违背基本假设的问题：多重共线性异方差和自相关

精品文档精品文档第5章、违背基本假设的问题：多重共线性、异方差和自相关回顾并再次记住最小二乘法（LS）的三个基本假设：1.y=Xβ+ε2.Rank(X)=K3.ε|X~N(0,σ2I)精品文档精品文档精品文档精品文档§1、多重共线性（multicollinearity）1、含义及后果1）完全的多重共线性如果存在完全的多重共线性（perfect multicollinearity），即在X中存在不完全为0的a i，使得a1x1+…+a K x K=0即X的列向量之间存在线性相关。

因此，有Rank(X)<K，从而|X’X|=0，即b=(X’X)-1X’y不存在，OLS失效。

也即违背了基本假设2。

精品文档例子：C=β1+β2nonlabor income + β3salary +β4income + ε精品文档精品文档精品文档2）近似共线性 常见为近似共线性，即a 1x 1+…+a K x K ≈0则有|X’X|≈0，那么(X’X)-1对角线元素较大。

由于21|[,(')]b X N X X βσ-， 21|[,(')]k k kk b XN X X βσ-，所以b k 的方差将较大。

例子：Longley 是著名例子。

精品文档精品文档精品文档精品文档2、检验方法1）VIF 法（方差膨胀因子法，variance inflation factor ）第j 个解释变量的VIF 定义为21VIF 1j jR =- 此处2j R 是第j 个解释变量对其他解释变量进行回归的确定系数。

若2j R 接近于1，那么VIF 数值将较大，说明第j 个解释变量与其他解释变量之精品文档精品文档间存在线性关系。

从而，可以用VIF 来度量多重共线性的严重程度。

当2j R 大于0.9，也就是VIF 大于10时，认为自变量之间存在比较严重的多重共线性。

K 个解释变量，就有K 个VIF 。

可以计算K 个VIF 的平均值。

第5章、违背基本假设的问题：多重共线性、异方差和自相关回顾并再次记住最小二乘法（LS）的三个基本假设：1.y=Xβ+ε2.Rank(X)=K3.ε|X~N(0,σ2I)第 1 页§1、多重共线性（multicollinearity）1、含义及后果1）完全的多重共线性如果存在完全的多重共线性（perfect multicollinearity），即在X中存在不完全为0的a i，使得a1x1+…+a K x K=0即X的列向量之间存在线性相关。

因此，有Rank(X)<K，从而|X’X|=0，即b=(X’X)-1X’y不存在，OLS失效。

也即违背了基本假设2。

例子：C=β1+β2nonlabor income + β3salary +β4income + ε第 2 页2）近似共线性常见为近似共线性，即a1x1+…+a K x K≈0则有|X’X|≈0，那么(X’X)-1对角线元素较大。

由于所以b k的方差将较大。

例子：Longley是著名例子。

第 3 页第 4 页2、检验方法1）VIF 法（方差膨胀因子法，variance inflation factor ）第j 个解释变量的VIF 定义为此处2j R 是第j 个解释变量对其他解释变量进行回归的确定系数。

若2j R 接近于1，那么VIF 数值将较大，说明第j 个解释变量与其他解释变量之间存在线性关系。

从而，可以用VIF 来度量多重共线性的严重程度。

当2j R 大于0.9，也就是VIF 大于10时，认为自变量之间存在比较严重的多重共线性。

K 个解释变量，就有K 个VIF 。

可以计算K 个VIF 的平均值。

若大于10，认为存在比较严重的多重共线性。

VIF方法直观，但是Eviews不能直接计算VIF的数值。

需要逐个进行回归，较为麻烦。

2）相关系数矩阵例子：对于longley数据。

在Eviews中，quick/group statistics/correlations，输入te year gnpd gnp arm，得到TE YEAR GNPD GNP ARM TE 1.000000 0.971329 0.970899 0.983552 0.457307 YEAR 0.971329 1.000000 0.991149 0.995273 0.417245 GNPD 0.970899 0.991149 1.000000 0.991589 0.464744 GNP 0.983552 0.995273 0.991589 1.000000 0.446437 ARM 0.457307 0.417245 0.464744 0.446437 1.000000 相关系数矩阵的第一列给出了被解释变量与每一个解释变量之间的相第 5 页关系数；度量了每一个解释变量对被解释变量的个别影响。

违背经典假设样本一样本二 … … …一、异方差（u i &X i ）1、why 为什么会产生异方差？——某一因素或一些因素(即u)随着解释变量观测值的变化而对被解释变量产生不同的影响；模型中省略了重要的解释变量；模型的函数形式设定不准确等。

2、when 什么数据容易出现异方差？——截面数据3、what 产生异方差后有什么影响？——低估 的真实方差Se( )，导致检验统计量t 值被高估，可能造成本来不显著的某些回归系数变成显著。

4、how 如何判断是否存在异方差？——（1）判断方法：残差图分析法；判断依据：看残差项是否随解释变量表现出趋势性（2）判断方法：等级相关系数法；判断依据：等级相关系数检验（3）判断方法：戈德菲尔德－匡特检验；判断依据：样本排序分段比检验（4）判断方法：戈里瑟检验；判断依据：用残差平方作为被解释变量对每个解释变量、每个解释变量的平方、各解释变量的两两交叉乘积项一起进行线性回归，并检验各回归系数是否为0（5）判断方法：怀特检验；判断依据：用残差平方作为被解释变量对每个解释变量一起建立各种回归模型，并检验各回归系数是否为05、how 判断出存在异方差了该怎么修正?——A.（1） （2） 未知时，如果之间为线性关系，之 X i 为权数变换二、自相关（u i &u i-1）1、why 为什么会产生自相关？——遗漏了重要的解释变量；经济变量的滞后性；回归函数形式的设定错误；蜘蛛网现象2、when 什么数据容易出现自相关？——时间序列数据3、what 产生自相关后有什么影响？——参数的估计量是无偏的,但不是有效，严重低估误差项的方差，导致统计量高估，不显著变为显著。

4、how 如何判断是否存在自相关？——（1）判断方法：图示检验法；判断依据：看t 期残差项（e t ）与t-1期残差项（e t-1）是b ˆb ˆ2i s 2i s否表现出相关性、规律性；或者看残差项e t与时间t是否表现出相关性、规律性（2）判断方法：自相关系数法；判断依据：系数越接近于1时，表明误差序列越存在正相关，系数接近于-１时，表明误差序列越存在负相关（3）判断方法：DW检验；判断依据：用DW统计量与dL,du临界值比较得出结论（4）判断方法：拉格朗日乘数检验（高阶自相关）；判断依据：假设u t是u t-1到u t-p 等各样本残差项的线性组合，重新构建辅助回归，LM统计量大于临界值，就拒绝原假设，表明存在自相关，反之亦然。

第5章、违背基本假设的问题：多重共线性、异方差和自相关回顾并再次记住最小二乘法（LS）的三个基本假设：1.y=Xβ+ε2.Rank(X)=K3.ε|X~N(0,σ2I)§1、多重共线性（multicollinearity）1、含义及后果1）完全的多重共线性如果存在完全的多重共线性（perfect multicollinearity），即在X中存在不完全为0的a i，使得a1x1+…+a K x K=0即X的列向量之间存在线性相关。

因此，有Rank(X)<K，从而|X’X|=0，即b=(X’X)-1X’y不存在，OLS失效。

也即违背了基本假设2。

例子：C=β1+β2nonlabor income + β3salary +β4income + ε2）近似共线性常见为近似共线性，即a 1x 1+…+a K x K ≈0 则有|X’X|≈0，那么(X’X)-1对角线元素较大。

由于21|[,(')]b X N X X βσ- ， 21|[,(')]k k kkb X N X X βσ- ，所以b k 的方差将较大。

例子：Longley 是著名例子。

2、检验方法1）VIF 法（方差膨胀因子法，variance inflation factor ）第j 个解释变量的VIF 定义为21V IF 1j jR=-此处2j R 是第j 个解释变量对其他解释变量进行回归的确定系数。

若2j R 接近于1，那么VIF 数值将较大，说明第j 个解释变量与其他解释变量之间存在线性关系。

从而，可以用VIF 来度量多重共线性的严重程度。

当2jR 大于0.9，也就是VIF 大于10时，认为自变量之间存在比较严重的多重共线性。

K 个解释变量，就有K 个VIF 。

可以计算K 个VIF 的平均值。

若大于10，认为存在比较严重的多重共线性。

VIF方法直观，但是Eviews不能直接计算VIF的数值。

需要逐个进行回归，较为麻烦。

异方差：（Heteroscedasticity）一如何检测？①假设我们做一个回归，求出β1、β2、β3，然后返回求出序列{Ut}，现在要检测{Ut}是不是异方差的。

②设立辅助方程：既然假设是异方差，那么我们就假设{Ut}与X存在某种关系，这种关系比较复杂，只要我们证明α1、α2、α3……不为0，即可③构建新的统计量：T·R2，先人曾经证明过其服从 卡方(m)分布。

④最后将算出来的T·R2值与卡方分布的临界值比较，……。

二、如何应对？①如果异方差的形式已知，我们可以通过GLS（广义二乘法）来处理：举例说明：②如果异方差的形式未知自相关：（Autocorrelation）一如何检测？我们直接可以看DW值，注意这个ρ值is the残差项之间的estimated correlation coefficient.也可以用另外一种方法：二如何应对？①如果自相关的形式已知•If the form of the autocorrelation is known, we could use a GLS procedureBut such procedures that “correct” for autocorrelation require assumptions about the form of the autocorrelation.②未知：构建动态模型，如：三多重共线性：（Multicollinearity）①如何检测：look at the matrix of correlations between the individual variables.另外：R2 will be high but the individual coefficients will have high standard errors也可能存在多重共线性。

②如何解决：。

《计量经济学》中多重共线性、异方差性、自相关三者之间的联系与区别首先我们先来回顾一下经典线性回归模型的基本假设：1、为什么会出现异方差性我们可以从一下两方面来分析：第一，因为随即误差项包括了测量误差和模型中被省略的一些因素对因变量的影响；第二，来自不同抽样单元的因变量观察值之间可能差别很大。

因此，异方差性多出现在截面样本之中。

至于时间序列，则由于因变量观察值来自不同时期的同一样本单元，通常因变量的不同观察值之间的差别不是很大，所以异方差性一般不明显。

含义及影响:y=X β+ε，var(εi )var(εj ), ij ，E(ε)=0，或者记为212200['|]0000n E X σεεσσ⎛⎫⎪=Ω= ⎪ ⎪⎝⎭即违背假设3。

用OLS 估计，所得b 是无偏的，但不是有效的。

111(')'(')'()(')'b X X X y X X X X X X X βεβε---==+=+由于E(ε)=0，所以有E(b )=β。

即满足无偏性。

但是，b 的方差为1111121var(|)[()()'][(')''(')|] (')'['|](') (')'()(')b X E b b E X X X X X X X X X X E X X X X X X X X X X ββεεεεσ------=--===Ω其中212200['|]0000n E X σεεσσ⎛⎫⎪=Ω= ⎪ ⎪⎝⎭2、自相关产生的原因：（1）、经济数据的固有的惯性带来的相关 （2）、模型设定误差带来的相关 （3）、数据的加工带来的相关 含义及影响:cov(,)0,i j i j εε≠≠影响：和异方差一样，系数的ls 估计是无偏的，但不是有效的。

D －W 检验（Durbin －Watson ）221212222121212222112112122211221122121()()()2()()222222(1)n i i i n i i n n n i i i i i i i n i i n n n i i i i i i i n n i i n i i i nn n i i i i nn i ie e d e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ρρ=-===-=-====-==-===∑-=∑∑+∑-∑=∑∑+∑-∑--=∑∑+=--∑∑+=--∑≈-其中2121n i i i n i ie e e ρ=-=∑=∑是样本一阶自相关函数。