3.2简单的三角恒等变换

数学C1版课件人教版必修4 第三章3.2 简单的三角恒等变换优思教辅共享课件分享人：教员–黄钟吕CONTENTS 半角公式的应用01积化和差、和差划积公式的应用02三角恒等式的证明03目录角的构造技巧与公式的灵活运用0405向量与三角知识的综合运用3．2简单的三角恒等变换重点：①半角的正弦、余弦、正切公式及推导．②积化和差公式及和差化积公式的推导．难点：公式的运用．1．半角公式、和积互化公式不要求记忆，要求能够结合题目特点选用公式．若想记忆公式可参照下列口诀：(1)半角公式无理半角常戴帽，半角确定帽前号；数1余弦加减连，余弦用加正弦减，半角正切不用记，同角弦切有关系．若要不用符号式，分母正弦分子减．(2)和差化积公式正和正余弦、正差正后迁、余加余弦积、余减反正弦．(3)积化和差公式正余正弦和，余正正弦差，余积余弦和，正积反余差．注：“反”即添负号换名称．2．倍角公式、半角公式与和(差)角公式的内在联系：3．注意下列问题(1)应用半角公式注意正负号的确定，半角公式根号前的正负号由α2所在的象限确定，能避免开方的尽量避免．(2)注意理解简单的三角变换的思路：①观察不同三角函数式结构形式方面的差异；②观察不同三角函数式所包含的角的差异，以及这些角的三角函数种类方面的差异．③依据“差异”选取变换途径及公式．(3)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面加以考虑：①运用公式之后，能否出现特殊角；②运用公式之后，能否进行提取公因式，能否约分，能否合并或消项；③运用公式之后，能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件．(4)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次．对于三角函数的和差化积，有时因使用公式不同或选择解题的思路不同，化积结果可能不一致．引入辅助角公式也是一种化积公式，在解题中有广泛应用．[例1] 化简：1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ＋1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ.[解析] 解法一：∵tan θ2＝1－cos θsin θ＝sin θ1＋cos θ＝1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ， ∴1tan θ2＝1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ∴原式＝tan θ2＋1tan θ2＝sin θ2cos θ2＋cos θ2sin θ2＝1cos θ2sin θ2＝2sin θ.解法二：原式＝2sin 2θ2＋2sin θ2cosθ22cos 2θ2＋2sin θ2cosθ2＋2cos 2θ2＋2sin θ2cos θ22sin 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝sin θ2cos θ2＋cos θ2sin θ2＝1cos θ2sin θ2＝2sin θ.解法三：原式＝(1＋sin θ－cos θ)2＋(1＋sin θ＋cos θ)2(1＋sin θ＋cos θ)(1＋sin θ－cos θ)＝2(1＋sin θ)2＋2cos 2θ(1＋sin θ)2－cos 2θ＝4＋4sin θ2sin θ＋2sin 2θ＝2sin θ.已知3π2<θ<2π，化简1＋sin θ－1－sin θ＝______.[解析] 原式＝|sin θ2＋cos θ2|－|sin θ2－cos θ2|，∵3π2<θ<2π，∴3π4<θ2<π，从而sin θ2＋cos θ2<0，sin θ2－cos θ2>0， 则原式＝－(sin θ2＋cos θ2)－(sin θ2－cos θ2) ＝－2sin θ2.[例2] 已知cos α＝35，α的终边在第四象限，求sin α2，cos α2，tan α2的值．[解析] 因为α是第四象限的角，所以 2k π＋3π2<α<2k π＋2π(k ∈Z )k π＋3π4<α2<k π＋π(k ∈Z )， 当k 为偶数时，α2是第二象限角， 此时，sin α2＝1－cos α2＝55，cos α2＝－1＋cos α2＝－255； tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－12；当k 为奇数时，α2是第四象限角，此时， sin α2＝－1－cos α2＝－55， cos α2＝1＋cos α2＝255， tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－12.已知|cos θ|＝35，且5π2<θ<3π，则sin θ2＝________，cosθ2＝________，tan θ2＝________.[答案] －255 －552[解析] ∵|cos θ|＝35，5π2<θ<3π， ∴cos θ＝－35，5π4<θ2<3π2. ∵cos θ＝1－2sin 2θ2，∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋352＝－255. 又cos θ＝2cos 2θ2－1，有cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55.∴tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2.[例3]化简求值(1)求sin10°·sin30°·sin50°·sin70°的值；(2)求sin75°－sin15°的值．[解析](1)解法一：原式＝－14(cos60°－cos40°)sin70°＝－18sin70°＋14sin70°cos40°＝－18sin70°＋18(sin110°＋sin30°)＝－18sin70°＋18sin70°＋116＝116.解法二：原式＝12cos20°cos40°cos80°＝sin20°cos20°cos40°cos80°2sin20°＝sin40°cos40°cos80°4sin20° ＝sin80°cos80°8sin20°＝sin160°16sin20°＝116.(2)解法一：sin75°－sin15°＝2cos45°sin30° ＝2×22×12＝22.解法二：sin75°－sin15°＝cos15°－sin15° ＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos15°×22－sin15°×22 ＝2cos(15°＋45°)＝2cos60°＝2×12＝22.已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，则sin(α＋β)的值为________．[答案] 1213[分析] 对于这类题目，前面我们曾用两边平方相加减产生过cos(α±β)，但sin(α＋β)的展开式为异名积，因此不能用前面用过的方法．如果两个等式分别用和差化积公式变形，再相除可得tan α＋β2的值，进而可求sin(α＋β)的值．[解析] ∵cos α－cos β＝12，∴－2sin α＋β2sin α－β2＝12.①∵sin α－sin β＝－13，∴2cos α＋β2sin α－β2＝－13.②①÷②得－tan α＋β2＝－32.∴tan α＋β2＝32. ∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cos α＋β2sin 2α＋β2＋cos 2α＋β2＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213.[例4] 证明：tan 3x 2－tan x 2＝2sin xcos x ＋cos2x .[解析] 解法一：2sin x cos x ＋cos2x ＝sin xcos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sinx 2cos x 2＝tan 3x 2－tan x 2.解法二：tan 3x 2－tan x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x 2cos x 2＝sin 3x 2·cos x 2－cos 3x 2·sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin xcos x ＋cos2x .求证：cos2x ＋cos2y 1＋cos2(x ＋y )＝cos(x －y )cos(x ＋y ).[证明] 左边＝2cos(x ＋y )cos(x －y )2cos 2(x ＋y )＝cos(x －y )cos(x ＋y )＝右边.[例5]设A、B、C是△ABC的三个内角，求证：sin2A＋sin2B＋sin2C＝4sin A sin B sin C.[分析]左和右积，故考虑和差化积，然后利用A＋B＝π－C转化．[证明]∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)．∴原式左边＝2sin(A＋B)cos(A－B)＋sin2[π－(A＋B)]＝2sin(A＋B)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝2sin C·(－2)sin A·sin(－B)＝4sin A sin B sin C＝右边．在△ABC中，求证：cos A＋cos B＋cos C＝1＋4sin A2sinB2sinC2.[证明] ∵A ＋B ＝π－C ， ∴cos A ＋B 2＝sin C 2，cos(A ＋B )＝－cos C ，左边＝2cos A ＋B 2cos A －B 2－cos(A ＋B )＝2cos A ＋B 2(cos A －B 2－cos A ＋B 2)＋1＝1＋2sin C 2·(－2)·sin A 2·sin(－B 2) ＝1＋4sin A 2sin B 2sin C 2＝右边．[例6]求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．[分析]从不同的观察角度入手，可产生不同的解题思路．①从特殊角入手，∵40°＝30°＋10°，这样整个式子中只含10°角的正余弦，便于化简有解法一．②从平方关系sin2α＋cos2α＝1入手，可构造对偶式，这样两式相加减都容易化简，有解法二．③平方可降幂，积可化和差，然后由变形后的式子考虑下步变形方法有解法三．④从a 2＋b 2＋ab 入手考虑完全平方式(a ＋b )2，化同名，和差化积可产生特殊角，故有解法四．[解析] 解法一：因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin 210°＋cos 2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin 210°＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32cos10°－12sin10°2＋sin10° ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32cos10°－12sin10°＝34(sin 210°＋cos 210°)＝34.解法二：设x ＝sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°，y ＝cos 210°＋sin 240°＋cos10°sin40°，则x ＋y ＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°x －y ＝cos80°－cos20°－12＝－sin50°－12＝－cos40°－12，因此，2x ＝32，x ＝34.解法三：原式＝1－cos20°2＋1＋cos80°2＋12(sin50°－sin30°)＝1＋12(cos80°－cos20°)＋12sin50°－14＝34＋12(－2sin50°sin30°)＋12sin50°＝34.解法四：原式＝(sin10°＋cos40°)2－sin10°·cos40°＝(cos80°＋cos40°)2－sin10°·cos40°＝(2cos60°·cos20°)2－12(sin50°－sin30°)＝1＋cos40°2－12cos40°＋14＝34.解法五：令sin10°＝a ＋b ，cos40°＝a －b ，则a ＝12(sin10°＋cos40°)＝12(sin10°＋sin50°)＝sin30°cos20°＝12cos20°，b ＝12(sin10°－cos40°)＝12(sin10°－sin50°)＝cos30°sin(－20°)＝－32sin20°.原式＝(a ＋b )2＋(a －b )2＋(a ＋b )(a －b )＝3a 2＋b 2＝34cos 220°＋34sin 220°＝34.[点评]解法一：通过对该题中两个角的特点分析，巧妙地避开了和差化积与积化和差公式．当然运用降次、和积互化也是一般方法．解法二：利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成方程组，解法简明．解法五：运用代数中方程的方法，将三角问题代数化处理，解法新颖别致，不拘一格，体现了数学的内在美．在此基础上，通过分析三角函数式中的角度数之间的特定关系，作推广创新．求值：sin220°＋cos280°＋3sin20°cos80°＝________.[答案]1 4[解析]令x＝sin220°＋cos280°＋3sin20°cos80°y＝cos220°＋sin280°＋3cos20°sin80°，则x＋y＝2＋3sin100°，x －y ＝－cos40°＋cos160°－32＝－2sin100°sin60°－32＝－3sin100°－32，∴x ＝14.自己试解下列各题并总结你的解题体会． ①求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值； 求cos 273°＋cos 247°＋cos47°cos73°的值；②求sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)的值； 求cos 2α＋sin 2(α＋30°)－cos αsin(α＋30°)的值；③求sin2α＋cos2(α＋60°)＋3sinαcos(α＋60°)的值；求cos2α＋sin2(α＋60°)－3cosαsin(α＋60°)的值；④若x＋y＝2kπ＋π3(k∈Z)，则sin2x＋sin2y＋sin x sin y为定值3 4；若x＋y＝2kπ＋2π3(k∈Z)，则sin2x＋sin2y－sin x sin y为定值34；⑤若sin(β－α)＝a2或sin(α＋β)＝－a2，则sin2α＋cos2β＋a sinαcosβ＝1－14a 2.。

§3.2 简单的三角恒等变换学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法. 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．知识点一 半角公式思考 半角公式对任意角都适用吗？ 答案 不是，要使得式子有意义的角才适用． 知识点二 辅助角公式 辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).⎝⎛⎭⎫其中tan θ＝ba1．若α≠k π，k ∈Z ，则tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α恒成立．( √ )2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ所在的象限由a ，b 的符号决定，φ与点(a ，b )同象限．( √ )3．sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.( × ) 提示 sin x ＋3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.题型一 应用半角公式求值例1 已知sin θ＝45，5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值解 ∵sin θ＝45，且5π2<θ<3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.∵5π4<θ2<3π2，∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.反思感悟 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2计算． (4)下结论：结合(2)求值． 跟踪训练1 已知cos α＝33，α为第四象限角，则tan α2的值为________． 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案2－62解析 方法一 ⎝⎛⎭⎪⎫用tan α2＝±1－cos α1＋cos α来处理因为α为第四象限角，所以α2是第二或第四象限角．所以tan α2<0.所以tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－331＋33 ＝－2－3＝－128－4 3 ＝－12(6－2)2＝2－62.方法二 ⎝⎛⎭⎫用tan α2＝1－cos αsin α来处理因为α为第四象限角，所以sin α<0. 所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－13＝－63. 所以tan α2＝1－cos αsin α＝1－33－63＝2－62.方法三 ⎝⎛⎭⎫用tan α2＝sin α1＋cos α来处理因为α为第四象限角，所以sin α<0. 所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－13＝－63. 所以tan α2＝sin α1＋cos α＝－631＋33＝－63＋3＝2－62.题型二 三角函数式的化简 例2 化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 解 2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1. 反思感悟 三角函数式化简的要求、思路和方法(1)化简的要求：①能求出值的应求出值．②尽量使三角函数种数最少．③尽量使项数最少．④尽量使分母不含三角函数．⑤尽量使被开方数不含三角函数．(2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．跟踪训练2 化简：(1－sin α－cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2cos α(－π<α<0)．考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值解 原式＝⎝⎛⎭⎫2sin 2α2－2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22×2sin2α2＝2sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22⎪⎪⎪⎪sin α2＝sin α2⎝⎛⎭⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2cos α⎪⎪⎪⎪sin α2.因为－π<α<0，所以－π2<α2<0，所以sin α2<0，所以原式＝－sin α2cos α－sinα2＝cos α.题型三 三角函数式的证明例3 求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明 证明 要证原式，可以证明1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ.∵左边＝sin 4θ＋(1－cos 4θ)sin 4θ＋(1＋cos 4θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ2sin 2θcos 2θ＋2cos 22θ ＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)2cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝tan 2θ，右边＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ，∴左边＝右边， ∴原式得证．反思感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 跟踪训练3 求证：2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明 证明 左边＝2sin x cos x⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2 x 2⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x4sin 2x 2⎝⎛⎭⎫cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x2sin 2 x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cosx 2＝1＋cos xsin x＝右边．所以原等式成立． 题型四 辅助角公式的应用例4 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． 考点 简单的三角恒等变换的综合应用 题点 辅助角公式与三角函数的综合应用 解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫32sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1，有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z . 反思感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．(2)解此类题时要充分运用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，以便于讨论函数性质． 跟踪训练4 已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x ·cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值时x 的集合． 考点 简单的三角恒等变换的综合应用 题点 辅助角公式与三角函数的综合应用 解 (1)f (x )＝⎝⎛⎭⎫12cos x －32sin x ·⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3(1－cos 2x )8＝12cos 2x －14， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )有最大值22.此时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π－π8，k ∈Z .利用半角公式化简求值典例 已知等腰三角形的顶角的余弦值为725，则它的底角的余弦值为( )A.34B.35C.12D.45考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 三角恒等变换与三角形的综合应用 答案 B解析 设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos α＝725.又β＝π2－α2，所以cos β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α2＝sin α2＝1－7252＝35，故选B. [素养评析] 从实际问题提炼出等腰三角形底角、顶角间的关系，利用半角公式进行恒等变换化简，进而求值，这正是数学核心素养数学抽象的具体体现.1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A解析 由题意知α2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63. 2．已知sin θ＝－35，3π<θ<72π，则tan θ2的值为( )A ．3B ．－3 C.13 D ．－13考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 B解析 ∵3π<θ<7π2，sin θ＝－35，∴cos θ＝－45，tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－3.3．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α2等于( )A.12B.12或不存在 C ．2D ．2或不存在考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值答案 B解析 2sin α＝1＋cos α，即4sin α2cos α2＝2cos 2α2，当cos α2＝0时，tan α2不存在，当cos α2≠0时，tan α2＝12.4．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果为( )A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．2 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 B解析 原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α.5．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用辅助角公式化简求值 答案 D解析 f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ. 当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x 是奇函数．6．已知在△ABC 中，sin A ·cos 2C 2＋sin C ·cos 2A 2＝32sin B ，求证：sin A ＋sin C ＝2sin B .考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明证明 由sin A ·cos 2C 2＋sin C ·cos 2A 2＝32sin B ，得sin A ·1＋cos C 2＋sin C ·1＋cos A 2＝32sin B ，即sin A ＋sin C ＋sin A ·cos C ＋sin C ·cos A ＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＋sin(π－B )＝3sin B ， 即sin A ＋sin C ＋sin B ＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sin B .1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式． 2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足： ①φ与点(a ，b )同象限； ②tan φ＝b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫或sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.3．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a ，b 应熟练掌握， 例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π4； sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π3等．一、选择题1．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A.105 B ．－105 C.265 D.255考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π， sin α2＝1－cos α2＝105. 2．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2等于( )A ．－55 B.55 C.35 D ．－35考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A解析 因为α是第二象限角，且sin α2<cos α2，所以α2为第三象限角，所以cos α2<0.因为tan α＝－43，所以cos α＝－35，所以cos α2＝－1＋cos α2＝－55. 3．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <c <a考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用 答案 C解析 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°， b ＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，c ＝sin 25°， ∵当0°≤x ≤90°时，y ＝sin x 是单调递增的， ∴a <c <b .4．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A ．－12 B.12C ．2D ．－2考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用弦化切对齐次分式化简求值 答案 A解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sin α2cosα2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.故选A.5．sin x cos x ＋sin 2x 可化为( ) A.22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 B.2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12 C ．sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 D ．2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4＋1 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 A解析 y ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝22⎝⎛⎭⎫22sin 2x －22cos 2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12.故选A. 6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2cos 2x －1，则函数f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z ) 考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案 C解析 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2cos 2x －1＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )，故选C. 7．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝⎛⎭⎫π2<θ<π，则tan θ2等于( ) A ．－13B ．5C ．－5或13D ．－13或5 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换化简求值答案 B解析 由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1， 解得m ＝0或8，当m ＝0时，sin θ<0，不符合π2<θ<π. ∴m ＝0舍去，故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－1213，tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋1213513＝5. 二、填空题8．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin 2α＝12，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 32解析 因为1－2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－sin 2α， 所以sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝34， 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝32. 9．化简：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 tan x 2解析 原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x＝sin x 1＋cos x＝tan x 2. 10．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 65解析 因为cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35. 所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝65. 11．设0≤α≤π，不等式8x 2－8x sin α＋cos 2α≥0对任意x ∈R 恒成立，则α的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 解析 Δ＝(8sin α)2－4×8×cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α≤0，所以4sin 2α≤1，所以－12≤sin α≤12. 因为0≤α≤π，所以0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 三、解答题12．求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x . 考点 三角恒等式的证明题点 三角恒等式的证明证明 ∵左边＝tan 3x 2－tan x 2＝sin3x 2cos 3x 2－sin x 2cos x 2 ＝sin3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin x cos ⎝⎛⎭⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2 ＝2sin x cos x ＋cos 2x ＝右边． ∴原等式得证．13．(2018·浙江宁波高三期末)已知函数f (x )＝2sin x ·cos x ＋1－2sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值与最小值．考点 简单的三角恒等变换的应用题点 辅助角公式与三角函数的综合应用解 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π3≤x ≤π4，所以－5π12≤2x ＋π4≤3π4. 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π4＝－5π12，即x ＝－π3时， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋cos ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－3＋12， 即f (x )的最小值为－3＋12.14．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f (x )＝2sin x cos x ＋1；②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4； ③f (x )＝sin x ＋3cos x ；④f (x )＝2sin 2x ＋1.其中是“同簇函数”的有( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案 C解析 ①式化简后为f (x )＝sin 2x ＋1，③式化简后为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，①④中振幅不同，平移后不能重合．②③振幅、周期相同，平移后可以重合．15．证明：sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝116. 考点 三角恒等式的证明题点 三角恒等式的证明证明 原式＝sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝12cos 20°·cos 40°·cos 80°＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝116·sin 160°sin 20°＝116＝右边，所以原等式得证．。

3.2简单的三角恒等变换教学设计-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN3.2 简单的三角恒等变换高一备课组一、教学内容及其解析（1）教学内容：简单的三角恒等变换（2）解析：本节课选自人教版.必修四第三章第二节，是学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式后的内容，本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用.本节的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.二、教学目标及其解析（一）教学目标：1、会利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换；2、能根据问题的条件进行公式变形，体会在变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法.（二）解析：1、通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力.2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力.三、学生学习况情分析本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点.所以学生对三角变换与代数变换的区分理解会比较困难，在教学中教师应加强对这二者的内在联系和区别加以分析。

数学必修4教学案：3.2 简单的三角恒等变换（教学案）数学必修4教学案：3.2简单的三角恒等变换（教、学案）3.2简单三角恒等式变换【教学目标】能够用所学公式简化、评估和证明三角函数公式，引导学生推导半角公式、和差公式和和差积公式（公式不需要记忆），使学生进一步提高运用变换、变换、方程等数学思想解决问题的能力。

【教学重点、难点】教学重点：引导学生学习三角变换的内容、思想和方法，了解三角变换的特点，在现有公式的基础上提高其推理和计算能力，并以半角公式、和差公式和和差积公式的推导为基础训练。

教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。

【教学过程】回顾介绍：回顾角度倍增公式s2?、c2、t2?首先，让学生写下三倍角度的公式，注意等号两侧角度之间的关系，并特别注意C2？。

既然我们可以用单角度来表示双角度，我们可以用双角度来表示单角度吗？半角公式的推导和理解：例1、试以cos?表示sin2?2,cos2?2,tan22?2．分析：我们可以通过双角度cos？？2cos角度公式？第二代？，21和cos??1?2sin2?2来做此题．（二倍（一代人？）22解决方案：cos？？1.因为什么？？2cos2？2.你能得到sin2吗？2.1.余弦？；2.2.1.你能得到Cos2吗？2.1.因为？。

2.你能用两个公式除以Tan 2吗？2.2.1.因为？。

？1.余弦？cos22sin2？Sin评论：⑴ 上述结果也可以表示为：21cos21cos2cos2tan21cos1cos并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2角的象限决定。

⑵ 在三角函数公式的简化、求值和证明中，广泛使用了降幂和增幂公式以及降幂和增幂公式。

⑶ 代数变换通常侧重于公式的子结构形式的变换。

三角恒等式变换通常首先寻找公式中包含的角度之间的联系，并在此基础上选择合适的公式来联系它们，这是三角恒等式变换的一个重要特征。

课题:简单的三角恒等变换教学目标(知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观)1.掌握运用和(差)角公式,倍角公式进行三角变换的方法和思路,不断提高从整体上把握变换过程的推导能力.2.弄清代数式变换与三角变换的不同点,认真体会三角变换的特点,提高推理,运算能力;3.深刻理解三角变换的思想,培养学生运用换元,逆向使用公式,方程等数学思想方法解决数学问题的能力.教学重点:三角恒等变换的内容,思路和方法,积化和差,和差化积,半角公式.教学难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计.教学课时：1个课时3.2 简 单 的 三 角 恒 等 变 换一、三角恒等变换所用公式：①βα±C ，βα±S ，βα±T ，α2C ，α2S ，α2T 公式； ②辅助角公式； ③降幂扩角公式；④同角基本关系式； ⑤诱导公式。

二、恒等变换变什么？关注：角度，名称，次数以及结构形式，哪里有差异就要变什么。

最终目的是：只有一个角的一个三角函数且最好是一次。

变角：注意角度的“配凑”，通常是将结论中的角用条件中的角“配凑”出来。

拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2； α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β. 变名：通常考虑“切化弦”，但遇到正余弦的齐次分式时可以“弦化切”。

变次：通常用降幂公式降次。

三、三角恒等变换常见题型（1）化简；（2）求值：包括给角求值，给值求值，给值求角。

（3）证明。

四、常见题型解析例1：（1）化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α （2）设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.求()f x 的单调区间；（3）当)6,0(π∈x 时,求函数xx x f sin 1cos )(-=的值域.例2：（1）求0010sin 410tan 3+的值； （2）若tan 2tan 5πα=，求3cos()10sin()5παπα-=-的值； （3）已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.例3：证明0020210sin 3240cos 140sin 3=-。