Artificial Intelligence and Robotics Research 人工智能与机器人研究, 2016, 5(1), 1-12
Published Online February 2016 in Hans. https://www.doczj.com/doc/6d12215182.html,/journal/airr
https://www.doczj.com/doc/6d12215182.html,/10.12677/airr.2016.51001
Trend Prediction Model Based
Multi-Objective Estimation of Distribution
Algorithm
Zhongqiang Huang, Min Jiang
Fujian Key Lab of the Brain-Like Intelligent Systems, Xiamen University (XMU), Xiamen Fujian
Received: Mar. 11th, 2016; accepted: Mar. 26th, 2016; published: Mar. 30th, 2016
Copyright ? 2016 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
https://www.doczj.com/doc/6d12215182.html,/licenses/by/4.0/
Abstract
Multi-objective optimization problems exist widely in real world applications. Traditional evolu-tionary algorithms usually employ individual-based evolution strategies to solve these optimiza-tion problems, leading to low convergence rate, strong dependency on population size and poor results. As a meta-heuristic algorithm, the Estimation of Distribution Algorithm (EDA) combines the statistical machine learning with population evolution model and has attracted a wide spread attention. In this paper, we proposed a trend-prediction-model (TPM) based EDA method, called TPM-EDA, to solve multi-objective problems. The characteristic of TPM is that it effectively utilizes the historic information generated in evolutionary process to predict the trend of particles, so as to promote the search speed for finding Pareto-optimal front and the search ability of algorithm.
Meanwhile, the sparseness is applied in our algorithm to control the sampling frequencies of indi-viduals for the purpose of achieving the diversity of population. We compared our method with multiple existing EDA algorithms on 6 different test instances. The experimental results proved the effectiveness of our method.
Keywords
Multi-Objective Optimization, Estimation of Distribution Algorithm, Trend Prediction Model
基于趋势预测模型的多目标分布估计算法
黄忠强，江敏
黄忠强，江敏
福建省仿脑智能系统重点实验室，厦门大学，福建厦门
收稿日期：2016年3月11日；录用日期：2016年3月26日；发布日期：2016年3月30日
摘要
多目标优化问题广泛存在于现实世界的应用当中。传统的基于个体进化策略的进化算法在处理这些优化问题时往往收敛速度慢、严格依赖于种群大小而且效果不大理想。分布估计算法作为元启发式(meta- heuristics)方法的一种，将统计机器学习同群体进化模式相结合，引起了学者的广泛关注。在这篇文章中，我们提出了一种基于趋势预测模型(TPM)的分布估计算法，TPM-EDA，用于解决多目标优化问题。
其特点在于有效地利用了群体进化过程的历史信息来预测粒子运动的趋势，从而加速了查找最优Pareto 前沿面的过程，提升了算法的搜索能力。与此同时，通过引入稀疏度来控制个体的采样频率，来实现种群的多样性。我们在6个不同的测试函数上，对TPM-EDA和多种已有的EDA算法进行了对比性试验。实验结果表明了TPM-EDA方法的有效性。
关键词
多目标优化，分布估计算法，趋势预测模型
1. 引言
现实世界中的很多应用都与多目标优化问题存在着紧密的联系，例如购车时希望能买到性能好、价格低廉同时又省油的车。这种紧密的联系也意味着高效的多目标问题的求解方法，能够带来重要的经济利益。因此，对多目标优化问题的研究，尤其是设计通用而且高效的算法受到了相关领域的广泛关注[1]-[3]。
大量的多目标优化问题难以通过解析方式求得其最优解，这也就使得设计不同的启发式算法成为解决多目标优化问题的主要方法之一[4] [5]。分布估计算法[6]作为元启发式(meta-heuristics)方法的一种，其主要特点是将统计机器学习的方法同群体进化模式进行结合。与传统的遗传算法不同，在分布估计算法中，没有交叉、变异等操作，取而代之的是概率模型的学习和采样。EDA算法往往通过统计学习的手段从宏观的角度为解的分布建立一个概率模型，通过不同的方法在该模型上采样来得到下一代种群，如此反复进行，实现种群的进化。由于在优化的过程中显式的使用概率模型，EDA算法能够提供其他元启发方法所不能提供的优点。
近些年来，利用EDA算法来解决多目标优化问题，已经取得了很好的结果。Khan等[7]提出的多目标贝叶斯优化算法(mBOA)将贝叶斯优化算法同非支配排序算法相结合，利用NSGA-II中的选择方法来沿着Pareto前沿面寻找解。这种方法的特点在于通过提供选择压力来确保Exploitation和Exploration之间取得某种平衡；Pelikan等[8]提出的多目标分层BOA (mohBOA)，也借鉴了NSGA-II和mBOA中的类似过程来选择可能的候选解，但是不同之处在于在选出了候选解之后，mohBOA结合了k-means聚类算法来获得有希望的解的聚类，并使用限制的二进制锦标赛法来将新获得的聚类来与旧的种群集成，来产生下一代种群。实验结果也都证明了这种方法的有效性。Shah等人证明[9]，ε-hBOA，一种基于ε占有的分层贝叶斯优化算法，在求解多目标d维背包问题是较其他两种进化算法有一定优势。Karshenas等人提出的MBN-EDA[10]建立了关于决策变量和目标变量间关系的多维贝叶斯网络。MBN-EDA不仅捕获了变量间的依赖关系，同时也刻画了目标与目标以及目标与变量间的相关关系。然而训练一个贝叶斯网络
黄忠强，江敏
是复杂而耗时的，会造成巨大开销。除了基于贝叶斯网络的EDA 方法，还有基于规则化模型的RM-MEDA [11]、基于GNG 网络的MB-GNG [12]、基于Parzen 窗口的MOPEDA [13]、基于方向模型的IM-MOEA [14]等。
然而，在相当多的情况下，尤其是对于多目标优化问题而言，传统EDA 算法所用来建模的概率模型很难描述真实前沿面的概率分布。当模型偏差较大时，将直接导致EDA 算法的失效。一种有效的解决方式是直接从某个带启发式信息的分布上进行采样然后过滤个体，来替代传统EDA 的建模和采样过程。如Luhan Zhou 等人在[15]中所使用的策略，它强调了生成个体和滤除个体之间的配合，展现出某些传统EDA 算法所不具备的优势。我们的方法正是基于这种策略来不断地产生粒子然后过滤粒子，来实现种群的进化。
在这篇论文中，我们提出了一种称为TPM-EDA 的算法用于解决多目标优化问题，我们工作的主要贡献在如下两点： ? 利用稀疏度来控制个体的采样频率，使得种群能均匀地分布在Pareto 前沿面上，实现了种群的多样性；
?
TPM-EDA 提出了一种不同的采样方法来生成下一代种群。其在已经选择的个体的基础上，构造一个基于历史信息的趋势预测模型，并在采样过程中使用该模型预测下一代粒子的位置，从而加速寻找前沿面的速度。
本文的文章结构如下。在第二节，介绍了多目标优化问题的相关概念以及分布估计算法。第三节先介绍了TPM-EDA 的算法框架，而后详细描述了我们所提出的趋势预测模型以及TPM-EDA 算法。第四节是实验部分，包括测试样例、参数设置以及实验结果。最后是总结和展望。
2. 多目标优化方法与进化计算
2.1. 多目标优化问题定义
在这篇论文中，我们考虑无约束的多目标优化问题。一个无约束的多目标问题定义为：
()()()()1minimize ,,m F x f x f x =
其中，()1,,n x x x = 是n 维决策变量，i f 是第i 个目标函数。
定义1. (Pareto 支配)我们称一个解1x 支配另一个解2x ，记作12x x ，如果
()()()()121
2,1,,,1,,i i i i f x f x i m f x f x i m ≤?=
{}
**POS |,x x x x =
定义3. (Pareto 前沿面，POF)我们将一个多目标问题的前沿面记为POF ，
(){}
*
POF
|POS F x x
=∈
与单目标优化问题寻找一个最优解不同的是，多目标优化问题需要寻找一个最优的解集，即上述定义的POS ，使得最优解集中的解不会被其他解支配。多目标优化算法的目的便是寻找到一个最接近理论前沿面的Pareto 前沿面及其对应的解集。
2.2. 分布估计算法EDA
EDA 算法(Estimation of Distribution Algorithms) [6] [16]-[18]将统计机器学习与进化计算相结合，通过
黄忠强，江敏
将概率模型引入进化框架中来对问题进行优化。与基于个体的进化策略不同的是，EDA是基于种群优化的，它通过反复地对候选解所处的空间进行建模和采样来搜索空间。由于EDA的优化过程是概率分布的反复更新，使得它相比较传统进化算法有如下优势：1) 自适应算子，它们可以根据要解决的问题来调整算子；2) 清晰的问题结构，它们提供了问题解的具体概率模型，使得模型的分析和信息挖掘变得容易；
3) 先验概率的存在，EDA可以加入先验概率到模型中；4) 降低了内存需要，EDA只需记录概率模型参
数而无需直接保存种群，降低了对内存的需求。EDAs已经成功应用在多目标背包问题[19]，经济调度[20]，蛋白质结构预测[21]等上。
近些年来，分布估计算法发展了很多不同的具体实现方法，其差别往往在于采用了不同的概率模型生成方法和不同的采样方法。尽管不同方法的设计思想有很大的不同，但是这些方法都可以归纳为下面两个主要步骤：
?首先通过某种方法来构建用于描述解空间的概率模型。EDA算法往往会通过对种群的评估，选择优秀的个体集合，然后采用统计学习等手段构造一个描述当前解集的概率模型。我们这这位概率模型
的生成。
?在概率模型的基础上，利用不同的采样方式来产生新的种群。我们称此步骤为采样方法。
EDA算法的大体流程如图1所示。
大多数的EDA算法都是通过显式地构建一个概率模型，并在这个模型上进行采样来得到新的种群。
然而要准确地构建概率模型是一件很困难的事情，错误的概率模型将直接导致新得到的种群质量不高，因此很难找到问题的解。一种替代的方法是隐式的建立概率模型，通过不断地产生和过滤个体达到。我们的思路是首先根据稀疏度选择待扩展的个体，然后进行采样，并通过筛选非支配解集来得到优势种群。
另外一方面，我们认同Claudio Rossi等人的观点[22]，即充分利用某些信息，将能够使得算法提高对变化的前沿面的追踪能力。作者使用了卡尔曼滤波来预测变化的最优点，而我们则认为不仅简单的预测机制对于多目标优化问题而言至关重要，于此同时概率知识，而不是精确值，能够给我们更多的帮助。因此，我们提出了利用基于运动趋势预测的机制来对前沿面进行预测。
3. TPM-EDA方法
在这一节的开始部分，我们首先定义相关的术语，然后给出TPM-EDA方法的算法框架。接下来我们将更加详细地介绍TPM-EDA的两个组成部分：待扩展个体的选择过程和趋势预测模型。前者用于选取待扩展的个体，而后者则是利用历史信息来预测下一代种群。在介绍完这两者之后，我们将给出TPM-EDA具体的算法描述。
初始化种群
选择优势种群
建立概率模型
采样
Figure 1. Flowchart of estimation of distribution algorithm
图1.分布估计算法流程图
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3.1. TPM-EDA 算法框架
定义4. (粒子)粒子是一个二元组,p x d =，其中x 表示的是多目标优化问题的解，也叫做个体；而d 是n 维空间中的单位向量，表示粒子的方向。
在TPM-EDA 算法中，每次采样时都挑选一个待扩展的粒子，然后在这个粒子所代表的一个特定分布上进行采样。下面，我们结合图2(a)~(e)来简要介绍一下TPM-EDA 的算法框架。在某一个时刻，TPM- EDA 首先产生若干个粒子(图2(a))，并计算对应的POS (图2(b))。随后计算每个粒子的稀疏度，并根据稀疏度来选择粒子，其原则是稀疏度较高的粒子将会有更高的概率被选中(图2(c))。将趋势预测模型作用到所选择的粒子上，得到一系列新的解(图2(d))，并由此得到新的POS 和POF (图2(e))。以此不断循环，直到停止条件满足。
3.2. 选择过程
TPM-EDA 的做法是在采样阶段挑选那些更“重要”的粒子，从而保持粒子的多样性和前沿面的分布性。我们的做法是在那些稀疏的个体附近产生更多的子代，而密集的区域只产生少量的个体，即以稀疏度为权重来选择个体。假设当前群体为{}1,,n P p p = ，每个个体的拥挤度为其他粒子对其的相互作用之和。距离更近的个体相互作用应该更高，因此我们定义粒子k p 的拥挤度为：
()
1
Crowdedness exp n
k i k i x x p h =
?=?
∑ 其中，参数h 表示带宽。个体p k 的稀疏度则定义为拥挤度的倒数：
()()
1
Sparseness Crowdedness k k p p =
每次采样时我们依据粒子的Sparseness 值进行轮盘赌法。可以看出当粒子处在较稀疏的位置时，被采样的概率较高，能在其领域内产生更多的子代；而较密集的地方产生子代的概率小。这样，我们调节了所获得前沿面的稀疏程度，从而能够保持粒子的多样性，使前沿面更具有分布性。
3.3. 趋势预测模型
在上述选择过程挑选完待扩展的粒子后，我们需要在这粒子所代表的某个特定分布上进行采样。在物理上，如果知道了一个物体的运动方向u ，那么下一时刻的位移方向s 便等于u 。可以写成：
()1,if Prop 0,otherwise s u
s = =
与这种简单的线性预测不同的是，我们希望给物体的运动添加一些概率性，使得速度只是提供给物体一个可能的运动趋势而非直接确定下一时刻运动方向。这样的运动趋势可以很好地引导粒子进行更新，从而更快、更精确地逼近前沿面。
定义5. (趋势预测模型，TPM)
任意给定向量n u ∈ 和距离度量函数(),d ??。我们把n D ? 上的一个概率分布P 叫做趋势预测模型，如果其满足：
()()()()121212,,,,t t d u t d u t P t P t ?≥?≤
这样的一个分布刻画了粒子的运动趋势：将以较大的概率沿着原速度u 方向，而又允许粒子以较小的概率违背这个方向。
黄忠强，江敏
Figure 2. Algorithm framework of TPM-EDA 图2. TPM-EDA 算法框架
图3展示了这样一个TPM 实例。其中黑点是依据稀疏度被选择后的粒子，u 是其运动方向。如果u 所代表的TPM 模型以cos 距离为距离度量方式，定义域为单位球面，则因为1v 相比较2v 更靠近u (反应在cos 距离上是二者夹角更小)，所以1v 被选择到的概率更高。类似的，3v 的概率比2v 这概率更低，而4v 最不可能被采样到。
在我们的算法当中，每个粒子运动的启发式信息，产生它的父节点指向该节点的方向向量，被作为运动方向记录下来。我们希望设计一个趋势预测模型使得采样出的向量离这个运动方向u 越近则概率越高。为此，我们设计了一个特定的TPM 模型h TPM 。设定该模型距离度量方式为cos 距离，定义域DD 为单位球面，位移方向与原速度的夹角从均值为0，方差为带宽1h 的高斯分布上进行采样，而粒子的步长则由均值为0，方差为h 的高斯分布上产生。由于D 是单位球面，所以h TPM 其实是关于方向向量的分布，cos 距离则刻画了采样出来的位移方向与原速度之间的夹角大小。算法sample 描述了这个采样过程的具体实现。
黄忠强，江敏
因为每个粒子都带有能够刻画运动趋势的方向向量，因此能够准确预测前沿面的推进方向。为了实现时间维度上的开发与扩展平衡，更具体地，要实现在算法前期具有较高的搜索速度，在后期具有较细致的搜索能力，我们引入趋势度的概念。通过控制算法不同阶段趋势度来调节这个平衡。注意到，当h 趋于0时，h TPM 趋于均匀分布。均匀分布可以看作没有任何趋势的分布，因此，我们定义h TPM 的趋势度为其与均匀分布的距离。
定义6. (趋势度，TD)定义趋势预测模型h TPM 的趋势度为：
()()h h TD TPM dis TPM ,Uniform =
其中dis 为分布间距离的度量方式，Uniform 表示均匀分布。令算法中的参数带宽h 随着迭代不断降低。基于上述定义，h TPM 模型的趋势度将随着时间递减。算法运行阶段前期趋势度大，粒子会最大可能沿着速度方向前进，从而较快逼近前沿面；后期趋势度不断降低，来达到局部的、更细致地搜索。
我们需要设定个停止条件来让算法终止。定义如下指标来衡量两个前沿面1P 、2P 之间的差距：
()1
2
2
2
1212
min min Δ,p P p P q P
q P p q p q
P P P P ∈∈∈∈?+?=
+∑∑
该条件描述了离前沿面的临近程度，若1P 、2P 一致，则()12Δ,0P P =。因为参数带宽h 随着迭代不断降低，粒子运动的步长将不断趋于0，因此以该条件作为TPM-EDA 算法的停止条件时，算法是可以停止的。
3.4. TPM-EDA 算法
综合上述的选择过程以及趋势预测模型，我们给出TPM-EDA 算法的具体实现。
4. 实验
我们将GM-EDA 和其他的EDA 方法进行了对比性实验，画出了它们解出的前沿面，并利用IGD 指标来对各种算法的求得的解的收敛性和多样性进行比较。The inverted generational distance (IGD) [25]被用来衡量多目标算法的性能。令*P 为均匀分布在最优前沿面上的点集，而P 是算法求得的前沿面点集。定
黄忠强，江敏
Figure 3. An example of TPM distribution 图3. 一个TPM 实例
义IGD 指标为：
(
)
*
*
**
*
min IGD ,v P
v P v v
P P P
∈∈?=
∑
要使得IGD 值尽量小，需要P 尽量逼近*P 。因此，该定义刻画了算法求得的POF 与最优POF 之间的相近程度。
4.1. 测试样例和参数设置
在这篇文章中，我们将所提出的方法与其他四种EDA 算法相比较，包括MBN-EDA [10]，RM-MEDA [11]和EGNA [23]。MBN-EDA 方法基于联合概率模型，它通过建立多维的贝叶斯网络来捕获决策变量和目标变量间的关系。RM-MEDA 是基于规则模型的多目标优化算法。它假定Pareto 解集处在分段连续的m-1维流形空间中并使用局部的主成分分析来为候选区域进行建模。EGNA 是使用高斯网络来为决策变量建立概率模型的一种简单EDA 方法，但它并不考虑目标的信息。
在实验中，我们使用了6个测试样例[24]，包括FDA4、FDA5、DIMP2、dMOP2、dMOP3和HE2。这些测试函数具有不同的特性，它们的理论前沿面具有不同的形状，比如连续型的、分离型的等。FDA4和FDA5是3目标函数而其他是两目标函数。
实验中的EDA 算法都遵循相同的环境设置：每次迭代至多含有100个个体，最多迭代次数200。各个算法的参数与它们各自的文章中一致：对于MBN-EDA ，使用利润增益排序(Profit gain ordering)作为排序方法[10]；RM-MEDA 中，局部PCA 聚类的数目被设置为5 [11]；EGNA 中截断选择被用作选择方法[23]。
4.2. 结果
由于篇幅有限，我们只选取部分算法和测试函数来画出他们所获得的前沿面的情况。图4中画出了三个EDA 方法求解得到的前沿面情况。红色的点表示算法求得的个体，3D 线框展示的是理论的前沿面。从图中可以看出，TPM-EDA 方法取得了接近真实前沿面的结果。
图5展示的是DIMP2函数的情况。红色的点是算法求得的解，蓝色实线表示理论的前沿面。所测试的三个方法在这个测试函数上表现都不大理想。但相对而言，TPM-EDA 的效果较好，它获得的种群具有更好的分布性。
图6展示的是HE2函数的情况，该函数的前沿面是分离的。从图中可以看出TPM-EDA 具有最好的收敛效果，其前沿面最贴近真实的前沿面。然而TPM-EDA 算法缺少位于最右侧的前沿面片段中的个体，导致它前沿面的离散程度弱于RM-MEDA 。
黄忠强，江敏
Figure 4. POF of FDA4 obtained by MBN-EDA, RM-MEDA and TPM-EDA 图4. MBN-EDA, RM-MEDA 和TPM-EDA 获得的FDA4前沿面
Figure 5. POF of DIMP2 obtained by MBN-EDA, RM-MEDA and TPM-EDA 图5. MBN-EDA, RM-MEDA 和TPM-EDA 获得的DIMP2前沿面
Figure 6. POF of HE2 obtained by MBN-EDA, RM-MEDA and TPM-EDA
图6. MBN-EDA, RM-MEDA 和TPM-EDA 获得的HE2前沿面
为了考察算法解的收敛性，对每个标准函数，我们都进行了20次测试。对每次测试得到的IGD 值取平均得到算法在这个测试函数上的IGD 度量，所获得的结果在表1当中。可以看出TPM-EDA 在大部分测试函数上都超过了其他算法。在dMOP2测试函数上，TPM-EDA 也处在了第二的位置。因此，算法求得的前沿面具有较好的收敛性，能够很好地逼近理论的最优解。
4.3. 讨论
从静态实验结果以及IGD 指标上都可以看出TPM-EDA 算法能取得比其他EDA 算法更优秀的结果。基于稀疏度的选择过程以及趋势预测模型的使用使得TPM-EDA 能够更快、更准确地逼近理论前沿面。趋势预测模型有效地利用了粒子更新过程中的历史信息，以此预测粒子运动的趋势。
我们可以将所提出的TPM-EDA 方法应用到很多实际应用中。机器学习中的很多问题都可以转化为
MBN-EDA
F1F2
0.5
1 1.5
2
0.5
0.50
011 1.51.52
2F 3
F1
F2
0.5
1 1.5
2
0.5
0.50
01
1 1.51.522F 3
RM-MEDA
TPM-EDA
F1F2
0.5
1 1.5
2
0.5
0.5
01
1
1.51.52
2F 3
MBN-EDA
F1
RM-MEDA
TPM-EDA
F1F1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
3.532.521.510.5
3.532.521.510.5
12108642
00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
F 2
F 2
F 2
MBN-EDA
F1
RM-MEDA
TPM-EDA
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1.510.50-0.5
-0.1
F1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
21.510.50
-0.5
-0.1
F 2
F1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
F 2
1.210.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8
F 2
黄忠强，江敏
Table 1. IGD values of each method
表1. 各个方法的IGD指标
IGD MBN-EDA RM-MEDA EGNA TPM-EDA
FDA4 0.43 0.44 1.43 0.32
FDA5 0.51 0.47 1.53 0.40
DIMP2 6.97 5.12 6.56 3.56
dMOP2 1.40 0.29 1.35 0.38
dMOP3 1.38 1.05 1.86 0.98
HE2 0.83 0.74 1.08 0.50
多目标优化问题，如在深度学习中，我们可以利用TPM-EDA同时优化深度神经网络的训练误差和网络结构[26]；在迁移学习的领域适应方法中，可以利用多目标优化算法来同时优化映射后领域的相似性以及样本的可分性[27]；在云计算的多任务调用中寻找到效率高而又节能的调度方案[28]等。
5. 总结和展望
本文提出了一个新的基于趋势预测模型的分布估计算法，TPM-EDA，用来解决多目标优化问题。
TPM-EDA通过反复的产生子代个体和筛选优势种群来促进种群的进化，并使用方向向量这个启发式信息来预测子代可能所处的区域，从而提升搜索的准确性。此外，基于稀疏度的选择方法被用来调节个体的稀疏程度、控制种群的多样性，使得获得的前沿面分布性良好。实验结果也充分证明了我们方法的有效性。
一个高效的多目标优化算法是很多问题的基础。我们后期的研究方向包括基于多目标优化的深度学习及迁移学习[26] [27]，机器人自主学习[29]-[31]以及如何利用多目标优化辅助亚符号模型的知识抽取上
[32]-[36]。
基金项目
此研究工作受到国家自然科学基金项目(No. 61003014，No. 61105026和No. 61273338)的资助。
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fgoalattain Solve multiobjective goal attainment problems Equation Finds the minimum of a problem specified by x, weight, goal, b, beq, lb, and ub are vectors, A and Aeq are matrices, and c(x), ceq(x), and F(x) are functions that return vectors. F(x), c(x), and ceq(x) can be nonlinear functions. Syntax x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight) x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b) x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq) x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,... options) x = fgoalattain(problem) [x,fval] = fgoalattain(...) [x,fval,attainfactor] = fgoalattain(...) [x,fval,attainfactor,exitflag] = fgoalattain(...) [x,fval,attainfactor,exitflag,output] = fgoalattain(...) [x,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda] = fgoalattain(...) Description fgoalattain solves the goal attainment problem, which is one formulation for minimizing a multiobjective optimization problem.
基于优化问题的多目标布谷鸟搜索算法
基于优化问题的多目标布谷鸟搜索算法 关键字：布谷鸟搜索、元启发式算法、多目标、最优化 摘要：在工程设计方面，很多问题都是典型的多目标问题，而且，都是复杂的非线性问题。现在我们研究的优化算法就是为了解决多目标化的问题，使得与单一目标问题的解决有明显的区别，计算结果和函数值有可能会增加多目标问题的特性。此时，元启发式算法开始显示出自己在解决多目标优化问题中的优越性。在本篇文章中，我们构造了一个新的用于解决多目标优化问题的算法——布谷鸟搜索算法。我们通过一系列的多目标检验函数对其的有效性已经做出来检验，发现它可以应用于解决结构设计等问题中去，例如：光路设计、制动器设计等。另外，我么还对该算法的主要特性和应用做了相关的分析。 1.简介 在设计问题中经常会考虑到很多多重的复杂问题，而且这些问题往往都具有很高的非线性性。在实际中，不同的目标之间往往会有分歧和冲突，有时候，实际的最优化解决方案往往不存在，而一些折中的和近似的方案往往也可以使用。除了这些挑战性和复杂性以外，设计问题还会受到不同设计目标的约束，而且还会被设计代码、设计标准、材料适应性、和可用资源的选择，以及
设计花费等所限制，甚至是关于单一目标的全局最优问题也是如此，如果设计函数有着高度的非线性性，那么全局最优解是很难达到的，而且，很多现实世界中的问题经常是NP-hard的，这就意味着没有一个行之有效的算法可以解决我们提出的问题，因此，对于一个已经提出的问题，启发式算法和科学技术与具体的学科交叉知识经常被用于其中，用来作为解决问题的向导。 另一方面，元启发算法在解决此类优化问题方面是非常有效的，而且已经在很多刊物和书籍中得以运用，与单一目标的优化问题相反的是，多目标优化问题具有典型的复杂性和困难性，在单一目标的优化问题中我们必须去找出一个最优化的解决方法，此方法在问题的解决中存在着一个单一的点，并且在此问题中不包括那些多重的、平均优化的点，对于一个多目标的优化问题，存在着名为Pareto-front的多重的复杂的优化问题，为了了解我们所不熟悉的Pareto-front问题，我们需要收集并整理很多不同的方法，从而，此计算结果将会随着近似解的变化、问题的复杂度和解决方法的多样性而有所变化甚至增加。在理论上，此类解决方法应包括问题并且应相对的有一致无分歧的分布情况，然而，还没有科学的方法可以证明这种解决方法可以在实际中得以应用。 从问题的出发点我们可以得知，算法可以在单一目标优化问题中运行的很好，但是却不能在多目标的优化问题中直接的运用，除非是在特殊的环境与条件下才可以应用。例如，使用一些
. . 资产最优组合 摘要 本文在充分分析数据的基础上，运用了模糊评价评估产品近期表现的优劣性，利用线性规划模型对多种金融产品进行组合，得到最优解，最后对模型进行评价。 问题一：基于模糊评价模型。本文使用累计收益率、本月平均涨幅、β系数（风险指标）3个指标，建立评估模型，来评估金融产品近期的优劣性表现。首先用层次分析法给出各项评估指标的权重并进行对指标一致性检验，再用熵权法对权重值进行修正；然后建立评估模型，利用模糊评价法得出景顺长城需增长、中邮战略新兴产业、华夏现金增利货币、工银货币、华能国际（稳健型）、万向钱潮（波动型）、*ST 中华A （ST 型）、国债⑺、万业债的模糊评估指标分别为 [] 0.00971 0.00484 0.00072 0.00090 0.34040 0.45785 0.17205 0.00332 0.01022通过以上数据比较可知，股票的表现明显优于债券和基金。 问题二：首先构建线性规划模型，通过收益最大目标函数和约束条件，求解出最优产品组合。其次求解收益对应的β系数，绘出收益和风险的折线图。根据图示，找到风险变化一单位得到最大收益处的值，得到最优解：选择华能国际（稳健型）、万向钱潮（波动型）、国债⑺、万业债、中邮战略新兴产业、华夏现金增利货币的投资量为：3716.556、3752.874、3819.063、52.10025、109.8907、541.8917、41.32636 问题三：本文在对选取的指标运用层次分析法赋予权重后，用熵权法对权值进行修正，使权值更为准确。同时，利用综合评价得出产品的近期优劣性表现。但是，本文β系数求解考虑较为单一，β系数的计算公式可以根据产品公司进行修改。 本文运用EXCEL 统计了大量数据，利用SPSS 软件进行数据分析，使用MATLAB 进行模型求解，使得模型更具合理性，可行性和科学性。 关键词：层次分析，一致性检验，熵值取权，模糊评价， 线性规划
多目标优化模型 中国水资源具有显著地区域特征，我们对区域水资源多目标优化配置,以多目标和大系统优化为手段,在一定时间内可供水量和需水量确定的条件下,建立区域有限的水资源量在各流域的优化配置模型,求解模型得到水量优化配置方案. 目标函数的建立： 水资源配置主要考虑3 个目标函数,即用水效益函数、用水费用函数和区域均衡性函数。对于优质水资源而言,用水效益重点考虑工业和第三产业所产生的效益,将农业用水排除在外,旨在优先考虑经济效益好的区域用水需求。用水费用主要指输水费用,包括管道铺设和渠道建设费用,优质水资源还需要着重考虑饮用水的制水成本. 区域均衡性函数则为了避免供水一味向经济发达区域倾斜,使各区域供水与需水之差满足某种准则,以体现社会和谐精神.具体目标如下: （1) 用水收益最大;（2) 运营成本最低;（3）区域水资源供需尽量均衡. 设i g 为第i 个流域使用每立方米水资源所产生的效益参数, c ij 为第i 个用户由第j 个供水源输送每立方米水所需的费用, x ij 为由第j 个水源供给第i 个流域的水量,各区域的用水量x M x i j ij =∑=, D i 为第i 个区域的需水总量,则水资源配置的目标函数可以综合表示成如下形式: 2 111max (c )/(1/)n n n i i ij j i i i j i Z opt g x x x D ===??=--???? ∑∑∑ 式中:右边分子第一项表示水资源利用所产生的经济效益,包括环境效益,对 于优质水资源则取非农业经济效益;右边分子第二项为运营成本,主要涉及制水成本和水库至流域的输水成本;分母反映区域水资源供需之间的均衡程度,表示各区域的用水保证率尽可能最大，N 为供水区域数. 1. 2 参数及约束条件设置 中国各流域的水资源需要进行合理分配，以达到水资源的平衡，需要适当设置参数和约束条件. 首先按照2 种方式划分区域:其一以流域为单元,便于在模型中计算经济效益;其二以供水源为单元,以利于分析区域水资源的供需平衡关系. 各流域从水库获得的水量受水库供水量的限制,而水库供水量又受水源的水来源的可供水量约束. 根据中国历年的降雨量资料计算出各水库在不同频率下的可供水量,结合中国供水状况获得在若干种供水保证率下各水库的可供水量,各流域可取得的水量不得超过水源地水库的可供水量与水厂供水量中的较小者 j Q ,以此作为各变量的约束条件1)。设水库数为1R ,供水源为2 R ,供水单元数 为M ,当出现若干水库是同一水源的情形时取2M R = ,而当一个水厂以多个水库为水源地时取1M R = . 在这两种情形下,除满足约束条件1)外,尚需满足这些水库的供水量之和不大于水源地的可供水量或水库的供水量小于水源地的
§8.1多目标最优化问题的基本原理 一、多目标最优化问题的实例 例1 梁的设计问题 设用直径为1的圆木加工成截面积为矩形的梁，为使强度最大而成本最低， 问应如何设计梁的尺寸？ 解： 设梁的截面积宽和高分别为1x 和2x 强度最大=惯性矩最大 2 216 1x x = 成本最低=截面积最小=21x x 故数学模型为： min 1 x 2 x max 2216 1x x .s t 221 2 1x x += 10x ≥，20x ≥ 例2 买糖问题 已知食品店有1A , 2 A , 3 A 三种糖果单价分别为4元∕公斤，2.8元∕公斤， 2.4元∕公斤，今要筹办一次茶话会，要求用于买买糖的钱不超于20元，糖 的总量不少于6公斤，1A ， 2 A 两种糖的总和不少于3公斤，问应如何确定买糖的最佳方案？ 解：设购买1A , 2 A , 3 A 三种糖公斤数为1x ，2x ，3x 1 A 2 A 3 A 重量 1x 2x 3x 单价 4元∕公斤 2.8元∕公斤 2.4元∕公斤 min 14x +22.8x +3 2.4x （用钱最省）
max 1x +2x +3x （糖的总量最多） .st 14x +22.8x +3 2.4x 20≤ (用钱总数的限制) 1x +2x +3x 6≥（用糖总量的要求） 1x +2x 3≥（糖品种的要求） 1x ，2x ，3x 0≥ 是一个线性多目标规划。 二、 多目标最优化的模型 12min ()((),(),.....())T m V F x f x f x f x -= .st ()0g x ≥ ()0h x ≥ 多目标规划最优化问题实际上是一个向量函数的优化问题，当m=1,多目标优化就是前面讲的单目标优化问题 三、解的概念 1.序的概念 12,.....()T m a a a a = 12,.....()T m b b b b = （1）b a =?a i i b = 1,2....i m = （2）a b ≤?a i i b ≤ 1,2....i m = 称a 小于等于b （3）a b < =?a i i b ≤ 且?1≤j ≤m ，使a j j b ≠，则a 小于向量b （4）a 多目标函数的优化设计方法
第9章 多目标函数的优化设计方法 Chapter 9 Multi-object Optimal Design 在实际的机械设计中，往往期望在某些限制条件下，多项设计指标同时达到最优，这类问题称为多目标优化设计问题。与前面单目标优化设计不同的是，多目标优化设计有着多种提法和模式，即数学模型。因此，解决起来要比单目标问题复杂的多。 9.1 多目标最优化模型 9.1.1 问题举例 例9-1 生产计划问题 某工厂生产n （2≥n ）种产品：1号品、2号品、...、n 号品。 已知：该厂生产)...,,2,1(n i i =号品的生产能力是i a 吨/小时； 生产一吨)...,,2,1(n i i =号品可获利润i α元； 根据市场预测，下月i 号品的最大销售量为)...,,2(n i b i =吨； 工厂下月的开工能力为T 小时； 下月市场需要尽可能多的1号品。 问题：应如何安排下月的生产计划，在避免开工不足的条件下，使 工人加班时间尽可能的地少； 工厂获得最大利润； 满足市场对1号品尽可能多地要求。 为制定下月的生产计划，设该厂下月生产i 号品的时间为)...,,1(n i x i =小时。 9.1.2 基本概念 如图9.1所示，两个目标函数f 1,f 2中的若干个设计中，3，4称为非劣解，若 )(min{)(*x f x f j j ≤ S.t ．0)(≤x g u u=1,2,………….m 成立，则称* x 为非劣解。若不存在一个方向，同时满足： 0)(*≤*?s x f (目标函数值下降0)(*≤*?s x g (不破坏约束) 图9.1 则称* x 为约束多目标优化设计问题的K-T 非劣解。这样，多目标优化设计问题的求解过程为：先求出满足K-T 条件的非劣解，再从众多的非劣解确定一个选好解。 多目标优化的数学模型： T r x f x f x f X F V )](),........(),([)(m in 21=--
多目标优化方法 基本概述 几个概念 优化方法 一、多目标优化基本概述 现今，多目标优化问题应用越来越广，涉及诸多领域。在日常生活和工程中，经常要求不只一项指标达到最优，往往要求多项指标同时达到最优，大量的问题都可以归结为一类在某种约束条件下使多个目标同时达到最优的多目标优化问题。例如：在机械加工时，在进给切削中，为选择合适的切削速度和进给量，提出目标：1）机械加工成本最低2）生产率低3）刀具寿命最长；同时还要满足进给量小于加工余量、刀具强度等约束条件。 多目标优化的数学模型可以表示为： X=[x1,x2,…,x n ]T----------n维向量 min F(X)=[f1(X),f2(X),…,f n(X)]T----------向量形式的目标函数s.t. g i(X)≤0,(i=1,2,…,m) h j(X)=0,(j=1,2,…,k)--------设计变量应满足的约束条件多目标优化问题是一个比较复杂的问题，相比于单目标优化问题，在多目标优化问题中，约束要求是各自独立的，所以无法直接比较任意两个解的优劣。
二、多目标优化中几个概念：最优解，劣解，非劣解。 最优解X*：就是在X*所在的区间D中其函数值比其他任何点的函数值要小即f(X*)≤f(X)，则X*为优化问题的最优解。 劣解X*：在D中存在X使其函数值小于解的函数值，即f(x)≤f(X*), 即存在比解更优的点。 非劣解X*：在区间D中不存在X使f(X)全部小于解的函数值f(X*). 如图：在[0,1]中X*=1为最优解 在[0,2]中X*=a为劣解 在[1,2]中X*=b为非劣解 多目标优化问题中绝对最优解存在可能性一般很小，而劣解没有意义，所以通常去求其非劣解来解决问题。
最优化问题的数学模型及其分类 例1.1.1 产品组合问题 某公司现有三条生产线用来生产两种新产品，其主要数据如表1-1所示。请问如何生产可以让公司每周利润最大？ 表1-1 设每周生产的产品一和产品二 的产量分别为1x 和2x ，则每周的生产利润为：2153x x z +=。由于每周的产品生产受到三条生产线的可用时间的限制，因此1x ，2x 应满足以下条件： ?????? ?≥≤+≤≤0, 18231224212121 x x x x x x 故上述问题的数学模型为
2153max x x z += . .t s ?????? ?≥≤+≤≤0, 18231224212121 x x x x x x 其中max 是最大化（maximize ）的英文简称，??t s 是受约束于（subject to ）的简写。 例1.1.2 把一个半径为１的实心金属球熔化后，铸成一个 实心圆柱体，问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？ 设圆柱体的底面半径为r ，高为h ，则该问题的数学模型为： ??? ??=? ?+=ππππ3 422min 22 h r t s r rh S 其中min 是最小化（minimize ）的简写。 通过以上二例，可以看出最优化问题的数学模型具有如下结构： （１） 决策变量（decision variable ）：即所考虑问题 可归结为优选若干个被称为参数或变量的量 n x x x ,,,21 ，它们都取实数值，它们的一组值构 成了一个方案。 （２） 约束条件（constraint condition ）：即对决策
变量n x x x ,,,21 所加的限制条件，通常用不等式或等式表示为： ()(),,,2,1, 0,,,,,2,1, 0,,,2121l j x x x h m i x x x g n j n i ===≥ （３） 目标函数（objective function ）和目标：如使 利润达到最大或使面积达到最小，通常刻划为极大化（maximize ）或极小化（minimize ）一个实值函数()n x x x f ,,21 因此，最优化问题可理解为确定一组决策变量在满足约束条件下，寻求目标函数的最优。 注意到极大化目标函数()n x x x f ,,21相当于极小化 ()n x x x f ,,21-，因此，约束最优化问题的数学模型一般可 表示为： () ()()()?? ? ??===≥??l j x x x h m i x x x g t s x x x f n j n i n ,,2,1,0,,,1.1.1,,2,1,0,,,,,min 212121 若记()T n x x x x ,,21=，则（1.1.1）又可写成：
第六章 最优化数学模型 §1 最优化问题 1．1 最优化问题概念 1．2 最优化问题分类 1．3 最优化问题数学模型 §2 经典最优化方法 2．1 无约束条件极值 2．2 等式约束条件极值 2．3 不等式约束条件极值 §3 线性规划 3．1 线性规划 3．2 整数规划 §4 最优化问题数值算法 4．1 直接搜索法 4．2 梯度法 4．3 罚函数法 §5 多目标优化问题 5．1 多目标优化问题 5．2 单目标化解法 5．3 多重优化解法 5．4 目标关联函数解法 5．5 投资收益风险问题 第六章 最优化问题数学模型 §1 最优化问题 1．1 最优化问题概念 （1）最优化问题 在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。 最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。 最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。 （2）变量 变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。 设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ；我们常常也用),,,(21n x x x X 表示。 （3）约束条件 在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。 例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设
第六章最优化数学模型 §1最优化问题 1．1最优化问题概念 1．2最优化问题分类 1．3最优化问题数学模型 §2经典最优化方法 2．1无约束条件极值 2．2等式约束条件极值 2．3不等式约束条件极值 §3线性规划 3．1线性规划 3．2整数规划 §4最优化问题数值算法 4．1直接搜索法 4．2梯度法 4．3罚函数法 §5多目标优化问题 5．1多目标优化问题 5．2单目标化解法 5．3多重优化解法 5．4目标关联函数解法 5．5投资收益风险问题 第六章最优化问题数学模 §1最优化问题 1．1最优化问题概念 （1）最优化问题在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。 最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值； ②求出取得极值时变量的取值。 最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。 （2）变量变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。 一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。 设问题中涉及的变量为x1,x2, , x n ；我们常常也用X （x1,x2, ,x n）表示。 3）约束条件 在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设
C题面试时间问题 有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队(即在任何一个阶段4名同学的顺序是一样的)。由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如下表所示(单位：分钟)： 这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司．假定现在时间是早晨8:00问他们最早何时能离开公司? 面试时间最优化问题 摘要： 面试者各自的学历、专业背景等因素的差异，每个面试者在每个阶段的面试时间有所不同，这样就造成了按某种顺序进入各面试阶段时不能紧邻顺序完成，即当面试正式开始后，在某个面试阶段，某个面试者会因为前面的面试者所需时间长而等待，也可能会因为自己所需时间短而提前完成。因此本问题实质上是求面试时间总和的最小值问题，其中一个面试时间总和就是指在一个确定面试顺序下所有面试者按序完成面试所花费的时间之和，这样的面试时间总和的所有可能情况则取决于 n 位面试者的面试顺序的所有排列数 根据列出来的时间矩阵，然后列出单个学生面试时间先后次序的约束和学生间的面试先后次序保持不变的约束，并将非线性的优化问题转换成线性优化目标，最后利用优化软件lingo变成求解。 关键词：排列排序0-1非线性规划模型线性优化 (1)
（一）问题的提出 根据题意，本文应解决的问题有： 1、这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在的时间是早晨8：00，求他们最早离开公司的时间； 2、试着给出此类问题的一般描述，并试着分析问题的一般解法。 （二）问题的分析 问题的约束条件主要有两个：一是每个面试者必须完成前一阶段的面试才能进入下一阶段的面试(同一个面试者的阶段次序或时间先后次序约束)，二是每个阶段同一时间只能有一位面试者(不同面试者在同一个面试阶段只能逐一进行 )。 对于任意两名求职者P、Q，不妨设按P在前，Q在后的顺序进行面试，可能存在以下两情况： （一）、当P进行完一个阶段j的面试后，Q还未完成前一阶段j-1的面试，所以j阶段的考官必须等待Q完成j-1阶段的面试后，才可对Q进行j阶段的面试，这样就出现了考官等待求职者的情况。这一段等待时间必将延长最终的总时间。 （二）、当Q完成j-1的面试后，P还未完成j阶段的面试，所以，Q必须等待P完成j阶段的面试后，才能进入j阶段的面试，这样就出现了求职者等待求职者的情况。同样的，这个也会延长面试的总时间。 以上两种情况，必然都会延长整个面试过程。所以要想使四个求职者能一起最早离开公司，即他们所用的面试时间最短，只要使考官等候求职者的时间和求职者等候求职者的时间之和最短，这样就使求职者和考官的时间利用率达到了最高。他们就能以最短的时间完成面试一起离开公司。这也是我们想要的结果。 （三）模型的假设 1.我们假设参加面试的求职者都是平等且独立的，即他们面试的顺序与考官无关； 2.面试者由一个阶段到下一个阶段参加面试，其间必有时间间隔，但我们在这里假定该时间间隔为0； 3.参加面试的求职者事先没有约定他们面试的先后顺序； 4.假定中途任何一位参加面试者均能通过面试，进入下一阶段的面试。即：没有中途退出面试者； 5.面试者及各考官都能在8：00准时到达面试地点。 （四）名词及符号约束 1. aij （i=1,2，3，4；j=1,2,3)为求职者i在j阶段参加面试所需的时间甲乙丙丁分别对应序号i=1，2,3，4 2. xij （i=1,2，3，4；j=1,2,3) 表示第i名同学参加j阶段面试的开始时间（不妨把早上8:00记为面试的0时刻） (2)
第六章最优化数学模型 §1 最优化问题 1．1 最优化问题概念 1．2 最优化问题分类 1．3 最优化问题数学模型 §2 经典最优化方法 2．1 无约束条件极值 2．2 等式约束条件极值2．3 不等式约束条件极值 §3 线性规划 3．1 线性规划 3．2 整数规划 §4 最优化问题数值算法4．1 直接搜索法 4．2 梯度法 4．3 罚函数法 §5 多目标优化问题 5．1 多目标优化问题 5．2 单目标化解法 5．3 多重优化解法 5．4 目标关联函数解法5．5 投资收益风险问题
第六章 最优化问题数学模型 §1 最优化问题 1．1 最优化问题概念 （1）最优化问题 在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。 最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。 最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。 （2）变量 变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。 设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ；我们常常也用),,,(21n x x x X =表示。 （3）约束条件 在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。 例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。 用数学语言描述约束条件一般来说有两种： 等式约束条件 m i X g i ,,2,1,0)( == 不等式约束条件 r i X h i ,,2,1, 0)( =≥ 或 r i X h i ,,2,1, 0)( =≤ 注：在最优化问题研究中，由于解的存在性十分复杂，一般来说，我们不考虑不等式约束条件0)(>X h 或0)( 龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/6d12215182.html, 多目标优化进化算法比较综述 作者：刘玲源 来源：《决策与信息·下旬刊》2013年第07期 摘要多目标优化是最优化领域的一个重要研究方向，本文简要介绍了多目标优化的模型和几种多目标优化的进化算法，并对算法进行了简要比较。 关键词多目标优化粒子群遗传算法蚁群算法人工免疫系统 中图分类号：TP391 文献标识码：A 一、背景 多目标优化（Multiobjective OptimizaTionProblem，MOP）是最优化的一个重要分支，多目标问题中的各目标往往是有着冲突性的，其解不唯一，如何获得最优解成为多目标优化的一个难点，目前还没有绝对成熟与实用性好的理论。近年来，粒子群算法、遗传算法、蚁群算法、人工免疫系统、等现代技术也被应用到多目标优化中，使多目标优化方法取得很大进步。本文将其中四种多目标优化的进化算法进行一个简单的介绍和比较。 二、不同算法介绍 （一）多目标遗传算法。 假定各目标的期望目标值与优先顺序已给定，从优先级最高的子目标向量开始比较两目标向量的优劣性，从目标未满足的子目标元素部分开始每一级子目标向量的优劣性比较，最后一级子目标向量中的各目标分量要全部参与比较。给定一个不可实现的期望目标向量时，向量比较退化至原始的Pareto排序，所有目标元素都必须参与比较。算法运行过程中，适应值图景可由不断改变的期望目标值改变，种群可由此被引导并集中至某一特定折中区域。当前种群中（基于Pareto最优概念）优于该解的其他解的个数决定种群中每一个向量解的排序。 （二）人工免疫系统。 人工免疫算法是自然免疫系统在进化计算中的一个应用，将抗体定义为解，抗原定义为优化问题，抗原个数即为优化子目标的个数。免疫算法具有保持个体多样性、搜索效率高、群体优化、避免过早收敛等优点。其通用的框架是：将优化问题的可行解对应抗体，优化问题的目标函数对应抗原，Pareto最优解被保存在记忆细胞集中，并采取某种机制对记忆集进行不断更新，进而获得分布均匀的Pareto最优解。 （三）多目标PSO约束算法。 第九章多目标优化算法习题与答案 1. 填空题 （1）多目标优化问题由于存在目标，使得同时优化的对象增多。由于目标之间往往相互冲突，某一目标性能的提高会引起其他目标性能的，因此只能通过的方法使所有目标尽可能达到最优。 （2）多目标优化问题需要求解一个由不同程度折中的组成的解集，并且需要保证解集的和，这就导致多目标优化问题的求解难度远远大于单目标优化问题。 解释： 本题考查多目标优化算法的基础知识。 具体内容请参考课堂视频“第9章多目标优化算法”及其课件。 答案： （1）多个，降低，权衡折中 （2）最优解，收敛性，均匀性 2.如何理解多目标优化问题？ 解释： 本题考查多目标优化问题的形式和实质。 内容请参考课堂视频“第9章多目标优化算法”及其课件。 答案： 多目标优化问题由于存在多个目标，优化对象增多，且目标之间往往是相互冲突的，某一目标性能的提高会引起其他目标性能的降低，因此只能通过权衡折中的方法使所有目标尽可能达到最优。不同于单目标优化只需求得一个最优解，多目标优化需要求解一个由不同程度折中的最优解组成的解集，且需同时保证解集的收敛性和均匀性。例如，购买汽车时考虑到汽车性能和价格两个方面，往往 当性能较好时性能优良且价格昂贵，而性能较差时价格低廉，人们总是想得到价格便宜同时性能又好的汽车，但这两方面往往不能同时兼优，只能在某一方面有所偏重，这就形成了一个以汽车性能（比如百米加速时间）和价格为两个冲突目标的多目标优化问题。 3. 试举例说明Pareto 支配关系具有传递性。 解释： 本题考查Pareto 支配关系的性质。 内容请参考课堂视频“第9章多目标优化算法”及其课件。 答案： 假设两目标最小优化的三个个体，123=(2,2)=(3,3)=(4,4)C C C ，，，则1 2C C ， 2 3C C ，又因为1 3C C ，所以Pareto 支配关系具有传递性。 4. 考虑一个具有两个目标最小化问题，20个个体的进化群体，进行Pareto 非支配排序分层。20个个体定义如下：C 1=(9,1)，C 2=(7,2)，C 3= (5,4)，C 4=(4,5)，C 5=(3,6)，C 6=(2,7)，C 7=(1,9)，C 8=(10,1)，C 9=(8,5)，C 10=(7,6)，C 11=(5,7)，C 12=(4,8)，C 13=(3,9)，C 14=(10,5)，C 15=(9,6)，C 16=(8,7)，C 17=(7,9)，C 18=(10,6)，C 19=(9,7)，C 20=(8,9) 解释： 本题考查基于Pareto 支配的排序方法。 内容请参考课堂视频“第9章多目标优化算法”及其课件。 答案： 由于{}18C C ；{}2349,,C C C C ；{}234510,,,C C C C C ；{}345611,,,C C C C C ； {} 45612 ,,C C C C ； {} 56713 ,,C C C C ； {} 12348914 ,,,,,C C C C C C C ；{} 1234591015 ,,,,,,C C C C C C C C ； {} 234569101116 ,,,,,,,C C C C C C C C C ； 第七章多目标优化问题的求解 优化问题按照目标函数的数量，可以分为单目标优化问题和多目标优化问题，前面我们讲过的线性优化就是一个单目标优化问题，对单目标优化问题进一步突破，将目标函数扩展为向量函数后，问题就转化为多目标优化问题。本节将简要介绍多目标最优化问题的建模与求解方法。 1、多目标优化模型 多目标优化问题一般表示为 ..()min () s t J ≤= x G x 0 x F 其中121()[(),(),,()]T f f f =F x x x x ，下面将通过例子演示多目标优化问题的建模。 例1 设某商店有123,,A A A 三种糖果，单价分别为4,2.8和2.4元/kg ，现在 要举办一次茶话会，要求买糖果的钱不超过20元，但糖果的总重量不少于6kg ， 1A 和2A 两种糖果的总重量不低于3kg ，应该如何确定最好的买糖方案。 分析：首先应该确定目标函数如何选择的问题，本例中，好的方案意味着少花钱多办事，这应该是对应两个目标函数，一个是花钱最少，一个是买的糖果最重，其他的可以认为是约束条件。当然，这两个目标函数有些矛盾，下面考虑如何将这个问题用数学描述。 设123,,A A A 三种糖果的购买重量分别为123,,x x x kg ，这时两个目标函数分别为花钱：1123min ()4 2.8 2.4f x x x =++x ，糖果总重量：2123max ()f x x x =++x ，如果统一用最小值问题表示，则有约束的多目标优化问题可以表示为 123123123123121234 2.8 2.4min -4 2.8 2.4206.. +3,,0 x x x x x x x x x x x x s t x x x x x ++?? ??++??++≤??++≥?? ≥??≥?（）模型建立以后，可以考虑用后面的方法进行求解。 多目标优化的求解方法 多目标优化（MOP）是数学规划的一个重要分支，是多于一个的数值目标函数在给定区域上的最优化问题。 多目标优化问题的数学形式可以描述为如下： 多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。目前主要有以下方法： （1）评价函数法。常用的方法有:线性加权和法、极大极小法、理想点法。评价函数法的实质是通过构造评价函数式把多目标转化为单目标。 （2）交互规划法。不直接使用评价函数的表达式，而是使决策者参与到求解过程，控制优化的进行过程，使分析和决策交替进行，这种方法称为交互规划法。常用的方法有：逐步宽容法、权衡比替代法，逐次线性加权和法等。 （3）分层求解法。按目标函数的重要程度进行排序，然后按这个排序依次进行单目标的优化求解，以最终得到的解作为多目标优化的最优解。 而这些主要是通过算法来实现的, 一直以来很多专家学者采用不同算法解决多目标优化问题, 如多目标进化算法、多目标粒子群算法和蚁群算法、模拟退火算法及人工免疫系统等。 在工程应用、生产管理以及国防建设等实际问题中很多优化问题都是多目标优化问题, 它的应用很广泛。 1)物资调运车辆路径问题 某部门要将几个仓库里的物资调拨到其他若干个销售点去, 在制定调拨计划时一般就要考虑两个目标, 即在运输过程中所要走的公里数最少和总的运输费用最低, 这是含有两个目标的优化问题。利用首次适配递减算法和标准蚁群算法对救灾物资运输问题求解, 求得完成运输任务的最少时间, 将所得结果进行了比较。 2)设计 如工厂在设计某种新产品的生产工艺过程时, 通常都要求产量高、质量好、成本低、消耗少及利润高等, 这就是一个含有五个目标的最优化问题; 国防部门在设计导弹时, 要考虑导弹的射程要远、精度要最高、重量要最轻以及消耗燃料要最省等,这就是一个含有四个目标的最优化问题。Jo等人将遗传算法与有限元模拟软件结合应用于汽车零件多工序冷挤压工艺的优化。Chung等人也成功应用遗传算法对锻件工艺进行了优化。 3)投资 假设某决策部门有一笔资金要分配给若干个建设项目, 在确定投资方案时, 决策者总希望做到投资少收益大。Branke等人采用基于信封的多目标进化算法成功地解决了计划投资地选择问题。 4)模拟移动床过程优化与控制 一个工业化模拟移动床正常运行时, 一般有七股物料进、出吸附塔, 其中起关键作用的物料口将作为决策量引起目标值的变化。根据实际生产要求通常包括生产率、产品纯度、吸附剂消耗量等多个目标。模拟移动床分离过程由于其过程操作变量的强耦合性、工艺机理的复杂性及分离性能的影响因素繁多性, 需要众多学者对其操作优化和过程控制进行深入的研究。Huang等人利用TPS 算法解决了模拟移动床多个冲突目标的最大最小的问题, 并与NSGA2 算法的结果进行了比较。吴献东等人运用粒子群算法开发出一种非线性模拟移动床( SMB )色谱分离过程的优化策略。 5)生产调度 在离散制造生产系统中, 一个工件一般经过一系列的工序加工完成, 每道工序需要特定机器和其他资源共同完成, 各工件在各机器上的加工顺序(称技术约束条件)通常是事先给定的。车间调度的作用 一. 管理科学的定义 管理科学是对与定量因素有关的管理问题通过应用科学的方法进行辅助管理决策制定的一门学科. (1) 定量因素(2) 科学的方法(3) 辅助决策制定 二.用管理科学的方法解决问题的基本步骤. （1） 提出问题，并根据需要收录有关数据信息。管理科学工作者向管理者咨询、鉴别所 要考虑的问题以确定合理的目标，然后根据要求收集一些关键数据，并对数据作相应的分析。 （2） 建立模型，引入决策变量，确定目标函数（约束条件）。建模过程是一项创造性的 工作，在处理实际问题时，一般没有一个唯一正确的模型，而是有多种不同的方案。建模是一个演进过程，从一个初始模型往往需要不断的完善渐渐演化成一个完整的数学模型。 （3） 从模型中形成一个对问题求解的算法。要在计算机上运行数学程序对模型进行求 解，一般情况下能找到对模型求解的标准软件。例如，对线性规划问题已有Excel 、Cplex 、Lingo 等标准软件求解。有时要自己编写程序。 （4） 测试模型并在必要时修正。在模型求解后，需要对模型进行检验，以保证该模型能 准确反映实际问题，需要检验模型提供的解是否合理，所有主要相关因素是否已考虑，当有些条件变化时，解如何变化等。 （5） 应用模型分析问题以及提出管理建议。对模型求解并分析后，将相应的最优方案提 交给管理者，由管理者做出决策。管理科学工作者并不作管理决策，其研究只是对涉及的问题进行分析并向管理者提出建议。管理者还要考虑管理科学以外的众多因素才能做出决策。 （6） 帮助实施管理决策。建议被管理者采纳以后，一旦做出管理决策一般要求帮助监督 决策方案的实施。 新问题, 新模型, 新算法, 新应用. 三.优化问题的数学模型 1212max(min)(,,,) (,,)0..1,2,n j n Z f x x x g x x x s t j m =≤?? =? 由于,j f g 是非线性函数时，此问题是非线性优化问题, 求解较复杂。我们主要讨论线性优化问题，常见的形式：混合整数规划 （1） max 0 0 Z CX hY AX GY b X Y =++≤≥≥取整数 其中111,,,,m n m p m n p A G b C h ?????，不失一般性，我们假定,,,,C h A G b 都是整数矩阵。 当0p =时，（1）为纯整数规划，当0n =时，（1）为线性规划。 数学建模一周论文课程设计题目：最优投资方案 1：吴深深学号：201420181013 2：许家幸学号：201420180422 3：王鑫学号：201420181220 专业软件工程 班级1421801Z 指导教师朱琳 2016 年 6 月9 日 摘要 本文主要研究银行投资受益最优问题，根据投资证券的种类、信用等级、到期年限、到期税前收益等的具体情况，根据线性规划的方法分析出数学模型，并且运用Lingo软件进行编码求解。 根据问题一、根据此模型能够得到具体的解决方案，问题二、三都是根据问题一的模型做具体约束条件的变化，从而求出最优解。 此模型适用于一般简单的银行投资问题。这个优化问题的目标是有价证券回收的利息为最高,要做的决策是投资计划。即应购买的各种证券的数量的分配。综合考虑：特定证券购买、资金限制、平均信用等级、平均年限这些条件，按照题目所求，将决策变量、决策目标和约束条件构成的优化模型求解问题便得以解决。 但是本模型不适合解决情况过于复杂的银行投资问题。 关键字：最优投资线性规划Lingo求解 一、问题重述 某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制： 政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，所购证券的平均信用等 级不超过1.4（数字越小，信用程度越高），所购证券的平均到期年限不超过5年。 二、模型假设 假设: 1.假设银行有能力实现5种证券仸意投资； 2.假设在投资过程中，不会出现意外情况，以至不能正常投资； 3.假设各种投资的方案是确定的； 4.假设证券种类是固定不变的，并且银行只能在这几种证券中投资； 5.假设各种证券的信用等级、到期年限、到期税前收益是固定不变的； 6.假设各种证券是一直存在的。 三、符号约定 符号含义 X i取1-5，表示从A..E中证券的投资额（百万）i多目标优化进化算法比较综述
09第九章 多目标优化算法
多目标优化问题(over)
多目标优化的求解方法
优化问题的数学模型
数学建模_投资最优问题
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