浅谈杨辉三角的奥秘及应用
摘要文中阐述了杨辉三角中蕴涵的一些优美的规律及利用杨辉三角在以其为背景的一些现实生活问题中的应用来培养解决问题的思维能力。
关键词杨辉三角，最短路径，错位，幂
0 引言
杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果。随着素质教育的提倡，新课程标准的颁布，生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系，那如何解决这些以“杨辉三角”为背景的问题呢？这就需要我们对杨辉三角本身蕴涵着许多优美的规律进行探讨和研究。
1 杨辉三角与数字11的幂的关系
我们知道初中时老师要求我们背11的幂，11的1次幂、2次幂、3次幂还好背，后面就难起来了。后来我受到一位老师的启发，并且查看了这方面有关资料，发现杨辉三角与11的n次幂的关系非常密切。
假设y=11n
当n=0时： y=1；
当n=1时： y=11；
当n=2时：y=121；
当n=3时：y=1331；
当n=4时：y=14641；
以上是当n≤4时与扬辉三角的前5行多一致，接下来我们再来看一下当n≥5时的情况，如下：
当n=5时： 1 4 6 4 1
⨯ 1 1
1 4 6 4 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
当n=6时： 1 5 10 10 5 1
⨯ 1 1
1 5 10 10 5 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
……
由上可知：11的n 次幂的各位数字（不含进位）与杨辉三角中的各数字完全相等（证
明还有待证明）即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图
形。如下图：
1 (110
) 1 1 (111
)
1 2 1 (112)
1 3 3 1 (113)
1 4 6 4 1 (114)
1 5 10 10 5 1 (115)
1 6 15 20 15 6 1 (116) ……
其实这个关系我们早就学习过了，只是用另一种方式表达而已。我们知道初中时老师教
我们记11的幂时，有一句口诀：头尾不变(即为1)，左右相加放中间。其实是错位相加，而
扬辉三角中头尾为1，中间的数是其肩上的两数之和，也是错位相加得到的。
2 杨辉三角与2的幂的关系
首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：
1 ( 1 )
1 1 ( 1+1=
2 )
1 2 1 (1+2+1=4 )
1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )
1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )
1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3
2 )
1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )
……
我们知道相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，
6，…次幂，即杨辉三角第n 行中n 个数之和等于2的n-1次幂。
刚好与高中时学的杨辉三角的性质相符合，归纳如下：
1°与二项式定理的关系：杨辉三角的第n 行就是二项式n b a )(+展开式的系数列
}{R N C 。
2°对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”，即
r n n r n c C -=。
3°结构特征：杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，即
r n r n n r n C c C 11---+=。
利用以上的性质我们可以预测杨辉三角中任意一行的数字的情况。
3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系
为了讲解方便我们先讨论杨辉三角中n 为前7行时的情况。分别为每一斜行标号，如图
所示：
(1) 1 (2) n=1
1 1 (3) n=2
1 2 1 (4) n=3
1 3 3 1 (5) n=4
1 4 6 4 1 (6) n=5
1 5 10 10 5 1 n=6
1 6 15 20 15 6 1
把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6
把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15
把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20
把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15
把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6
把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1
将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
由上面可猜想得到：杨辉三角中n 行中的第i 个数是斜行i-1中前n-1个数之和，即第
n 行的数分别为1、斜行(1)中第n 行之前的数字之和、斜行(2)中第n 行之前的数字之和、
斜行(3)中第n 行之前的数字之和、斜行(4)中第n 行之前的数字之和、…、斜行(n-3)中第
n 行之前的数字之和、1。
证明结论：假设当n=k 时成立，
即第k 行的数分别为1、斜行(1)中第k 行之前的数字之和、斜行(2)中第k 行之前的数
字之和、斜行(3)中第k 行之前的数字之和、斜行(4)中第k 行之前的数字之和、…、斜行(k-3)
