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大学物理-第一章 复变函数论基础1

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大学数学复变函数

大学数学复变函数

大学数学复变函数数学是一门广泛应用于各个领域的学科，不论是物理学、工程学还是经济学，都离不开数学的支持和应用。

而复变函数作为数学中的一个重要分支，具有多样化的性质和广泛的应用。

本文将对大学数学中的复变函数进行详细的介绍和探讨。

一、复变函数的定义与性质复变函数是数学中的一种特殊函数形式，它的自变量和因变量都是复数。

复变函数可以写成以下形式：f(z) = u(x, y) + i * v(x, y)其中，z = x + i * y，u(x, y)和v(x, y)分别为实部和虚部。

复变函数的定义可以看作是将复平面上的点z映射到另一个复平面上的点w，从而建立起了一个函数关系。

复变函数有一些重要的性质：1. 解析性：如果在某个区域内，函数f(z)在该区域上处处可导，则称该函数在该区域内解析。

2. 共轭函数：对于一个复变函数，可以定义其共轭函数。

共轭函数是将函数中所有虚部的符号取反而得到的的函数。

3. 调和函数：对于一个复变函数，如果其实部和虚部都是调和函数，则称该函数为调和函数。

4. 周期性：复变函数可以具有周期性，即存在某个常数T，使得f(z + T) = f(z)对于所有的z成立。

5. 极限性质：与实变函数类似，复变函数也具有极限性质，包括一致收敛、点态收敛等。

二、复变函数的应用复变函数在物理学、工程学、经济学等领域中有着广泛的应用。

以下是一些典型的应用领域：1. 电路理论：复数电路理论是电工学中的一个重要部分，复变函数可以用来分析交流电路的性质和行为。

2. 信号处理：在信号处理领域，复变函数有着广泛的应用。

例如，复数域中的傅里叶变换在信号处理中起着重要的作用。

3. 流体力学：复变函数在流体力学中的应用也非常广泛。

例如，通过复变函数可以分析流体的速度场、流线场等。

4. 统计学：复变函数在统计学中也有重要的应用，特别是在复数域中的概率论和数理统计学中。

5. 工程优化：复变函数在工程优化中也发挥着重要的作用。

数学物理方法课件：1-复变函数

数学物理方法课件：1-复变函数

n
z
n
ei / n
n
i argz2k
e n ,
k 0,1,2n 1
例： 4 1 i
1 i
2 cos i sin
i
2e 4
4
4
2k
2k
4 1 i 8 2cos 4
i sin 4
,
4
4
(k 0,1,2,3)
9
w0
8
2 cos
16
i sin
16
w2
8
2 cos17
本章首先引入复数的概念及其运算、 平面点集的概念。然后讨论复变函数的连 续性，重点研究解析函数。
3
§1.1 复数与复数运算
（一）复数的概念 1.复数：形如 z= x+ i y 的数被称为复数，其中x ,
y∈R。x=Rez，y=Imz分别为 z 的实部和虚部，i为
虚数单位，其意义为i2=-1
复数相等：z1=z2当且仅当Rez1= Rez2且Imz1= Imz1
绪论
“数学物理方法”研究物理问题中遇到的数学方 程的求解方法。本课程在高等数学和普通物理 学的基础上论述数学物理中的常用方法，为后 续的理论物理课和专业课做准备。
课程的主要内容有：复变函数论和数学物理方程 两大部分。
1
绪论
教材与参考书： ➢ 梁昆淼，《数学物理方法》（第四版），高等教育出版社，
2010年 ➢ 斯颂乐，徐世良等《数学物理方法习题解答》，天津科学
z x iy
代数式
y
z(x, y) cos i sin (三角式)
ei
（指数式）
O
x
x2 y2 z
Argz,

复变函数1-4章

复变函数1-4章

(三) 复变函数的积分（8学时)
内容：复变函数积分的定义、性质和计算；柯西－古萨（Cauchy－Goursat） 基本定理及其推广-复合闭路定理；Cauchy积分公式及解析函数的高阶导数； 解析函数与调和函数的关系。 1.基本要求 （1） 理解复变函数积分的概念，掌握复变函数积分的基本性质及一般计算 方法。 （2） 理解柯西－古萨基本定理及其推论。 （3） 熟练掌握用柯西积分公式及高阶导数公式计算积分的方法。 （4） 了解摩勒拉(Morera）定理。 （5） 了解调和函数与解析函数的关系，会从解析函数的实（虚）部求 其虚（实）部。； 2.重点、难点 重点：柯西－古萨基本定理及柯西积分公式。 难点：摩勒拉(Morera）定理。 3.说明：本章内容是整个复变函数理论的基础。
3
复变函数发展的三个节点：
1、Euler公式 在复数域 下把三角函数、双曲函数和指数函数统一起来； 2、Cauchy-Riemann条件 u ; u
x y y x
eix cos x i sin x
定义出最重要的解析函数，其函数与方向无关，即 f (z)dz 0 3、幂函数闭路积分
(conjugate)
( 2) z z
(4) z z 2 Re (z ) z z 2i Im (z )
1 z z | z |2
18
z1 z1 ( ) z2 z2
2 2
( 3 ) z z R e ( z ) Im ( z ) x y
2
2
例1 : 设z1 5 5i , z 2 3 4i , z1 z1 求 , ( )及 它 们 的 实 部, 虚 部 . z2 z2
Complex Analysis

数学物理方法讲义

数学物理方法讲义

《数学物理方法》（Methods of MathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。

课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理——（数学）物理 物理学中的数学——（应用）数学Mathematical Physics方 程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复 数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，…运算规则 ＋，－，×，÷，()2，－ 121-=-负 数 0，-1，-2，…整 数 …，-2，-1，0，1，2，…÷ 5.021= 333.031=有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数 无限不循环小数 实 数 有理数、无理数i =-1 虚 数y i复 数 实数、虚数、实数＋虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位，作为运算符号。

01_复变函数

01_复变函数

§1.2 复变函数
邻域：以复数z 为圆心， 为半径作圆:|z-z0|<ε ， 邻域：以复数 0为圆心，任意小正实数ε为半径作圆 则圆内所有点的集合称为z 的邻域。 则圆内所有点的集合称为 0的邻域。 去心邻域： 所确定的点集。 去心邻域： 0<|z-z0|<ε 所确定的点集。 内点: 及其邻域均属于平面点集E, 则称z 为该点集的内点。 内点 若z0及其邻域均属于平面点集 则称 0为该点集的内点。 外点: 及其邻域均不属于点集E, 则称z 为该点集的外点。 外点 若z0及其邻域均不属于点集 则称 0为该点集的外点。 境界点：若在z 的每个邻域内，既有属于E的点 又有不属于E 的点， 境界点：若在 0的每个邻域内，既有属于 的点，又有不属于 的点，则称z 点集E的境界点 它既不是内点也不是外点， 的境界点， 的点 ， 则称 0为 点集 的境界点， 它既不是内点也不是外点， 其全体称为境界线 境界线。 其全体称为境界线。
z = x + iy ↔ ( x , y )
(x, y)
x
x
欧拉公式： 欧拉公式： eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ
iϕ ( iϕ ) ( iϕ ) ( iϕ ) ( iϕ ) + + + + ⋅⋅⋅ e = 1+ + 1! 2! 3! 4! 5! iϕ ϕ 2 iϕ 3 ϕ 4 iϕ 5 = 1+ − − + + + ⋅⋅⋅ 1! 2! 3! 4! 5! ϕ2 ϕ4 ϕ ϕ3 ϕ5 = 1 − + + ⋅⋅⋅ + i − + + ⋅⋅⋅ 2! 4! 1! 3! 5!
ρ称为复数的模，记 作|z|；ϕ 称为辐角，记作 称为复数的模， 辐角， ； 称为辐角 记作Argz。 。

复变函数课件第一章1-3节

复变函数课件第一章1-3节

2. 复球面的定义 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的 点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球 面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复 平面上的无穷远点相对应, 记作∞. 因而球面上 的北极 N 就是复数无穷大∞的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对 应, 这样的球面称为复球面.
L z1 z z2
(j=1,2)的直线；
（2）中心在点(0, -1), 半径为2的圆。 o x 解 （1） z=z1+t (z2-z1) （-∞<t <+∞）
( 2)
z − (− i ) = 2
y
例2 方程 Re(i z) = 3 表示 什么图形？ 解 设 z = x + iy
(z)
Re(iz ) = 3
例4.试用复数表示圆的方程 a( x 2 + y 2 ) + bx + cy + d = 0 (a ≠ 0, bc不全为0)
例5.证明 : z1 + z 2 + z1 − z 2 = 2 z1 + z 2
2 2 2
(
2
)
§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
z1
z2 - z1
(三角不等式 )
o
z2
x
3. 三角表示法
⎧ x = r cosθ 由⎨ 得 ⎩ y = r sin θ
4. 指数表示法
再由Euler公式 : e iθ = cosθ + i sin θ得
z = r (cos θ + i sin θ )
z = re

大学物理-复变函数

大学物理-复变函数
右图：边界由三条不相连接的闭合曲线 L1、L2 和 L3 组成。
定义：连通阶数——区域不相连接的边界数目 n。
n = 1：单连通区域；n > 1：复连通区域
单连通区域与复连通区域的本质区别： 区域中任一闭合曲线能否连续变形而缩成一点。 连续变形：变形时不能通过不属于 D 的区域。 降低连通阶数的方法：做割线将两条边界线连接起来。 应用：可将单连通区域成立的定理推广到复连通区域。
则 w i z2 r2ei2
r2, 2
Z 平面上的点映射到 W 平面上时，其模平方，而辐角 加倍，由此可见，Z 平面上的第 I 象限变成 W 平面上的上 半平面如图 1-2-6。
我们来看，映射 w= z2 将 Z 平面上的什么曲线变成 W 平面上的平行于坐标轴的直线族
u c 和 v c' 为此将 z2 展开： w z2 x2 y2 2ixy
三、复变函数的几何意义——由 Z 平面到 W 平面的映射 单值实变量函数 y = f (x)，可表示为平面上的一条曲线。 对于单值复变量函数：
自变量 z = x + i y，复变函数 w = f (z) = u + i v 四个实变量：x,y；u,v 不能用二维、三维空间中的几何图形表示 z 和 f (z)
办法：用 Z 平面上的点 (x,y) 表示自变量 z 的值，而用另一 个 W 平面上的点 (u,v) 表示复变函数 w = f (z) = u + i v 的值。 对应关系 f (z) ：从 Z 平面到 W 平面的一个映射
——复变函数的几何意义
例：试讨论由函数 w = z2 所实现的映射。
解 令 z rei , w ei
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数、双曲函数 初等函数：以上基本初等函数经有限次四则运算及有限项

复变函数1

复变函数1

数学物理方法
特 殊 函 数 篇
数 学 物 理 方 程 篇
复 变 函 数 篇
第一篇 复变函数论
复变函数论
微分 积分
傅里叶积分变换 拉普拉斯积分变换
柯西积分定理 柯西积分公式
留数定理 留数和定理
圆域内泰勒 级数 环 域内的 罗朗级数
《复变函数论》 主要内容
主要包括以下几方面的内容： 一、复变函数 二、复变函数的积分 三、幂级数展开 四、留数定理 五、傅里叶变换 六、拉普拉斯变换
x cos y sin
x2 y 2 y arctan x
复数的数学表达式： （1）代数式：z=x+iy (2) 三角式： z= cos i sin （3） 指数式：z= ei
0
y 虚轴
y
Z (x , y )
i (1 2 )
复数的商： z1 x1＋iy1 ( x1＋iy1 )( x2 -iy2 ) x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 = = +i 2 2 2 2 z2 x2＋iy2 ( x2＋iy2 )( x2 -iy2 ) x2 y2 x2 y2 z1 1 (cos 1 i sin 1 ) 1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 2 (cos 2 i sin 2 ) 2
1 i ( e 2
1
2)
利用数学归纳法可以将上式推广到 n 个复数相 乘的三角形式与指数形式 z1 z2 zn rr2 rn [cos(1 2 n ) isin(1 2 n )] 1
2. 复数的三角表示 (1).复数的辐角 定义 辐角 辐角的主值 复数 z x i y对应的点 ( x, y ) 的极坐标为 r 和 ，当

《复变函数论》课件

《复变函数论》课件

复数的定义
复平面上的点表示复数，实轴表示实数，虚轴表示虚数。
复数的几何意义
加法、减法、乘法、除法等。
复数的运算
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEWERA
复数与复变函数
总结词
复数可以用几何图形表示，其实部和虚部可以分别表示为直角坐标系中的x轴和y轴。
详细描述
复数平面上，每一个复数z=a+bi可以对应到一个点(a,b)，实部a对应x轴上的坐标，虚部b对应y轴上的坐标。这种表示方法称为复平面或直角坐标系。
泰勒级数的应用场景
泰勒级数在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用，如近似计算、误差估计、信号处理等。
泰勒级数的误差分析
在使用泰勒级数进行近似计算时，需要进行误差分析，以确保近似结果的精度和可靠性。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEWERA
留数定理与辐角原理
总结词：留数定理是复变函数论中的重要定理之一，它提供了计算复平面上的积分的一种有效方法。
详细描述
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEWERA
解析函数与全纯函数
解析函数的定义
如果一个复函数在某区域内的全纯函数，则称该函数在该区域内解析。
全局性质
解析函数在全纯函数的零点处具有留数。
局部性质
在某区域内解析的函数在该区域内具有无限次可微性。
局部性质
在某区域内全纯的函数在该区域内具有无限次可微性。
详细描述
复变函数的积分是指函数在某个曲线段上的累积值，其定义方式与实数函数的积分类似，采用极限和累加的方式进行计算。在计算过程中，需要考虑复数域的特性，如虚部的存在和运算规则的特殊性。

第一章复变函数

第一章复变函数
9
3）积： 代数式运算
z1 z2 = ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + ix2 y1 − y1 y2
三角运算
z1 z2 = ρ1 (cosθ1 + i sin θ1 ) ρ 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) = ρ 2 ρ1[(cosθ1 cosθ 2 − i sin θ1 sin θ 2 ) + i (cosθ1 sin θ 2 + cosθ 2 sin θ1 )]
Z 0
y
z0
z0
Z 0
E
x
一点而言。 内点的定义， 内点的定义，不只是对于 Z0 一点而言。 外点
Z0
Z0
及其邻域均不属于点集E 及其邻域均不属于点集E，则称 为点集E的外点。 为点集E的外点。
19
（4）境界点与境界线： 境界点与境界线： 境界点
Z点的每个邻域内，既有属于点集E的点，也 点的每个邻域内，既有属于点集E的点， 0 称为该点集E的境界点 的境界点。 有不属于E的点。 有不属于E的点。点 Z 0称为该点集 的境界点。
A′
x
5、复平面与复数球之关系
A
s
17
§1、2 、
复变函数
一、复变函数的定义与定义域： 复变函数的定义与定义域：
1、复变函数定义： 、复变函数定义： 复数平面上存在一个点集上E 对于E的每一点（每一个Z 复数平面上存在一个点集上E，对于E的每一点（每一个Z ），按照一定的规律 按照一定的规律， 与之相对应， 值），按照一定的规律，有一个或多个复数值 ω 与之相对应， ω ω 的函数--复变函数,z --复变函数,z称为 的宗量。定义域为E 则称 为Z的函数--复变函数,z称为 的宗量。定义域为E，记 ω = f (z) 作, ω 1 ω 2 y 定义域及相关的概念： 2、定义域及相关的概念： （1）定义域： ）定义域： 函数宗量定义的区域。 函数宗量定义的区域。

复变函数论第1章第3节

复变函数论第1章第3节
z → z0 z∈E
( x , y ) → ( x 0 , y0 ) ( x , y )∈E
lim
u( x , y ) = a ,
( x , y )→ ( x 0 , y 0 ) ( x , y )∈E
lim
v( x, y ) = b ,
说明
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求两个二元实变 函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
π 3
w
2π 3
o
2
x
o
4
u
3 复变函数的极限与连续性
上有定义， 定义1.15 定义1.15 设函数 w = f ( z ) 于点集 E 上有定义， z0 为 E 的聚点 . 若存在一复数 w0 使对任给的 ε > 0, 有 δ > 0 , 只要 0 <| z − z0 |< δ , z ∈ E , 就有
π
3
的直线 ；
( 3) 双曲线 x 2 − y 2 = 4 .
解： 设 z = x + iy = r (cosθ + i sinθ ) ,
w = u + iv = R(cosφ + i sinφ ) .
则
R = r 2 , φ = 2θ .
因此， 因此，
w = z2 R = r 2 ,φ = 2θ .
w 平面
F
u
与点 z 对应的点 w = f ( z ) 称为点 z 的像点， 像点， 而 z 称为点 w = f (z ) 的原像.
为讨论问题方便， 以后不再区分函数、映射 为讨论问题方便， 以后不再区分函数、 和变换. 和变换

大学物理-大学物理思维导图

大学物理-大学物理思维导图

e1
z
的各阶导数及其在
z
0点的值，故
1
e1 z
e(1
z
3
z2
13 z3
)
1
2! 3!
因为 e1z 的唯一的奇点为 z ，1 故类似于上例可求得其
收敛圆为 z 1
例2 计算积分
I
dz
, 设L为: z 2a (a 0)
L (z2 a2 )(z 3a)
1
【解法
1】显然被积函数
f
(z)
a.指数函数ez （具有周期性）
b.三角函数
cos
z
eiz
eiz 2
, sin
z
eiz
eiz 2i
cos
z,
sin
z
可以大于1
c.双曲函数
cosh z ez ez , sinh z ez ez
2
2
从复变函数意义上说，双曲函数与三角函数基本上是
一个变量代换z iz,二者没有本质区别
（3）导数定义 （4）可导充要条件：
lim R
zn-1 或 lim
1
n zn n n zn
特别提醒：以前在实变级数中
lim
n
zn z n -1
或 lim n n
zn 然后R
1
6.圆形区域的泰勒展开
1.直接计算泰勒系数ak
f k b
k!
2.换元法：常借助 1
tk t 1
1 t k0
3.利用两个绝对收敛的幂级数的乘积和商
所以
f
'' (z)
(3 2z) (1 z)2
f
' (z),
f

大学数学易考知识点复变函数的基本概念和性质

大学数学易考知识点复变函数的基本概念和性质

大学数学易考知识点复变函数的基本概念和性质复变函数是数学中一个重要且广泛应用的概念，它在大学数学中也是一个常见的考点。

本文将详细介绍复变函数的基本概念和性质，帮助读者加深对该知识点的理解。

一、复数与复平面复变函数的基础是复数，因此我们首先介绍复数的基本概念。

复数是由实数和虚数组成的数，通常用a+bi的形式表示，其中a是实部，b是虚部。

实部和虚部分别对应于复平面中的x轴和y轴。

复平面可以将一个复数表示为平面上的一个点，这个点离原点的距离称为模，角度称为辐角。

二、复变函数的定义复变函数是将一个复数映射到另一个复数的函数。

一般形式可以表示为f(z) = u(x,y) +iv(x,y)，其中z = x+iy是定义域上的变量，u(x,y)和v(x,y)分别是定义域上的实值函数。

实部u(x,y)和虚部v(x,y)是复变函数的实部与虚部，它们构成了复变函数的局部特征。

三、复变函数的性质1. 解析性：复变函数在其定义域上是解析的，也就是存在导数。

如果一个复变函数在某一点处导数存在，则称该点为复变函数的解析点。

2. 全纯性：如果一个函数在整个定义域上都是解析的，则称该函数为全纯函数。

全纯函数是复变函数中的重要特例。

3. 奇点：奇点指的是使得函数在该点处不解析的点。

奇点分为可去奇点、极点和本性奇点三种类型。

4. 解析函数的性质：解析函数具有很多重要的性质，如零点、辐角原理、最大模原理等。

5. 均匀收敛性：复变函数的级数展开在其收敛域上是均匀收敛的，这一性质使得复变函数在实际应用中有广泛的用途。

四、常见的复变函数1. 幂函数：f(z) = z^n，其中n为整数。

2. 指数函数：f(z) = e^z，其中e为自然对数的底数。

3. 对数函数：f(z) = ln(z)。

五、复变函数的应用复变函数具有很强的实际应用价值，包括在物理学、工程学、经济学等领域。

其中一些常见的应用包括：1. 电磁学中的复数电阻、电感和电容的计算。

2. 流体力学中的复速度场、复位移函数的分析。

复变函数与积分变换课件1.1-复数

复变函数与积分变换课件1.1-复数

a2 b2 c2
毕达哥拉斯定理 （勾股定理）
15
无
理 传说学派成员希帕苏斯在考虑了一 数个问题：边长为1的正方形，其对角线 的长度是多少呢？
发 他发现这一长度既不能用整数或者
重 大
现分数表示，而只能用一个新数来表示.
突
破
—
16
第一次数学危机
希帕苏斯的发现导致了数学史上第 一个无理数 2 的诞生.后来，人们又陆 续发现了许多无理数.
工作经历： 中国矿业大学，物理实验教师 佛山市国星光电股份有限公司，LED研发工程师 湖北省宜昌市，公务员 佛山科学技术学院自动化学院，青年特聘研究员
获得荣誉：
2017年5月，获得第四届全国激光雷达大会青年优秀论文奖 2017年11月，获得 2017 年博士研究生国家奖学金 2018年5月，获得深圳大学优秀毕业研究生奖学金（全校10%） 2018年6月，获得广东省优秀学生（研究生阶段）荣誉称号（全省0.25%） 2018年8月，获得 “深创杯”国际大学生创新创业大赛 “突出双创项目奖”（指导老师）
复数领域的推广和发展 。
(虚数史话) 49
第 一
第一章 复数与复变函数
章
复 §1.1 复数
数 与
§1.2 复数的三角表示
复 变
§1.3 平面点集的一般概念
函 §1.4 无穷大与复球面
数
§1.5 复变函数
50
§1.1 复数
第 一
§1.1
复数
章 一、复数及其运算
复 数
二、共轭复数
与
复 变
函
数
51
§1.1 复数
复变函数
与积分变换
1
一、教学及考核方式

大学物理-柯西定理

大学物理-柯西定理

例：计算 解：外边界线为 L： z = 2
在 L 内，第一个积分有奇点 z = 0，第二个积分有奇 点 z = 1，由上例可知
四、解析函数的定积分公式 在单通区域内，解析函数的积分值只与端点有关而与
路径无关，可定义一个以终点 z 为自变量的单值函数：
定理：设 f (z) 是单通区域 D 内的解析函数，z0 是 D 的内点，
分与路径无关。
证明：
由 f (z) 解析可知 件。
存在且连续，并且满足 C–R 条
z2 D
说明：这里的区域指区域 的边界线是由简单闭合曲 线所包围的区域。
简单闭合曲线：曲线自身 不相交的曲线。
积分与路径无关要求：
(1)
连续 (已满足)
(2) 第一个积分要求：
第二个积分要求：
此两等式正是 C–R 条件 两个实变线积分与路径无关，这样
则
是 D 内的解析函数，且 F' (z) = f (z)
即 F (z) 是 f (z) 的原函数：F' (z) = f (z)
证明：如图，解析函数 f (z) 由点 z0 经 L1 到 z ，再经 L2 到 z + z 的积分等于从 z0 经 L3 到 z + z 的积分，即
则
由于解析函数的积分与路径无关，可取 L2 为直线，设 为 直线上任意一点，考虑到解析函数必连续，所以任给 > 0， 必存在 > 0，使得当 – z < 时，有 f ( ) – f (z) < 。
则 于是
讨论：如果积分回路是以 a 点为圆心的圆弧
那么
Cr (z a rei ,1 2 )
I
Cr
dz za
i
2 d

《数学物理方法》第1章复变函数与解析函数

《数学物理方法》第1章复变函数与解析函数
成绩：
平时考勤：5%； 平时作业：10%； 期中考试：15% (第一篇的教学考核成绩) 期终考试：70% (期末考试成绩)
本课程的考试均以闭卷方式进行 。
2021/1/14
4
教材与参考书
教材：汪德新，《数学物理方法》，第三版，科学出
版社，2006年8月
参考书：
［1］吴崇试，数学物理方法，北京大学出版社 2003-12-26出版
zz1 (x1iy1) (x1iy1)(x2iy2) z2 (x2iy2) (x2iy2)(x2iy2)
x1xx222
y1y2 y22
i
x2y1x1y2 x22 y22
同样，利用复数的指数表示式将更方便．
z
z1 z2
1ei1 2ei2
e 1 i(12)
2
35
（6）开方 复数的开方是乘方的逆运算。
为共轭复数。 常用z* 表示z的共扼复数。 (z* )* =z 例： z1=2+3i与z2=2-3i 称z1与z2互为共轭复数。
17
复数能不能比较大小?!
18
§1.1.2 复数的几何表示
复数可以用平面上的点来表示，称为复 数的平面表示法；
球面上的点来表示，称为球面表示法。
19
1. 复数平面表示法
利用复数的指数表示式计算复数的乘积，往往更为
方便 z z 1 z 2 1 e i 12 e i 2 12 e i( 1 2 )
两复数乘积的几何意义是将两复数的模相乘而辐角
相加．
30
（4）乘方 乘方可由乘法规则得到，用n个z相乘
zn nein
31
【例1.1.1-A】试证明棣莫弗(De Moivre)公式
9

数学物理方法chapter-1

数学物理方法chapter-1

不妨让引用科学家柯朗在《数学物理方法》一书
（德文版 序言）中的一段话加以描述，柯朗写道：
“从17世纪以来，物理的直观，对于数学问题和方法
是富有生命力的根源，然而近年来的趋向和时尚，已
将数学与物理间的联系减弱了，数学家离开了数学的 直观根源，而集中推理精致和着重于数学的公设方面,
甚至有时忽视数学与物理学以及其他科学领域的整体 性.而且在许多情况下,物理学家也不再体会数学家的 观点,这种分裂,无疑地对于整个科学界是一个严重的 威胁,科学发展的洪流, 可能逐渐分裂成为细小而又细 小的溪渠,以至于干涸,因此,有必要引导我们的努力转
z r(cos i sin )
称为复数的三角表示式. 即为
z r cos ir sin r(cos isin) z cosArgz isinArgz
定义 1.2.6 复数的指数表示 利用欧拉(Euler) 公式
ei cos i sin 我们可以把任意非零复数 z x iy r cos i sin 表示
第一章 复数与复变函数
要求掌握：
1. 复数：复数运算和复数的各种表示方法； 模与幅角； 2. 曲线和区域的判断：简单曲线、简单闭曲 线；单、复（或多）连通区域；有、无界区 域；区域（开、闭区域）；映射的概念； 3. 复变函数的极限和连续； 4. 复球面与无穷远点概念；
重点：复数的运算和各种表示法； 复变函数极限的概念；
《数学物理方法》
参考资料：
第一部分 复变函数论 （含积分变换）
第二部分 数学物理方程 第三部分 特殊函数
参考资料（教材）
第四部分 计算机仿真
数学物理思想
数学思想是人类创造性思维最具活力的体现
爱因斯坦相对论的建立便是最有力的佐证。将数学思 想方法应用于现代高科技各专业技术领域，并构建成典 型的（物理）模型和解决问题的方法是数学思维和现代 专业技术领域的结晶，从而形成科学研究中实用性很强 的数学物理方法。它既利用精妙的数学思想，又联系具 体的研究任务和研究目标, 建立数学物理模型，给出解决 方法，是思维和研究任务、数学和物理模型有机结合的 方法，是统一数学思想和物理模型的系统化理论。脱离 了数学思维，具体研究任务失去了理论指导方法；脱离 了所研究的物理模型，作为最具生命力根源的数学思维 没有发挥其解决实际问题的巨大潜能。既非数学思想， 也非物理模型本身能达到尽善尽美，只有两者的有机结 合才能形成推动人类科学技术赖以发展的最有成效的动 力之源。
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10. 复数运算律 设： z1 = x1 + i y1 、z2 = x2 + i y2 则：以下的交换律、结合律、分配律成立
(加法交换律) (乘法交换律) (加法结合律) (乘法结合律) (分配律)
练习：
证明： ze i 是将复向量 z 向逆时针方向旋转 度。
一对应。此球面称为复球面。圆 L 的半径 → , L' 趋
向球顶缩成一点 N → 复平面的无限远处对应于球面上的 一点 N ，这样，复平面的无限远处看成一个“点”—— 无限远点。见下页图。
三、复数的运算规则 (基本运算：加减乘除)
由于实数是复数的特例，故在规定其运算方法时，既 应使复数运算的法则适用于实数特例时，能够和实数运算 的结果相符合，又应使复数的算术运算能够满足实数算术 运算的一般规律 (如交换律，结合律等)。 1. 加法 z z1 z2 (x1+iy1)+(x2 +iy2 )=(x1+x2 )+i(y1 + y2 )
第一章 复变函数论基础
实变函数：实变量的函数。例：x,y — 实变量； f (x,y) — 实变函数
复变函数：复变量的函数，实变函数的推广 思考：复变函数和实变函数的区别和联系
实数 → 实变量 → 实变函数 复数 → 复变量 → 复变函数 (a,b) (x,y) (u(x,y),v(x,y))
1.1 复数 (复数的定义、几何表示、运算规则)
z：z的模
modulus
辐角： argument
有
2. 复球面 复数不仅可用平面上的点表示，还可用球面上的点表
示。方法：过复平面的坐标原点 o 作一球面与复平面相切， 过 o 作复平面的垂线交球面于 N 点 (北极点)，作射线 NP 交球面于 P' ,交复平面于 P 点，可知 P' 与 P 对应，这样， 球面上所有的点 (北极点除外) 均与复平面上所有的点一
(模相乘，辐角相加)
4. 除法
(分母有理化)
5. 乘方: N 个 z 相乘，即 棣摩弗公式:
(模相除，辐角相减)
6. 开方:
令 w n = z0 、z0 = 0 e i0 ，且设 w = e i 。 已知 0 、0，求： 、
Hale Waihona Puke 由有(k：整数)
即 w 的模 与 z0 的模一一对应，而 w 的辐角与 z0 的辐
i：虚数单位 ← imaginary unit) 2. 基本概念：x = Re z (实部) y = Im z (虚部)
纯虚数、共轭复数 (z x iy 、z x iy) 、复数相等
说明：复数定义的本质——有序实数对，即 z = (x, y)，x, y R
注意：x, y 的次序很重要， (x, y) ≠ (y, x) 虚数单位的表示方法：
角不是一一对应。仅有 n 个不同的值满足 w n = z0，即
这 n 个不同的值均匀分布在半径为 的圆周上。下 图为 n = 5 的例子。
7. 模运算
(两边之和不小于第三边) (一边不小于两边之差)
8. 共轭复数运算
9. 关于 的四则运算
若 ≠ ，则
说明：运算 + 、0 ∙ 、 无意义
数的扩展：正数→负数→实数
在实数范围内：方程 ax2 + bx + c = 0
当 = b2 4ac < 0 时，没有实根。
(命题：把10分 成两部分，使 其乘积为40。)
→ 扩大数域，引进复数 (数的创生)
一、复数的定义和运算 1. 定义：复数——形如 z = x + i y 的数 (x,y为实数，i 2 = –1
i = (0, 1) ——在计算机编程中常用
二、复数的表示方法 (代数表示法、三角表示法、指数表示法) 1. 复平面 (1) 直角坐标表示：在坐标平面 oxy上，用点 (x, y) 表示复
数 z = x + i y，平面上的点 (x, y) 与复数 z = x + i y 一一 对应。全体复数布满整个平面——复平面 (或 z 平面)。
从原点 (0,0) 出发指向点 (x,y) 矢量 — op 复矢量。
定义：x 轴—实轴，y 轴—虚轴
(2) 极坐标表示：复平面上的点用极坐标 (, ) 表示
(：z 的模， ：z 的辐角) 注：用极坐标表示一个复数 z 时，辐角 Argz 的值不唯一
即 其中 argz 为辐角主值，且 0 ≤ argz < 2π 。 利用欧拉公式：
几何意义：z1、z2 为复平面上的矢量，且 z = z1 + z2 遵守平行四边形法则。见下页图。
2. 减法 z z1 z2 (x1+iy1)-(x2 +iy2 )=(x1-x2 )+i(y1 y2 )
3. 乘法 z z1 z2 (x1 iy1)(x2 iy2 )=(x1x2 y1y2 )+i(x1y2 x2 y1)