有理数的乘方

有理数的乘方有理数乘方 1． 求n 个相同因数的积的运算叫做乘方。

2．乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数。

一般地，在n a 中，a 取任意有理数，n 取正整数。

应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果。

当n a 看作a 的n 次方的结果时，也可以读作a 的n 次幂。

3． 我们知道，乘方和加、减、乘、除一样，也是一种运算，n a 就是表示n 个a 相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算。

n a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅例1 计算：（1）32； （2）()32-； (3)()42-； (4)()52-； ☆注：2就是12，指数1通常不写。

观察、比较、分析这几组计算题中，底数、指数和幂之间有什么关系？ （1） 横向观察正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶数幂是正数；零的任何次幂都是零。

（2） 纵向观察互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等。

（3） 任何一个数的偶次幂是什么数？任何一个数的偶次幂都是非负数。

你能把上述的结论用数学符号语言表示吗？ 当0a >时，0n a >（n 是正整数）； 当0a =时，0n a =（n 是正整数）. （以上为有理数乘方运算的符号法则）底数幂()22nn a a =-（n 是正整数）； ()2121n n a a --=--（n 是正整数）20n a ≥（a 是有理数，n 是正整数）例2 计算（1）()234⨯-； （2）()()3432-⨯-； （3）()()4326423-÷-÷；（4）()()()2212009111n n +---+-（n 为正整数）。

例3 计算：（1）()23-， ()33-， 5[(3)]--（2）23-， 33-， ()53--；（3）()24--， ()35--， 34()3--， 234-；（4）2223()3-⨯-， 2[(2)(3)]-⨯-， 23(3)⨯-；引导学生纵向观察第（1）题和第（2）题的形式和计算结果，让学生自己体会到，()na -的底数是a -，表示n 个()a -相乘，n a -是n a 的相反数，这是()na -和n a -的区别。

有理数乘方的运算
有理数乘方的运算法则如下：
乘方的运算法则有同底数幂法则，正整数指数幂法则，分数的乘方法则，积的乘方，同指数幂乘法，完全平方等运算法则。

1、同底数幂法则
同底数幂相乘除，原来的底数作底数，指数的和或差作指数。

a^m×a^n=a^(m+n)
a^m÷a^n=a(m-n)
2、正整数指数幂法则
(a^k=a×a×…×a），其中k∈N^*(既k为正整数）
3、平方差：两数和乘两数差等于它们的平方差。

用字母表示为：（a+b）(a-b)=a^2-b^2
4、分数的乘方法则
（a/b）^k=a^k/b^k
5、幂的乘方法则
幂的乘方，底数不变，指数相乘。

6、积的乘方
积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。

用字母表示为：（a×b)^n=a^n×b^n
7、同指数幂乘法
同指数幂相乘，指数不变，底数相乘。

8、完全平方
两数和（或差）的平方，等于它们的平方的和加上（或者减去）它们的积的2倍。

七年级有理数的乘方知识点有理数的乘方是初中数学中的一大难点，需要同学们认真掌握，下面我们来一起学习一下有理数的乘方知识点。

一、乘方的定义乘方是指同一个数连乘若干次，表示为数的基数和指数的乘积，如aⁿ。

其中，a 叫做底数，n 叫做指数。

二、有理数的乘方1. 正数的乘方当底数 a 为正数且指数为正整数 n 时，aⁿ 的意义是把 a 乘 n 次，如 2³=2×2×2=8，3²=3×3=9。

当底数 a 为正数且指数为 0 时，a⁰的值为 1。

如 2⁰=1，100⁰=1。

2. 负数的乘方当底数 a 为负数且指数为正整数 n 时，aⁿ 的意义是把 |a| 乘 n 次并乘上一个负号，如（-2）³=-2×-2×-2= -8, (-3)²=3×3=9。

当底数 a 为负数且指数为偶数（即 n 为偶数）时，aⁿ 的值为正数，如 (-2)⁴=2×2×2×2=16;当底数 a 为负数且指数为奇数（即 n 为奇数）时，aⁿ 的值为负数，如 (-2)³=-8。

3. 0 的乘方当底数 a 为 0 且指数为正整数 n 时，aⁿ 的值为 0，如 0⁴=0×0×0×0=0。

当底数 a 为 0 且指数为 0 时，a⁰的值为 1。

如 0⁰=1。

当底数 a 不为 0 且指数为 0 时，a⁰的值为 1。

如 5⁰=1。

三、有理数乘方的性质1. 乘方与乘法有理数的乘方满足基本的乘法分配律和结合律，如(ab)ⁿ=aⁿbⁿ。

2. 乘方的运算法则乘方运算遵循如下法则：aⁿ×aᵐ=aⁿ⁺ᵐ(aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ(a×b)ⁿ=aⁿ×bⁿ(a÷b)ⁿ=aⁿ÷bⁿ其中，n，m 为整数，a，b 为有理数（b≠0）。

四、习题1. (-3)⁴的值是多少？解：(-3)⁴=3×3×3×3=812. (-8)³的值是多少？解：(-8)³=-8×-8×-8=-5123. 5²+(-3)²的值是多少？解：5²+(-3)²=25+9=344. (7×(-2))⁴÷(-4)³的值是多少？解：(7×(-2))⁴÷(-4)³=(-14)⁴÷(-64)=38416÷(-64)=-601总结：本节课主要讲解了有理数的乘方知识点，包括乘方的定义、有理数的乘方（正数、负数、0）及有理数乘方的性质。

有理数的乘方（第一课时）一、教学目标:知识与技能：让学生理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义；能够正确进行有理数的乘方运算。

过程与方法：1.在生动的情境中让学生获得有理数乘方的初步经验；培养学生观察、分析、归纳、概括的能力；经历从乘法到乘方的推广的过程，从中感受化归的数学思想。

2.通过经历探索有理数乘方意义的过程，鼓励学生积极主动发现问题并解决问题。

在解决问题的过程中，提高学生分析问题的能力,体会与他人合作交流的重要性。

情感态度与价值观：在经历发现问题，探索规律的过程中体会到数学学习的乐趣，从而培养学生学习数学的主动性和勇于探索的精神，增进学生学好数学的自信心。

二、教学重点、教学难点：重点：正确理解乘方的意义，掌握乘方运算法则，能进行有理数的乘方运算。

难点：正确理解乘方、底数、指数的概念并合理运算。

三、课堂结构设计：创设情境,探求新知---分层练习，寓教于乐---探索研究,发现规律---前后呼应，感受乘方---自主质疑，回顾总结---课外延伸，学以致用教学过程：一、创设情境,探求新知一张纸对折再对折（纸不得撕裂）直到无法对折为止。

猜猜看，这时纸有几层？把实验1次选10张思考答案贴在黑板上，请学生自主观察。

第1次 2第2次4=2×2=22第3次 8=2 ×2 ×2=23第4次 16= 2 ×2 ×2 ×2=24…… 你们发现了什么？20个 第20次 2×2×······×2=220老师：在生活当中经常有这种多个相同的数相乘的情况，用我们原有的知识描述起来比较麻烦，所以有必要寻求一种新的方法，这就是我们今天所要探究的内容：有理数的乘方（第一课时）(多媒体展示课题)（设计意图）在实验材料中思考，在同伴的合作下完成学习任务，即使无法正确完成，但是探索过程是实实在在的。

《1.5.1 有理数的乘方》教学设计相乘为n2。

将2换做a.揭示课题并板书课题让学生通过观察发现乘方的意义实际就是几个相同因数的积，从而得到乘方运算的概念。

给出乘方概念。

对照各部分名称：指数、底数、幂出示练习并提问学生教师巡视学生的完成情况，对出现模糊概念的学生给适当的指导师强调：a.单独一个数或字母可看成是指数为1，但1省略不写b.底数是分数或负算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数学生口答把下列乘法式子写成乘方的形式：1、1×1×1×1×1×1×1= ；2、3×3×3×3×3= ；3、（－3）×（－3）×（－3）×（－3）= ；4、=⨯⨯⨯65656565；小试牛刀：（1） 5看成幂的话，底数是________,指数是________。

（2）在（-5）15中，底数是_______ ，指数是_______，（-5）15读作_______。

（3）在42-）（中，底数是_____ ，指数是_____，42-）（读作_____意义是_____,结果是_____。

（4）在42-中，底数是_____ ，指数名称，为后面习题巩固概念做知识储备。

通过简单的练习，巩固知识，理解概念。

学生容易在对底数和指数的概念理解这个地方出现问题，利用习题来提醒学生注意区分底数。

对于分数及负数做底数时，让同学准确把握易错点，从而达到突破重点难点的目的。

有理数的乘方1、求几个相同因数积的运算，叫做乘方。

乘方的结果叫做幂。

a×a×a×…×a=a n读作：a的n次方（a的n次幂）n个a2、正数的任何次幂都是正数。

负数的偶次幂是正数。

负数的奇次幂是负数。

0的任何正次幂都是0。

3、平方具有非负性六、课后反思有理数的乘方的教学目的是使学生明白乘方是一种运算，能理解幂、底数、指数的概念，能正确的书写，准确的运算，教学中不但要搞好中小学数学在《课标》体系上的衔接，还要注重学生的心理上、习惯上、方法上的衔接。

初中数学有理数的乘方性质有哪些有理数的乘方性质是数学中的重要概念之一。

它涉及到正数、负数和零的乘方规则，对于学习数学的初中生来说是基本且必须掌握的知识。

本文将详细介绍有理数的乘方性质，包括乘方的定义、乘方的性质、零的乘方、负数的乘方、乘方的分配律以及乘方的幂等性等。

一、乘方的定义有理数的乘方可以理解为连乘的操作，即将一个数连续乘以自身多次。

例如，对于一个有理数a和一个正整数n，a的n次方表示将a连乘n次，即a的n次方等于a × a × ... × a （共n个a相乘）。

二、乘方的性质有理数的乘方具有以下性质：1. 任何数的0次方都等于1，即a的0次方等于1（其中a不等于零）。

2. 任何非零数的1次方都等于它本身，即a的1次方等于a。

3. 任何数的负整数次方等于其倒数的相应正整数次方，即a的-n次方等于1/(a的n次方)（其中a不等于零，n为正整数）。

三、零的乘方零的任何正整数次方都等于零，即0的n次方等于0（其中n为正整数）。

四、负数的乘方负数的乘方存在两种情况：1. 如果指数是偶数，负数的指数次方是一个正数。

例如，(-a)的2次方等于a的2次方。

2. 如果指数是奇数，负数的指数次方是一个负数。

例如，(-a)的3次方等于-a的3次方。

五、乘方的分配律有理数的乘方满足分配律，即对于任意的有理数a、b和正整数n，(a × b)的n次方等于a的n次方× b的n次方。

这个性质说明乘方的运算可以与乘法运算结合，满足分配律。

六、乘方的幂等性任何数的1次方都等于它本身。

例如，对于任意的有理数a，a的1次方等于a。

这个性质说明任何数的1次方不改变其值。

综上所述，有理数的乘方性质包括乘方的定义、乘方的性质、零的乘方、负数的乘方、乘方的分配律以及乘方的幂等性。

这些性质是初中数学中重要的基础知识，对于理解和运用有理数的乘方运算有着重要的作用。