最优化问题数学模型ppt课件

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• 制订月生产计划，使工厂的利润最大.
• 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，
那么最优的生产计划应作何改变？ 15
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
小型 钢材 1.5 时间 280 利润 2
中型 3
250 3
大型 5
400 4
现有量 600 60000
p(t)w(t) p(t)w(t) 4
每天利润的增值 每天投入的资金
保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售
由 S(t,r)=3 若 1.8 w 2.2(10%), 则 7 t 13（30%） 建议过一周后(t=7)重新估计 p, p, w, w, 再作计算。
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研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g=0.1
• 设r=2不变
t 3 20 g , 0 g 0.15 g
t 对g的（相对）敏感度 30
t
S(t, g) Δ t / t dt g 20 Δ g / g dg t
S(t, g) 3 3 3 20 g
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常用优化软件
1. LINGO软件 2. MATLAB优化工具箱 3. EXCEL软件的优化功能 4. SAS(统计分析)软件的优化功能 5. 其他
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2.简单的优化模型
——生猪的出售时机
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。
市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。
均为整数，重新求解. 17
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记IP)

f ( X 0 ) f ( X1) f ( X k ) f ( X k 1)
一 最优化问题总论
如果是求一个约束的极小点，则每一次迭代的新点都应该在约束可 行域内，即 X k D，k 0，1，2，
下图为迭代过程
一 最优化问题总论
（二）收敛速度与计算终止准则
（1）收敛速度
作为一个算法A，能够收敛于问题的最优解当然
x1 x2
即求
2x，1 5x2 40
x1 0 ， x2 0
max f (x1, x2 ) x1 x2
2x1 5x2 40，
x1
0，x2
0．
一 最优化问题总论
最优化问题的数学模型包含有三个要求：即变
量（又称设计变量）、目标函数、约束条件．
一、变量 二、目标函数 三、约束条件 四、带约束条件的优化问题数学模型表示形式
t f (x1，x2 )
t c
L
L在 三维空间中曲面
与[平x1， 面x2 ]T 有一条交
线 ．交线在平面上的投影曲线是 ，可见曲线上的点到平
面
的高度都等于常数C，也即曲线上的的函数值都
具有相同的值．
一 最优化问题总论
当常数取不同的值时，重复 上面的讨论，在平面上得到一族 曲线——等高线.
等高线的形状完全由曲面的 形状所决定；反之，由等高线的 形状也可以推测出曲面的形状．
线（如图），不等式约束把坐标平面分成两部分当中的一部分 （如图）．
一 最优化问题总论
综上所述，当把约束条件中的每一个 等式所确定的曲线，以及每一个不等式所 确定的部分在坐标平面上画出之后，它 们相交的公共部分即为约束集合D．
一 最优化问题总论
例1.4 在坐标平面上画出约束集合

表2-1
队员 甲
已
丙
丁
戊
蝶泳 66.8秒
57.2
78
70
67.4
仰泳
75.6
66
67.8
74.2
71
蛙泳
87
66.4
84.6
69.6
83.8
自由泳 58.6
53
59.4
57.2
62.4
问题分析：记甲、乙、丙、丁、戊分别为i=1,2,3,4,5;
记泳姿j=1,2,3,4.记队员 i 的第 j 种泳姿的百米最好 成绩为c_ij(s),则表2-1可以表示成表2-2.
最优化问题数学模型
一、最优化模型的概述
解决最优生产计划、最优设计、最优策略….
数学家对最优化问题的研究已经有很多年的 历史。
以前解决最优化问题的数学方法只限于古典 求导方法和变分法，拉格朗日（Lagrange）乘数 法解决等式约束下的条件极值问题。
计算机技术的出现，使得数学家研究出了许 多最优化方法和算法用以解决以前难以解决的问 题。
0
16kg
4
12kg
该工厂每生产一件产品I可获利2元，每生产一件产品 II可获利3元。问应如何安排计划使该工厂获利最多？
解：该工厂生产产品I x1件，生产产品II x2件， 我们可建立如下数学模型：
max z 2x1 3x2
x1 2x2 8
s.t.
4
x1
4
x2
16 12
x1, x2 0
z 14
x1 4,x2 2.
2.整数规划
最优化问题中的所有变量均为整数时，这类 问题称为整数规划问题。
整数规划可分为线性整数规划和非线性整数 规划 ，以及混合整数规划等。

投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
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线性规划模型
线性规划问题的定义
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03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法