16(3)66i i ππ=-+-=-+ （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )332[cos()sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-2[cos()sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)122[cos(2)sin(2)]21212ii eπθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- （5）3i 3cossin22i ππ=+11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++31, 02231, 122, 2i k i k i k ⎧+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6）1i +2(cossin )44i ππ=+ 4112[cos (2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++48482, 02, 1i i e k e k ππ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩4． 设121, 3,2iz z i +==-试用三角形式表示12z z 与12z z解：12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5． 解下列方程： （1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=>解：（1）51,z i += 由此2551k i z i ei π=-=-， (0,1,2,3,4)k =（2）4444(cos sin )za a i ππ=-=+11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：(1), (1), (1), (1)2222a a a ai i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,zx iy =+则2x y z x y+≤≤+证明：首先，显然有22z x y x y =+≤+；其次，因222,x y x y +≥ 固此有2222()(),x y x y +≥+从而222x y z x y +=+≥。
第一章习题解答（一）1．设z ，求z 及Arcz 。
解：由于3i z e π-== 所以1z =，2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=±L 。
2．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12z z 。
解：由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。
3．解二项方程440,(0)z a a +=>。
解：12444(),0,1,2,3k ii za e aek πππ+====。
4．证明2221212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。
证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。
5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。
证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。
证 由于1321===z z z，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。
因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。
第一章习题解答（一）1．设z ，求z 及Arcz 。
解：由于3i z e π-== 所以1z =，2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=±。
2．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12z z 。
解：由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。
3．解二项方程440,(0)z a a +=>。
解：12444(),0,1,2,3k ii za e aek πππ+====。
4．证明2221212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。
证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。
5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。
证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。
证 由于1321===z z z，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。
因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。
6．下列关系表示点z 的轨迹的图形是什么它是不是区域。
（1） 1212,()z z z z z z -=-≠； 解：点z 的轨迹是1z与2z 两点连线的中垂线，不是区域。
（2）4z z ≤-； 解：令z x yi =+由(4)x yi x yi +≤-+，即2222(4)x y x y +≤-+，得2x ≤ 故点z 的轨迹是以直线2x =为边界的左半平面（包括直线2x =）；不是区域。
（3）111z z -<+ 解：令z x yi =+，由11z z -<+，得22(1)(1)x x -<+，即0x >； 故点z 的轨迹是以虚轴为边界的右半平面（不包括虚轴）；是区域。
（4）0arg(1),2Re 34z z π<-<≤≤且；解：令z x yi =+由0arg(1)42Re 3z z π⎧<-<⎪⎨⎪≤≤⎩，得0arg1423y x x π⎧<<⎪-⎨⎪≤≤⎩，即0123y x x <<-⎧⎨≤≤⎩ 故点z 的轨迹是以直线2,3,0,1x x y y x ====-为边界的梯形（包括直线2,3x x ==；不包括直线0,1y y x ==-）；不是区域。
（5）2,1z z >>且-3； 解：点z 的轨迹是以原点为心，2为半径，及以3z =为心，以1为半径的两闭圆外部，是区域。
（6）Im 1,2z z ><且； 解：点z 的轨迹是位于直线Im 1z =的上方（不包括直线Im 1z =），且在以原点为心，2为半径的圆内部分（不包括直线圆弧）；是区域。
（7）2,0arg 4z z π<<<且；解：点z 的轨迹是以正实轴、射线arg 4z π=及圆弧1z =为边界的扇形（不包括边界），是区域。
（8）131,2222i z z i ->->且 解：令z x yi =+由1223122i z z i ⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，得2211()2431()24x y x y ⎧+->⎪⎪⎨⎪+->⎪⎩ 故点z 的轨迹是两个闭圆221131(),()2424xy x y +-=+-=的外部，是区域。
7．证明：z 平面上的直线方程可以写成C z a z a =+（a 是非零复常数，C 是实常数） 证 设直角坐标系的平面方程为Ax By C +=将11Re (),Im ()22x z z z y z z z i==+==-代入，得C z B A z B A =-+-)i (21)i (21令)i (21B A a +=，则)i (21B A a -=，上式即为C z a z a =+。
反之：将,z x yi z x yi =+=-，代入C z a z a =+ 得()()a a x ia ia y c ++-= 则有Ax By C +=；即为一般直线方程。
8．证明：z 平面上的圆周可以写成0.Azz z z c ββ+++=其中A 、C 为实数，0,A β≠为复数，且2AC β>。
证明：设圆方程为22()0A x y Bx Dy C ++++=其中0,A ≠当224B D AC +>时表实圆；将2211,(),()22x y zz x z z y z z i+==+=-代入，得 11()()022Azz B Di z B Di z c +-+++=即0.Azz z z c ββ+++= 其中11(),()22B Di B Di ββ=+=- 且22211()444B D AC AC β=+>•=；反之：令,z x yi a bi β=+=+代入20()Azz z z c AC βββ+++=>得22()0,A x y Bx Dy C ++++=其中2,2B a B b == 即为圆方程。
10．求下列方程（t 是实参数）给出的曲线。
（1）t z i)1(+=； （2）t b t a z sin i cos +=；（3）t t z i+=； （4）22i t t z +=，解（1）⎩⎨⎧∞<<-∞==⇔+=+=t t y t x t y x z ,)i 1(i 。
即直线x y =。
（2）π20,sin cos sin i cos i ≤<⎩⎨⎧==⇔+=+=t t b y ta x tb t a y x z ，即为椭圆12222=+b y a x ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧==⇔+=+=t y t x t t y x z 1i i ，即为双曲线1=xy ； （4）⎪⎩⎪⎨⎧==⇔+=+=22221i i t y t x t t y x z ，即为双曲线1=xy 中位于第一象限中的一支。
11．函数z w 1=将z 平面上的下列曲线变成w 平面上的什么曲线()iv u w iy x z +=+=,（1）x y =； （2）()1122=+-y x解222211y x yiy x x iy x z w +-+=+==，2222,y x y v y x x u +-=+=，可得 （1）()vy x y y x y y x x u -=+--=+=+=222222是w 平面上一直线；（2）()21211222222=+⇔=+⇔=+-y x x x y x y x ，于是21=u ，是w 平面上一平行与v 轴的直线。
13．试证)arg (arg ππ≤<-z z 在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在z 平面上处处连续。
证 设z z f arg )(=，因为f (0)无定义，所以f (z )在原点z =0处不连续。
当z 0为负实轴上的点时，即)0(000<=x x z ，有 ⎩⎨⎧-=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=-+→→→→→ππππx y x y z y x x y x x z z arctan lim arctan lim arg lim 00000所以zz z arg lim 0→不存在，即z arg 在负实轴上不连续。
而argz 在z 平面上的其它点处的连续性显然。
14． 设00=≠z z 求证()z f 在原点处不连接。
证 由于()01lim lim lim 42062400=+=+=→→=→x x x x x z f x x xy z()21lim lim 666003=+=→=→y y y z f y yx z, 0,y x xy z f可知极限()z fz0lim→不存在，故()z f在原点处不连接。
16. 试问函数f(z) = 1/(1 –z )在单位圆| z | < 1内是否连续是否一致连续【解】(1) f(z)在单位圆| z | < 1内连续．因为z在内连续，故f(z) = 1/(1 –z )在\{1}内连续(连续函数的四则运算)，因此f(z)在单位圆| z | < 1内连续．(2) f(z)在单位圆| z | < 1内不一致连续．令z n= 1 – 1/n，w n= 1 – 1/(n + 1)，n+．则z n, w n都在单位圆| z | < 1内，| z n w n | 0，但| f(z n)f(w n)| = | n (n + 1) | = 1 > 0，故f(z)在单位圆| z | < 1内不一致连续．[也可以直接用实函数f(x) = 1/(1 –x )在(0, 1)不一致连续来说明，只要把这个实函数看成是f(z)在E = { z | Im(z) = 0, 0 < Re(z) < 1 }上的限制即可．]17. 试证：复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限的充要条件是实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限．【解】() 若复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限，则 > 0，N+，使得n > N，有| z n z0| < ．此时有| x n x0| | z n z0| < ；| y n y0| | z n z0| < ．故实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限．() 若实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限，则 > 0，N1+，使得n > N1，有| x n x0| < /2；N2+，使得n > N2，有| y n y0| < /2．令N = max{N1, N2}，则n > N，有n > N1且n > N2，故有| z n z0| = | (x n x0) + i (y n y0)| | x n x0| + | y n y0| < /2 + /2 = ．所以，复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限．20. 如果复数列{z n}合于lim n z n = z0，证明lim n (z1 + z2 + ... + z n)/n = z0．当z0时，结论是否正确【解】(1) > 0，K+，使得n > K，有| z n z0| < /2．记M = | z1z0 | + ... + | z K z0 |，则当n > K时，有| (z1 + z2 + ... + z n)/n z0 | = | (z1z0) + (z2z0) + ... + (z n z0) |/n ( | z1z0 | + | z2z0 | + ... + | z n z0 |)/n= ( | z1z0 | + ... + | z K z0 |)/n + ( | z K +1z0 | + ... + | z n z0 |)/n M/n + (n K)/n · (/2) M/n + /2．因lim n (M/n) = 0，故L+，使得n > L，有M/n < /2．令N = max{K, L}，则当n > K时，有| (z1 + z2 + ... + z n)/n z0 | M/n + /2 < /2 + /2 = ．所以，lim n (z1 + z2 + ... + z n)/n = z0．(2) 当z0时，结论不成立．这可由下面的反例看出．例：z n = (1)n ·n，n+．显然lim n z n = ．但k+，有(z1 + z2 + ... + z2k)/(2k) = 1/2，因此数列{(z1 + z2 + ... + z n)/n}不趋向于．[这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同，甚至反例都是一样的．] 2．如果ite z =，试证明（1）nt z z nn cos 21=+； （2）nt z z n nsin i 21=-解 （1）nt e e e e z z n n sin 21int int int int =+=+=+-（2）nt e e e e z z n n sin i 21int int int int =-=-=--4．设iy x z +=，试证yx z y x +≤≤+2。
