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课时跟踪训练(八) 杨辉三角1．已知(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 8等于( )A ．180B ．－180C ．45D ．－45 2．在(a －b )20的相同的项是( ) A ．第15项B ．第16项C ．第17项D ．第18项3．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值等于( )A ．64B ．32C ．63D ．314．已知关于x 的二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n 展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为( )A ．1B ．＋1C ．2D ．±25．在(1＋2x )7的展开式中，C 27是第________项的二项式系数，第3项的系数是________． 6．若(x ＋2)5的展开式第二项的值大于1 000，则实数x 的取值范围为________．7．已知⎝⎛⎭⎫x －2x 2n (n ∈N ＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1，求展开式中含x 32的项．8．已知(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9，求：(1)各项系数之和；(2)所有奇数项系数之和；(3)系数绝对值的和；(4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和．答 案1．选A a 8＝C 810·22＝180. 2．选B 第6项的二项式系数为C 520，又C 1520＝C 520，所以第16项符合条件．3．选B C 0n ＋2C 1n ＋…＋2n C 2n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，∴n ＝6，∴C 16＋C 36＋C 56＝32.4．选C 由题意知2n ＝32，n ＝5， T r ＋1＝C r 5(x )5－r a r ·x r 13－＝C r 5a r x 5526－r ，令52－56r ＝0，得r ＝3， ∴a 3C 35＝80，解得a ＝2.5．解析：由二项式系数的定义知C k n 为第k ＋1项的系数， ∴C 27为第3项的二项式系数．∵T 2＋1＝C 27·(2x )2＝22·C 27x 2，∴第3项的系数为22·C 27＝84.答案：3 846．解析：∵T 2＝C 15·(x )4·21＝10x 2>1 000，且x ≥0， ∴x >10.答案：(10，＋∞)7．由题意知第五项的系数为C 4n ·(－2)4，第三项的系数为C 2n ·(－2)2，则C 4n ·(－2)4C 2n ·(－2)2＝101， 解得n ＝8(n ＝－3舍去)．所以通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·⎝⎛⎭⎫－2x 2r ＝C r 8(－2)r ·x r 852－. 令8－5r 2＝32，得r ＝1. ∴展开式中含x 32的项为T 2＝－16x 32.8．解：(1)令x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1.(2)由(1)知，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1.令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59.将两式相加，可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12. (3)法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9， 令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝59. 法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9的展开式中各项的系数和，令x ＝1，y ＝1，得|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59.(4)奇数项的二项式系数之和为C 09＋C 29＋…＋C 89＝28.偶数项的二项式系数之和为C 19＋C 39＋…＋C 99＝28.。
⎭ 2 1.3.2 杨辉三角答案1.解析：因为 2n ＋1 为奇数，所以展开式中间两项的二项式系数最大，中间 两项的项数是 n ＋1，n ＋2.答案：C 2.解析：令等式中 x ＝－1 可得 a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝(1＋1)×(－1) 9＝－2， 故选 A.答案：A3.解析：因为奇数项的二项式系数和为 2n －1，所以 2n －1＝64，n ＝7，因此(1 －2x )n (1＋x )展开式中含 x 2 项的系数为 C 2(－2)2＋C 1(－2)＝70. 7 7答案：B4.解析：由已知(1＋2)n ＝3n ＝729，解得 n ＝6，则 C 1＋C 3＋C 5＝C 1＋C 3＋ C 51 6 n n n 6 6 6＝2×2 ＝32. 答案：B5.解析：T⎛ 1 ⎫ ＝C r ( 3x )n －r － ⎪ r ＋1n ⎝ ⎛ 1 ⎫r 3 2x ⎪ r ＝C r( 3)n －r ·(－1)r⎪ ·x n －r ·x － n 3 ⎪ ⎝ 2⎭ ⎛ 1 ⎫r 4 ＝C r ( 3)n －r － ⎪ xn － r ， n 令 n 4 3 ⎪ ⎝ ⎭ 4 －3r ＝0，得 n ＝3r .所以 n 取最小值为 4.答案：B6.解析：C 0＋C 2＋C 4＋…＝2n －1＝512＝29，所以 n ＝10，所以 T ＝C 7 a 3( a )713 ＝120a 2 .n n n 8 103 3 r（2－ 3）100－（2＋ 2 3）100 8 8 8 13答案：120a 27.解析：由题意可得：(1＋x ＋x 2)(1－x )10＝(1＋x ＋x 2)(x －1)10＝(x 3－1)(x － 1)9，即考查代数式：x 3(x －1)9－(x －1)9 中 x 5 的系数， 据此可得，系数为：C 7×(－1)7－C 4×(－1)4＝－162. 9 9答案：－1628.解析：由图表可知第 10 行的第 2 个数为：(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第 n 行的第 2 个数为：n （n －1） n 2－n ＋2 [1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋1＝ 9.解：(1)令 x ＝0，得 a 0＝2100.(2)令 x ＝1，2＋1＝ 2 . 得 a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100＝(2－ 3)100，①所 以 a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100＝(2－ 3)100－2100.(3)令 x ＝－1，得 a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝( 2＋ 3)100.②由①②联立，得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝ . 10.解：T 6＝C 5(2x )5，T ＝C 6(2x )6，依题意有 C 525＝C 626， n 7 n n n解得 n ＝8.所以(1＋2x )n 的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 4(2x )4＝1 120x 4.⎧⎪C k 2k ≥C k －12k －1， 设第(k ＋1)项系数最大，则有⎨ ⎪⎩C k 2k ≥C k ＋12k ＋1，8 8解得5≤k≤6.又因为k∈{0，1，2，…，8}，所以k＝5 或k＝6. 所以系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.。
高考数学复习专题 数阵与杨辉三角数阵与杨辉三角主要考查我们视图、寻找规律的能力，要解好此类题目我们一定要从多方位结合题目表述来寻找规律。
一、高考例题题目1:（2004上海春季高考）如图，在由二项式系数 所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14 与第15个数的比为3:2.【命题意图】本小题考查杨辉三角的性质。
【规律总结】杨辉三角的性质和二项式定理的内容是 相同的，注意通项共式的使用。
【标准答案】根据题目表述，该数阵满足杨辉三角形，即第n 行中从左至右第14与第15个数的比为13142343n n C n C =⇒=故答案为34.题目2:（2004北京春季高考）下表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，a ij表示位于第i 行第j 列的数。
（1）写出a 45的值； （2）写出a ij的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置。
（3）证明：正整数N 在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
【命题意图】本题考查数阵、等差数列、数的分解问题。
【规律总结】研究数阵我们必须要就其规律性，主要是从某列或是某行入手。
【标准答案】（I ）4945=a（2）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：)1(341-+=j a j第二行是首项为7，公差为5的等差数列：)1(572-+=j a j第i 行是首项为)1(34-+i ，公差为21i +的等差数列，因此ji ij j i i a ij ++=-++-+=2)1)(12()1(34要找2008在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i ，j ，使得20082=++j i ij 所以122008+-=i ij ，当1=i时，得669=j所以2008在等差数阵中的一个位置是第1行第669列（3）必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整数i ，j 使得N i j j =++()21 从而2122121N i j j +=+++()=++()()2121i j 即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
04数学文化 —— 杨辉三角（12题）1．观察如图类似杨辉三角的数表，则此表最后一个数是 982×101 ． 【考点】归纳推理；数列的应用．【分析】由第一行第一个数为1，第二行第一个数是1+2，第三行第一个数是3+22+1⋅，第四行第一个数是4+33+23+1⋅⋅，然后猜想第n 行第一数是()n C +1n C ++3C +2C +1C 1n 1n 21n 21n 11n 01n ⋅-⋅⋅⋅⋅-------n ，利用倒序相加法和二项式定理的性质，即可求得结果．【解析】：令1，n a 表示第n 行的第一个数， 则1=a 1，1， 2+1=a 1，2，3+22+1=3+2+2+1=a 1，3⋅，4+33+23+1=4+3+3+2+3+2+2+1=a 1，4⋅⋅，…所以()n C +﹣1n C ++3C +2C +1C =a 1﹣n 1﹣n 2﹣n 1﹣n 21﹣n 11﹣n 01﹣n 1，n ⋅⋅⋅⋅ ， 所以100C ++3C +2C +1C =a 99992991990991，100⋅⋅⋅⋅ ， 1C ++98C +99C +100C =a 0999799989999991，100⋅⋅⋅⋅ ， ∵()9899992991990991，1002101C 101=2a ⋅=++++C C C ， 故答案为982101⋅．【点评】此题是个中档题．本题是一道找规律的题目，要求学生的通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．此题要根据已知的数据发现各行的第一个数和第二个数的规律．杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．2．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头方向可以构成一个“锯齿形”的数列{}n a ：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n 项和为n S ，则19S 的值为 283 ．【考点】数列的求和．【分析】从杨辉三角的生成过程，m1n m n 1﹣m n C =C +C +，对该数列分奇偶讨论，求出数列的通项公式，解决S 19的值【解析】：从杨辉三角形的生成过程，可以得到这个数列的通项公式n a ； 当n 为偶数时，1+a =a n 2+n ，所以n a 是以3为首项，1为公差的等差数列，所以24+=n an ， n 为奇数时，()3n a +a =a 1-n n 2+n ≥，即232+=-+n a a n n ， 所以3=a ﹣ a 35，4=a ﹣ a 57 …212+=--n a a n n ，所以()()831++=n n a n 而1=a 1满足上式 故n 为奇数是，()()831++=n n a n 。
杨辉三角和二项式系数的性质相关精选题目（附答案）(1)杨辉三角的特点①在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等； ②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n ＋1＝C r －1n ＋C r n .(2)二项式系数的性质 ①对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． ②增减性与最大值：当k ＜n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数C n2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数C n －12n ，C n ＋12n 相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.②C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 一、求二项展开式中系数或二项式系数的最大项1．(1)(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为( )A ．第5项B ．第6项或第7项C ．第6项D ．第7项(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 10的展开式中，系数最大的项为( ) A ．第6项 B ．第3项C ．第3项和第6项D ．第5项和第7项(3)(1－x )13的展开式中系数最小的项为( )A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项解析： (1)T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n ×25＝C 6n ×26⇒n ＝8. 所以(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4.故选A.(2)展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．由于二项式系数的最大项为T 6，且T 6＝C 510x 5⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－C 510中的二项式系数等于项的系数的相反数，此时T 6的系数最小．而T 5＝C 410x 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 4＝C 410x 2， T 7＝C 610x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 6＝C 610x －2，且C 410＝C 610. 所以系数最大的项为第5项和第7项．故选D.(3)展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大． 由于二项展开式中二项式系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．所以系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．故选C.答案：(1)A (2)D (3)C 注：(1)根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大；(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第r ＋1项的系数最大，则与之相邻两项(第r 项，第r ＋2项)的系数均不大于第r ＋1项的系数，由此列不等式组可确定r 的范围，再依据r ∈N *来确定r 的值，即可求出最大项．2．(1－x )2n －1展开式中，二项式系数最大的项是( ) A ．第n －1项 B ．第n 项C ．第n －1项与第n ＋1项D ．第n 项与第n ＋1项解析：选D 由二项式系数的性质得，二项式系数最大为C2n －1－122n －1＝C n －12n －1，C2n －1＋122n －1＝C n2n －1，分别为第n ，n ＋1项． 3.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 2n 展开式的第6项系数最大，则其常数项为( ) A ．120 B ．252 C ．210 D ．45解析：选C 由题意，C n 2n ＝C 52n ，易知n ＝5，由T r ＋1＝C r 10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r 10x 30－5r 6，令30－5r ＝0，得r ＝6，故其常数项为C 610＝210.二：展开式的系数和1．若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. 解析： (1)令x ＝0，则a 0＝－1，令x ＝1，则a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128.① 所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝129. (2)令x ＝－1，则－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，② 由①－②2得：a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝12[128－(－4)7]＝8 256. (3)由①＋②2得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝12[128＋(－4)7]＝－8 128. (4)法一：∵(3x －1)7展开式中a 0，a 2，a 4，a 6均小于零，a 1，a 3，a 5，a 7均大于零，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7－(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝8 256－(－8 128)＝16 384. 法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7| 即为(1＋3x )7展开式中各项的系数和，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(1＋3)7＝47＝16 384. 注：“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．2．在(1－3x )12的展开式中．求： (1)各二项式系数之和； (2)奇数项二项式系数和； (3)偶数项二项式系数和．解：(1)各二项式系数和为C 012＋C 112＋C 212＋…＋C 1212＝212＝4 096. (2)奇数项二项式系数和为C 012＋C 212＋C 412＋…＋C 1212＝211＝2 048. (3)偶数项二项式系数和为C 112＋C 312＋C 512＋…＋C 1112＝211＝2 048.三、二项式系数性质的应用1．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n .(1)若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解析：(1)展开式中二项式系数最大的项应是中间项，并要根据n 的奇偶性来确定是中间两项还是一项．(2)系数最大的系数，应满足不小于前一项的系数，也不小于后一项的系数，即设第r ＋1项的系数为A r ＋1，则满足不等式组⎩⎨⎧A r ＋1≥A r ，A r ＋1≥A r ＋2，由不等式组解出r 的值．(1)由题意，得C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0， ∴n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，T 4的系数为C 37×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×23＝352，T 5的系数为C 47×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×24＝70. 故展开式中二项式系数最大项的系数分别为352，70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8， ∴T 8的系数为C 714×⎝⎛⎭⎪⎫127×27＝3 432. 故展开式中二项式系数最大项的系数为3 432.(2)由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，解得n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设展开式中第r ＋1项的系数最大， 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·(1＋4x )12，则⎩⎨⎧C r 12·4r ≥C r －112·4r －1，C r 12·4r ≥C r ＋112·4r ＋1，∴9.4≤r ≤10.4. 又r ∈{0,1,2，…，12}，∴r ＝10，∴系数最大的项为T 11，且T 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·C 1012·(4x )10＝16 896x 10. 注：求展开式中系数的最值的方法：(1)若展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等，可转化为确定二项式系数的最值来解决．(2)若展开式的系数为f (r )＝C r n ·m g (r )的形式，如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r ＋1项系数最大，应用⎩⎨⎧A r ＋1≥A r ＋2，A r ＋1≥A r解出r ，即得系数最大项．(3)若展开式的项数较少或转化为讨论较小项的系数的类型，可采用逐个作差(作商)比较确定．2．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大．(1)求该展开式中所有有理项的项数；(2)求该展开式中系数最大的项． 解：(1)由题意，可知n2＋1＝6，∴n ＝10. ∴T r ＋1＝C r 10x10－r 22r x －2r ＝C r 102rx 10－5r 2，当r ＝0,2,4,6,8,10时，10－5r2∈Z ，∴展开式中所有有理项的项数为6. (2)设第T r ＋1项的系数最大，则⎩⎨⎧C r 102r ≥C r －1102r －1，C r 102r ≥C r ＋1102r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧2r ≥111－r ，110－r ≥2r ＋1.解得193≤r ≤223. ∵r ∈N ，∴r ＝7.∴展开式中系数最大的项为T 8＝C 71027x －252＝15 360x －252.巩固练习：（基础题）题组1 求二项展开式中系数或二项式系数的最大项 1.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是( ) A ．第3项 B ．第6项 C ．第6、7项 D ．第5、7项解析：选C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中第11＋12项和11＋12＋1项，即第6、7项的二项式系数相等，且最大．2．在(1＋x )n (n ∈N *)的展开式中，若只有x 5的系数最大，则n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11解析：选C 由题意，展开式共有11项，所以n ＝10. 3．在(1－x )201的展开式中，系数的最大值是( )A．C99201B．C100201C．C101201D．C102201＝C r201(－x)r＝(－1)r C r201解析：选B在(1－x)201的展开式中，第r＋1项为T r＋1x r，所以系数的最大值是C100201，选B.4．下列关于(a＋b)10的说法：①展开式中的各二项式系数之和为1 024；②展开式中第6项的二项式系数最大；③展开式中第5项与第7项的二项式系数最大；④展开式中第6项的系数最小．其中正确说法的个数为________．解析：根据二项式系数的性质，知(a＋b)10的展开式中的各二项式系数之和为210＝1 024，故说法①正确；(a＋b)10的展开式中，二项式系数最大的项是中间一项，即第6项的二项式系数最大，故说法②正确，说法③错误；易知展开式中各项的系数等于二项式系数，故第6项的系数最大，故说法④错误．答案：2题组2展开式的系数和5．(1＋x)n(3－x)的展开式中各项系数的和为1 024，则n的值为()A．8 B．9C．10 D．11解析：选B由题意知(1＋1)n(3－1)＝1 024，即2n＋1＝1 024，所以n＝9.故选B.6．(C14x＋C24x2＋C34x3＋C44x4)2的展开式中所有项的系数和为()A．64 B．224C．225 D．256解析：选C令x＝1，原式＝(C14＋C24＋C34＋C44)2＝(24－1)2＝225，故选C.7．已知(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)n a n＝()A．32 B．64C．128 D．256解析：选D由题意可得C1n＝C3n，∴n＝4.令x＝－1，则(3－x)n＝(3＋1)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4＝256.∴a0－a1＋a2＋…＋(－1)n a n＝256.8．设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100，求下列各式的值： (1)a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2； (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|. 解：(1)令x ＝0，可得a 0＝2100. (2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，(*) 所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100， (3)令x ＝－1.可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100. 与(*)式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)]＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100)＝[(2－3)(2＋3)]100＝1100＝1.(5)∵T r ＋1＝(－1)r C r 1002100－r (3)r x r ， ∴a 2r －1＜0(r ∈N *)．∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 100|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100. 题组3 二项式系数性质的应用9．已知(1＋x )10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10，若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是( )A ．6B ．7C ．8D ．5解析：选A 由二项式定理，知a k ＝C k －110(k ＝1,2,3，…，11)．又(1＋x )10的展开式中二项式系数最大的项是第6项，所以k 的最大值为6.10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n 的展开式的各项系数之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫43b －15b 5的展开式中的常数项，求：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n展开式的二项式系数和； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n展开式中a －1项的二项式系数． 解：依题意，令a ＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3a－3a n展开式中各项系数和为(3－1)n ＝2n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫43b －15b 5展开式中的通项为T r ＋1＝C r 5(43b )5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15b r ＝(－1)r C r 545－r ·5－r 2b 10－5r6.若T r ＋1为常数项，则10－5r6＝0，即r ＝2，故常数项为T 3＝(－1)2C 25·43·5－1＝27， 于是有2n ＝27，得n ＝7.(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n展开式的二项式系数和为2n ＝27＝128. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a 7的通项为T r ＋1＝C r 7⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 7－r ·(－3a )r ＝C r 7(－1)r ·37－r ·a 5r －216，令5r －216＝－1，得r ＝3，∴所求a －1项的二项式系数为C 37＝35.巩固练习（提升题)1．已知(x －1)n 的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为( )A ．－35x 4B ．35x 3C ．－35x 4和35x 3D ．－35x 3和35x 4解析：选C 由已知，可得2n －1＝64，解得n ＝7，(x －1)7的展开式中共有8项．中间项为第4项与第5项，T 4＝C 37x 4(－1)3＝－35x 4，T 5＝C 47x 3(－1)4＝35x 3，故选C.2．已知(1＋2x )2n 的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是( )A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项解析：选B 设(1＋2x )2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 2n －1x 2n －1＋a 2n x 2n ，则展开式中奇次项系数之和就是a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1.分别令x ＝1，x ＝－1，得⎩⎨⎧a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝32n ，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2n －1＋a 2n ＝1，两式相减，得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝32n －12.由已知，得32n －12＝364，∴32n ＝729＝36，即n ＝3.(1＋2x )2n ＝(1＋2x )6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，选B.3．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝( )A ．32B ．1C ．－243D ．1或－243解析：选B (a －x )5展开式的通项为T k ＋1＝(－1)k ·C k 5a 5－k x k ，令k ＝2，得a 2＝(－1)2C 25a 3＝80，解得a ＝2，即(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.4．若(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝________.解析：令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10， 令x ＝－1得：a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝(2＋1)10， 故(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10)＝(2－1)10()2＋110＝1.答案：15．如图，在由二项式系数构成的“杨辉三角”中，第________行中从左至右数第14个数与第15个数的比为2∶3.解析：由已知，得C n C 14n＝23，化简得14n －13＝23，解得n ＝34. 答案：346．将⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2n (n ≥2，n ∈N *)的展开式中x －4的系数记为a n ，求1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 017的值．解：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2r ＝(－1)r C r n x －2r ， 由题意可知r ＝2，此时a n ＝C 2n ＝n (n －1)2， 所以1a n ＝2n (n －1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ， 所以1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 017＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016－12 017 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 017＝4 0322 017. 7．已知(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项系数和比二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解：令x ＝1得展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝4n .又展开式中二项式系数和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ，由题意有4n －2n ＝992.即(2n )2－2n －992＝0，(2n －32)(2n ＋31)＝0.所以2n ＝－31(舍去)或2n ＝32.所以n ＝5.(1)因为n ＝5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为第三、四两项，它们是T 3＝C 25(3x 2)3·(3x 2)2＝90x 6. T 4＝C 35(3x 2)2(3x 2)3＝270x 223. (2)设展开式中第r ＋1项的系数最大，又T r ＋1＝C r 5(3x 2)5－r ·(3x 2)r ＝C r 53r x 10＋4r 3，得⎩⎨⎧ C r 5·3r ≥C r －15·3r －1C r 5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3r ≥16－r 15－r ≥3r ＋1⇒72≤r ≤92.又因为r ∈N *，所以r ＝4，所以展开式中第5项系数最大．T 5＝C 4534x 263＝405x 263.。
1.3.2杨辉三角学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用.知识点“杨辉三角”与二项式系数的性质1.二项式系数表及特征当n依次取1,2,3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数如图所示：图中所示的表叫做二项式系数表，它有这样的规律：(1)每一行的两端都是1；(2)除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，即C m n＋1＝C m－1＋C m n.n2.二项式系数的性质1.杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列.(×)2.二项式展开式的二项式系数和为C1n＋C2n＋…＋C n n.(×)3.二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.(×)一、与杨辉三角有关的问题例1 如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n 项和为S n ，求S 16的值.考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 解 由题意及杨辉三角的特点可得S 16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)＝(C 22＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋…＋(C 29＋C 19) ＝(C 22＋C 23＋C 24＋...＋C 29)＋(2＋3＋ (9)＝C 310＋8×(2＋9)2＝164. 引申探究本例条件不变，若改为求S 21，则结果如何？解 S 21＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋…＋(55＋11)＋66＝(C 22＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋…＋(C 211＋C 111)＋C 212＝(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 212)＋(2＋3＋ (11)＝C 313＋(2＋11)×102＝286＋65＝351. 反思感悟 解决与杨辉三角有关问题的一般思路是：(1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系.(2)然后将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解.(3)注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察.跟踪训练1 如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 答案 34解析 由题意设第n 行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以C 13n ∶C 14n＝2∶3，即14n －13＝23，解得n ＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比为2∶3. 二、二项式系数和与项的系数和问题例2 设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100·x 100，求下列各式的值. (1)a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2； (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|. 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 (1)令x ＝0，则展开式为a 0＝2100. (2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，① 所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100. (3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100.② 与①式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)由①②可得，(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 100)＝(2－3)100·(2＋3)100＝1.(5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|，即(2＋3x )100的展开式中各项系数的和，在(2＋3x )100的展开式中，令x ＝1，可得各项系数的和为(2＋3)100. 反思感悟 二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N ＋)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N ＋)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练2 在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和. 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝1，y ＝1，所以a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)令x ＝1，y ＝－1，可得 a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59， 又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，将两式相加可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即所有奇数项系数之和为59－12.三、二项式系数性质的综合应用例3 在⎝⎛⎭⎫x －2x 28的展开式中： (1)系数的绝对值最大的项是第几项？ (2)求二项式系数最大的项； (3)求系数最大的项； (4)求系数最小的项.考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解T r ＋1＝C r 8·(x )8－r·⎝⎛⎭⎫－2x 2r ＝(－1)r ·C r 8·2r ·542rx -. (1)设第r ＋1项系数的绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，∴⎩⎨⎧18－r ≥2r ＋1，2r ≥19－r ，解得5≤r ≤6.又0≤r ≤8且r ∈N ，∴r ＝5或r ＝6. 故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项. (2)二项式系数最大的项为中间项，即第5项， ∴T 5＝C 48·24·2042x-＝1 120x －6.(3)由(1)知展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正，∴系数最大的项为T 7＝C 68·26·x －11＝1 792x－11.(4)系数最小的项为T 6＝－C 58·25·172x -＝－1 792172x-.反思感悟 (1)求二项式系数最大的项：①若n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫即第n2＋1项的二项式系数最大； ②若n 为奇数，则中间两项⎝⎛⎭⎫即第n ＋12项与第n ＋12＋1项的二项式系数相等且最大.(2)求展开式中系数最大的项：如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1，A r ≥A r ＋1，从而解得r 即可. (3)把系数最大项问题通过分析运算得到正确结论，体现了数学运算的核心素养. 跟踪训练3 写出(x －y )11的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)项的系数绝对值最大的项； (3)项的系数最大的项和系数最小的项； (4)二项式系数的和； (5)各项系数的和.考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 (1)二项式系数最大的项为中间两项：T 6＝－C 511x 6y 5，T 7＝C 611x 5y 6.(2)(x －y )11展开式的通项为T r＋1＝C r11x11－r(－y)r＝C r11(－1)r x11－r y r，∴项的系数的绝对值为|C r11·(－1)r|＝C r11，∴项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，T6＝－C511x6y5，T7＝C611x5y6.(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等，又∵第6项系数为负，第7项系数为正，故项的系数最大的项为T7＝C611x5y6，项的系数最小的项为T6＝－C511x6y5.(4)展开式中，二项式系数的和为C011＋C111＋C211＋…＋C1111＝211.(5)令x＝y＝1，得展开式中各项的系数和为C011－C111＋C211－…－C1111＝(1－1)11＝0.1.在(1＋x)n(n∈N＋)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n等于()A.8B.9C.10D.11考点二项式系数的性质题点用二项式系数的性质计算答案 C解析由题意知(1＋x)n的二项展开式中，x5的系数就是第6项的系数，因为只有x5的系数最大，所以n＝10.2.若(x＋3y)n的展开式中所有项的系数之和等于(7a＋b)10的展开式的二项式系数之和，则n的值为()A.15B.10C.8D.5考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案 D解析令x＝y＝1，得(x＋3y)n的展开式中所有项的系数和为4n，(7a＋b)10的展开式中所有项的二项式系数之和为210，故4n＝210，即n＝5.3.(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是()A.n，n＋1B.n－1，nC.n＋1，n＋2D.n＋2，n＋3考点展开式中系数最大(小)的项问题题点求二项式系数最大(小)的项答案 C解析(1＋x)2n＋1展开式有2n＋2项.系数最大的项是中间两项，是第n＋1项与第n＋2项，.它们的二项式系数为C n2n＋1与C n＋12n＋14.设(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3的值为________. 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 －15解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.①又T r ＋1＝C r 4(2x )4－r (－1)r 3r ， ∴当r ＝0时，x 4的系数a 4＝16.② 由①－②，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＝－15.5.已知⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 展开式中的二项式系数的和比(3a ＋2b )7展开式的二项式系数的和大128，求⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 展开式中的系数最大的项和系数最小的项. 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 2n －27＝128，n ＝8，⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的通项T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 8x16－3r.当r ＝4时，展开式中的系数最大，即T 5＝70x 4为展开式中的系数最大的项；当r ＝3或5时，展开式中的系数最小，即T 4＝－56x 7，T 6＝－56x 为展开式中的系数最小的项.1.二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出.2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和的特征来确定.一般地对字母赋的值为0,1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握.3.注意以下两点(1)区分开二项式系数与项的系数.(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k ∈{0,1,2，…，n }.。
杨辉三角高中例题及其解析1. 引言说到杨辉三角，大家可能会想，“这玩意儿有什么用啊？”但其实，它可不是只会在数学课上转圈圈的无聊东西，简直就是个数学宝藏！想象一下，一个看似简单的三角形，里面藏着的却是无穷无尽的组合和规律，真是让人拍案叫绝。
今天我们就来聊聊这个神奇的东西，看看它如何影响我们的日常生活和学习。
2. 杨辉三角的构建2.1 基础知识首先，杨辉三角是通过一种简单的方式构建出来的：每个数字都是它上面两个数字的和。
比如，第一行只有一个“1”，第二行就是两个“1”，第三行就变成了“1, 2,1”，依此类推。
就像一颗种子，慢慢长成一棵大树，枝繁叶茂，层层递进，真的是看着就让人心情大好。
2.2 规律揭示你知道吗？杨辉三角里面还藏着许多数学规律！比如说，三角形的每一行对应着二项式定理的系数，这些系数在组合数学中可是大有用处的。
有时候就像是在打麻将，抓到的牌越多，组合的可能性就越多，运气好的人总能组合出大胡来！是不是听着就很带感？3. 杨辉三角的应用3.1 组合问题好吧，接下来我们聊聊它的应用。
杨辉三角在组合问题上可谓是“如鱼得水”。
比如说，假设你有五种不同的水果，想从中选出三种来做沙拉，杨辉三角就能帮你轻松算出组合数。
用数学术语来说，就是“从五选三”的组合数，这在三角里就是“10”。
这下你再也不怕在超市里纠结该买哪个水果了！3.2 概率问题而且，它在概率问题上也是个高手。
假设你正在玩一个简单的游戏，随机抽取一个球，有三种颜色的球，你想知道抽到某种颜色的概率。
通过杨辉三角的帮助，你可以快速算出不同颜色球的组合，来制定最佳的抽取策略。
就好比在街上玩飞镖，选好目标才能一击必中，当然得事先做点功课啦！4. 经典例题解析让我们通过一个例题来深入了解一下杨辉三角的妙用。
比如说，考题问：“从八个人中选出三个人，一共有多少种选法？”如果不看三角，我们可能得算个半天，但用杨辉三角，我们可以直接找到第八行的第三个数，答案就是56。
杨辉三角与路径问题探究内容全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：杨辉三角是一种数学结构，由于其独特的规律和性质，一直以来都在数学领域内备受关注。
它的发现可以追溯到公元四世纪的中国，由数学家杨辉所发现，故而得名为“杨辉三角”。
杨辉三角是一种由一列数字组成的三角形，每个数字是上一行相邻两个数字的和。
这个神奇的数学三角形在数学内部有着许多应用，其中之一就是路径问题的探究。
路径问题是指在一个网格或者图形中，通过某种特定规则，从起点出发，沿着边缘或者其他限定条件，到达终点的问题。
在实际应用中，路径问题常常出现在交通规划、游戏设计、网络通信等方面。
而杨辉三角与路径问题的关系，正是在探究不同规则下路径的数量、路径的方式以及路径的可能性。
我们来看杨辉三角中的数值规律对路径问题的应用。
在杨辉三角中，每个数字都是上一行相邻两个数字的和，这一规律可以帮助我们求解路径问题中的路径条数。
在一个网格中，从左上角到右下角的路径，我们可以将网格中纵向和横向的路径数进行求和，就可以得到总路径数。
这个求解过程的本质，就是利用了杨辉三角中数值的累加特性，从而得到路径数量的结果。
这种方法可以帮助我们快速得到路径问题的答案，是一种有效的计算路径数量的手段。
杨辉三角中的对称性和规则性也可以为路径问题的解决提供思路。
在杨辉三角中，每个数字都有其特定的位置和规律，而且整个三角形是对称的。
这种对称性和规则性可以帮助我们在路径问题中找到一定的规律，从而更好地解决问题。
在某些网格路径问题中，我们可以利用杨辉三角的对称性，将问题简化成对称的结构，从而减少计算量或者找到更加简便的解法。
这种思维方式可以为我们解决路径问题提供新的角度和方法，使得问题更容易解决。
第二篇示例：杨辉三角是中国古代数学家杨辉创造的一种数学结构，由数字排列组成的三角形。
这种数学结构在数学上有着非常广泛的应用，特别是在组合数学和概率论领域。
除了在数学理论上的应用，杨辉三角还可以用来解决实际生活中的问题，比如路径问题。
