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联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区别:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
知识运用
例2:m取何值时，
m 2 m 1 函数y= (m+1)x
2
+(m-3)x+m 是二次函数？
注意: (1)等号左边是函数y，右边是关于自变量x的 整式 (2) a,b,c为常数，且 a≠0.
(3)等式右边的最高次数为 ，可以没有一次项和常数项， 2 但 . 不能没有二次项 (4) 自变量x的取值范围是 任意实数
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项 （1） y=-x2+58x-112 （2）y=πx2 2、指出下列函数y=ax² +bx+c中的a、b、c （1） y=-3x2-x-1 （2） y=5x2-6
即：Y=-2x2+40x(0<x<20) 当x＝12m时，菜园的面积为：（40-2x ）m Y=-2x2+40x＝-2×122+40×12 ＝192（m2）
x m
y
m2
x m
练习:
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 s 与半径 r 之间的关系式,是函数关系吗？是哪种函 数？ 2. n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写 出比赛的场次数 m与球队数 n 之间的关系式.
二次函数
基础回顾
什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x 在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y 总有唯一的值与它对应。 这样的两个变量之间的关系我们把它叫 做函数关系。 对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫应变量。
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
y=kx+b (k≠0)
即:
1 2 3 d n n 2 2 此式表示了多边形的对角线数d与 边数n之间的关
系,对于n的每一个值,d都有一个对应值,即d是n的函数.
问题3:
某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划 今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的 值而确定, y与x之间的关系怎样表示?
3.函数 y=(m－n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是(
)
(A) m,n是常数,且m≠0
(C) m,n是常数,且m≠n
二次函数的一般形式:
y=ax2+bx+c
(a、b、c为常数,a≠0)
二次函数的特殊形式： 2 当b＝0时， y＝ax ＋c 2 当c＝0时， y＝ax ＋bx 2 当b＝0，c＝0时， y＝ax
驶向胜利的 彼岸
思考：2. 二次函数的一般式y＝ ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方 程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么 联系和区别？
y=6x2
此式表示了正方体的表面积y 与棱长x之间的关系,对于x的每一 个值,y都有一个对应值,即y是x的 函数.
问题2:
多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么 关系？ n ,从 n边形有＿＿个顶点 一个顶点出发,连接与这点不 相邻的各顶点,可作＿＿＿条 (n －3) .因此,n边形的对角线 对角线 1 总数 d =＿＿＿＿.2 n(n－3)
1 2 3 d n n 2 2
y=20x2+40x+20
函数都是用自变量 的二次式表示的.
一般地,形如 2 y=ax +bx+c (a,b,c都是常数,且a≠0) 的函数,叫做二次函数.
其中, x是自变量,a,b,c分别是函数表达式 的二次项系数、一次项系数和常数项.
一般地,形如 y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0) 的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分 别是函数表达式的二次项系数、一次项系数 和常数项.
变 量 之 间 的 关 系
一次函数
正比例函数
y=kx (k≠0) 函 数
反比例函数
y=k/x (k≠0)
二次函数
节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它 会与某种函数有联系吗？
抛物线型桥拱
奥运赛场腾空的篮球
二次函数的基本概念
问题1:
正方体六个面是全等 的正方形,设正方形棱 长为 x,表面积为 y,则 y 关于x 的关系式为＿＿.
(4) y=(x+3)² -x² =x2+6x+9ห้องสมุดไป่ตู้x2
即 y=6x+9
不是二次函数.
是二次函数. 1 -x __ (5)y= 二次项系数: 3 x² 一次项系数: -6 不是二次函数. 常数项: 4 (6) v=8π r² 1 不是二次函数. (2) y=x+ __ 是二次函数. x (3) s=3-2t² 是二次函数. 二次项系数: 8π 二次项系数: -2 一次项系数: 0 一次项系数: 0 常数项: 0 常数项: 3
这种产品的原产量是20件,一年后的产量 20(1+x) 是 件,再经过一年后的产量是 2 20(1+x) 件,即两年后的产量为: .
y=20(1+x)2 即:
y=20x2+40x+20
此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍 数x之间的关系,对于x的每一个值,y都有一个对 应值,即y是x的函数.
观察下列函数有什么共同点: y=6x2
解:由题意得
m2—2m-1=2 m+1 ≠0
∴m=3
例2. y=(m+3)x
m2 － 7
m取什么值时,此函数是二次函数?
看谁算得快!
1.函数 y (m 1) x 求m的值。 2
m2 m
mx1 是二次函数，
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形 菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2， 求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。 当x=12m时，计算菜园的面积。 解：由题意得： Y=x(40-2x)
（3） y=x(1+x)
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。 1 __ (1) y=3(x－1)² +1 (2) y=x+ x (3) s=3－2t² (4) y=(x+3)² －x² 1 __ (5)y= －x (6) v=8π r² x²
+1 解: (1)y=3(x-1)² =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1 即 y=3x2-6x+4
