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y
B
c
o
·
y
x
A
o
x
A、a>0,b=0,c>0,△>0 C、a>0,b=0,c<0,△>0
C B、a<0,b>0,c<0, =0
△
y
D、a<0,b=0,c<0,△<0
o
x
熟练掌握a，b， c，△与抛物线图象的关系 (上正、下负） (左同、右异)
（2011江苏宿迁,8,3分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c （a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ D ） A．a＞0 B．当x＞1时，y随x的增大而增大 C．c＜0 D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根
Q
(0,3)
(-3,0)
(1,0)
Q(-1,2)
(3) 设抛物线的对称轴与 x轴交于点M ，问在对称 轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若 存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标； 若不存在，请说明理由． 作MC的垂直平分线与对 称轴有一个交点（MC为底 边）。 以M为圆心，MC为半径画 弧，与对称轴有两交点;以 C为圆心，MC为半径画弧， 与对称轴有一个交点（MC 为腰）。
x
练习:已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a 其中正确的结论的个数是（ D） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
y
-1 0
1
x
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方 向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的 交点的位置，注意运用数形结合的思想。
∴当 m 2 时，是二次函数。
m2 2 1 m2 m 2 0 （2）若是反比例函数，则 且
∴当 m 1 时，是反比例函数。
25 1 （—，— 4 ） 二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是__________ 2 1 x=— 对称轴是_________。 2
二次函数的解析式:
2
练习： １、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 所示，则a、b、c的符号为（ ） A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0 2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，则a、b、c的符号为（ ） A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0 C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0 3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 所示，则a、b、c 、 △的符号为（ ）
(2)已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴 16 上,则c=＿＿＿＿.
(3)一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是 x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y=3x2+x-10 （-2、0）（5/3、0） 与x轴的交点坐标是＿＿＿＿.
7、二次函数的综合运用
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形 状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 请写出满足此条件的抛物线的解析式. 解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同 a=1或-1 又 顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为: (1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展开成一般式即可.
顶点式 y=a(x-h)² +k
(a≠0)
对称轴:直线x=h 顶点:(h,k)
一般式
y=ax² +bx+c
b 2 4ac b 2 a( x ) 2a 4a
b ， 2a b 4ac b 2 顶点坐标是： 2a , 4a 对称轴为：直线 x
二次函数的图象: 是一条抛物线
顶点式
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x1)(x-x2) (x2,0),通常设解析式为_____________ (a≠0)
交点式或两根式
1、根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
a=-2,b=4,c=0
4、a，b，c符号的确定
a决定开口方向和大小：a＞０时开口向上， a
(上正、下负）
a＜０时开口向下
a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧 a、b异号时对称轴在y轴右侧 a,b (左同、右异) b＝０时对称轴是y轴
c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴 c＝０时抛物线过原点 c (上正、下负) c＜０时抛物线交于y轴的负半轴
a>0,开口向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
b 4ac b 2 当x 时, y最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, y最大值为 2a 4a
△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点 △＝０时抛物线与x轴有一个交点 2 △= b -4ac △＜０时抛物线与x轴没有交点
△
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例： y 1）、当x=1 时，y= a+b+c ＞０
2）、当x=-1时， +bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
条件：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式
3 1、y=-x² y x 3 ， y=100-5x² ， ，y=3x² +5, -2x³ x
2
２ 其中是二次函数的有____个。
2，函数 y (m m 2) x
2
m2 2
当m取何值时，
（1）它是二次函数？ （2）它是反比例函数？ 2 2 （1）若是二次函数，则 m 2 2 且m m 2 0
x
3）、当x=2时， y= 4a+2b+c ＞０
4）、当x=-2时， y= 4a-2b+c ＜０
5）、b² -4ac 6）、2a+b
＞ 0.
0.
b 1 b2a 2a b 0 2a
＜
例2:如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向上，图像经 过点（－1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴. （1）问：给出五个结论：①a>0；②b>0;③c>0；④a+b+c=0; ⑤a-b+c<1.其中正确的结论的序号是 （ ①④⑤ ） （2）问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0;③a+c=1; ④a> 1 .其中正确的结论的序号是（ ②③④ ）
左加右减，上加下减
引申：y=2(x+3)2-4
y=2(x+1)2+2
６、二次函数与一元二次方程的关系
判别式： b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c （a≠0） 图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
有两个不同的 解x=x1，x=x2
与x轴有两个不 b2-4ac＞0 同的交点 （x1，0） （x2，0）
5、抛物线的平移法则
练习 ⑴二次函数y=2x2的图象向下 平移 3 个单位可得 到y=2x2-3的图象； 二次函数y=2x2的图象向右 平移 3 个单位可得到 y=2(x-3)2的图象。 ⑵二次函数y=2x2的图象先向左 平移1 个单位， 再向 上 平移 2 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的 图象。
二次函数复习与练习课
钦州市灵山县平山中学 刘超华
二次函数一般考点：
1、二次函数的定义 2、二次函数的图象及性质 3、求二次函数的解析式 4、a，b，c符号的确定 5、抛物线的平移法则 6、二次函数与一元二次方程的关系 7、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
定义：y=ax² ＋bx＋c （ a 、b 、 c 是常数， a ≠ 0 ）
(2)解:∵抛物线与x轴相交时 x2-2x-8=0
c
A P B x
解方程得:x1=4, x2=-2 ∴AB=|4-(-2)|=6 而P点坐标是(1,-9),PC=|-9|=9
S=1/2 AB×PC=
(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个 1 相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线 y=x21 2x+m与x轴有＿＿＿＿个交点.
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
2、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值 是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图 象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
