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y
B（3，0）
x
解：令y=0，则 –x+3=0，x=3， ∴B（3，0）， 令x=0， 则y=3， ∴C（0，3）， 得 -9+3b+c=0 解得 b=2 c=3 c=3 ∴ y= -x2+2x+3
｛
｛
7.如图，已知直线 y= D（1，4） （0，3） x+3与X轴、y轴分别交于点 C 2 B、C，抛物线y= -x +bx+c 经过点B、C，点A是抛物线 A B（3，0） 与x轴的另一个交点。 x （-1，0）o （1，0） E （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，求四边形ABDC 的面积； 解：S四边形ABDC=S△AOC+S梯形OEDC+S △EBD
2a 4ac b 2 y最小 ) 4a a>0，x≤-b/2a,y
b 直线x 2a b 4ac b 2 ( , ) 2 a 4 a b a 0,当x ,
x≥-b/2a,y随x增大 而增大
2.二次函数图象的画法
对称轴直线x= y
b 2a
b ( , c) a
x1 O x2
（4）b2-4ac的符号： a、b同号 a、b异号 b=0
由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
（1）已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,
＜ a___0,
＞ ＞ b____0, c_____0, abc____0 ＜
（7）已知二次函数y=x2+bx+c的顶点坐标（1，-2），求 b，c的值
（8）已知二次函数y=x2+4x+c的顶点坐标在x轴上， 求c的值 （9）已知二次函数y=x2+4x+c的顶点坐标在直线y=2x+1 上，求c的值
如何求抛物线解析式常用的三种方法
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 2+bx+c(a≠0) y=ax ________________ 一般式 2、已知抛物线顶点坐标（m, k），通常 设抛物线解析式为_______________ y=a(x+m)2+k(a≠0) 3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为y=a(x-x _____________ 1)(x-x2) (a≠0) 4.公式法
2
平移
对称 轴
y=ax2
b 4ac b 2 y a x 2a 4a
直线x=0 直线x=-m (0,0)
a>0当 x=0,y最小 =0
顶点 坐标 最值
增减 性
(-m,0)
a>0当x=m,y最小=0
a>0，x≤-m,y随x 增大而减小 x≥- 随x增大而减小
m,y随x增大而增大
问题1 建立如图所示的直角坐标系， 求抛物线的解析式； 问题2这位同学身高1.7 m,若 3.5m 在这次跳投中，球在头顶上 方0.25 m处出手，问：球出 手时，他跳离地面的高度是 多少？
o 2.5m 4 m
3.05 m
x
2.你知道吗？平时我们在跳绳时，绳甩到最高处的形 状可近似的看为抛物线，如图所示，正在甩绳的甲、 乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学 生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米 处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知 学生丙的身高是1.5米，请你算一算学生丁的身高。
函数解析式是
y=2(x+2)2-3
。
（6）已知二次函数y=x2-4x-5 ， 求下列问题
①开口方向
②对称轴
④怎样平移
③顶点坐标
⑤x在什么范围，y随x 增大而增大 ⑦当x为何值时，y>0
③最值
⑥与坐标轴的交点坐标
⑧与x轴的交点坐标为A,B,与y轴的交点为C,则 2-8 S∆ABC= y=-2(x+1) . ⑨在抛物线上是否存在点P,使得S∆ABP是∆ABC面积的2 倍,若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明 理由
顶点式
交点式或两根式
如何求下列条件下的二次函数的解析式:
1.已知一个二次函数的图象经过点
（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为 （－2，－3），且图象过点（－3，－2）。 3.已知二次函数的图象的对称轴是直线x=3,
并且经过点(6,0),和(2,12) 4.矩形的周长为60，长为x，面积为y，则y关于 x的函数关系式 。
S△PAC=
1 2
y
（0，3）
C A
P
o
B（3，0） Q
x
S △PAB，求P的坐标；
（4）第（3）题改为在直线y= -x+3上是否存在 1 点P，使S△PAC= S △PAB？若存在，求出点P 2 的坐标；若不存在，说明理由。答案一样吗？
P
y （ 0， 3） C A
y （ 0， 3） C P
（3，0） A B x o
(2) y=-2x2-2是由 y=-2x2 向 下 平移 2 (3) y=-2(x-2)2+3是由 y=-2x2 向右 平移 ，再向 上 平移 3 个单位得到 个单位得到
2 个单位
(4) y=2x2+4x-5是由 y=2x2向 左 平移 1 个单位，再 向 下 平移 7 个单位得到 (5) y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到
）2-8 状相同，其解析式为 y=0.5（x-16 。
5、若x为任意实数，则二次函数y=x2+2x+3的函
数值y的取值范围是
y≥2 。
6、抛物线y=2x2-4x-1是由抛物线y=2x2-bx+c向 左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的， 则b= 8 ，c= 3。
7、已知抛物线y=2x2+bx+8的顶点在x轴上， 则b= ±8。
如何判别a、b、c、b2-4ac，2a+b，a+b+c的符 号
（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定
a>0 开口向上 a<0 开口向下 （2）C的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定. c>0 交点在x轴上方 交点在x轴下方 经过坐标原点 c<0 c=0
（3）b的符号： 由对称轴的位置确定 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴
解:（1）由题意，x=1时，y=2；x=2时，y=2+4=6,分别代入 y=ax2+bx,得a+b=2,4a+2b=6, 解得:a=1,b=1, ∴y=x2+x. （2）设g＝33x-100-x2-x,则 g=-x2+32x-100=-(x-16)2+156. 由于当1≤x≤16时，g随x的增大而增大，故当x=4时，即第4年可 收回投资。
c x
2 b 4 ac b 顶点坐标 （ ， ） 4a 2a
与X轴
b 4ac b 2 （ ， ） 4a 2a
与Y轴的交点坐标及它 关于对称轴的对称点
(0, c)
b ( , c) a
(1) y=2(x+2)2是由 y=2x2 向 左平移 2 个单位得到
6.某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出 时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，销量 减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利 润是多少？ 分析：利润=（每件商品所获利润）× （销售件数）
设每个涨价x元， 那么
（1）销售价可以表示为
（50+x）元（x≥ 0，且 为整数）
8、已知y=x2-（12-k）x+12，当x＞1时，y随 x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减 小，则k的值为
10
。
综合应用
(中考必考题）
1. 如图，有一次,我班某同学在距篮下4m处 跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运 行的水平距离2.5m时，达到最大高度3.5m， 然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的 y 距离为3.05m.
2014最新人教版九年级上册数学
二 次 函 数 复 习
乌市第58中 郭云舒
一、二次函数概念
形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0) 的函 数叫做二次函数
其中二次项为ax2，一次项为bx，常数项c 二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项c
练习：1、y=-x² ，y=2x² -2/x，y=100-5
x² , y=3 x² -2x³ +5,其中是二次函数的有____个。 2.当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1 是二次函 数？
二.二次函数图象
y=ax2+k 顶点式 y=a(x+m)2 y=a(x+m)2+k 直线x=-m (-m,k)
a>0当x=m,y最小=k
一般式 y=ax2+bx+c
Q
o
Q
B （ 3， 0 x
（14）（2014 •乌鲁木齐）在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y=mx² -2x与x轴正半轴交于点 A，顶点为B.
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24－4x ≤8
4≤x<6
∴当x＝4m时，S最大值＝32 平方米
5.某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不 计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万。该 生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累 计为y(万元)，且y=ax2+bx,若第1年的维修、保养 费用为2万元，到第2年为6万元。 （1）求y的解析式； （2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？
