三角恒等变换知识讲解(基础)

高考数学总复习三角恒等变换基础知识讲解【考纲要求】1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式、2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式、3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系、4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）、【知识网络】简单的三角恒等变换三角恒等变换两角和与差的三角函数公式倍角公式【考点梳理】考点一、两角和、差的正、余弦公式要点诠释：1、公式的适用条件(定义域)XXXXX：前两个公式,对任意实数α，β都成立，这表明该公式是R上的恒等式；公式③中2、正向用公式,，能把和差角的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角的弦函数。

公式正向用是用单角的正切值表示和差角的正切值化简。

考点二、二倍角公式1、在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式：；；。

要点诠释：1、在公式中，角α没有限制，但公式中，只有当时才成立；2、余弦的二倍角公式有三种：＝＝；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。

3、二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，，的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键。

考点三、二倍角公式的推论降幂公式：；；、万能公式：；、半角公式：；；、其中根号的符号由所在的象限决定、要点诠释：(1)半角公式中正负号的选取由所在的象限确定；(2)半角都是相对于某个角来说的，如可以看作是3α的半角，2α可以看作是4α的半角等等。

(3)正切半角公式成立的条件是α≠2kπ+π(k∈Z)正切还有另外两个半角公式：，这两个公式不用考虑正负号的选取问题，但是需要知道两个三角函数值。

常常用于把正切化为正余弦的表达式。

三角恒等变换三角恒等变换是解决三角函数之间关系的重要工具，它们能够将一个三角函数表达式转化为与之等价的形式。

在解三角函数方程、简化和证明三角恒等式时，熟练掌握三角恒等变换是至关重要的。

1. 基本的三角恒等变换基本的三角恒等变换包括：- 正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1：sin^2(x) + cos^2(x) = 1- 1加上正切函数的平方等于secant函数的平方：1 + tan^2(x) = sec^2(x)- 1加上余切函数的平方等于cosecant函数的平方：1 + cot^2(x) = csc^2(x)这些基本的恒等变换在求解三角函数方程的时候经常会用到。

2. 倍角恒等变换倍角恒等变换是将角度翻倍的三角函数关系，其中包括：- 正弦函数的倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)- 余弦函数的倍角公式：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)- 正切函数的倍角公式：tan(2x) = (2tan(x))/(1 - tan^2(x))倍角恒等变换可以帮助我们简化三角函数表达式，从而更容易进行计算和证明。

3. 和差恒等变换和差恒等变换是将两个三角函数的和或差转化为一个三角函数的形式，常见的和差恒等变换包括：- 正弦函数的和差公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)- 余弦函数的和差公式：cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)- 正切函数的和差公式：tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y))/(1 ∓ tan(x)tan(y))和差恒等变换可以帮助我们将复杂的三角函数表达式转化为简单的形式，方便计算和处理。

4. 半角恒等变换半角恒等变换是将一个角度的一半与三角函数的关系转化为另一个角度的三角函数关系。

三角恒等变换内容一、什么是三角恒等变换呀三角恒等变换就是对三角函数进行各种变形，让它们在形式上发生变化，但本质上还是相等的。

就像是给三角函数换了一身衣服，但还是同一个“人”哦。

这在数学里可太有用啦，就像搭积木一样，可以把复杂的三角函数表达式通过恒等变换变成我们容易处理的形式。

比如说，sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB，这就是一个很经典的三角恒等变换公式呢。

它可以帮助我们计算很多和三角函数有关的问题，像在物理里计算波的叠加之类的。

二、常见的三角恒等变换公式1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式对于正弦，sin(A ± B)=sinAcosB±cosAsinB。

咱可以想象成把两个角的正弦和余弦按照一定的规则组合起来。

就好比是两个人合作完成一件事，每个人都出一部分力，最后组合成一个结果。

余弦呢，cos(A ± B)=cosAcosB∓sinAsinB。

这个公式和正弦的有点像，但是符号有些不同，就像是双胞胎，长得很像但是有一些小区别。

正切的公式是tan(A ± B)=(tanA±tanB)/(1∓tanAtanB)。

这个公式相对来说就有点复杂啦，不过只要记住分子分母分别是什么就好啦。

2. 二倍角公式sin2A = 2sinAcosA。

这个可以理解为角加倍了，正弦的表达式就变成了这样。

就好像是一个任务原来是一个人用一种方式做，现在变成两个人合作的方式来做了。

cos2A = cos²A - sin²A = 2cos²A - 1 = 1 - 2sin²A。

这个公式有三种不同的形式呢，可以根据具体的题目情况来选择使用哪种形式更方便。

tan2A=(2tanA)/(1 - tan²A)。

这个和两角和的正切公式有点联系，也是要小心分子分母的内容哦。

三、怎么运用这些公式进行三角恒等变换呢1. 化简三角函数表达式当我们看到一个复杂的三角函数表达式时，首先要观察它里面有哪些角，是和差的形式还是倍角的形式。

三角恒等变换知识点总结详解三角恒等变换是指一些与三角函数相关的恒等式或等式组，通过这些等式可以将一个三角函数表达式转化为另一个三角函数表达式，或者简化一个复杂的三角函数表达式。

这些恒等变换在解决三角函数相关问题时非常有用。

下面是对一些常见的三角恒等变换进行总结和详解。

1.正弦函数的恒等变换：- 正弦函数的定义：对于任意实数x，sin(x) = y，其中y为[-1, 1]之间的值。

- 正弦函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)，即正弦函数以2π为周期。

- 正弦函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，即正弦函数是奇函数。

2.余弦函数的恒等变换：- 余弦函数的定义：对于任意实数x，cos(x) = y，其中y为[-1, 1]之间的值。

- 余弦函数的周期性：cos(x + 2π) = cos(x)，即余弦函数以2π为周期。

- 余弦函数的奇偶性：cos(-x) = cos(x)，即余弦函数是偶函数。

3.正切函数的恒等变换：- 正切函数的定义：对于任意实数x（除了例如π/2 + kπ，其中k 为整数），tan(x) = y，其中y为整个实数轴上的值。

- 正切函数的周期性：tan(x + π) = tan(x)，即正切函数以π为周期。

- 正切函数的奇偶性：tan(-x) = -tan(x)，即正切函数是奇函数。

4.三角函数的平方和差公式：- sin²(x) + cos²(x) = 1，即正弦函数的平方与余弦函数的平方和等于1- sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，即正弦函数的和的正弦等于两个正弦函数的乘积和。

- cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)，即余弦函数的和的余弦等于两个余弦函数的乘积差。

- sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)，即正弦函数的差的正弦等于两个正弦函数的乘积差。

三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结三角恒等变换是高考数学中的重要内容，涉及到三角函数的性质和等价关系。

在解决三角函数相关题目时，熟练掌握三角恒等变换可帮助我们简化计算和推导过程，提高解题效率。

本文将对三角恒等变换中的关键知识点进行总结。

一、基本恒等式1. 余弦、正弦和正切的平方和恒等式：$cos^2(x) + sin^2(x) = 1$$1 - tan^2(x) = sec^2(x)$$1 - cot^2(x) = csc^2(x)$这些恒等式是三角函数中最为基础的恒等式，也是其他恒等式的基础。

通过这些基本恒等式，我们可以推导出其他更复杂的恒等式。

2. 三角函数的互余关系：$sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos(x)$$cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$$tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{cot(x)}$$cot(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{tan(x)}$互余关系表明，角度x和其余角之间的三角函数之间存在特定的关系。

3. 三角函数的倒数关系：$sin(-x) = -sin(x)$$cos(-x) = cos(x)$$tan(-x) = -tan(x)$$cot(-x) = -cot(x)$三角函数的倒数关系表明，对于同一角度的正负，其正弦、余弦、正切和余切的值也是相反的。

二、和差恒等式和差恒等式是三角恒等变换中的重要内容，它们可用于将角度的和或差转化为其他三角函数表示，从而简化解题过程。

1. 正弦和差恒等式：$sin(x \pm y) = sin(x)cos(y) \pm cos(x)sin(y)$2. 余弦和差恒等式：$cos(x \pm y) = cos(x)cos(y) \mp sin(x)sin(y)$3. 正切和差恒等式：$tan(x \pm y) = \frac{tan(x) \pm tan(y)}{1 \mp tan(x)tan(y)}$这些和差恒等式在解决角度和为特定值时的三角函数计算中起到了重要的作用。

三角恒等变换知识点总结2014/10/24一、基本内容串讲1． 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=对其变形：tan α＋tan β=tan(α+β）(1— tan αtan β)，有时应用该公式比较方便。

2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-。

要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系(升角-降次，降角-升次)．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式常用。

3.辅助角公式：sin cos4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭cos 2sin 6x x x π⎛⎫±=± ⎪⎝⎭()sin cos a x b x x ρ+=+。

4。

简单的三角恒等变换（1)变换对象:角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质.（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。

（3)变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。

（4)变换思路：明确变换目标，选择变换公式,设计变换途径. 5。

常用知识点：（1）基本恒等式：22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==（注意变形使用，尤其‘1’的灵活应用,求函数值时注意角的范围）；（2）三角形中的角:A B C π++=，sinA sin(B ),cosA cos(B C)C =+=-+； （3）向量的数量积：cos ,a b a b a b =，1212a b x x y y =+，12120a b x x y y ⊥⇔+=1221//0a b x y x y ⇔-=;二、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sin 20cos 40cos 20sin 40+的值等于（ ）2、若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于( ） 3、若3,4παβ+=则(1tan )(1tan )αβ--的值是________． 4、(1tan1)(1tan 2)(1tan3)(1tan 44)(1tan 45)+︒+︒+︒+︒+︒=_______________。

初中数学知识归纳三角恒等变换初中数学知识归纳——三角恒等变换三角恒等变换是初中数学中的重要内容之一，它是解决三角函数相关题目的基础。

在数学学习中，了解并熟练掌握三角恒等变换对于提高解题效率、拓宽思维方式、加深对三角函数的理解都具有重要作用。

本文将对三角恒等变换进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用。

一、基本概念在开始具体介绍三角恒等变换之前，我们首先需要了解一些基本概念。

三角恒等变换是指通过等式变换的方式，将一个三角函数表达式转化为相等的另一个三角函数表达式。

在这个过程中，我们需要用到一些基本的三角函数关系，如正弦函数、余弦函数、正切函数等。

二、常见恒等变换下面我们将重点介绍一些常见的三角恒等变换，对于初中数学学习而言，这些恒等变换是必须要熟练掌握的。

这些恒等变换可以帮助我们简化计算、拓宽解题思路、提高解题速度。

1. 余弦函数的恒等变换（1）余弦函数和正弦函数之间的关系：cos^2θ + sin^2θ = 1（2）余弦函数的偶性：cos(-θ) = cosθ（3）余弦函数的倒数：1/cosθ = secθ2. 正弦函数的恒等变换（1）正弦函数和余弦函数之间的关系：sin^2θ + cos^2θ = 1（2）正弦函数的奇性：sin(-θ) = -sinθ（3）正弦函数的倒数：1/sinθ = cscθ3. 正切函数的恒等变换（1）正切函数和余切函数之间的关系：tanθ = sinθ/cosθ（2）正切函数的奇性：tan(-θ) = -tanθ（3）正切函数的倒数：1/ta nθ = cotθ4. 其他特殊变换（1）和差角公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB（2）倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)三、应用举例为了更好地理解和应用三角恒等变换，我们可以通过一些具体的例子来加深印象。

三角恒等式知识点三角恒等式是指在三角函数中，存在一些恒等关系，即两个不同的三角函数之间相互转化的等式。

掌握了三角恒等式的知识，可以帮助我们简化复杂的三角函数运算，求解三角方程以及证明其他的数学定理。

以下是一些常见的三角恒等式知识点：1. 基本的三角恒等式：(1) 正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1：sin^2θ + cos^2θ = 1(2) 余弦函数与正弦函数之间的倒数关系：cosθ = 1/sinθsinθ = 1/cosθ(3) 正切函数与余切函数之间的倒数关系：tanθ = 1/cotθcotθ = 1/tanθ(4) 余弦函数与正切函数之间的关系：cosθ = cos^2θ/1-sin^2θcosθ = 1 - 2sin^2θcosθ = 1 - tan^2θ(5) 正弦函数与余切函数之间的关系：sinθ = sin^2θ/1-cos^2θsinθ = 2sinθcosθsinθ = tanθ/√(1+tan^2θ)(6) 正切函数与余弦函数之间的关系：tanθ = sinθ/cosθtanθ = √(1-cos^2θ)/cosθ(7) 余切函数与正弦函数之间的关系：cotθ = cosθ/sinθcotθ = √(1-sin^2θ)/sinθ2. 和差角公式：(1) 正弦函数的和差角公式：sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβsin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ(2) 余弦函数的和差角公式：cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβcos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ(3) 正切函数的和差角公式：tan(α+β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ) tan(α-β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanαtanβ)3. 二倍角公式：(1) 正弦函数的二倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ(2) 余弦函数的二倍角公式：cos2θ = cos^2θ - sin^2θcos2θ = 2cos^2θ - 1cos2θ = 1 - 2sin^2θ(3) 正切函数的二倍角公式：tan2θ = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)4. 三倍角公式：(1) 正弦函数的三倍角公式：sin3θ = 3sinθ - 4sin^3θ(2) 余弦函数的三倍角公式：cos3θ = 4cos^3θ - 3cosθ(3) 正切函数的三倍角公式：tan3θ = (3tanθ - tan^3θ) / (1 - 3tan^2θ)5. 半角公式：(1) 正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2](2) 余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2](3) 正切函数的半角公式：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]这些是三角恒等式的一些基本知识点，掌握了这些恒等式，可以帮助我们在解题和证明中更加灵活地运用三角函数的性质。

三角恒等变换讲解三角恒等变换是指在三角函数之间相互变换的一系列等式关系，常用于简化和证明三角函数的性质以及求解三角方程。

下面介绍一些常见的三角恒等变换：1. 基本恒等变换：-正弦与余弦的关系：sin²θ+ cos²θ= 1-正切与余切的关系：tanθ= sinθ/ cosθ，cotθ= cosθ/ sinθ-余割与正割的关系：cscθ= 1 / sinθ，secθ= 1 / cosθ2. 倍角恒等变换：-正弦的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ-余弦的倍角公式：cos(2θ) = cos²θ- sin²θ= 2cos²θ- 1 = 1 - 2sin²θ-正切的倍角公式：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)3. 和差恒等变换：-正弦的和差公式：sin(A ±B) = sinAcosB ±cosAsinB-余弦的和差公式：cos(A ±B) = cosAcosB ∓sinAsinB-正切的和差公式：tan(A ±B) = (tanA ±tanB) / (1 ∓tanAtanB)4. 反函数恒等变换：-正弦的反函数：sin⁻¹(x) = θ，其中sinθ= x，-π/2 ≤θ≤π/2-余弦的反函数：cos⁻¹(x) = θ，其中cosθ= x，0 ≤θ≤π-正切的反函数：tan⁻¹(x) = θ，其中tanθ= x，-π/2 < θ< π/2注意，上述恒等变换只是一部分常见的例子，实际上还有许多其他的三角恒等变换。

在解题或证明过程中，根据需要，可以根据题目的要求和三角函数的关系，使用适当的三角恒等变换来简化计算或推导出所需的结果。

三角恒等变换知识点总结三角恒等变换是解决三角函数中相关问题的重要工具，它们可以帮助我们简化表达式、证明恒等式以及解决三角方程等。

在本文中，将总结三角恒等变换的一些基本知识点，包括正弦、余弦和正切的恒等变换。

1. 正弦和余弦的恒等变换：(1) 余弦的恒等变换：a. 基本恒等式：cos^2θ + sin^2θ = 1，该恒等式也被称为三角恒等式之母。

b. 余弦的平方差公式：cos(α - β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ，该公式可以用于简化两个余弦的差的表达式。

c. 余弦的和的公式：cos(α + β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ，该公式可以用于简化两个余弦的和的表达式。

d. 余弦的倍角公式：cos2θ = 2cos^2θ - 1或cos2θ = 1 - 2sin^2θ，该公式可以用于简化余弦的倍角表达式。

(2) 正弦的恒等变换：a. 正弦的平方差公式：sin(α - β) = sinα·cosβ - cosα·sinβ，该公式可以用于简化两个正弦的差的表达式。

b. 正弦的和的公式：sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ，该公式可以用于简化两个正弦的和的表达式。

c. 正弦的倍角公式：sin2θ = 2sinθ·cosθ，该公式可以用于简化正弦的倍角表达式。

2. 正切的恒等变换：正切的恒等变换是基于正弦和余弦的恒等变换推导而来的：a. 正切的平方差公式：tan(α - β) = (tanα - tanβ)/(1 + tanα·tanβ)，该公式可以简化两个正切的差的表达式。

b. 正切的和的公式：tan(α + β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanα·tanβ)，该公式可以简化两个正切的和的表达式。

c. 正切的倍角公式：tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan^2θ)，该公式可以简化正切的倍角表达式。