二次函数复习经典课件

巩固练习2
已 知 某 二 次 函 数 的 顶 点 坐 标 为 (1， 1 ) ， 且 过
0 点 ( 2， ) 试 确 定 它 的 函 数 解 析 式 。
解 ： ∵ 二 次 函 数 的 顶 点 为 (1， 1 )
∴ 可 设 二 次 函 数 解 析 式 为 y a ( x 1)
2
10 又Βιβλιοθήκη 函 数 过 点 ( 2， )二、二次函数的图象和性质
• 首先把y=ax2+bx+c化成 y=a（x-h)2+k的形式， 然后对图象和性质进行归纳： 1. 所有二次函数的图象都是一条抛物线；当a>0,抛物线
的开口向上，当a<0时，抛物线的开口向下
。
2. 当 | a | 的值越大时，开口越小，函数值 y 变化越快。
当 | a | 的值越小时，开口越大，函数值 y 变化越慢。
巩固练习1
已 知 某 二 次 函 数 图 象 上 有 ( 1， ) ， 1， ) ， 2 ， ) 三 3 ( 3 ( 6 个点，求它的函数解析式。
解：设函数解析式为 y ax 2 bx c
3 3 6 由已知，函数图象上有 ( 1， ) ，(1， ) ，( 2 ， ) 三个点， 得
a b c 3 a b c 3 4a 2b c 6
解这个方程组，得
a 1
，b 0 ， c 2
∴函数解析式为 y x 2 2
2. 过顶点和一普通点的二次函数解析式的确定
由于抛物线 y a ( x h ) 2 k 顶点坐标是 ( h， k ) ， 反之，已知顶点坐标为 ( h， k ) ，则可设函数解析式为 2 y a(x h) k 。 4 【例题】已知某抛物线的顶点坐标 ( 3， ) 且过点 (1， ) ，求它的函数解析式。 8 4 解：∵顶点坐标是 ( 3， ) 2 ∴可设函数解析式为 y a ( x 3 ) 4 8 又过点 (1， ) ∴ 8 a (1 3 ) 2 4 解得 a 1 ∴函数解析式为 y ( x 3 ) 2 4 即 y x 2 6 x 13
（C）
y x
2
2x 3
3
x
巩固练习3
• 如图，抛物线经过下列各点，试求它的函数解析式。 解： 设函数的解析式为：y=a(x-x1)(x-x2), 则 x1=-1, x2=3, 于是 y=a(x+1)(x-3). y ∵抛物线过y 轴上的点（0，-2）， ∴把这点坐标代入上面式子，得 -2=-3a ∴ a=2/3. -1 0 ∴ 所求函数解析式为： -2 y=2/3· (x+1)(x-3).
c>0
c=0
c<0
三、解析式的确定（待定系数法） 提示：如果已知的是 三个普通点，则一般采 1. 已知三个普通点确定函数解析式
用二次函数的一般式。 1 4 【例】已知某二次函数的图象过 ( 1，0 ) ， (1， ) ， ( 2 ， ) 三点，求这个函数的解析式。 7
解：设所求函数解析式为 y a x 2 b x c
y a(x b 2a )
2
4ac b 4a
2
6. 当a>0, △>0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个不相 同的交点，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的 实 数 根 x 1 、 x 2 ( x 1 < x 2 ) ， 当 x< x 1 或 x > x 2 时 ， y > 0 , 即
8. 当a>0, △=0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两 个相同的交点，即顶点在x 轴上，一元二次方程 ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1、x2(x1=x2 )，
当x≠x1（或x≠x2）时，y>0,即ax2+bx+c>0 ; 当
x=x1=x2时，y =0；无论 x 取任何实数，都不可能
26二次函数复习
一、二次函数的定义
1. 形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且
a≠0 ）的函数，叫做二次函数。
2. 二次函数的一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）。
3. 二次函数顶点式： y=a（x-h)2+k（a≠0）。
4. 二次函数的两点式：y=a（x-x1)(x-x2)（a≠0)。
有ax2+bx+c<0.
y>0
9. 当a<0, △=0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个 相同的交点，即顶点在x 轴上，一元二次方程 ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1、x2(x1=x2 )，
当x≠x 1 （或x≠x 2 ）时，y<0,即ax 2 +bx+c<0 ; 当
x=x1=x2时，y =0；无论 x 取任何实数，都不可能
ax
2
+bx+c>0
;
当x
1
<x<x
2
时，y<0,
即ax2+bx+c<0. 7. 当a<0, △>0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个不相 同的交点，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的 实数根x1、x2(x1<x2)，当x1<x<x2时，y>0,即 ax2+bx+c>0 即ax2+bx+c<0. ;当x<x1或x>x2时，y<0,
元二次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x
取何值，都有y<0 .
无论 x 取何值，都不可能有y≥0。
y<0
12. y=ax2+bx+c（a≠0）与 y 轴的交点的坐标 为（0，c) . 由此可得： 当c >0时，抛物线与y 轴相交于正半轴； 当c =0时，抛物线过原点； 当c <0时，抛物线与y 轴相交于负半轴。
y 最 大 (或 最 小 ) k
5. y=ax2+bx+c的顶点坐标是
线x
b 2a
，当 x

b 2a
时，y 有最大（或最小）值。
4ac b 4a
2
b 4ac b , 2a 4a
2
，对称轴是直
即
y 最 大 (或 最 小 值 )
把一般式 y=ax2+bx+c 配成顶 点式为：
1 4 7 由已知函数图象过 ( 1，0 ) ， (1， ) ， ( 2 ， ) 三点得
a b c 10 a b c 4 4a 2b c 7
解这个方程组得 a 2 ， b 3 ， c 5 ∴所求得的函数解析式为 y 2 x 2 3 x 5 。
即 y 2 3 x
2
3
x
4 3
x 2
巩固练习4
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，试 用 “ >、< 、=” 填空： （1）a < 0,b < 0, c > 0; （2）a+b+c < 0; y （3）a-b+c > 0; （4） △ > 0； 1
（5）
b ac
> 0.
-1
3. 当 a > 0 时，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，
在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大；当 a < 0 时，
在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴的
右侧，y 随 x 的增大而减小。
4. y=a（x-h)2+k 的顶点坐标是（h, k) , 对称轴是直线 x㎝
=h，当x=h时，y 有最大（或最小）值，即
0 1
x
再见！
有ax2+bx+c>0.
y<0
10. 当a>0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴 无交点，即全部图象在x 轴的上方，一元二 次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值， 都有y>0;
无论 x 取何值，都不可能有y≤0。
y>0
11.当a<0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴无交点，即全部图象在x 轴的下方，一
∴ 0 a ( 2 1) 1
2
解得 a 1 ∴ 二 次 函 数 的 解 析 式 为 y ( x 1) 即 y x
2
2
1
2x
3. 过x轴上的两点及任意一点确定解析式 时，用交点式 y=a（x-x1)(x-x2)
【例】 已知函数的图象如图所示，求函数解析式。
解： 设函数的解析式为：y=a(x-x1)(x-x2), 则 x1=-1, x2=3, 于是 y=a(x+1)(x-3). y ∵抛物线过y 轴上的点（0，3）， ∴把这点坐标代入上面式子，得 3 3=-3a ∴ a=-1. -1 0 ∴ 所求函数解析式为： y=-1(x+1)(x-3). 即 y= - x2+2x+3 .