杨辉三角中的“几何图形”

2018年中考数学真题赏析「杨辉三角」1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”．（2018年孝感中考数学第15题）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”从图中取一列数：1，3，6，10，…，记a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…，那么a4+a11﹣2a10+10的值是．【答案】﹣24．【分析】解：由a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…，知an=1+2+3+…+n=(n(n+1))/2，∴a10=(10×11)/2=55、a11=(11×12)/2=66，则a4+a11﹣2a10+10=10+66﹣2×55+10=﹣24，故答案为：﹣24．（2018年宜昌中考数学第8题）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则a，b，c的值分别为A．a=1，b=6，c=15 B．a=6，b=15，c=20C．a=15，b=20，c=15 D．a=20，b=15，c=6【答案】B．【分析】解：根据图形得：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，∴a=1+5=6，b=5=10=15，c=10+10=20，答案为B．（2018年德州中考数学第11题）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”根据”杨辉三角”请计算（a+b）8的展开式中从左起第四项的系数为A．84 B．56 C．35 D．28【答案】B．【分析】解：找规律发现（a+b）4的第四项系数为4=3+1；（a+b）5的第四项系数为10=6+4；（a+b）6的第四项系数为20=10+10；（a+b）7的第四项系数为35=15+20；∴（a+b）8第四项系数为21+35=56．答案为B．。

一 杨辉三角的基本性质我们先来考察一下杨辉三角里面数字排列的规则. 一般的杨辉三角是如下的图形：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1………………………………………第 n 行 1，1,,,,,,2111111•••C ••••C ••C •••C n n r n r n n ------ 第n +1行 1,,,,,,,1121•••C ••••C •••C •C •n n r n n n -…………………………………………………这里，记号r n C 是用来表示下面的数：)!(!!!)1()1(r n r •n •r •r n n n C r n -=+--= ， 而记号n ！（同样r ！和（n -r ）！），我们知道它是代表从1到n 的连乘积n （n -1）（n -2）…3·2·1，称为n 的阶乘. 学过排列组合的读者还可以知道，r n C 也就是表示从n 件东西中取出r 件东西的组合数.从上面的图形中我们能看出什么呢？就已经写出的一些数目字来看，很容易发现这个三角形的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数都等于它肩上的两个数相加. 例如2=1+1，3=1+2，4=1+3，6=3+3，…. 其实杨辉三角正就是按照这个规则作成的. 在一般的情形，因为,)!(!!)]([)!(!)!1()!1(!)!1()!()!1()!1(111•C •r n r n ••r n r r n r n •r n r n r n r n C C r n r n r n =-=-+--=---+---=+--- 这说明了，上图中的任一数r n C 等于它肩上的两数11--r n C 和r n C 1-的和.为了方便起见，我们把本来没有意义的记号0n C 和n n C 1-令它们分别等于1和0，这样就可以把刚才得到的结果写成关系式：,),,2,1(,111••n •••••r ••C C C r n r n r n ==+--- 而称它为杨辉恒等式. 这是杨辉三角最基本的性质.对于杨辉三角的构成，还可以有一种有趣的看法.如图1，在一块倾斜的木板上钉上一些正六角形的小木块，在它们中间留下一些通道，从上部的漏斗直通到下部的长方框子. 把小弹子倒在漏斗里，它首先会通过中间的一个通道落到第二层六角板上面，以后，落到第二层中间一个六角板的左边或右边的两个竖直通道里去.再以后，它又会落到下一层的三个竖直通道之一里面去. 这里，如果要弹子落到最左边的通道里，那末它一定要是从上一层的左边通道里落下来的才行（1个可能情形）；同样，如果要它落在最右边的通道里，它也非要从上一层的右边通道里落下来不可（1个可能情形）；至于要它落在中间的通道里，那就无论它是从上一层的左边或右边落下来的都成（2个可能情形）。

高中数学知识点：杨辉三角问题解法(动画版)在高中数学知识点中，杨辉三角，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。

下面让我们更深入的了解一下高中数学知识点之杨辉三角的相关知识吧。

一、杨辉三角的性质前提：端点的数为1.1.每个数等于它上方两数之和。

2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。

3.第n行的数字有n项。

4.第n行数字和为2n-1。

5.第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。

6.第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，为组合数性质之一。

7.每个数字等于上一行的左右两个数字之和。

可用此性质写出整个杨辉三角。

即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。

即C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。

8.(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。

9.将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数;将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。

10.将各行数字相排列，可得11的n-1(n为行数)次方：……当n>5时会不符合这一条性质，此时应把第n行的最右面的数字”1”放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位......，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。

以n=11为例，第十一行的数为：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1，结果为25937424601=1110。

二、杨辉三角的解法1.解题法一那幺怎样才能显示成金字塔形状呢？问题在于如何将每行前的空格数与行。

杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

排列前10行：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 1第11 行：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1第12 行：1，11，55，165，330，462，462，330，165，55，11，1第13行：1，12，66，220，495，792，924，792，495，220，66，12，1第14行：1，13，78，286，715，1287，1716，1716，1287，715，286，78，13，12性质前提：端点的数为1.1、每个数等于它上方两数之和。

2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。

3、第n行的数字有n项。

4、第n行数字和为。

5、第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，即C(n-1,m-1)=C(n-1,n-m)（组合数性质性质6的公式表述之一）6、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。

可用此性质写出整个杨辉三角。

即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。

（公式见右图）7、第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)（n-1下标，m-1上标），即为从n-1个不同杨辉三角的组合数表示元素中取m-1个元素的组合数。

（见右图）组合数计算方法：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]8、(a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。

[1]9、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。