三角恒等变换基础过关练习(随堂教学)

角函数公式两角和公式sin(A+B)=sin(A-B)=cos(A+B)=cos(A-B)=tan(A+B)=tan(A-B)=倍角公式tan2α=cos2α=sin2α=半角公式sin^2( α/2)=cos^2( α/2)=tan^2( α/2)=和差化积2sinAcosB=2cosAsinB=2cosAcosB=-2sinAsinB=积化和差公式sinαsinβ=cosαcos=βsin αco=sβ万能公式sin(α)= (2tαn(α/2))/(1+t αn^2(α/2)) cos(α)= (1-t αn^2(α/2))/(1+t αn^2( α/2)) tαn(α)= (2tαn(α/2))/(1-t αn^2( α/2))角函数公式两角和公式sin(Α+B)=sin ΑcosB+cosΑsinB sin(Α-B)=sinΑcosB-sinBcosΑcos(Α+B)=cosΑcosB-sinΑsinB cos(Α-B)=cosΑcosB+sinΑsinBt αn(Α+B)=(tαnΑ+tαnB)/(1-t αnΑt αnB) tαn(Α-B)=(tαnΑ-t αnB)/(1+tαnΑt αnB) 倍角公式cos2 cos 2sin 2 2 c os 2 1 1 2 sin 2；。

sin 2 tan2 2sin2 tancos ；1 tan2半角公式sin^2( α/2)=(1-cos α)/2cos^2( α/2)=(1+cos α)/2tαn^2( α/2)=(1-cos α)/(1+cos α)和差化积2sinΑcosB=sin(Α+B)+sin( Α-B) 2cosΑsinB=sin(Α+B)-sin(Α-B) ) 2cosΑcosB=cos(Α+B)+cos(Α-B)-2sinΑsinB=cos(Α+B)-cos(Α-B)积化和差公式sin(α)sin(β)=—1/2*[cos( α+β)-cos(α-β)] cos(α)cos(β)=1/2*[cos( α+β)+cos(α-β)] sin(α)cos(β)=1/2*[sin( α+β)+sin(α-β)]1. 三角函数式的化简（1）降幂公式sin cos 1sin 22；sin1 cos22；cos1 cos2。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)一、基础过关1． sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( )A ．－32B ．－12C.12D.32 2． 若锐角α、β满足cos α＝45，cos(α＋β)＝35，则sin β的值是( ) A.1725B.35C.725D.153． 已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1 4． 若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2C ．1＋ 3D ．2＋ 35． 在三角形ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则三角形ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6． 化简sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α的结果是________． 7． 已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan αtan β的值是______．8． 已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，求β. 二、能力提升9． 在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B.3365C ．－6365D.636510．式子sin 68°－cos 60°sin 8°cos 68°＋sin 60°sin 8°的值是________．11．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．12．已知sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)． 三、探究与拓展13．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β，并利用该式计算sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值．答案1．B 2.C 3.D 4.B 5.C 6.cos α 7.137 8.β＝π4 9.B 10. 311．解 因为π2<β<α<3π4，所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2.又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β) ＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513，cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β) ＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝⎛⎭⎫－45＋1213×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－5665.12．解 ∵0<α<π4<β<3π4，∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513， cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝－1213， sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45. cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β) ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－ cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－3365.13．证明 左边＝sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β ＝sin 2α(1－sin 2β)－(1－sin 2α)sin 2β ＝sin 2α－sin 2αsin 2β－sin 2β＋sin 2αsin 2β ＝sin 2α－sin 2β＝右边．∴sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β. ∴sin 220°＋sin 80°·sin 40°＝sin 220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°) ＝sin 220°＋sin 260°－sin 220°＝sin 260°＝34.。

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）1．计算cos 24°cos 36°－cos 66°cos 54°的结果为( )A ．0 B.12C.32 D ．－12 解析：选B.原式＝cos 24°cos 36°－sin 24°sin 36°＝cos(24°＋36°)＝cos 60°＝12. 2．若α∈(π2，π)，且sin α＝45，则sin(α＋π4)＋cos(α＋π4)＝( ) A.425 B ．－425 C.325 D ．－325解析：选D.∵sin α＝45，π2<α<π， ∴cos α＝－35. ∴sin(α＋π4)＋cos(α＋π4)＝2sin(α＋π2) ＝2cos α＝－325. 3．(2013·山西考前适应性训练)sin 20°cos 20°cos 50°＝( ) A ．2 B.22 C.2 D.12解析：选D.sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12. 4．(2013·沈阳四校联考)若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α等于( )A.54B ．－54 C.43 D ．－43解析：选D.1＋cos 2αsin 2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12， ∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43，故选D. 5．(2013·石家庄质检)计算tan (π4＋α)·cos 2α2cos 2(π4－α)的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1 解析：选D.tan (π4＋α)·cos 2α2cos 2(π4－α) ＝sin (π4＋α)·cos 2α2sin 2(π4＋α)cos (π4＋α) ＝cos 2α2sin (π4＋α)cos (π4＋α)＝cos 2αsin2(π4＋α) ＝cos 2αsin (π2＋2α)＝cos 2αcos 2α＝1，选D. 6．已知sin θ2＋cos θ2＝233，则cos 2θ＝__________. 解析：因为sin θ2＋cos θ2＝233， 所以1＋sin θ＝43，即sin θ＝13， 所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－29＝79. 答案：797．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________. 解析：∵3sin x －3cos x＝23(32sin x －12cos x ) ＝23sin(x －π6)，∴φ＝－π6. 答案：－π68．化简：sin α＋sin 2α1＋cos α＋cos 2α＝________. 解析：原式＝sin α(1＋2cos α)1＋cos α＋2cos 2α－1＝sin α(1＋2cos α)cos α(1＋2cos α)＝tan α. 答案：tan α9．求3tan 12°－3sin 12°(4cos 212°－2)的值．解：原式＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°sin 12°·2cos 24°＝3sin 12°－3cos 12°sin 24°cos 24° ＝43(sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60°)2sin 24°cos 24°＝43sin (－48°)sin 48°＝－4 3. 10．已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，求cos α－β2. 解：∵α为钝角，β为锐角，sin α＝45，sin β＝1213， ∴cos α＝－35，cos β＝513. cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－35×513＋45×1213＝3365. 又π2<α<π，0<β<π2， ∴0<α－β<π，0<α－β2<π2. ∴cos α－β2＝ 1＋cos (α－β)2＝ 1＋33652＝76565.。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、基础过关1． 函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数2.3－sin 70°2－cos 210°的值是( )A.12B.22C ．2 D.32 3． 若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( ) A ．－13B ．－79C.13D.79 4． 若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( ) A ．3B ．－3C ．－2D ．－125． 已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是( )A.459B.259 C ．－459D ．－2596． 2sin 222.5°－1＝________.7． 函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是______．8． 已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)的值．二、能力提升9． 如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( )A ．－105 B.105 C ．－155D.15510．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______.11．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求α.12．求值：(1)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°；(2)sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°.三、探究与拓展 13．化简：(1)cosπ11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11； (2)cos x 2cos x 4cos x 8…cos x 2n .答案1．A 2.C 3.B 4.A 5.A 6.－22 7．2 8.原式＝145 9.C 10.3 11.α＝π612．(1)原式＝116 (2)原式＝ 213．解 (1)原式＝125sinπ11·25sinπ11·cos π11cos 2π11·cos ⎝⎛⎭⎫π－8π11cos 4π11·cos ⎝⎛⎭⎫－π＋16π11 ＝125sinπ11·24sin2π11cos 2π11cos 4π11·⎝⎛⎭⎫－cos 8π11⎝⎛⎭⎫－cos 16π11 ＝125sinπ11·23sin4π11cos 4π11cos 8π11·cos 16π11＝125sinπ11sin32π11＝125sinπ11sin ⎝⎛⎭⎫3π－π11 ＝sin π1125sinπ11＝132.(2)原式＝12n sin x 2n·2n sinx 2n ·cos x 2·cos x 4…cos x2n＝12nsin x 2n·2n －1⎝⎛⎭⎫2sin x 2n ·cos x 2n ·cos x 2cos x 4…cos x 2n －1 ＝12n sin x 2n·2n －1sinx 2n －1·cos x 2·cos x 4…cos x 2n －1＝sin x2nsin x 2n.。

数学课程三角恒等变换练习题及答案1. 练习题1.1 简单练习题1. 计算下列三角函数值，并化简为有理数：(1) sin 30°(2) cos 45°(3) tan 60°2. 利用三角恒等变换证明以下等式：(1) sin^2 x + cos^2 x = 1(2) 1 + tan^2 x = sec^2 x3. 使用三角恒等变换求解以下方程：(1) sin 2x = 0.5(2) cos 2x - sin 2x = 01.2 提高练习题1. 利用三角恒等变换化简下列表达式：(1) cos x + sin x + 1 - cos x(2) cot^2 x + 1 - csc^2 x2. 解下列方程：(1) 2 sin^2 x - 3 cos x - 1 = 0(2) tan^2 x + sec x = 22. 答案2.1 简单练习题答案1.(1) sin 30° = 1/2(2) cos 45° = 1/√2(3) tan 60° = √32. 证明以下等式：(1) 三角恒等变换：sin^2 x + cos^2 x = 1证明：根据三角恒等变换公式 sin^2 x + cos^2 x = 1代入 sin x = cos (90° - x)，可得：cos^2 (90° - x) + cos^2 x = 1sin^2 x + cos^2 x = 1(2) 三角恒等变换：1 + tan^2 x = sec^2 x证明：根据三角恒等变换公式 1 + tan^2 x = sec^2 x代入 tan x = sin x / cos x，可得：1 + (sin x / cos x)^2 = (1 / cos x)^21 + sin^2 x / cos^2 x = 1 / cos^2 x(cos^2 x + sin^2 x) / cos^2 x = 1 / cos^2 x1 / cos^2 x = 1 / cos^2 x2.2 提高练习题答案1. 化简以下表达式：(1) cos x + sin x + 1 - cos x= sin x + 1(2) cot^2 x + 1 - csc^2 x= (cos^2 x / sin^2 x) + 1 - (1 / sin^2 x)= (cos^2 x + sin^2 x) / sin^2 x= 1 / sin^2 x2. 解以下方程：(1) 2 sin^2 x - 3 cos x - 1 = 0首先，利用三角恒等变换将方程中的 cos x 表示为 sin x：2 (1 - cos^2 x) - 3 cos x - 1 = 02 - 2 cos^2 x -3 cos x - 1 = 0-2 cos^2 x - 3 cos x + 1 = 0然后，令 t = cos x，将方程转化为关于 t 的二次方程：-2 t^2 - 3 t + 1 = 0解这个二次方程可得 t = -1 或 t = 1/2。

高一数学复习考点知识与题型专题讲解专题强化训练二：三角恒等变换技巧基础过关必刷30题一、单选题1．（2022·全国·高一）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()3s i n 5αβ+=-，5cos 13β=-，则si n α的值为（） A ．1665B ．3365C ．5665D ．6365 2．（2022·四川·成都外国语学校高一月考（文））已知函数32222cos 2cos 2cos 2()2cos2x x x f x x+-=，则函数()f x 的最小正周期是（） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π3．（2022·全国·高一课时练习）若4cos 5=-α，α是第三象限的角，则1tan 21tan2αα-+＝（ ）A ．2B ．12C ．﹣2D ．12-4．（2022·全国·高一课时练习）计算tan82tan 221tan82tan 22︒︒︒︒-=+（） A ．1-B ．1C．5．（2022·全国·高一课时练习）函数()cos cos 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最小正周期和最大值分别为（） A ．1,4πB ．1,2πC．2π．2π 6．（2022·河北·张家口市第一中学高一月考）设α，β均为锐角，且()()sin sin sin cos βαβαβα++-=，则2tan 1sin βα+的最大值是（）A ．2D ．7．（2022·北京·101中学高一期中）函数()2sin cos 2f x x x =-在区间[]0,2π上的零点个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．58．（2022·安徽·合肥百花中学高一期末）设函数()2cos2f x x x =-，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为π-B ．()y f x =的图像关于直线6x π=-对称C ．()y f x =的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在[0,2]π有3个零点9．（2022·上海·上外浦东附中高一期中）若3522ππθ<< A ．sin 4θB ．cos 4θC ．sin 4θ-D ．cos 4θ-10．（2022·江苏省前黄高级中学高一月考）若1tan 20211tan αα+=-，则1tan2cos2αα+的值为（）A ．2019B ．2020C ．2022D ．2022二、多选题11．（2022·全国·高一课时练习）下列三角式中，值为1的是（） A ．4sin15cos15︒︒B ．222cos sin 66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．22tan 22.51tan 22.5-︒︒D 12．（2022·全国·高一课时练习）设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．()y f x =的最小值为πB ．()y f x =的最小值为2-，其周期为2πC ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称13．（2022①tan 25tan3525tan35+︒︒︒︒； ②()2sin35cos 25cos35cos65︒︒+︒︒； ③1tan151tan15+︒-︒；④1tan151tan15-︒+︒．A ．①B ．②C ．③D ．④14．（2022·江苏·盱眙县都梁中学高一月考）关于函数()cos 2cos 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下列说法：其中正确说法的是（）A ．()y f x =B ．()y f x =是以π为最小正周期的周期函数；C ．()y f x =在区间13,2424ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；D ．将函数2y x 的图象向左平移24π个单位长度后，将与已知函数的图象重合.15．（2022·江苏沭阳·高一期中）已知函数22()sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则下列结论正确的有（） A ．()22f x -≤≤B ．()f x 在区间(0,)π上只有1个零点C ．()f x 的最小正周期为πD ．若()()g x f x =，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()g x 单调递减区间为,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭16．（2022·河北安平中学高一月考）已知函数()cos f x x x-，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值D ．()f x 的值域为[]1,2-三、填空题17．（2022·全国·高一课时练习）化简sin(α＋60°)＋2sin(α－α)的结果是______.18．（2022·全国·高一课时练习）化简：44sin cos cos 2ααα-=________． 19．（2022·全国·高一课时练习）已知4cos 5θ=-，且t a n 0θ>，则3c o s t a n 1s i n θθθ-的值为______． 20．（2022=______．21．（2022·江苏如皋·高一月考）计算：2211tan 20sin 701tan 20⎛+︒⋅= -︒⎝⎭︒___________.四、解答题22．（2022·全国·高一课时练习）已知sin 2cos 022x x-=．求cos25cos sin()4x x x ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值．23．（2022·全国·高一课时练习）（1）求()()1tan11tan 44+︒+︒的值； （2）求()()()()()1tan11tan 21tan31tan 441tan 45+︒+︒+︒+︒+︒的值． 24．（2022·全国·高一课时练习）化简：（1）ππsin sin 44x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()cos cos 120cos 120A A A +-+︒+︒； （3）sin 2cos 1cos 21cos αααα⋅++．25．（2022·全国·高一课时练习）已知函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =+-，x ∈R ． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的最大值．26．（2022·湖南·永州市第一中学高一期中）已知函数()22sin cos 2cos 1f x x x x =+-，x ∈R .（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若函数()0y f x a =-≤在π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.27．（2022·山东·滕州市第一中学新校高一月考）已知角α的终边经过点(2,-，其中0απ<<.（1）求10sincos 29cos1818παππ的值；（2）设()()()sin 22f x x x αα=--，0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．求()f x 的最大值． 28．（2022·全国·高一课时练习）求下列各式的值：（1）已知11cos(),cos()23αβαβ-=-+=，求cos cos ,sin sin αβαβ的值；（2）求()2sin 4012cos 402cos 40cos 401+︒︒+︒-︒的值；29．（2022·全国·高一课时练习）已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x =-+∈R ． （1）求函数()f x 的最小正周期及在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． （2）若()006,0,53f x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值．30．（2022·陕西·榆林十二中高一月考）化简计算与证明．（1）已知角α是第二象限角，且4sin 3cos 0+=αα，求()cos sin 259cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（22sin 50cos101︒+︒︒；（3）已知02xπ<<，证明：()2lg cos tan 12sinlg lg 1sin 224x x x x x π⎤⎛⎫⎛⎫+-+-=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦．参考答案1．D 【详解】因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3,22ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 又()3sin 5αβ+=-，则3,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()4cos 5αβ+=-， 又5cos 13β=-， 所以12sin 13β=， 所以()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=+-=+-+⎡⎤⎣⎦，354126351351365⎛⎫⎛⎫=-⨯---⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：D 2．B 【详解】32222cos 2cos 2cos 2()2cos2x x x f x x +-=322cos 2cos (1cos )1cos x x x x +-+=+22cos (1cos )(1cos )1cos x x x x +-+=+22cos 1x =-cos2x =所以()f x 的最小正周期为22ππ=， 故选：B3．C 【详解】由4cos 5=-α且α是第三象限的角，可得3sin 5α==-，又由311tancossin1sin 152224cos 21tan cos sin 2225αααααααα-+++====----，即1tan221tan 2αα-=-+. 故选：C. 4．C 【详解】由题意，tan82tan 22tan(8222)tan 601tan82tan 22︒︒︒︒︒︒︒-=-==+故选：C 5．B 【详解】 解：函数1cos 2()cos()sin()3332x f x x x ππ+=--12131111sin(2)cos2()sin 2sin 2sin(2)2322222423x x x x x x x x ππ=-=---==- 则()f x 的最小正周期为22ππ=，最大值为12. 故选：B 6．B 【详解】解：因为α，β均为锐角，()()sin sin sin cos βαβαβα++-=，所以sin 2sin cos ,cos βαβα=即tan 2sin cos βαα=，故222tan 2sin cos 22sin cos 1sin 2sin cos cos sin βααααααααα==≤=+++，当且仅当2sin cos cos sin αααα=，即t a nα时等号成立，7．A 【详解】()22sin cos 22sin 12sin f x x x x x =-=-+，令()0f x =可得sin x =sin x =(舍去)，因为sin x =[]0,2π有2个根，所以()f x 在区间[]0,2π上的零点个数为2. 故选：A. 8．D 【详解】()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，对A ，最小周期为22T ππ==，故π-也为周期，故A 正确；对B ，当6x π=-时，262x ππ-=-为sin y x =的对称轴，故B 正确；对C ，当12x π=时，206x π-=，又()0,0为2sin y x =的对称点，故C 正确；对D ，()0f x =则()2sin 202,66x x k k Z πππ⎛⎫-=⇒-=∈ ⎪⎝⎭，解得(),212k x k Z ππ=+∈，故()f x 在[0,2]π内有71319,,,12121212x ππππ=共四个零点，故D 错误故选：D 9．A 【详解】解：3522ππθ<<，∴35424πθπ<<，84358πθπ<<， 所以cos 0θ>，cos 02θ<，sin 04θ>，∴cos 2θ=-，∴sin 4θ．10．C 【详解】222221cos sin 2tan tan 2cos 2cos sin 1tan αααααααα++=+-- ()222221tan 1tan 2tan 1tan 1tan 1tan αααααα++=+=--- 1tan 20211tan αα+==-.故选：C 11．ABC 【详解】A 选项,1=2sin 30=2=124sin15cos15︒︒︒⨯，故正确.B 选项，2212cossin 2cos 216632=πππ⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭，故正确. C 选项，22tan 22.5tan 4511tan 22.5︒=︒=-︒，故正确.D 1≠，故错误 故选：ABC 12．AD 【详解】()2244f x x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，函数的最小值是22T ππ==，故A 正确，B错误；0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,x π∈，所以()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，令2x k =π，得,2k x k Z π=∈，其中一条对称轴是2x π=，故C 错误，D 正确. 故选：AD【详解】对于①，由于()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-， 所以tan 25tan353tan 25tan35++()()tan 25351tan 25tan353tan 25tan35tan 25353⎡⎤=+-+=+=⎣⎦；对于②，由于cos65sin 25=，所以()()2sin35cos 25cos35cos652sin35cos 25cos35sin 252sin 603+=+==；对于③，因为tan 451=，1tan15tan 45tan15tan 6031tan151tan 45tan15︒︒︒︒︒︒++===-- 对于④，因为tan 451=，1tan15tan 45tan153tan 301tan151tan 45tan153︒︒︒︒︒︒-+-===+ 故选：ABC 14．ABC 【详解】()cos 2cos 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2cos 2323x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭234x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭212x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当2212x k ππ-=，即,24x k k Z ππ=+∈时，max ()f x A 正确；2T wππ==，故选项B 正确； 令22212k x k ππππ≤-≤+，即1132424k x k ππππ+≤≤+，即当113[,]2424x k k ππππ∈++时()y f x =单调递减，取0k =，有()y f x =在区间13,2424ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故选项C 正确；将函数2y x 的图象向右平移24π个单位长度后，将与已知函数的图象重合，故选项D 错误.所以ABC 正确，D 错误.15．ACD 【详解】函数22()sin cos cos 2sin 26f x x x x x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，对于A ：由于x ∈R ，故()22f x -≤≤，故A 正确； 对于B ：令26x k ππ-=，解得()212k x k Z ππ=+∈，所以函数在(0,)π上有两个零点，故B 错误； 对于C ：函数的最小正周期为22ππ=，故C 正确； 对于D ：由于,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令：3222()262k x k k Z πππππ+-+∈剟， 解得5()36k x k k Z ππππ++∈剟， 当0k =和-1时，()g x 单调递减区间为,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确；故选：ACD ． 16．BC 【详解】解：对于A ，因为0,62f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以A 错误，因为()sin()||cos()|sin ||cos |()f x x x x x f x πππ+=+-+-=，所以 π为函数的周期，考虑[0,]x π∈的情况，当[0,]2x π∈时， ()cos 2sin(),,6663f x x x x x ππππ⎡⎤-=--∈-⎢⎥⎣⎦，因为,,6322ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以 ()f x 在[0,]2π上单调递增，所以min max ()(0)1,()()2f x f f x f π==-=当 [,]2x ππ∈时，27()cos 2sin(),,,6636f x x x x x ππππ⎡⎤+=++∈⎢⎥⎣⎦因为 273,,3622ππππ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在[,]2ππ上单调递减，所以 min max ()()1,()()2f x f f x f ππ==-==()f x 的最小正周期为π，()f x 在 ()0,2π上有且仅有1个最小值，值域为[-，所以BC 正确，D 错误， 故选：BC 17．0 【详解】解： 原式＝sin(α(α＋60°)]＋2sin(α－60°)＝sin(αα＋60°)＋2sin(α－60°) ＝2sin(α＋60°＋60°)＋2sin(α－60°) ＝2sin(α－60°＋180°)＋2sin(α－60°) ＝－2sin(α－60°)＋2sin(α－60°) ＝0. 故答案为：0 18．-1 【详解】()()22224422sin cos sin cos sin cos 1cos 2cos sin ααααααααα-+-==-- 故答案为：-1 19．625-【详解】解：∵4cos 5θ=-，且tan 0θ>，∴3sin 5θ=-，∴()()2321sin sin cos tan cos sin 3361sin sin 11sin 1sin 1sin 5525θθθθθθθθθθθ-⎛⎫⎛⎫===+=-⨯-=- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭．故答案为：625- 20．2sin 4【详解】原式=2|cos4|2|sin 4cos4|=-+，因为342ππ<<， 所以cos40,sin4cos40<+<．所以原式2cos42(sin 4cos4)=-++2sin 4=． 故答案为：2sin 4 21．8 【详解】解：222222sin 20111tan 2020sin 20sin 701tan 20c o 12c s os 0︒+⎛+︒︒⋅=⋅ ︒-︒⎝⎭⎝-︒⎭︒ ()22222220sin 20sin 7030sin1s 0012cos 0cos co co 20440sin 20sin140sin 40s 0cos 42︒+︒+︒⎛⎫︒=︒︒︒︒⨯⨯=⨯⨯ ⎪︒-︒⎝⎭︒sin100sin1008882sin 404s co 8s 0in 0=⨯︒︒︒=⨯︒=︒故答案为：822由sin 2cos 022x x -=，知cos 02x≠，所以tan 22x =，所以222tan2242tan 1231tan 2xx x ⨯===---． 所以cos25cos sin()4xx x ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭cos2cos (sin )4x x x π=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭22=⎝⎭cos sin sin x xx +==1tan tan 4x x +==． 23．（1）2；（2）232 【详解】（1）因为tan1tan 44tan(144)11tan1tan 44︒+︒︒+︒==-︒︒，所以tan1tan 441tan1tan 44︒+︒=-︒︒，即tan1tan 44tan1tan 441︒+︒+︒︒=， 所以()()1tan11tan 441tan 44tan1tan1tan 44+︒+︒=+︒+︒+︒︒=2 （2）设45αβ+=︒， 则tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==-，所以tan tan tan tan 1αβαβ++=，所以(1tan )(1tan )1tan tan tan tan 2αβαβαβ++=+++=，所以(1tan1)(1tan 44)(1tan 2)(1tan 43)(1tan 22)(1tan 23)2+︒+︒=+︒+︒=⋅⋅⋅=+︒+︒=， 又1tan 45+︒=2 所以原式=2223222⨯= 24． （1）1cos 22x （2）0 （3）sin 1cos αα+（1）22ππ111sin sin cos sin cos 244222x x x x x x x x x ⎫⎛⎫⎛⎫-+==-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）()()11cos cos 120cos 120cos cos cos 022A A A A A A A A +-++=--︒=︒（3）2sin 2cos 2sin cos cos sin 1cos 21cos 2cos 1cos 1cos αααααααααα⋅=⋅=++α++25． （1）∵221cos 21cos 2sin 2sin cos 3cos sin 23sin 22cos 2122x xy x x x x x x x -+=+-=+-⨯=--，∴由辅助角公式可得()21y x ϕ--，其中tan 2ϕ=， ∴函数的最小正周期为22ππ=. （2）由（1）知：()21y x ϕ--，其中tan 2ϕ=，∴当22,2x k k Z πϕπ-=+∈，即,24x k k Z ϕππ=++∈时，函数()21y x ϕ=--取得最大值，1.26．（1）()f x 的单调递减区间为5,]()88k k k Z ππππ++∈[;（2）[)1,+∞. 【详解】（1）()sin 2cos2f x x x =+π24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令3222()242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得5()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 故()f x 的单调递减区间为5,]()88k k k Z ππππ++∈[ （2）由()0y f x a =-≤在π[,0]2-恒成立，即()a f x ≥，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，∵π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则π3ππ2,444t x ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，作出3ππ,,44y t t ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦草图，由图知：当π4t =，max 1y = ∴1a ≥，即a 的取值范围为[)1,+∞. 27．（1）14；（2）1.解：（1）角α的终边经过点(2,-，其中0απ<<，tan yxα==23πα=．10sin cos 2sincos 2cos 211199cos cos 223234cos 2sin 1818186πππαααπππππππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭==-=-+== ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭（2）()()()sin 222sin 22sin 233f x x x x x ππααα⎛⎫⎛⎫=--=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，()max 2sin 16f x π==．28．（1）112-；512-；（2（1）1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-111123212⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭，1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--111523212⎛⎫=-⨯+=- ⎪⎝⎭．（2）原式()2sin 402sin 40cos 40cos 402cos 401︒+︒︒=︒+︒-()()()()2sin 60sin 60sin 40sin80cos 40cos80cos 60cos 600202020++=︒=-︒︒++︒︒︒︒︒︒-︒︒++︒2sin 60cos 20tan 602cos60cos 20︒︒︒︒===︒29．（1）最小正周期为π，最大值为2，最小值为1-；（2． 【详解】（1）由2()cos 2cos 1f x x x x =-+，得()2()cos )2cos 1f x x x x =--2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为π． 因为2470,02,233666x x x πππππ≤≤∴≤≤∴-≤-≤， 所以1sin 21,12sin 22266x x ππ⎛⎫⎛⎫-≤-≤∴-≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为1-．（2）因为062sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以03sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．又00,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以02,662x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以04cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．所以006cos 2cos 26x x ππ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣-⎦=00cos 2cos sin 2sin 6666x x ππππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭431552=⨯=30．【详解】（1）由4sin 3cos 0+=αα，则3tan 4α=-，()()cos sin sin sin sin sin 32tan 59sin cos 4cos sin cos sin 2222παπααπααααππππαααααα⎛⎫+-- ⎪--+⎡⎤-⋅⎝⎭⎣⎦===-=⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）原式2sin 50cos101⎛︒+︒ =2sin 50cos10︒+︒==12sin 502cos102⎛⎫︒+︒+︒ ⎪=2sin 502sin 3010︒+︒+︒==50⎫︒︒⎪==2cos52cos5︒===︒. （3）左边2sin lg cos 12sin lg cos 24x x x x x π⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭()lg sin cos lg cos sin 44x x x x ππ⎫=++⎪⎭()()2lg sin cos lg 1sin 2x x x =+=+，得证.。

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 简单的三角恒等变换随堂检测 理 北师大版(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．如果α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.425 B ．－425 C.325 D ．－325【解析】 ∵sin α＝45，π2<α<π，∴cos α＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2 ＝2cos α＝－325.【答案】 D2．已知f(x)＝ 1－x ，当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫5π4，3π2时，f(sin 2θ)－f(－sin 2θ)可化简为( ) A ．2sin θ B ．－2cos θ C ．－2sin θ D ．2cos θ【解析】 f(sin 2θ)－f(－sin 2θ)＝ 1－sin 2θ－ 1＋sin 2θ＝|sin θ－cos θ|－|sin θ＋cos θ|.∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫5π4，3π2，∴－1＜sin θ＜－22＜cos θ＜0.∴cos θ－sin θ＞0，cos θ＋sin θ＜0.∴原式＝cos θ－sin θ＋cos θ＋sin θ＝2cos θ. 【答案】 D3．若△ABC 中，sin B ²sin C＝cos 2 A2，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【解析】 由sin B²sin C＝cos 2 A2，可得2sin B²sin C＝2cos 2 A2＝1＋cos A ，即2sin B²sin C＝1－cos (B ＋C)＝1－cos Bcos C ＋sin Bsin C ， ∴sin B²sin C＋cos Bcos C ＝1， 即cos(B －C)＝1. 又－π<B －C<π. ∴B－C ＝0，即B ＝C. 【答案】 C 4．若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值为( ) A ．－210 B.210C.5210 D.7210【解析】 由tan α＋1tan α＝103⇒(tan α－3)(3tan α－1)＝0得tan α＝3或tanα＝13，由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2得tan α＞1，故tan α＝13舍去，而sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22³sin 2α＋cos 2α1＝22³2sin αcos α＋cos 2 α－sin 2αcos 2 α＋sin 2α在将分式分子与分母同除以cos 2α得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22³2tan α＋1－tan 2α1＋tan 2 α＝－210. 【答案】 A5．定义运算⎪⎪⎪⎪a c bd ＝ad －bc 若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪sin αcos αsin βcos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于( )A.π12B.π6 C.π4 D.π3【解析】 依题设得：sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314.∵0＜β＜α＜π2，∴cos(α－β)＝1314，又∵cos α＝17，∴sin α＝437.sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437³1314－17³3314＝32， ∴β＝π3，故选D.【答案】 D6．(2009年苏北四市联考)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tanα21－tan2α2＝32，且2sin β＝sin(α＋β)，则β的值为( )A.π6B.π4C.π3 D.5π12【解析】 由tanα21－tan2α2＝32，得tan α＝ 3.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π3.所以2sin β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋β＝32cos β＋12sin β.∴tan β＝33，β＝π6.故选A. 【答案】 A二、填空题(每小题6分，共18分)7．若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.【解析】 ∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，∴tan α＝2.又tan(α－β)＝2，∴tan(β－2α)＝tan []()β－α－α＝－tan []()α－β＋α＝－tan(α－β)＋tan α1－tan(α－β)²tan α＝43.【答案】 438．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 【解析】 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.【答案】 π39.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________.【解析】 原式＝3sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12° ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin(－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 【答案】 －4 3 三、解答题(共46分)10．(15分)已知函数f(x)＝2sin xcos x ＋cos 2x.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值； (2)设α∈(0，π)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，求sin α的值．【解析】 (1)∵f(x)＝sin 2x ＋cos 2x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin π2＋cos π2＝1.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝sin α＋cos α＝22. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝±32.sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝12³22－⎝ ⎛⎭⎪⎫±32³22＝2∓64. ∵α∈(0，π)，∴sin α＞0.故sin α＝2＋64. 11．(15分)已知α、β都是锐角，且sin βsin α＝cos(α＋β)．(1)求证：tan β＝tan α1＋2tan 2α； (2)当tan β取最大值时，求tan(α＋β)的值． 【证明】 ∵tan β＝sin βcos β＝sin αcos(α＋β)cos β＝sin α(cos αcos β－sin αsin β)cos β＝sin αcos α－sin 2αtan β，∴(1＋sin 2α)tan β＝sin αcos α，tan β＝sin αcos α1＋sin 2α＝tan α1＋sin 2αcos 2α＝tan αcos 2α＋2sin 2 αcos 2α＝tan α1＋2tan 2α. (2)解：∵tan α＞0，tan β＞0 ∴tan β＝11tan α＋2tan α≤122， 当且仅当1tan α＝2tan α，即tan α＝22时，tan βmax＝221＋2³12＝24.∴tan(α＋β)＝22＋241－22³24＝324³43＝ 2.12．(16分)已知f(x)＝sin 2ωx ＋32sin 2ωx －12(x∈R ，ω＞0)．若f(x)的最小正周期为2π.(1)求f(x)的表达式和f(x)的单调递增区间；(2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的最大值和最小值．【解析】 (1)由已知f(x)＝sin 2ωx ＋32sin 2ωx －12(x∈R ，ω＞0) ＝12(1－cos 2ωx)＋32sin 2ωx －12＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6又由f(x)的周期为2π，2π＝2π2ω⇒2ω＝1⇒ω＝12⇒f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π62k π－π2≤x－π6≤2k π＋π2(k∈Z )⇒2k π－π3≤x≤2k π＋2π3(k∈Z )即f(x)单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k∈Z )(2)x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6⇒－π6≤x≤5π6⇒－π6－π6≤x－π6≤5π6－π6⇒－π3≤x－π6≤2π3⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6≤sin π2⇒－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6≤1 f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6的最大值和最小值分别为1和－32.。

专题强化二：三角恒等变换技巧基础过关一、单选题1．（2022·江苏·滨海县五汛中学高一）已知12cos(),cos()33αβαβ+=-=，则cos cos αβ的值为（）A ．0B ．12-C ．12D ．0或±122．（2022·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习）该函数sin y x x =的最大值是（）A ．1BC ．2D ．2-3．（2022·浙江·高一期中）若tan 3θ=，则()cos 1sin 2sin cos θθθθ--=（）A ．25-B ．25C ．15-D ．154．（2022·山东临沂·高一期末）sin 70sin 40sin 50cos110︒︒-︒︒=（）A ．12B ．12-C D ．5．（2022·全国·高一课时练习）若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．2-B ．2C ．12-D ．126．（2022·全国·高一课时练习）sin 20sin 40sin 60sin 80︒+︒+︒-︒的值为（）A ．0B ．12C ．22D ．327．（2022·全国·高一课时练习）已知α为第三象限角，cos 02α>，tan 3α=，则tan 2α的值为（）A ．13-B ．13+C ．13-D ．13-+13--8．（2022·全国·高一单元测试）设1cos6622a =︒-︒，22tan131tan 13b ︒=+︒，c =）A ．a b c>>B ．a b c<<C ．a c b<<D ．b<c<a9．（2022·全国·高一）计算：2sin 201sin10tan10︒-=︒︒（）A ．B C ．D10．（2022·全国·高一）化简4sin 24cos 24tan12cos12︒︒︒︒+=（）A ．1BCD ．211．（2022·江苏省如皋中学高一期末）已知π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πsin sin +2x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭tan x =（）A ．3-B ．13-C ．133--或D ．12-12．（2022·北京亦庄实验中学高一期末）已知()()sin 0f x A x x A =>的最大值是2，则()3cos g x x A x =+在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦中的最大值是（）A ．B ．3C ．2D ．13．（2022·陕西汉中·高一期末）古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin 18表示．若实数n 满足224sin 184n +=，则221sin184sin 18n -的值为（）A ．4B ．14C ．2D ．12二、多选题14．（2022·全国·高一课时练习）若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且21sin cos 24αα+=，则下列各式中正确的是（）A ．tan 2α=B ．tan 2α=C ．tanα=D ．tan α=15．（2022·全国·高一单元测试）下列选项中正确的有（）A ．若α是第二象限角，则tan 1=-B 1=C ．2cos10sin 20sin 70︒-︒=︒D ．1tan151tan15+︒=-︒16．（2022·全国·32的是（）A ．2sin15cos15︒︒B ．212sin 15-︒C ．22sin 15cos 15︒+︒D ．23tan151tan 15-︒︒17．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()sin 1f x x x =-，则（）A ．()f x 图象的对称中心为()2,13k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z B ．()f x 图象的对称轴方程为()3x k k ππ=-+∈Z C ．()f x 的增区间为()52,266k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()f x 的最大值是1，最小值是3-18．（2022·辽宁大连·高一期末）下列各式正确的是（）A ．()()1tan11tan 442+︒+︒=B ．132sin10cos10-=︒︒C ．23sin 7022cos 10-=-︒︒D ．)tan 70cos102012︒⋅︒︒-=19．（2022·江苏苏州·高一期末）计算下列各式的值，其结果为1的有（）A ．()cos 401B ．1132cos80sin80⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．)sin140tan190-D ．4sin18sin 54︒︒⋅20．（2022·江苏镇江·高一期末）tan75°＝（）A ．2B C ．sin1501cos150︒+︒D ．tan25tan35tan85︒︒︒三、填空题21．（2022·广东·深圳市华美外国语（国际）学校高一期中）若tan 2θ=-，则sin (1+sin2)=sin +cos θθθθ__.22．（2022·湖北·丹江口市第一中学高一期中）设凼数2()2cos 2f x x x a =++（a 为实数）在区间0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上最小值为-4，则a 的值等于____________.23．（2022·江西九江·高一期末）化简：sin 2cos sin 1cos21cos 1cos αααααα⋅⋅=++-__________．24．（2022·全国·高一专题练习）已知对任意x ∈R ，不等式()()2cos 2sin cos x a x a ≤∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．25．（2022·全国·高一课时练习）计算：sin 50sin 20cos30cos 20︒︒︒-︒=________．26．（2022·全国·高一课时练习）若5π7π22α<<_______________．四、解答题27．（2022·上海·格致中学高一期中）已知cos()5αβ+=，1tan 7β=，且π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．(1)求22cos 2sin sin cos ββββ-+的值；(2)求2αβ+的值．28．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）已知函数()22sin cos f x x=π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦(1)化简()f x ；(2)若π,04α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()f α=44sin cos αα+的值．29．（2022·江西九江·高一期末）已知π,π,sin 25αα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭．(1)求πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求πcos 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．30．（2022·江苏南通·高一期末）已知sin 24sin 3cos 24cos 1αααα-=-+，π0.2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(1)求tan α和sin2α的值;(2)若πsin 2sin 2ββ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求αβ+的大小．31．（2022·全国·高一课时练习）已知()π,2πθ∈且3sin 25θ=，求：(1)sin 1cos θθ+；(2)sin 2cos θθ+．32．（2022·全国·高一课时练习）化简：3ππ2α⎛⎫<< ⎪⎝⎭；()3πcos tan 1cos 22ααα⎛⎫--+ ⎪()0πα<<.33．（2021·湖北黄石·高一期中）已知πtan 224α⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求tan α；(2)求1cos2sin21cos2sin2αααα++-+的值.34．（2022·宁夏·银川二中高一期末）（1）已知3π5π3sin ,cos 41345αβ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π3π044αβ<<<<，求cos()αβ+；（235．（2022·河南开封·高一期末）已知函数2()sin cos cos 2f x x x x x =+．(1)求()f x 的单调递减区间；(2)若函数()()g x f x a =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数a 的取值范围．参考答案：1．C【分析】利用两角和差的余弦公式结合条件即得.【详解】因为()1cos cos cos sin sin 3αβαβαβ+=-=()2cos cos cos sin sin 3αβαβαβ-=+=两式相加可得2cos cos 1αβ=，即1cos cos 2αβ=.故选：C.2．C【分析】根据辅助角公式化简结合三角函数的性质即得.【详解】因为πsin 2sin 3y x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，又[]πsin 1,13x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以函数sin cos y x x =的最大值是2.故选：C.3．D【分析】利用同角三角函数关系，结合正弦的二倍角公式，带值计算即可.【详解】()cos 1sin 2sin cos θθθθ--()()222cos sin cos 2sin cos cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ+--==--()()222cos sin cos tan 121cos sin cos sin cos tan 1105θθθθθθθθθθ--=-====++.故选：D.4．C【分析】根据诱导公式以及两角和与差的余弦公式即可求解.【详解】sin 50sin(9040)cos 40︒=︒-︒=︒；cos110cos(18070)cos70︒=︒-︒=-︒；∴原式sin 70sin 40cos 40cos 70︒︒+︒︒=()cos 7040cos 302=︒-︒=︒=.故选：C 5．C【分析】利用弦化切和两角和的正切展开式化简计算可得答案.【详解】因为sin cos 1sin cos 2αααα+=-．所以tan 1tan 112αα-+=，解得tan 3α=-，于是πtan 4α⎛⎫+=⎪⎝⎭()πtan tan3114π1321tan tan 4αα+-+==----．故选：C.6．D【分析】根据和差化积公式，sin 20sin(30(10))︒=︒+-︒，sin 40sin(30(10))︒=︒--︒，展开合并，再根据诱导公式()cos 10sin 80-︒=︒，即可求解.【详解】sin 20sin(30(10))sin 30cos(10)cos30sin(10)︒=︒+-︒=︒-︒+︒-︒①sin 40sin(30(10))sin 30cos(10)cos30sin(10)︒=︒--︒=︒-︒-︒-︒②+①②得：()sin 20sin 402sin 30cos 10︒+︒=︒-︒()sin 20sin 40sin 60sin 802sin 30cos 10∴︒+︒+︒-︒=︒-︒sin 60sin 80+︒-︒12sin 80sin 80222=⨯⨯︒+-︒=．故选：D 7．A【分析】利用正切的二倍角公式可得23tan 2tan 3022αα+-=，求出tan 2α，再根据α的范围可得答案.【详解】∵tan 3α=，∴22tan231tan 2αα=-，即23tan 2tan 3022αα+-=，∴1tan23α=-+1tan 23α=--.α为第三象限角，所以()3ππ2π2π2k k k α+<<+∈Z ，()π3πππ224k k k α+<<+∈Z ，∵cos 02α>，∴2α为第四象限角，∴tan02α<，∴1tan 23α=--故选：A.8．C【分析】利用辅助角公式化简a ，利用倍角公式化简,b c ，利用正弦函数的单调性比较大小.【详解】()1cos 66sin 306sin 242a ===︒-︒︒︒︒，2222tan132sin13cos13sin 261tan 13cos 13sin 13b ︒︒︒︒︒==︒︒=++，sin 25c ===︒.因为函数sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，所以a c b <<.故选：C.9．C【分析】将正切转化为正余弦，并通分，结合特殊角以及两角差的正弦公式化简求解即可.【详解】原式()2sin 3010cos102sin 20cos102sin 20cos10sin10sin10sin10sin10︒-︒-︒︒︒︒-︒=-==︒︒︒︒12cos10sin10cos102sin10⎛⎫︒︒-︒ ⎪⎝⎭=︒=-故选：C.10．C【分析】利用三角恒等变换化简即得.【详解】4sin 24cos 242sin 48sin12tan12cos12cos12︒︒︒︒︒︒︒++=()2sin 6012sin12cos12︒︒︒︒-+=sin12sin12cos12︒︒︒︒-+==故选：C.11．A【分析】由三角恒等变换将等式化简为cos π4x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即可求出πsin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，进一步求出sin x ，cos x ，即可求出tan x .【详解】因为πsin sin +2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin cos 4π5x x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则cos π4x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3π,444x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以sin π4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以sin sin sin cos cos sin4444ππ44ππππx x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭525210=⨯，因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos ,tan 310cos x x x x=-==-.故选：A.12．C【分析】由()f x 的最大值为2，利用辅助角公式可求A 的值，代入()g x ，并根据辅助角公式可得()π3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的图像与性质可得()max ππ43g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据两角和的正弦公式可求解.【详解】解：根据辅助角公式可得()sin f x A x x x x ⎫=--⎪⎪⎭()x ϕ-，其中tan ϕ=由()f x 的最大值为2()20A =>,解得1A =.∴()13cos sin 2g x x x x x ⎫=+=+⎪⎪⎭π3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，∴π7π13π,31212x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.∴当π7π312x +=，即π4x =时，()g x 取得最大值.故()max ππ43g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2122⎫==⎪⎪⎝⎭.故选:C.13．D【分析】先由平方关系得2214cos 8n =，再由倍角公式化简得()221sin181sin184sin 1821cos 72n --=-，最后由诱导公式求解即可.【详解】由题意知，222o 44sin 18184c s n ==-，则()()2222221sin181sin181sin181sin181sin184sin 1816cos 18sin 184sin 21cos 7242cos18sin1386n -----====-⋅，又()cos72cos 9018sin18=-=，则221sin1814sin 182n -=.故选：D.14．AD【分析】先利用倍角公式以及平方关系求出cos α，再结合选项逐个验证即可.【详解】因为21sin cos 24αα+=，所以22221sin cos sin cos 4αααα+-==，解得1cos 2α=±．又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 2α=，从而tan α=22tan tan 21tan ααα==-故选：AD.15．ABCD【分析】对于A ，可利用同角三角函数基本关系化简；对于B ，可利用()2sin cos 12sin cos αααα-=-及同角三角函数基本关系化简；对于C ，可先利用两角差的余弦公式及诱导公式统一角之后再进行化简；对于D ，可利用二倍角的正切公式化简.【详解】对于A ，因为α是第二象限角，所以sin 0,cos 0αα><，从而cos tan tan 1sin ααα=-，所以A 正确；对于Bsin 80cos801cos10sin10cos10sin10-==--︒︒，所以B 正确；对于C ，()2cos 3020sin 202cos10sin 2020sin 70cos 20cos 20︒︒︒︒︒︒---==︒=C 正确；对于D ，()1tan15tan 45tan15tan 45151tan151tan 45tan15++==+--⋅︒︒︒︒，所以D 正确.故选：ABCD.16．BD【分析】利用二倍角正弦公式可判断A;利用二倍角余弦公式判断B;利用同角三角函数的关系判断C;利用二倍角的正切公式判断D.【详解】对于A ，12sin15cos15sin 302︒︒=︒=,错误；对于B ，212sin 15cos 302-︒=︒=,正确；对于C ，22sin 15cos 151︒+︒=,错误；对于D ，223tan1532tan153tan 301tan 1521tan 1522︒︒=⋅=︒=-︒-︒，正确,故选:BD.17．ACD【分析】利用辅助角公式可化简得到()2sin 13f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；利用整体代换法可求得()f x 的对称中心、对称轴和单调增区间，对比选项可知ABC 正误；根据正弦型函数值域可求得()f x 值域，可知D 正确.【详解】()sin 12sin 13f x x x x π⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭；对于A ，令()3x k k πππ+=+∈Z ，解得：()23x k k ππ=+∈Z ，此时()1f x =-，()f x \的对称中心为()2,13k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z ，A 正确；对于B ，令()32x k k πππ+=+∈Z ，解得：()6x k k ππ=+∈Z ，()f x \的对称轴为()6x k k ππ=+∈Z ，B 错误；对于C ，令()22232k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ，解得：()52266k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，()f x \的增区间为()52,266k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，C 正确；对于D ，[]sin 1,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，[]2sin 13,13x π⎛⎫∴+-∈- ⎪⎝⎭，()f x \最大值是1，最小值是3-，D 正确.故选：ACD.18．AC【分析】结合三角恒等变换对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()tan1tan 44tan 45tan 144,11tan1tan 44︒+︒︒=︒+︒=-︒⋅︒，tan1tan 441tan1tan 44︒+︒=-︒⋅︒，所以()()1tan11tan 441tan1tan 44tan1tan 44+︒+︒=+︒+︒+︒⋅︒tan1tan 44tan1t 211an 44︒⋅︒+︒⋅+-︒==，A 选项正确.B 选项，1cos10sin10cos10sin10cos10︒︒-=︒︒︒︒()()2cos 60cos10sin 60sin102cos 601011sin 20sin 2022︒︒-︒︒︒+︒==︒︒cos 70sin 20444sin 20sin 20︒︒=⋅=⋅=︒︒，B 选项错误.C 选项，23sin 703cos 203cos 2021cos 203cos 202cos 10222--︒-︒===+︒-︒-︒-︒，C 选项正确.D选项，)sin 70tan 70cos10201cos101cos 70⎫︒︒⋅︒⋅︒-=⋅︒⋅⎪⎪︒⎝⎭cos 20cos10sin 20︒=⋅︒cos10=︒()1220cos 202sin 203012sin10sin10⎫︒-︒⎪︒-︒⎝⎭===-︒︒，D 选项错误.故选：AC 19．ACD【分析】由商数关系、诱导公式、和差角公式及倍角公式依次化简求值即可求解.【详解】对于A，()3sin10cos103sin10cos 401tan10cos 401cos 40cos10cos10⎛⎫=+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭()2sin 30102sin 40cos 40cos 40cos10cos10+=⋅=()sin 9010sin 80cos101cos10cos10cos10-====，A 正确；对于B，()()2sin 80601112sin 2022cos802sin160sin 18020-⎛====-⎝⎭，B 错误；对于C，)sin190sin190sin140tan190sin140sin140cos190cos190⎫-==⋅⎭()()2cos 301902cos 3601402sin140cos140sin140sin140cos190cos190cos190+-=⋅=⋅=()sin 19090sin 280cos1901cos190cos190cos190+====，C 正确；对于D ，()()s 47si o n 890290364cs 72co 361sin 544sin sin ︒︒︒︒︒︒︒︒=--=⋅⋅⋅()sin 180364cos 72cos36sin 362cos 72sin 72sin144sin 361sin 36sin 36sin 36sin 36sin 36︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒-⋅⋅⋅======，D 正确.故选：ACD.20．ACD【分析】根据两角和的正切公式及特殊角的三角函数值判断A ，由正切半角公式判断BC ，由()()tan 60tan 60tan tan 3αααα-+=︒︒，令25α=︒即可判断出D.【详解】1tan 45tan 303tan 75tan(4530)21tan 45tan 30+︒+︒︒=︒+︒==+-︒︒A 正确；由正切的半角公式知tan 75︒=B 错误；2sin 752sin 75cos 75sin150tan 75cos 752cos 751cos150︒︒︒︒︒===︒︒+︒，故C 正确；∵()()tan 60tan 60tan tan 3αααα-+=︒︒，令25α=︒，得tan75︒=tan25tan35tan85︒︒︒，可得D 正确.故选：ACD.21．25【分析】根据二倍角的正弦公式先化简，再利用同角三角函数间的基本关系求解即可.【详解】解：若tan 2θ=-，则2sin (1+sin2)sin (sin +cos )=sin +cos sin +cos θθθθθθθθθ222+sin cos =sin (sin +cos )=+sin sin cos θθθθθθθθ22+tan 2==+15tan tan θθθ，故答案为：25.【点评】本题考查二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，属于基础题.22．4-【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，然后利用换元法和函数单调性得到最小值，即可求出a .【详解】()cos 2212sin 216f x x x a x a π⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭，令26x t π+=，则7,66t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2sin 1y t a =++，所以当76πt =时，取得最小值，min y a =，所以4a =-.故答案为：-4.23．1【分析】使用二倍角公式及同角三角函数平方关系化简求值.【详解】因为sin 22sin cos ααα=，2cos 22cos 1αα=+，22sin cos 1αα+=，所以222sin 2cos sin 2sin cos cos sin sin 11cos21cos 1cos 2cos 1cos 1cos 1cos ααααααααααααααα⋅⋅=⋅⋅==++-+--．故答案为：124．[)1,+∞【分析】利用换元令2sin t x =，整理得24cos 4t t a -≤⨯，分类讨论和数形结合分析处理.【详解】设2sin ,[2,2]t x t =∈-，所以22224sin ,cos 1sin 1244t t t x x x -=∴=-=-=．所以对任意[2,2]t ∈-，不等式24cos 4t t a -≤⨯恒成立，所以对任意[2,2]t ∈-，不等式21cos 4t at a ≤-+恒成立，当0a =时，不等式cos 0t ≤不是恒成立；当a<0时，cos y t =在[2,0]-是增函数，在[0,2]是减函数，214y at a =-+在[2,0]-是减函数，在[0,2]是增函数，所以函数24()cos +4t g t t a -=⨯在[2,0]-是增函数，在[0,2]是减函数，所以当0=t 时，max ()101g t a a =-≤∴≥，，与a<0矛盾，所以舍去；当0a >时，对任意[2,2]t ∈-，不等式21cos 4t at a ≤-+恒成立，如图所示：所以2210cos 04,112cos 24a a a a a ⎧-⨯+≥⎪⎪∴≥⎨⎪-⨯+≥⎪⎩．综合得1a ≥．故答案为：[)1,+∞.25．12##0.5【分析】利用两角和的正弦化简三角函数式后可得其值.【详解】原式()sin 2030sin 20cos30cos 20︒︒︒︒+-=︒=sin 20cos 30cos 20sin 30sin 20cos 30cos 20︒︒︒︒︒︒+-︒=cos 20sin 301sin 30cos 202︒︒︒==︒．故答案为：12.26．2sin2α-【分析】利用同角关系“221sincos 22αα=+”，以及二倍角的正弦公式sin 2sin22ααα=，把根号配成完全平方式，开出来，根据α的范围去绝对值整理得答案.=sincossincos2222αααα=++-，由于5π7π22α<<，所以5π7π424α<<，当25π3π42α<<时，sin cos 022αα<<，原式sin cos sin cos 2sin 22222ααααα⎛⎫⎛⎫=-+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当432π7π2α≤<时，sin cos 022αα->>，原式sin cos sin cos 2sin 22222ααααα⎛⎫⎛⎫=-+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上，原式2sin 2α=-．故答案为：2sin 2α-.27．(1)2725(2)π4【分析】（1）利用22sin cos 1ββ+=将所求式子转化为齐次分式，从而利用sin tan cos βββ=即可得解；（2）先由cos()5αβ+=及π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求得sin()5αβ+=，从而得到1tan()2αβ+=，再利用正切的和差公式求得1tan 3α=，进而得解.【详解】（1）因为1tan 7β=，所以222222cos 2sin sin cos cos 2sin sin cos sin cos ββββββββββ-+-+=+2212tan tan 27tan 125βββ-+==+．（2）因为π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0παβ<+<，又因为25cos()5αβ+=，所以π02αβ<+<，sin()αβ+=所以1tan()2αβ+=，又1tan 7β=，所以由tan tan 1tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-，解得1tan 3α=，所以11tan()tan 23tan(2)tan[()]111tan()tan 16αβααβαβααβα++++=++===-+-，又π02αβ<+<，π02α<<，故02παβ<+<，所以π24αβ+=．28．(1)()cos sin f x x x =-(2)1718【分析】（1）结合三角恒等变换的知识化简()f x 的解析式.（2）利用平方的方法求得正确答案.【详解】（1）ππ,0,,0428x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，cos 0,sin 0,tan 0222x x x ><<，πcos sin 0,cos sin 222224x x x x x ⎛⎫->+=+ ⎪⎝⎭，πππ,2484x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以πcos sin 02224x x x ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭，()22sin cos f x x=22 sin cos x =22sin cos=+22sin cos sin222sin coscos cos sin222x x xx xx x x-=-⋅+⋅+2222cos sinsin222sin cossin cos cos sin cos sin222222x xxx xx x x x x x⎛⎫-⎪⎝⎭=-⋅+⋅⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭222sin1sin2sin cos1cossin2xxx xxx-=-⋅+⋅()1cos2sin cos1sin2xx x x-=-⋅+⋅-cos sinx x=-.（2）π,04α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()cos sinfααα=-=两边平方得4112sin cos,sin cos36αααα-==-，()2442222sin cos sin cos2sin cosαααααα+=+-⋅2111712161818⎛⎫=-⨯-=-=⎪⎝⎭.29．(1)【分析】（1）根据同角三角函数关系求出cos5α=-，再使用正弦的和角公式进行化简求值；（2）先使用二倍角公式求出22cos,sinαα的值，再使用余弦的差角公式进行求值.【详解】（1）因为π,π,sin 2αα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭所以cos α==，所以πππsin sin cos cos sin 444ααα⎛⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.（2）由二倍角公式得：23cos 22cos 15αα=-=，4sin 22sin cos 5ααα==-，所以πππ4cos 2cos 2cos sin 2sin 66610ααα-+⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭．30．(1)tan 3α=，3sin 25α=；(2)3π4【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系即可化简求得tan 3α=，以及22tan sin2tan 1ααα=+求值；（2）条件等式由诱导公式可得sin 2cos tan 2βββ=⇒=，即可由和差公式求得()tan αβ+，结合αβ+范围即可.（1）()()2sin cos 2sin 24sin sin cos 4sin tan 3cos 24cos 12cos 4cos 2cos cos 2αααααααααααααα---====-+--２２，2222sin cos 2tan 3sin2sin cos tan 15ααααααα===++；（2）πsin 2sin 2cos tan 22ββββ⎛⎫=+=⇒= ⎪⎝⎭，()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--，∵()0,παβ+∈，∴3π4αβ+=.31．(1)34-(2)25-【分析】先由同角的平方关系得到cos 2θ的值，从而得到tan2θ，结合万能公式，分别代入（1）（2）中计算即可.（1）因为()3sin ,π,2π25θθ=∈，所以π,π22θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，于是4cos 25θ=-．设3sin352tan 424cos 25θθθ====--t ．2222sin 23111cos 2411θθ+====--+++t t t t t t ．（2）2222221222sin 2cos 2111θθ-+-+=+⋅==+++t t t t t t t 22332222445314⎛⎫⎛⎫⨯-+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫+- ⎪⎝⎭．32．(1)2α(2)2α-【分析】（1）先求出2α的范围，再利用二倍角公式和同角三角函数间的关系化简计算即可，（2）利用半角公式，诱导公式和二倍角公式化简即可.（1）因为3ππ2α<<，所以π3π224α<<，所以原式2222sin 2sin cos cos sin 2sin cos cos 22222222αααααααα++-+=22sin cos sin cos 22222222αααααααα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+sin cos sin cos 222222αααα⎫⎫=-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2α=.（2）因为2sin 2sincossin 222tan21cos cos2cos 22αααααααα===+，所以()1cos tansin 2ααα+=.又因为3πcos sin 2αα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且21cos 2sin 2αα-=，所以原式cos 22sin 2ααα=-，因为0απ<<，所以π022α<<，所以sin 02α>.所以原式2α=-.33．(1)34；(2)43.【分析】（1）根据两角和的正切公式，结合正切二倍角公式进行求解即可；（2）根据二倍角的正弦公式和余弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.（1）由πtantantan 1π1242tan()222tan π24231tan tan 1tan 242αααααα+++=⇒⇒=⇒=--，所以22122tan332tan 141tan 1()23ααα⨯===--；（2）221cos 2sin 212cos 12sin cos 2cos (cos sin )14.1cos 2sin 21(12sin )2sin cos 2sin (sin cos )tan 3ααααααααααααααααα+++-++====-+--++34．（1）3365-；（2）-.【分析】（1）判断角的范围，利用同角的三角函数关系求得3π12cos 413α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，π4sin()45β-=-,将cos()αβ+化为3ππsin 44αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,即可利用两角差的正弦公式求得答案;（2）利用诱导公式以及三角恒等变换公式，即可化简求值.【详解】（1）π3π044αβ<<<<，∴3π3ππππ,04424αβ<+<-<-<,又3π5sin 413α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π3cos 45β⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∴3π12cos 413α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，π4sin()45β-=-,∴()3ππcos sin 44αβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3ππ3ππ=sin cos cos sin 4444αβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯--+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭531243313513565=⨯-⨯=-;（2()cos10cos 180101cos10cos10⎛++ -=⨯=12cos102⎛⎫-+ ⎪=-.35．(1)2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；(2)31,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【分析】（1）先由倍角公式及辅助角公式得()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由正弦函数的单调性求解即可；（2）将题设转化为()a f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，确定()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，即可求出实数a 的取值范围．(1)21cos 211()sin cos cos 2sin 2cos 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x x x -=++=++=++1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令3222,262k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ，解得2,63k x k k ππππ+≤≤+∈Z ，则()f x 的单调递减区间为2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；(2)函数()()g x f x a =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，可转化为()a f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，当0,6x π⎡⎤∈⎢⎣⎦时，2,662x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭单增，当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,626x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭单减，又()10sin 162f π=+=，13sin 6222f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，71sin 0262f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，要使()a f x =在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上有两个解，则31,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.。

课时过关检测（二十五） 简单的三角恒等变换A 级——基础达标1．若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，α，β∈(0，π2)，则tan αtan β＝( )A ．2 B ．12C ．3D ．13解析：选A ∵sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)， ∴sin αcos β＝2cos αsin β，∴tan α＝2tan β， 即tan αtan β＝2，故选A ．2．计算：1－cos 210°cos 80°1－cos 20°等于( )A ．22B ．12C ．32D ．－22解析：选A 1－cos 210°cos 80°1－cos 20°＝sin 210°sin 10°1－(1－2sin 210°)＝sin 210°2sin 210°＝22. 3．若2cos 2α＋cos (π2＋2α)－12sin (2α＋π4)＝4，则tan (2α＋π4)＝( )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：选C ∵2cos 2α＋cos(π2＋2α)－12sin (2α＋π4)＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝4， ∴tan (2α＋π4)＝1＋tan 2α1－tan 2α＝14.故选C ．4．(2021·安徽省部分重点学校联考)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β＝( )A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6解析：选C 法一：因为0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜π2，又sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，则sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos α·sin(α－β)＝55×31010－255×(－1010)＝22，则β＝π4，故选C ． 法二：因为0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜π2，又sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，则cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝255×31010＋55×(－1010)＝22，则β＝π4，故选C ．5．(多选)已知sin α＝－45，180°<α<270°，则下列选项正确的是( )A ．sin 2α＝－2425B ．sin α2＝255C ．cos α2＝－55D ．tan α2＝－2 解析：选BCD ∵180°<α<270°，∴cos α＝－35，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×(－45)×(－35)＝2425，故A 错误．∵90°<α2<135°，∴sin α2＝ 1－cos α2＝ 1－(－35)2＝255；cos α2＝－ 1＋cos α2＝1－352＝－55；tan α2＝sin α2cosα2＝－2，故B 、C 、D 均正确． 6．(多选)(2021·河北石家庄第二中学模拟)已知0<θ<π4，若sin 2θ＝m ，cos 2θ＝n ，且m ≠n ，则下列选项中与tan (π4－θ)恒相等的有( )A ．n 1＋m B ．m 1＋nC ．1－n mD ．1－m n解析：选AD ∵sin 2θ＝m ，cos 2θ＝n ，∴m 2＋n 2＝1，∴1－m n ＝n 1＋m .∴tan (π4－θ)＝1－tan θ1＋tan θ＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝(cos θ－sin θ)(cos θ－sin θ)(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝1－sin 2θcos 2θ＝1－m n ＝n1＋m.故选A 、D. 7.sin 20°－sin 40°cos 20°－cos 40°＝.解析：原式＝2cos 20°＋40°2sin20°－40°2－2sin 20°＋40°2sin20°－40°2＝2cos 30°sin (－10°)－2sin 30°sin (－10°)＝－3212＝－3.答案：－38．已知cos (α＋π6)－sin α＝435，则sin (α＋11π6)＝.　解析：由cos (α＋π6)－sin α＝32cos α－12sin α－sin α＝32cos α－32sin α＝3(12cos α－32sin α)＝3cos (α＋π3)＝3sin (π6－α)＝435，得sin (π6－α)＝45，sin (α＋11π6)＝－sin [2π－(α＋11π6)]＝－sin (π6－α)＝－45.答案：－459．已知α，β均为锐角，且cos(α－β)＝35，cos(α＋β)＝15，则tan α·tan β＝.解析：由题意知，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35，①cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝15，②由①②得，cos αcos β＝25，sin αsin β＝15，则tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝12.答案：1210．已知α∈(0，π2)，且2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0，则sin (α＋π4)sin 2α＋cos 2α＋1＝ .解析：∵2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0， ∴(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0， 又α∈(0，π2)，sin α＋cos α＞0，∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213，sin α＝313， ∴sin (α＋π4)sin 2α＋cos 2α＋1＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(cos 2α－sin 2α)＝24cos α＝268. 答案：26811．(2021·昆明市高考三诊一模)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13.(1)求证：sin α cos β＝5cos α sin β；(2)若已知0＜α＋β＜π2，0＜α－β＜π2，求cos 2α的值．解：(1)证明：∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13，∴2sin αcos β＋2cos αsin β＝1，① 3sin αcos β－3cos αsin β＝1，② ②－①得sin αcos β－5cos αsin β＝0， 则sin αcos β＝5cos αsin β.(2)∵sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，0＜α＋β＜π2，0＜α－β＜π2，∴cos(α＋β)＝32，cos(α－β)＝223，则cos 2α＝cos [(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝32×223－12×13＝26－16.12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f (π2－2x )－2f 2(x )在区间[0，2π3]上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝2×12×(－32)＋33＝－36.(2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，∴g (x )＝3cos (π2－2x )－2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin (2x －π6)－1.∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6.∴－12≤sin (2x －π6)≤1， ∴－2≤2sin (2x －π6)－1≤1，故函数g (x )＝3f (π2－2x )－2f 2(x )在区间[0，2π3]上的值域是[－2,1]．B 级——综合应用13．已知f (tan x )＝sin 2x －sin 2x ，记sin α＝f(12)，其中α是第四象限角，则tan(α＋π4)＝( ) A ．17B ．－17C ．7D ．－7解析：选A ∵f (tan x )＝sin 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝tan 2x －2tan x tan 2x ＋1，∴f(12)＝－35，即sin α＝－35.又α是第四象限角，∴cos α＝45，∴tan α＝－34，∴tan (α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝17.故选A ． 14．(多选)(2021·青岛市高三质量检测)已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ，x ∈R ，则( )A ．－2≤f (x )≤2B ．f (x )在区间(0，π)上只有1个零点C ．f (x )的最小正周期为πD ．x ＝π3为f (x )图象的一条对称轴解析：选ACD 已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x ·cos x －cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π6)，x ∈R ，对于A ：－2≤f (x )≤2，A 正确；对于B ：令2x －π6＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，所以f (x )在区间(0，π)上有2个零点，B 错误； 对于C ：f (x )的最小正周期为π，C 正确；对于D ：将x ＝π3代入函数f (x )＝2sin (2x －π6)，x ∈R ，则f(π3)＝2sin (2×π3－π6)＝2，所以x ＝π3为f (x )图象的一条对称轴，D 正确．故选A 、C 、D.15.如图，现要在一块半径为1 m ，圆心角为π3的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP ＝θ，平行四边形MNPQ 的面积为S .(1)求S 关于θ的函数关系式； (2)求S 的最大值及相应的θ角．解：(1)如图，分别过P ，Q 作PD ⊥OB 于点D ，QE ⊥OB 于点E ，则四边形QEDP 为矩形．由扇形半径为1 m ，得PD ＝sin θ，OD ＝cos θ.在Rt △OEQ 中，OE ＝33QE ＝33PD ＝33sin θ，MN ＝QP ＝DE ＝OD －OE ＝cos θ－33sin θ，S ＝MN ·PD ＝(cos θ－33sin θ)·sin θ＝sin θcos θ－33sin 2θ，θ∈(0，π3). (2)S ＝12sin 2θ－36(1－cos 2θ)＝12sin 2θ＋36cos 2θ－36＝33sin (2θ＋π6)－36， 因为θ∈(0，π3)，所以2θ＋π6∈(π6，5π6)，sin (2θ＋π6)∈(12，1].当θ＝π6时，S max ＝36(m 2)．C级——迁移创新16.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多少？”设θ＝∠BAC，现有下述四个结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；②tan θ2＝23；④tan(θ＋π4)＝－177.其中所有正确结论的序号是( )A．①③B．①③④C．①④D．②③④解析：选B　设BC＝x尺，则AC＝(x＋1)尺，在Rt△ABC中，∵AB＝5，∴52＋x2＝(x＋1)2，∴x＝12.∴tan θ＝12 5，∴tan θ＝2tanθ21－tan2θ2＝125，解得tan θ2＝23(负根舍去)．∵tan θ＝125，∴tan(θ＋π4)＝1＋tan θ1－tan θ＝－177，故正确结论的序号为①③④.故选B.。

第6讲 简单的三角恒等变换一、选择题1．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35 C.15 D.35解析：sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1 ＝－35. 答案：B2．(2010·广东肇庆调研)已知tan α＝12，则(sin α＋cos α)2cos 2α等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 解析：(sin α＋cos α)2cos 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝sin α＋cos αcos α－sin α ＝1＋tan α1－tan α＝1＋121－12＝3. 答案：C 3．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝( ) A ．－79 B ．－13 C.13 D.79解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1 ＝－79. 答案：A4．(2010·山东威海检测)若f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值是( ) A ．－433B ．8C ．4 3D ．－4 3 解析：∵f (x )＝2tan x ＋cos x 12sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x ＝2×tan 2x ＋1tan x ＝4×1＋tan 2x 2tan x ＝4sin 2x， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sin π6＝8. 答案：B二、填空题5．(2009·南京二调)计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________. 解析：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝2cos(10°－60°)2sin 240°＝2cos 50°2sin 40°＝ 2. 答案： 26．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝14，0<α<π4，则sin 4α＝________. 解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝14. ∴cos 2α＝12， 又0<α<π4，∴0<2α<π2，∴sin 2α＝32， ∴sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×32×12＝32. 答案：327．(2010·南通调研)已知1－cos 2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)等于________．解析：由1－cos 2αsin αcos α＝1得2sin 2αsin αcos α＝1，∴tan α＝12，从而tan(β－2α)＝tan(β－α－α)＝tan(β－α)－tan α1＋tan(β－α)tan α＝－13－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×12＝－1. 答案：－1三、解答题 8．(2009·龙岩质量检查)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝233. (1)求cos α的值；(2)若sin(α＋β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝233， 所以⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＝43， 所以1＋2sin α2cos α2＝43，sin α＝13. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－ 1－19＝－223. (2)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2， 又sin(α＋β)＝－35，得cos(α＋β)＝－45. sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)·cos α－cos(α＋β)·sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×13 ＝62＋415.9．已知sin α2－cos α2＝105，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan(π－β)＝12，求tan(α－2β)的值． 解：∵sin α2－cos α2＝105，∴1－sin α＝25，∴sin α＝35， 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45，从而tan α＝－34， ∵tan(π－β)＝－tan β＝12，∴tan β＝－12， ∴tan 2β＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝－43. ∴tan(α－2β)＝－34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－431＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝724. 10．若α，β∈(0，π)，cos α＝－750，tan β＝－13，求α＋2β的值． 解：∵cos α＝－750，且α∈(0，π)， ∴sin α＝150，tan α＝－17， 又tan β＝－13，∴tan 2β＝2tan β1－tan 2 β＝－34， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝－1 由α∈(0，π)，tan α＝－17＜0，得π2＜α＜π. 由β∈(0，π)，tan β＝－13＜0，得β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 又2β∈(π，2π)，tan 2β＝－34＜0， ∴3π2＜2β＜2π，因此2π＜α＋2β＜3π. ∴α＋2β＝114π.1．(2010·创新题)设向量a ＝(cos 25°，sin 25°)，b ＝(sin 20°，cos 20°)，若t 是实数，且u ＝a ＋tb ，则|u |的最小值是( ) A. 2 B ．1 C.22 D.12解析：u ＝a ＋tb ＝(cos 25°＋t sin 20°，sin 25°＋t cos 20°)∴|u |＝(cos 25°＋t sin 20°)2＋(sin 25°＋t cos 20°)2＝1＋t 2＋2t (cos 25°sin 20°＋sin 25°cos 20°) ＝1＋t 2＋2t ＝ ⎝⎛⎭⎪⎫t ＋222＋12. ∴当t ＝－22时，|u |最小为22. 答案：C 2．(★★★★)设f (x )＝1＋cos 2x 4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x －a sin x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－x 2的最大值为2，则常数a ＝________.解析：∵f (x )＝2cos 2x 4cos x ＋a sin x 2cos x 2＝12cos x ＋a 2sin x ＝ 14＋a 24sin(x ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中φ满足sin φ＝11＋a 2，cos φ＝a 1＋a 2， 由已知 14＋a 24＝2，∴a ＝±15. 答案：±15。