第2章-函数(含解析)

2014届高三数学一轮总复习单元检测（人教A ）：第二章 函数时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥1或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1}解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，∴0≤x ≤1.答案：D 2．函数f (x )＝2x＋1的反函数的图象大致是( )解析：由y ＝2x＋1得x ＋1＝log 2y ，x ＝log 2y －1(y >0)，即函数 f (x )＝2x＋1的反函数是f －1(x )＝log 2x －1(x >0)，注意到函数f －1(x )在(0，＋∞)上是增函数，结合各选项知，选A.答案：A3．已知f (x )＝a －22x ＋1是定义在R 上的奇函数，则f －1⎝⎛⎭⎫－79的值是( ) A ．－3 B.79 C.13D.97解析：∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，得a ＝1，设f －1⎝⎛⎭⎫－79＝b ，则f (b )＝－79，即－79＝1－22b ＋1，解得b ＝－3. 答案：A4．定义在R 上的函数f (x )的反函数为f －1(x )，且对于任意x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝3，则f －1(x －1)＋f －1(4－x )＝( )A ．0B ．－2C ．2D ．2x －4解析：由f (－x )＋f (x )＝3可知函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫0，32对称，因此其反函数y ＝f －1(x )的图象必关于点⎝⎛⎭⎫32，0对称，即有f －1(x )＋f －1(3－x )＝0，故f －1(x －1)＋f －1[3－(x －1)]＝0，即f －1(x －1)＋f －1(4－x )＝0，选A.答案：A5．函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )解析：y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x >0－a x ，x <0，而0<a <1，∴根据y ＝a x (0<a <1)的图象即可判断D 正确．答案：D6．函数y ＝f (x －1)与y ＝f (3－x )的图象( ) A ．关于直线x ＝1对称 B ．关于直线x ＝2对称 C ．关于直线y ＝1对称 D ．关于直线y ＝2对称解析：依题意，令x －1＝3－x ，解得x ＝2，所以y ＝f (x －1)与y ＝f (3－x )的图象关于直线x ＝2对称，选择B.答案：B7．设定义域为R 的函数f (x )存在反函数f －1(x )，且对于任意的x ∈R ，恒有f (x )＋f (－x )＝1，则f －1(2010－x )＋f －1(x －2009)的值为( )A ．0B ．2C ．3D ．不确定，与x 的值有关解析：函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x )＋f (－x )＝1，说明函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫0，12成中心对称，其反函数f －1(x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫12，0成中心对称，故点(2010－x ，f －1(2010－x ))与点(x －2009，f －1(x －2009))关于点⎝⎛⎭⎫12，0对称，所以f －1(2010－x )＋f －1(x －2009)＝0，故选A.答案：A8．函数f (x )的定义域为D ，若对于任意的x 1、x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数．设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f ⎝⎛⎭⎫x 3＝12f (x )；③f (1－x )＝1－f (x )．则f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫18等于( ) A.34 B.12 C ．1D.23解析：依题意得f (1)＝1－f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝1－f ⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f ⎝⎛⎭⎫13＝12f (1)＝12，由函数f (x )在[0,1]上为非减函数得，当13≤x ≤12时，f (x )＝12，则f ⎝⎛⎭⎫38＝12，又f ⎝⎛⎭⎫13·38＝12f ⎝⎛⎭⎫38＝14，即f ⎝⎛⎭⎫18＝14.因此有f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫18＝34，选A. 答案：A9．函数f (x )＝lg x －1x 2－4的定义域为( )A ．{x |－2<x <1}B ．{x |x <－2或x >1}C ．{x |x >2|}D ．{x |－2<x <1或x >2}解析：由x －1x 2－4>0⇒(x －1)(x －2)(x ＋2)>0，解得：x >2或－2<x <1，故选D.答案：D10．已知曲线C ：x 2＋y 2＝4(x ≥0，y ≥0)与函数y ＝log 2x 及函数y ＝2x 的图象分别交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 12＋x 22的值为( )A ．16B ．8C ．4D ．2解析：∵y ＝log 2x 与y ＝2x 的图象关于y ＝x 对称， ∴x 2＝y 1，∴x 12＋x 22＝x 12＋y 12＝4. 答案：C11．函数f (x )＝log 2x －1log 2x ＋1，若f (4x 1)＋f (4x 2)＝1，x 1>1，x 2>1，则f (x 1·x 2)的最小值为( )A.23B.13 C ．2D. 2解析：依题意得f (x )＝1－2log 2x ＋1，1－2log 2(4x 1)＋1＋1－2log 2(4x 2)＋1＝1，由此解得log 2x 2＝3－log 2x 1log 2x 1＋1，log 2(x 2x 1)＝log 2x 2＋log 2x 1＝3－log 2x 1log 2x 1＋1＋log 2x 1＝－(log 2x 1＋1)＋4log 2x 1＋1＋log 2x 1＝－2＋4log 2x 1＋1＋(log 2x 1＋1)≥－2＋24log 2x 1＋1·(log 2x 1＋1)＝2，故f (x 1x 2)＝1－2log 2(x 1x 2)＋1≥1－22＋1＝13，f (x 1·x 2)的最小值是13，选B.答案：B12．设函数f (x )、g (x )的定义域分别为F 、G ，且F G .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝2x (x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数，且g (x )是偶函数，则函数g (x )的解析式是( )解析：由题意得，当x ≤0时，g (x )＝f (x )＝2x ＝2－|x |.又g (x )是偶函数，因此有g (－x )＝g (x )恒成立．当x >0时，－x <0，g (x )＝g (－x )＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12|x |.综上所述，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |，选C. 答案：C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．) 13．设函数f (x )＝e 2(x －1)，y ＝f －1(x )为y ＝f (x )的反函数，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≤0)f －1(x )(x >0)，则g [g (－1)]＝________.解析：依题意得g (－1)＝－1＋2＝1，g [g (－1)]＝g (1)＝f －1(1)．设f －1(1)＝t ，则有f (t )＝1，即e 2(t－1)＝1，t ＝1，所以g [g (－1)]＝1.答案：114．对于函数f (x )＝ax ＋1x －1(其中a 为实数，x ≠1)，给出下面命题：①当a ＝1时，f (x )在定义域上为单调增函数；②f (x )的图象关于点(1，a )对称；③对任意a ∈R ，f (x )都不是奇函数；④当a ＝－1时，f (x )为偶函数；⑤当a ＝2时，对于满足条件2<x 1<x 2的所有x 1，x 2总有f (x 1)－f (x 2)<3(x 2－x 1)．其中正确命题的序号为________．解析：对于①，当a ＝1时，f (x )＝x ＋1x －1＝1＋2x －1在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上也是减函数，因此①错；对于②，f (x )＝ax ＋1x －1＝a ＋a ＋1x －1，因此f (x )的图象关于点(1，a )对称，②正确；对③④，由于定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，因此对任意a ∈R ，f (x )既不是奇函数也不是偶函数，③正确，④错误；对于⑤，当a ＝2时，f (x )＝2x ＋1x －1＝2＋3x －1，由于2<x 1<x 2，故x 2－x 1>0，x 2－1>x 1－1>1，所以f (x 1)－f (x 2)＝3(x 2－x 1)(x 2－1)(x 1－1)<3(x 2－x 1)，⑤正确．答案：②③⑤15．若函数f (x )＝log a (2－log a x )在[14，4]上单调递减，则正实数a 的取值范围是________．解析：令t ＝2－log a x ，则当a ＞1时，y ＝log a t 在(0，＋∞)上单调递增，t ＝2－log a x 在[14，4]上单调递减，∴f (x )＝log a (2－log a x )在[14，4]上单调递减，又t ＝2－log a x 在[14，4]上恒大于0，∴2－log a 4＞0，即2log 4a －1log 4a ＞0，∴log 4a ＞12或log 4a ＜0(舍)，∴a ＞2；同理当0＜a＜1时，有0＜a ＜12.答案：0＜a ＜12或a ＞216．设p ，q ，r ∈N *，且q <r ，定义函数如下：f ⎝⎛⎭⎫p ＋q r ＝⎩⎪⎨⎪⎧p ＋1 (p 是偶数)p (p 是奇数)，则f ⎝⎛⎭⎫4＋20022001－f ⎝⎛⎭⎫5－20012002＝________.解析：f ⎝⎛⎭⎫4＋20022001－f ⎝⎛⎭⎫5－20012002 ＝f ⎝⎛⎭⎫5＋12001－f ⎝⎛⎭⎫4＋12002 ＝5－(4＋1)＝0. 答案：0三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分10分)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，2x ，－1<x <2，x 22，x ≥2，且f (a )＝3，求a 的值．解析：①当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2，由a ＋2＝3，得a ＝1，与a ≤－1相矛盾，应舍去． ②当－1<a <2时，f (a )＝2a ， 由2a ＝3，得a ＝32，满足－1<a <2.③当a ≥2时，f (a )＝a 22，由a 22＝3，得a ＝±6，又a ≥2，∴a ＝ 6. 综上可知，a 的值为32或 6.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．解析：(1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )，从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数． (2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，可知f (0)＝0. x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x . 故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x .x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]，f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4. 从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式为f (x )＝－－x －4.19．(本小题满分12分)函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x＋2－3×4x 的最值．解析：由3－4x ＋x 2>0得x >3或x <1， ∴M ＝{x |x >3或x <1}，f (x )＝－3×22x ＋2x ＋2＝－3⎝⎛⎭⎫2x －162＋2512. ∵x >3或x <1，∴2x >8或0<2x <2，∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512，f (x )没有最小值．20．(本小题满分12分)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5.函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，且在[1,4]上是二次函数，在x ＝2时函数取最小值－5.试求：(1)f (1)＋f (4)的值；(2)y ＝f (x )，x ∈[1,4]的解析式．解析：(1)因为y ＝f (x )是以5为周期的周期函数， ∴f (4)＝f (5－1)＝f (－1)， 又y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)＝f (4) ∴f (1)＋f (4)＝0. (2)当x ∈[1,4]时，由题意可知f (x )＝a (x －2)2－5(a ≠0) 由f (1)＋f (4)＝0得a (1－2)2－5＋a (4－2)2－5＝0.∴a ＝2. ∴f (x )＝2(x －2)2－5＝2x 2－8x ＋3(1≤x ≤4)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，满足f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )＋2，当x >0时，f (x )>2.(1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)当f (3)＝5时，解不等式f (a 2－2a －2)<3. 解析：(1)证明：设x 1<x 2，则x 2－x 1>0， ∴f (x 2－x 1)>2∵f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )＋2， ∴f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－2∴f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－2>2＋f (x 1)－2＝f (x 1)． ∴f (x )在R 上是增函数．(2)由题意知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－2. ∴5＝f (3)＝f (1＋2)＝f (2)＋f (1)－2 ＝f (1)＋f (1)－2＋f (1)－2＝3f (1)－4. ∴f (1)＝3.∴不等式f (a 2－2a －2)<3等价于 f (a 2－2a －2)<f (1)．又f (x )在R 上为增函数，∴a 2－2a －2<1 即a 2－2a －3<0，∴－1<a <3. 即原不等式的解集为{a |－1<a <3}．22．(本小题满分12分)设a ∈R ，f (－x )＝－f (x )，且f (2x )＝a ·4x ＋a －24x ＋1.(1)试求f (x )的反函数f －1(x )及其定义域；(2)设g (x )＝log2x ＋1k ，若x ∈[12，23]时f －1(x )≤g (x )恒成立，求实数k 的取值范围． 解析：(1)f (2x )＝a ·4x ＋a －24x ＋1＝a ·22x ＋a －222x ＋1，则f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1，因为f (－x )＝－f (x )，则a ·2－x ＋a －22－x ＋1＝－a ·2x ＋a －22x ＋1，整理得(2x ＋1)(2a －2)＝0，则a ＝1.(或者f (－x )＝－f (x )⇒f (0)＝－f (0)⇒f (0)＝0，由a ·20＋a －220＋1＝0得到)f (x )＝2x －12x ＋1，解得2x ＝1＋y 1－y ，因2x >0，∴－1<y <1， 反函数为f －1(x )＝log 2x ＋11－x ，定义域为(－1,1)．(2)x ∈[12，23]时f －1(x )≤g (x )恒成立，则log 2x ＋11－x ≤log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1k 2， 解x ＋11－x ≤⎝⎛⎭⎫x ＋1k 2可得 k 2≤1－x 2，x ∈[12，23]，则有1－⎝⎛⎭⎫232≤1－x 2≤1－⎝⎛⎭⎫122， 即59≤1－x 2≤34， k 2≤1－x 2⇔k 2≤(1－x 2)min ，所以k 2≤59，显然k >0，则0<k ≤53，即实数k 的取值范围是(0，53]。