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三角恒等变换所有公式
三角恒等变换是一种重要的数学思想，它是一种重要的数学变换，它可以将函数或形式转换成另一种形式。
它具有良好的几何意义，包括积分，平方，幂和三角函数。
这种变换可以帮助我们理解数学概念，解决数学问题，更好地应用数学的思想。
三角恒等变换的公式有很多种，其中最受欢迎的是“反三角变换”，它的公式如下：
反三角变换：f(x) = sinx和 cosx反三角变换是
Acos(x)+Bsin(x)。
它的反三角变换表示式是：
Acos(x)+Bsin(x) = f(x)
利用反三角变换可以将函数 f(x)换成 Acos(x)+Bsin(x)，其中A和B是任意实数。
也可以把它看成是三角函数的线性组合。
反射恒等变换：反射恒等变换是另一种常用的三角变换，它的公式是：
Csin(x)+Scos(x) = f(x)
反射恒等变换表示上式函数 f(x)以用 Csin(x)+Scos(x)表示，其中C和S是任意实数。
反射恒等变换也可以看成是三角函数的线性组合。
另外，三角恒等变换还有其他公式，例如求导公式：
f(x)=Acosx + Bsinx
反三角变换也可以应用于求积分，其求积分公式为：
F(x) = Asin(x)+Bcos(x)
F(x) =f (x) dx
上述就是三角恒等变换的所有公式，它们是数学的重要变换，有着无限的应用空间，被广泛应用在科学中和工程中。
他可以帮助我们更快地理解数学概念，解决数学问题，更好地运用数学思想。
第三章三角恒等变换（一）三角恒等变换常用公式 1．公式βα+C ：_____________________________________)cos(=+βα；2．公式βα-C ：_____________________________________)cos(=-βα。
3．公式βα+S ：_____________________________________)sin(=+βα；4．公式βα-S ：_____________________________________)sin(=-βα；5．公式βα+T ：___________________)tan(=+βα。
6．公式βα-T ：___________________)tan(=-βα。
7．公式α2S ：_____________2sin =α。
8．公式α2C ：________________________________________2cos ===α。
9．公式α2T ：________________2tan =α。
10．将α2sin 1±化为一个平方式：_________________________。
11．二倍角公式α2C 的几种变形形式：⑴=+α2cos 1_______________； ⑵=-α2cos 1_______________；⑶降幂公式=α2sin ________________； ⑷降幂公式=α2cos ________________。
12．将ααcos sin b a +化为一个角的一个三角函数___________________________。
（二）三角恒等变换常用方法利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的求值、化简、证明问题一般可用“差异分析法”。
所谓“差异分析”，就是考察所给问题中1．角的差异；2．函数名称的差异；3．运算符号的差异。
分析这些差异的联系，从解决差异入手，施行适当的变换（角的变换、函数名的变换、运算符号的变换等），不断消除差异，从而达到目标。
三角恒等变换知识点总结详解三角恒等变换是指一些与三角函数相关的恒等式或等式组，通过这些等式可以将一个三角函数表达式转化为另一个三角函数表达式，或者简化一个复杂的三角函数表达式。
这些恒等变换在解决三角函数相关问题时非常有用。
下面是对一些常见的三角恒等变换进行总结和详解。
1.正弦函数的恒等变换：- 正弦函数的定义：对于任意实数x，sin(x) = y，其中y为[-1, 1]之间的值。
- 正弦函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)，即正弦函数以2π为周期。
- 正弦函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，即正弦函数是奇函数。
2.余弦函数的恒等变换：- 余弦函数的定义：对于任意实数x，cos(x) = y，其中y为[-1, 1]之间的值。
- 余弦函数的周期性：cos(x + 2π) = cos(x)，即余弦函数以2π为周期。
- 余弦函数的奇偶性：cos(-x) = cos(x)，即余弦函数是偶函数。
3.正切函数的恒等变换：- 正切函数的定义：对于任意实数x（除了例如π/2 + kπ，其中k 为整数），tan(x) = y，其中y为整个实数轴上的值。
- 正切函数的周期性：tan(x + π) = tan(x)，即正切函数以π为周期。
- 正切函数的奇偶性：tan(-x) = -tan(x)，即正切函数是奇函数。
4.三角函数的平方和差公式：- sin²(x) + cos²(x) = 1，即正弦函数的平方与余弦函数的平方和等于1- sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，即正弦函数的和的正弦等于两个正弦函数的乘积和。
- cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)，即余弦函数的和的余弦等于两个余弦函数的乘积差。
- sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)，即正弦函数的差的正弦等于两个正弦函数的乘积差。
三角恒等变换的概念与性质三角恒等变换是指具有相同数学结构的两个三角形之间的一系列等式和比例关系。
在三角学中，恒等变换是非常重要的概念，它不仅可以帮助我们简化计算，还可以帮助我们发现三角形的各种性质和关系。
本文将介绍三角恒等变换的概念和一些常见的性质。
一、三角恒等变换的概念三角恒等变换是由三角函数的基本性质推导出来的一系列等式和比例关系。
它可以将一个三角函数的表达式变换为另一个等价的表达式，或者将一个三角函数与其他三角函数进行关联。
三角恒等变换的概念是基于三角函数的周期性和对称性的特点而建立的。
根据三角函数的定义，我们可以得到很多关于三角函数之间的等式和比例关系，这些等式和比例关系就是三角恒等变换的基础。
通过利用这些等式和比例关系，我们可以进行三角函数的简化、求值和证明等操作。
二、常见的三角恒等变换1. 倍角公式：a) 正弦函数的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθb) 余弦函数的倍角公式：cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ)c) 正切函数的倍角公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2(θ))2. 半角公式：a) 正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = √[(1 - cosθ) / 2]b) 余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = √[(1 + cosθ) / 2]c) 正切函数的半角公式：tan(θ/2) = sinθ / (1 + cosθ)3. 和差公式：a) 正弦函数的和差公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβb) 余弦函数的和差公式：cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβc) 正切函数的和差公式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)4. 三角函数的倒数关系：a) sinθ = 1 / cscθb) cosθ = 1 / secθc) tanθ = 1 / cotθ以上仅是一些常见的三角恒等变换，实际上还有更多的变换关系可以推导得到。
三角恒等变换技巧三角恒等变换是指一系列三角函数的等价关系，通过这些等价关系，可以将复杂的三角函数表达式简化为简单的形式，从而更容易进行求解和计算。
在解三角函数方程、化简三角函数表达式、证明三角恒等式等问题中，三角恒等变换技巧是非常重要的。
1.基本恒等式：基本恒等式是指最基本的三角函数之间的等价关系，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
（1）正弦函数的基本恒等式：sin²θ + cos²θ = 1sin(-θ) = -sinθsin(π/2 - θ) = cosθsin(π/2 + θ) = cosθsin(π - θ) = sinθsin(π + θ) = -sinθsin(2θ) = 2sinθcosθ（2）余弦函数的基本恒等式：cos²θ + sin²θ = 1cos(-θ) = cosθcos(π/2 - θ) = sinθcos(π/2 + θ) = -sinθcos(π - θ) = -cosθcos(π + θ) = -cosθcos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ（3）正切函数的基本恒等式：ta nθ = sinθ/cosθtan(-θ) = -tanθtan(π/2 - θ) = 1/tanθtan(π/2 + θ) = -1/tanθtan(π - θ) = -tanθtan(π + θ) = tanθtan(2θ) = 2tanθ/(1 - tan²θ)2.和差角公式：和差角公式是指可以将两个三角函数的和、差转化为一个三角函数的等价关系。
（1）正弦函数的和差角公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ（2）余弦函数的和差角公式：cos(α ±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ（3）正切函数的和差角公式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)3.二倍角公式：二倍角公式是指可以将一个三角函数的二倍角转化为一个三角函数的等价关系。
三角恒等变换的证明在几何学和三角学中，恒等变换是指在三角函数中等价的形式，这些形式可以通过变换互相转化。
在本文中，我们将证明三角恒等变换的一些常见形式。
1. 正弦恒等变换对于一个任意的角度θ，我们有以下正弦恒等变换：正弦函数的倒数等于余弦函数：csc(θ) = 1/sin(θ)余弦函数的倒数等于正弦函数：sec(θ) = 1/cos(θ)正切函数除以余切函数等于正弦函数：cot(θ) = cos(θ)/sin(θ)证明：考虑一个直角三角形，其中θ 是一个锐角。
根据三角函数的定义，我们可以得出以下恒等关系：正弦函数定义为：sin(θ) = 对边/斜边余弦函数定义为：cos(θ) = 邻边/斜边正切函数定义为：tan(θ) = 对边/邻边余切函数定义为：cot(θ) = 邻边/对边根据直角三角形的勾股定理：斜边的平方 = 对边的平方 + 邻边的平方接下来，我们将根据这些定义和恒等关系证明上述恒等变换。
1.1 正弦函数的倒数等于余弦函数：由正弦函数的定义可得：sin(θ) = 对边/斜边对边/斜边 = 1/斜边/对边= 1/cos(θ)因此，csc(θ) = 1/sin(θ)1.2 余弦函数的倒数等于正弦函数：由余弦函数的定义可得：cos(θ) = 邻边/斜边邻边/斜边 = 1/斜边/邻边= 1/sin(θ)因此，sec(θ) = 1/cos(θ)1.3 正切函数除以余切函数等于正弦函数：由正切函数和余切函数的定义可得：tan(θ) = 对边/邻边，cot(θ) = 邻边/对边tan(θ)/cot(θ) = (对边/邻边)/(邻边/对边) = 对边/邻边 * 对边/邻边 = (对边^2)/(邻边^2)使用直角三角形的勾股定理：(对边^2)/(邻边^2) = (邻边^2 + 对边^2)/(邻边^2) = (邻边^2/邻边^2) + (对边^2/邻边^2) = 1 + (对边^2/邻边^2) = sin^2(θ)/cos^2(θ)根据sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1，我们得出：tan(θ)/cot(θ) =sin^2(θ)/cos^2(θ) = sin^2(θ) / (1 - sin^2(θ)) = sin(θ)以上就是正弦恒等变换的证明。
三角恒等变换一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:正:{ EMBED Equation.DSMT4 |()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±; 逆:,其中.正:; 逆:,其中.正:; 变:.正:; 变:正:;变:(降角升幂公式),逆:(降幂升角公式); (半角正切)典例:(1)下列各式中,值为的是（ ） A. B. C. D.(2)已知,那么的值为 (3)的值是 ;二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点通常是分式要因式分解、通分后约分、根号下配方后开方.基本的技巧有:★★★1.巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如:,, ,,等.典例:(1)已知,,那么的值是 ;(2)已知,且,,求的值 ;(3)若为锐角,,则与的函数关系为 .2.三角函数名互化(切化弦),典例:(1)求值= ; (2)已知,求的值3.公式变形使用（.典例:(1)已知A 、B 为锐角,且满足,则＝ ;(2)中,,,则此三角形是 三角形.4.三角函数次数的降升(降幂公式:,与升幂公式:,).典例:(1)若,化简为 ;(2)的单调递增区间为 .5.式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同).典例:(1)= ;(2)求证:; (3)化简:= .6.常值变换主要指“1”的变换（等）典例:已知,求= .7.正余弦“三兄妹—”的内存联系—“知一求二”.典例:(1)若 ,则 ,特别提醒:这里;(2)若,求的值.;(3)已知,试用表示的值三、辅助角公式中辅助角的确定:(其中角所在的象限由a , b 的符号确定,角的值由确定)在求最值、化简时起作用.★★★典例:(1)若方程有实数解,则的取值范围是 .(2)当函数取得最大值时,的值是 ;(3)如果是奇函数,则= ;(4)求值: .[基础训练A 组]一、选择题1 已知，，则（ ）A B C D2 函数的最小正周期是（ ）A B C D3 在△ABC 中，，则△ABC 为（ ）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 无法判定4 设，，，则大小关系（ ）A B C D5 函数是（ ）A 周期为的奇函数B 周期为的偶函数C 周期为的奇函数D 周期为的偶函数6 已知，则的值为（ ）A B C D 二、填空题1 求值：_________2 若则3 函数的最小正周期是___________4 已知那么的值为 ,的值为5 的三个内角为、、，当为 时，取得最大值，且这个最大值为三、解答题1 已知求的值2 若求的取值范围3 求值：4 已知函数（1）求取最大值时相应的的集合；（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到的图象。
三角恒等变换的推导与应用知识点总结三角恒等变换，又被称为三角恒等式，是指三角函数之间的一系列等价关系。
这些等式在数学和物理领域中广泛应用，用于推导和证明各种三角函数的性质以及解决三角函数相关的计算问题。
本文将对三角恒等变换的推导方法和应用知识点进行总结，并探讨其在数学和物理中的实际应用。
一、三角恒等变换的推导方法1.1 三角恒等变换的基本等式三角恒等变换的推导基于三角函数的基本性质，利用分析几何中的三角关系和三角函数之间的等价关系。
三角恒等变换的基本等式如下：（1）正弦函数的基本恒等式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1（2）余弦函数的基本恒等式：1 + tan^2(x) = sec^2(x)（3）正切函数的基本恒等式：1 + cot^2(x) = cosec^2(x)利用这些基本等式，可以导出许多三角恒等变换的推导公式。
1.2 常见的三角恒等变换公式除了基本恒等式，还存在很多常见的三角恒等变换公式，如下：（1）相反角公式：sin(-x) = -sin(x)cos(-x) = cos(x)tan(-x) = -tan(x)cot(-x) = -cot(x)sec(-x) = sec(x)cosec(-x) = -cosec(x)（2）余弦函数与正弦函数的关系：cos(x) = sin(π/2 - x)sin(x) = cos(π/2 - x)（3）倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan^2(x))（4）和差角公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y)) / (1 ∓ tan(x)tan(y))（5）半角公式：sin(x/2) = ±√[(1 - cos(x))/2]cos(x/2) = ±√[(1 + cos(x))/2]通过以上公式的推导和证明，可以构建出更多的三角恒等变换公式。
第五节三角恒等变换[考纲要求]1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．2．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．3．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．突破点一三角函数求值[基本知识]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式2.一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．()(2)在锐角△ABC中，sin A sin B和cos A cos B大小不确定．()(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× 二、填空题1．已知tan α＝2，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 解析：∵tan α＝2，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝13. 答案：132．化简cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为________．解析：法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12.法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.答案：123.3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝________.解析：3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝ 2. 答案： 24．设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________． 解析：由题可知，tan α＝sin αcos α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. 答案：－43[全析考法]考法一 三角函数式的化简求值1．三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等． [例1] (1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32(2)化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________ .[解析] (1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin (17°＋30°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°＝12.(2)法一：原式＝cos 2α－sin 2α2×1－tan α1＋tan α⎝⎛⎭⎫sin π4cos α＋cos π4sin α2＝(cos 2α－sin 2α)(1＋tan α)(1－tan α)(cos α＋sin α)2＝(cos 2α－sin 2α)⎝⎛⎭⎫1＋sin αcos α⎝⎛⎭⎫1－sin αcos α(cos α＋sin α)2＝1.法二：原式＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1.[答案] (1)C (2)1[方法技巧] 三角函数式的化简要遵循“三看”原则考法二 三角函数的给值求值(角)[例2] (1)(2019·辽宁师大附中期末)若α，β均为锐角且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin ⎝⎛⎭⎫32π＋2β＝( ) A ．－12B.12C ．－32D.32(2)(2019·福州外国语学校适应性考试)已知A ，B 均为钝角，sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510，且sin B ＝1010，则A ＋B ＝( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4D.7π6[解析] (1)∵α，β均为锐角，∴0<α＋β<π. ∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314.∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12. ∴sin ⎝⎛⎭⎫32π＋2β＝－cos 2β＝1－2cos 2β＝12.故选B. (2)因为sin 2A2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510， 所以1－cos A 2＋12cos A －32sin A ＝5－1510， 即12－32sin A ＝5－1510，解得sin A ＝55. 因为A 为钝角，所以cos A ＝－1－sin 2A ＝－1－⎝⎛⎭⎫552＝－255.由sin B ＝1010，且B 为钝角，可得cos B ＝－1－sin 2B ＝－1－⎝⎛⎭⎫10102＝－31010.所以cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22. 又A ，B 都为钝角，即A ，B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以A ＋B ∈(π，2π)，故A ＋B ＝7π4，故选C. [答案] (1)B (2)C [方法技巧]1．给值求值问题的求解思路 (1)化简所求式子．(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)． (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 2．给值求角问题的解题策略(1)讨论所求角的范围．(2)根据已知条件，选取合适的三角函数求值． ①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦函数较好． (3)由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角．[集训冲关]1.[考法二]已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12D.23解析：选A ∵sin 2α＝23，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.故选A. 2.[考法一](1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( ) A. 3 B ．1＋ 2C ．2D ．2(tan 18°＋tan 27°)解析：选C (1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2.故选C.3.[考法二]若cos ⎝⎛⎭⎫π8－α＝16，则cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋2α的值为( ) A.1718 B ．－1718C.1819D ．－1819解析：选A ∵cos ⎝⎛⎭⎫π8－α＝16，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π8－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫162－1＝－1718， ∴cos (3π4＋2α )＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π4－2α＝1718.故选A. 4.[考法二]定义运算⎪⎪⎪⎪a cb d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪sin αcos α sin βcos β＝3314，0<β<α<π2，则β＝________. 解析：依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314.又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32，故β＝π3.答案：π3突破点二 三角恒等变换的综合问题利用三角恒等变换将三角函数化简后研究图象及性质是高考的热点．在高考中以解答题的形式出现，考查三角函数的值域、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性等问题． [典例] (2019·北京朝阳期末)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2－cos 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求证：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )≥0. [解] (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝1＋sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1， 所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)证明：由(1)可知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1∈[0，2＋1]． 当2x －π4＝－π4，即x ＝0时，f (x )取得最小值0.所以当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )≥0. [方法技巧]求函数周期、最值、单调区间的方法步骤(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋t 的形式； (2)利用公式T ＝2πω(ω>0)求周期；(3)根据自变量的范围确定ωx ＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋t 的单调区间． [针对训练](2019·襄阳四校期中联考)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos x －sin 2(π－x )－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若f (α)＝3210－1，且α∈⎝⎛⎭⎫π8，3π8，求f ⎝⎛⎭⎫α－π8的值． 解：(1)∵f (x )＝sin x cos x －sin 2x －12＝12(sin 2x ＋cos 2x )－1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－1， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. (2)∵f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4－1＝3210－1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝35. 由α∈⎝⎛⎭⎫π8，3π8知2α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－45. ∴f ⎝⎛⎭⎫α－π8＝22sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α－π8＋π4－1 ＝22sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π4－π4－1 ＝22⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4sin π4－1 ＝22×⎝⎛⎭⎫35×22＋45×22－1＝－310.[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12 C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．(2019·贵阳高三监测考试)sin 415°－cos 415°＝( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选D sin 415°－cos 415°＝(sin 215°－cos 215°)(sin 215°＋cos 215°)＝sin 215°－cos 215°＝－cos 30°＝－32.故选D.3．(2018·成都七中一模)已知tan α＝m 3，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2m ，则m ＝( ) A ．－6或1 B ．－1或6 C ．6D ．1解析：选A ∵tan α＝m 3，∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝3＋m 3－m .∵tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2m ， ∴2m ＝3＋m3－m .解得m ＝－6或m ＝1.故选A.4．若2cos ( θ－π3 )＝3cos θ，则tan θ＝( )A.23B.32C ．－33D.233解析：选D 由2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝3cos θ可得cos θ＋3sin θ＝3cos θ，故tan θ＝233.故选D. 5．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．7 B.17 C ．－7D ．－17解析：选B ∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝45，∴cos α＝－45.又∵α为第二象限角，∴tan α＝－34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17. [B 级 保分题——准做快做达标]1．(2018·襄阳四校联考)下列各式中，值为32的是( ) A ．sin 15°cos 15° B ．cos 2π12－sin 2π12C.1＋tan 15°1－tan 15°D.1＋cos 30°2解析：选B A ．sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.B.cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.C.1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 60°＝ 3.D.1＋cos 30°2＝cos 15°＝6＋24.故选B. 2．若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β的值为( )A ．5B ．－1C ．6D.16解析：选A 由题意知sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以sin αcos βcos αsin β＝5，即tan αtan β＝5，故选A. 3．对于锐角α，若sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝( )C.28D ．－2425解析：选D 由α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝35，可得cos ⎝⎛⎭⎫α－π12＝45，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π12＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π12cos π4－sin ⎝⎛⎭⎫α－π12sin π4＝45×22－35×22＝210，于是cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫2102－1＝－2425，故选D.4．(2019·吉林百校联盟高三联考)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6，则tan ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝( ) A ．4－2 3 B ．23－4 C ．4－4 3D ．43－4解析：选B 由题意可得－sin α＝－3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，即sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12－π12＝3sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π12，sin ( α＋π12 )·cos π12－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12sin π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π12＋3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12sin π12，整理可得tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－2tan π12＝－2tan ⎝⎛⎭⎫π4－π6＝－2×tan π4－tanπ61＋tan π4tanπ6＝23－4.故选B. 5．(2018·四川联考)已知角α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos 2α＋cos 2α＝0，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．－3－2 2 B ．－1 C ．3－2 2D ．3＋2 2解析：选A 由题意结合二倍角公式可得2cos 2α－1＋cos 2α＝0，∴cos 2α＝13.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝33，∴sin α＝1－cos 2α＝63， ∴tan α＝sin αcos α＝2，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2＝－3－22，故选A. 6．(2019·沧州教学质量监测)若cos α＋2cos β＝2，sin α＝2sin β－3，则sin 2(α＋β)＝( ) A ．1 B.12 C.14D ．0解析：选A 由题意得(cos α＋2cos β)2＝cos 2α＋4cos 2β＋4cos αcos β＝2，(sin α－2sin β)2＝sin 2α＋4sin 2β－4sin αsin β＝3.两式相加，得1＋4＋4(cos αcos β－sin αsin β)＝5，∴cos(α ＋β)＝0，∴sin 2(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝1.7．(2018·永州二模)已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝34，则cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝( )C.1625D.2425解析：选B ∵tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝34，∴cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＋cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan 2⎝⎛⎭⎫α＋π4tan 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＋1＝916916＋1＝925.故选B.8．(2018·河北武邑中学二调)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝( ) A.255B.55C ．－255D ．－55解析：选C 利用辅助角公式可得f (x )＝sin x －2cos x ＝5sin(x －φ)，其中cos φ＝55，sin φ＝255.当函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值时，θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，∴θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z)，则cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫2k π＋π2＋φ＝－sin φ＝－255(k ∈Z)，故选C.9．(2018·濮阳一模)设0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－35，则sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝( )A.110B.220C ．－110D ．－220解析：选B 因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°.又因为sin(75°＋2α)＝－35<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos(75°＋2α)＝－45.所以sin(15°＋α)sin(75°－α)＝sin(15°＋α)cos(15°＋α)＝12sin(30°＋2α)＝12sin [(75°＋2α)－45°]＝12[sin(75°＋2α)·cos 45°－cos(75°＋2α)sin 45°]＝12×( －35×22＋45×22 )＝220，故选B.10．(2019·沈阳四校协作体联考)化简：1cos 80°－3sin 80°＝________.解析：1cos 80°－3sin 80°＝sin 80°－3cos 80°sin 80°cos 80°＝2sin (80°－60°)12sin 160°＝2sin 20°12sin 20°＝4. 答案：411．(2018·宝清一中月考)已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则sin α的值为________．解析：∵π2<α<π，∴π<2α<2π. ∵－π2<β<0，∴0<－β<π2，π<2α－β<5π2. ∵sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos(2α－β)＝45. ∵－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513. ∴cos 2α＝cos [(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)·sin β＝45×513－35×⎝⎛⎭⎫－1213＝5665. ∵cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝3130130. 答案：3130130 12．(2018·南京一模)已知锐角α，β满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的值为________． 解析：因为(tan α－1)(tan β－1)＝2，所以tan α＋tan β＝tan αtan β－1，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝3π4. 答案：3π4 13．(2018·大庆实验中学期中)A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－45，则cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝________. 解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－45，所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π，所以sin(A ＋B )＝1－cos 2(A ＋B )＝725，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35.所以cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝cos ⎣⎡⎦⎤(A ＋B )－⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－2425×⎝⎛⎭⎫－45＋725×35＝117125. 答案：11712514．(2019·六安第一中学月考)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. 求：(1)sin 2α；(2)tan α－1tan α. 解：(1)由题知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ( π6＋α )·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3，∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)由(1)得cos 2α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝cos ( 2α＋π3 )·cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝－32， ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3. 15．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.。
