第五章_多目标问题的最优化方法

Pf 9.26MPa 小
F
0.0482
0.3 满足 0.006859 7.5° 18cm3/sec
§5.2 协调函数法
分析： 设计变量为：L/D、c、μ； 分目标函数为：供油量Q、温升△t； 约束条件：见前页。
协调曲线：Q - △t 曲线 包括了所有满足 K-T 条件的非劣解。
性能曲线： 是△t 与其它参数之间的关系曲线，可
1、先求非劣解； 2、从非劣解中选出选好解。
四. 常用的求选好解的方法： 1、协调曲线法： 2、统一目标函数法：目标规划法、线性加权因子法 3、功效系数法： 另外，还有分层序列法、词典编辑法、边界目标函数法等
§5.2 协调函数法
一. 基本思想： 在多目标优化设计中，当各分目标函数的
最优值出现矛盾时，先求出一组非劣解，以 其集合得出协调曲线，再根据恰当的匹配关 系得到满意曲线，沿着满意程度的增加的方 向，各分目标值下降，直至获得选好解。
x


tj
2


sin
t
j
其中
tj

f jx j
j j
2
q
总目标函数： min .
F
x


wj
f
' j
x
j 1
§5.3 统一目标函数法
六. 线性加权法：
1、容限值法：
目标函数是平方误差值时使用，可起平衡各目标函数数量级的作用。
估计上、下界： j f j x j j 1,2,, q
选好解：包括 x* 和 f1(x*)，f2(x*)，…，fq(x*)。
§5.2 协调函数法
例：径向动压轴承的优化设计。
设计要求
选好解
轴承间隙
长径比
油膜厚度 油粘度 油膜温升 油流量 油压 功率损失 径向载荷 角速度
c D1 D 0.25 L 1
D hmin 0.00127mm 0.006859Pa s t 150o Q 足够
xn fq

g1
g

x


x1
gr
g1
x2 gr


g1
xn
gr

x1 x2
xn qn
x1 x2
xn rn
则 x*为K-T非劣解。例，图中的 Q、S点。
§5.1 引言
劣解： 除去非劣解的其它解，即为劣解。 选好解：非劣解中，满足工程实用目的的最好解。 最优解：使各个分目标函数同时达到最优值的解。 三. 多目标函数问题的优化设计过程：
其中： F x f1x, f2x,, fqx T
或写为： min . f1x, f2x,, fqx
表示希望q个评价指标达到最优值。
f2
●1 ●3
●6 ●4
●5
●2
二. 最优解与选好解、劣解与非劣解：
0
f1
对于f1(x)，1最好，其次为3，2，4，5，6；
对于f2(x)，2最好，其次为3，1，5，4，6。
综合考虑，1，2，3为非劣解，4，5，6为劣解。
§5.1 引言
非劣解 x* 的定义：
① 多目标优化中，x*是其中一个解，对
于 x∈D ，若下式成立，为 x* 非劣解。
f j x * minf j x j 1wenku.baidu.com2,, q
s.t. gu x * 0
看出各项指标之间的匹配关系。
选好解： 从协调曲线和性能曲线中可得出结论： S 点为较好方案。
§5.3 统一目标函数法（评价函数法）
一. 基本思想：
按事先约定的某种关系，建立一个新的目标函数，将多目标问 题转化为单目标问题求解。按构筑新目标函数的方法不同，有以 下不同方法。
二. 目标规划法：（理想点法）
§5.4 功效系数法
2、功效函数 dj = Φj (fj ) ：描述 dj与 fj 之间的关系。有三种类型：
a) 越大越好：fj ↑ dj ↑， fj ↓ dj ↓； b) 越小越好：fj ↑ dj ↓， fj ↓ dj ↑； c) fj 取合适的值时, dj 最大，fj比此 区间大或小，dj 均↓。
2. E点水平分速度的变化率越小越好
f2
x

max
vx


min
3. 货物对支点A所引起的倾覆力矩差越小越好
f3x max M min
这三个要求都属于第二类功效函数。
§5.4 功效系数法
4. 倾覆力矩值 M = M (α)：
① 当变幅距离较小时，希望有负倾覆 力矩 M1，能恢复机构的正常位置。 -10<M1<0 时，d4 =1 M1<-30时，d4 =0 M1> 20时，d4 =0
min .
Fx
q
Wj
j1
f jx
fo j
f
o j

P

s.t. gu x 0 u 1,2,, m
j 1,2,, q
其中：wj 为加权因子，0≤ wj ≤1，取决于各分目标函数的数量 级和重要程度。一般 P 取 2。
§5.3 统一目标函数法
2、标度因子法：
根据 j f j x j 1 1, 1 2； 2 1， 2 3

f1

1 1 2

1； 2
f 2

2
2 2
1； 即
w1

1 f12

4；
w2

1
f
2 2
1
Fx 4 f1x f2 x 4 x2 1 2x 3 4x2 2x 7
设q个分目标函数中有s个属于费用类，q - s 个属于效果类，总目
标函数表达式如下：
min .
s

wj
f
j
x
F
x

j 1 q
wj f jx
j s 1
o wj 1
四. 线性加权组合法：
min.
F
x

S j 1
wj
f j (x)
q j s 1
s.t. gu x 0 u 1,2,, m
hv x
fv x
f0 v
0
v 1,2,, q 1
v j
其中
f0 v

fv x * f j
为理想的合理值，是 fv x *的让步。
用以上数学模型依次求得各分目标函数的变化范围。 满意曲线：是一个指标，根据各分目标函数之间互相作出让步后，得 出恰当的匹配关系。
u 1,2,, m
例：图中的 T、P点。
② 多目标优化的 K-T 非劣解：
x*∈D ，若不存在搜索方向S，能同时满足：
f x *T S 0

gx
*T
S

0
其中： f1
f
x



x1 fq
f1
x2 fq

f1
dF 8x 2 dx
令其为零， 得
x*
1， 4
f1
x
*

17 16
，
f2 (x*)
5。 2
§5.4 功效系数法
一. 基本思想： 给每一个分目标函数值一个评价，以功效系数dj (0≤dj ≤1)表示。
对于一个设计方案 xk , F(xk)，有q个分目标函数值f1(xk), f2(xk),…, fq(xk), ，对应q个功效系数 d1,d2,…,dq 。
§5.3 统一目标函数法
解： min . Fx w1 f1x w2 f2 x w1 x2 1 w2 (2x 3)
s.t.
x 1 0
X R1
0 x 0
用误差容限法求：w j
x 0时， f1 0 1, f2 0 3 x 1时， f1 1 2, f2 1 1
w2 j
1
f j x 2
§5.3 统一目标函数法
② 适用于无导数信息的情况：
wj
w1 j w2 j
q
w1 j w2 j
j 1
w1j
f j x(0)
q
f j x(0)
j 1
w2 j
1
f j x(0) f j x *
1
q
f j x(0) f j x *
j 1
例：有下列两个一维的分目标函数，试用加权因子线性组合法，求此 多目标函数的选好解。
分目标函数：f1x x2 1 min .
约束区域： D x 0 x 1
f2 x 2x 3 min .
若不易估计，可令 j 0， j f j x0 ；
令容限值
f j

j
j 2
则加权因子
wj
1 f j
2
2、两项加权因子： 用于一般情况
① 适用于有导数信息的情况：
wj w1 j w2 j
其中：w1
是本征权，反应分目标函数的重要程度；
j
w2 j 是校正权，用于调整分目标函数的数量级，

fo j
d j

0
d j

o
d
j
为各目标函数相对于
f
o的上偏差；
j
d
j
为各目标函数相对于
f
o的下偏差。
j
§5.3 统一目标函数法
三. 乘除法:
目标函数中有一些属于费用类，即目标函数值越小越好，有一些 属于效果类，即目标函数值越大越好。总目标函数表达式中为了能 统一表达，采用了乘除法、线性加权组合法等方法。
二. 协调曲线与满意曲线：
协调曲线： ① 双目标函数的协调曲线
min . f x f1x Wf2x s.t. gu x 0 u 1,2,, m
当加权因子从0 时，得到的最优点集合 。
§5.2 协调函数法
② 多目标函数的协调超曲面：
min . f j x
j 1,2,, q
以各功效系数的几何平均值为方案的评价函数 d ：
d q d1 d2 dq 当 d max . 时，
求得最理想方案： x* xk，F x *。
二. 功效系数和功效函数：
1、功效系数dj ：表示对于分目标函数值 fj (x) 的满意程度。 若dj =1，表示效果最好，非常满意； dj =0，表示效果极差，方案不可取。
第五章 多目标问题的最优化方法
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4
引言 协调函数法 统一目标函数法 功效系数法
§5.1 引言
一. 多目标问题的数学模型：
设 X =[x1, x2 , …,xn]T
min. F (x)
X∈Rn
s.t. gu(x) ≤ 0 hv(x) = 0
u = 1,2,…,m v = 1,2,…, p
j — 标度因子，调整各分目 标函数的量级，
j
1
， 称为校正权。
f j x *
fo j
jd j — 表示最终解达到理想解 的程度。
jdj
f jx
fo j
f j x *
fo j
1
0.75

0
则
f jx
f j
f
j

x


0.75
f
j
f jx
fo j
§5.3 统一目标函数法
3、偏差法： 使各目标函数值偏离所定的目标函数理想值的偏差量最小。
min . s.t.
其中
1
q
j1
d j

d j
p 2
p 1 j 1,2,, q
gux 0
u 1,2,, m
f j
x

d j

d j
min . s .t .
q
Fx wjjd j
j 1
gux o
j 1,2,, q u 1,2,, m
dj o
其中：d j

f jx
fo j
称为目标函数的离差；
wj — 离差值加权因子，只反 映各分目标函数
q
的重要程度， wj 1， 称为本征权。
j 1
§5.4 功效系数法
例：门式起重机变幅四杆机构的优化设计
有四个要求：
1. 要求E点走水平直线
f1 x max y h min y y h
0.1m
y
min


0.3m 0.5m
0.5m
d1 1 d1 0.7 d1 0.3 d1 0
先给每个分目标函数设定一个理想的最合理值，再设法使各分 目标尽可能达到最合理值。
其中，理想最合理值
f
o j

fj
x * f j
j 1,2,, q
f
j
x
*为分目标函数的最优值，f
为分目标函数作出的让步。
j
§5.3 统一目标函数法
1、平方加权和法（全局准则法）：
以各分目标函数值对各自的理想最合理值相对偏差的平方加权和 趋于最小作为全局准则。
wj f j (x)
§5.3 统一目标函数法
五. 目标函数规格化法：
当各分目标函数值在数量级上有很大差别时，可先做一次规格化。 以三角函数、指数、线性或二次函数等作为转换函数，使目标函数 值规范在 [0,1] 之间。
例： 若能估计出上、下界， j f j x j
取规格化函数
f
' j