[配套K12]2017-2018学年高中数学 第二章 随机变量及其分布能力深化提升 新人教A版选修2

2.2.2 事件的相互独立性学习目标 1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．知识点一 相互独立的概念甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A 为“从甲箱里摸出白球”，事件B 为“从乙箱里摸出白球”． 思考1 事件A 发生会影响事件B 发生的概率吗？ 答案 不影响．思考2 P (A )，P (B )，P (AB )的值为多少？ 答案 P (A )＝35，P (B )＝12，P (AB )＝3×25×4＝310. 思考3 P (AB )与P (A )，P (B )有什么关系？ 答案 P (AB )＝P (A )P (B )． 梳理知识点二 相互独立的性质1．不可能事件与任何一个事件相互独立．( √) 2．必然事件与任何一个事件相互独立．( √ )3．如果事件A 与事件B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．( √ )4．“P (AB )＝P (A )·P (B )”是“事件A ，B 相互独立”的充要条件．( √ )类型一 事件独立性的判断例1 判断下列各对事件是不是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”； (3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”． 考点 相互独立事件的定义 题点 相互独立事件的判断解 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．(3)记A ：出现偶数点，B ：出现3点或6点，则A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，AB ＝{6}，所以P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16，所以P (AB )＝P (A )P (B )， 所以事件A 与B 相互独立．反思与感悟 三种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)公式法：检验P (AB )＝P (A )P (B )是否成立．(3)条件概率法：当P (A )>0时，可用P (B |A )＝P (B )判断．跟踪训练1 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形，讨论A 与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩． 考点 相互独立事件的定义 题点 相互独立事件的判断解 (1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为 Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}， 它有4个基本事件，由等可能性知概率都为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB ＝{(男，女)，(女，男)}，于是P (A )＝12，P (B )＝34，P (AB )＝12.由此可知P (AB )≠P (A )P (B )， 所以事件A ，B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件，AB 中含有3个基本事件．于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12，P (AB )＝38，显然有P (AB )＝38＝P (A )P (B )成立．从而事件A与B是相互独立的．类型二求相互独立事件的概率例2 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求多个相互独立事件同时发生的概率解用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1.(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为P1＝P(A BC)＋P(A B C)＋P(AB C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(A B C)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.引申探究1．在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．解恰有一列火车正点到达的概率为P3＝P(A B C)＋P(A B C)＋P(A B C)＝P(A)P(B)·P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.2．若一列火车正点到达计10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P(ξ≤20)．解事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496.反思与感悟明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．一般地，已知两个事件A ，B ，它们的概率分别为P (A )，P (B )，那么： (1)A ，B 中至少有一个发生为事件A ＋B . (2)A ，B 都发生为事件AB . (3)A ，B 都不发生为事件A B . (4)A ，B 恰有一个发生为事件A B ＋A B .(5)A ，B 中至多有一个发生为事件A B ＋A B ＋A B .跟踪训练2 甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14，求两人破译时，以下事件发生的概率： (1)两人都能破译的概率； (2)恰有一人能破译的概率； (3)至多有一人能破译的概率．考点 相互独立事件同时发生的概率计算 题点 求两个相互独立事件同时发生的概率解 记事件A 为“甲独立地破译出密码”，事件B 为“乙独立地破译出密码”． (1)两个人都破译出密码的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝13×14＝112.(2)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即A B ＋AB ，∴P (A B ＋A B )＝P (A B )＋P (A B ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝512. (3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码， ∴其概率为1－P (AB )＝1－112＝1112. 类型三 相互独立事件的综合应用例 3 计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？ (2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率； (3)用X 表示甲、乙、丙三人在计算机考试后获合格证书的人数，求X 的分布列． 考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与分布列解 (1)设“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则P (A )＝45×12＝25，P (B )＝34×23＝12， P (C )＝23×56＝59.因为P (C )>P (B )>P (A )，所以丙获得合格证书的可能性最大． (2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，则P (D )＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝25×12×49＋25×12×59＋35×12×59＝1130. (3)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝35×12×49＝215， P (X ＝2)＝P (D )＝1130， P (X ＝3)＝25×12×59＝19，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)－P (X ＝3)＝1－215－1130－19＝718.所以X 的分布列为反思与感悟 概率问题中的数学思想(1)正难则反：灵活应用对立事件的概率关系(P (A )＋P (A )＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．(2)化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件)．(3)方程思想：利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．跟踪训练3 甲、乙两名篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116. (1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率． 考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与互斥事件的综合应用解 (1)设“甲投一次球命中”为事件A ，“乙投一次球命中”为事件B .由题意得P (B )P (B )＝116， 解得P (B )＝14或P (B )＝－14(舍去)，故p ＝1－P (B )＝34，所以乙投球的命中率为34.(2)方法一 由题设知，P (A )＝12，P (A )＝12，故甲投球2次，至少命中1次的概率为 1－P (A ·A )＝1－P (A )P (A )＝34.方法二 由题设知，P (A )＝12，P (A )＝12，故甲投球2次，至少命中1次的概率为2P (A )P (A )＋P (A )P (A )＝34.1．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A 1表示第1次摸得白球，A 2表示第2次摸得白球，则A 1与A 2是( ) A ．互斥事件 B ．相互独立事件 C ．对立事件D ．不相互独立事件考点 相互独立事件的定义题点相互独立事件的判断答案 D解析互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A，C错．而事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件．2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是( )A.1425B.1225C.34D.35考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求两个相互独立事件同时发生的概率答案 A解析P甲＝810＝45，P乙＝710，所以P＝P甲·P乙＝1425.3．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A．p1p2B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)C．1－p1p2D．1－(1－p1)(1－p2)考点相互独立事件的性质及应用题点独立事件与互斥事件的综合应用答案 B解析恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决、甲没解决乙解决两种情况，这两个事件显然是互斥的，所以恰好有1人解决这个问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)，故选B.4．在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为( )A.764B.25192C.35192D.35576考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求多个相互独立事件同时发生的概率答案 C解析由题意知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512，712，34，则在这段道路上三处都不停车的概率P＝512×712×34＝35192.5．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：(1)第3次拨号才接通电话；(2)拨号不超过3次而接通电话．考点相互独立事件的性质及应用题点独立事件与互斥事件的综合应用解设A i＝{第i次拨号接通电话}，i＝1,2,3.(1)第3次拨号才接通电话可表示为A1A2A3，于是所求概率为P(A1A2A3)＝910×89×18＝110.(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A1＋A1A2＋A1A2A3，于是所求概率为P(A1＋A1A2＋A1A2A3) ＝P(A1)＋P(A1A2)＋P(A1A2A3)＝110＋910×19＋910×89×18＝310.一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的．(列表比较)一、选择题1．若P (AB )＝19，P (A )＝23，P (B )＝13，则事件A 与B 的关系是( )A ．事件A 与B 互斥 B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 既互斥又独立 考点 相互独立事件的定义 题点 相互独立事件的判断 答案 C解析 ∵P (A )＝1－P (A )＝1－23＝13，∴P (AB )＝P (A )P (B )，∴A ，B 相互独立．2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率是( ) A.712 B.12 C.512 D.34考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与互斥事件的综合应用 答案 A解析 因为P (A )＝12，P (B )＝16，所以P (A )＝12，P (B )＝56.又A ，B 为相互独立事件，所以P (A B )＝P (A )P (B )＝12×56＝512.所以A ，B 中至少有一个发生的概率为1－P (A B )＝1－512＝712.3．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是( ) A.13 B.23 C.12D ．1 考点 相互独立事件的性质及应用 题点 相互独立事件性质的应用 答案 C解析 设事件A 表示“甲通过听力测试”，事件B 表示“乙通过听力测试”．根据题意，知事件A 和B 相互独立，且P (A )＝12，P (B )＝13.记“有且只有一人通过听力测试”为事件C ， 则C ＝A B ∪A B ，且A B 和A B 互斥． 故P (C )＝P (A B ∪A B ) ＝P (A B )＋P (A B ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13＝12. 4．从甲袋内摸出1个红球的概率是13，从乙袋内摸出1个红球的概率是12，从两袋内各摸出1个球，则23等于( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰好有1个红球的概率 考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与互斥事件的综合应用 答案 C解析 至少有1个红球的概率是13×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12×13＝23.5．设两个相互独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( ) A.29 B.118 C.13 D.23考点 相互独立事件的性质及应用 题点 相互独立事件性质的应用 答案 D解析 由P (A B )＝P (B A )，得P (A )P (B )＝P (B )P (A )， 即P (A )[1－P (B )]＝P (B )[1－P (A )]，∴P (A )＝P (B )．又P (A B )＝19，则P (A )＝P (B )＝13，∴P (A )＝23.6．出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是13，则这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率为( )A.124B.427C.79D.127考点 相互独立事件同时发生的概率计算 题点 求多个相互独立事件同时发生的概率 答案 B解析 因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，它们之间相互独立，且遇到红灯的概率都是13，所以未遇到红灯的概率都是1－13＝23，所以P ＝23×23×13＝427. 7．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y (若指针停在边界上则重新转)，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中，满足xy ＝4的概率为( )A.116B.18C.316D.14考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与互斥事件的综合应用 答案 C解析 满足xy ＝4的所有可能如下：x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1.∴所求事件的概率为P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1)＝14×14＋14×14＋14×14＝316.8．在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.18B.38C.14D.78考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与互斥事件的综合应用 答案 B解析 设开关a ，b ，c 闭合的事件分别为A ，B ，C ，则灯亮这一事件E ＝ABC ∪AB C ∪A B C ，且A ，B ，C 相互独立，ABC ，AB C ，A B C 互斥， 所以P (E )＝P (ABC ∪AB C ∪A B C ) ＝P (ABC )＋P (AB C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )·P (C ) ＝12×12×12＋12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝38.二、填空题9．某自动银行设有两台ATM 机．在某一时刻这两台ATM 机被占用的概率分别为13，12，则该客户此刻到达需要等待的概率为________． 考点 相互独立事件同时发生的概率计算 题点 求两个相互独立事件同时发生的概率 答案 16解析 该客户需要等待意味着这两台ATM 机同时被占用，故所求概率为P ＝13×12＝16.10．事件A ，B ，C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (B C )＝18，P (AB C )＝18，则P (B )＝________，P (A B )＝________.考点 相互独立事件的性质及应用题点 相互独立事件性质的应用 答案 12 13解析 ∵P (AB C )＝P (AB )P (C )＝16P (C )＝18，∴P (C )＝34，即P (C )＝14.又P (B C )＝P (B )·P (C )＝18，∴P (B )＝12，P (B )＝12.又P (AB )＝16，则P (A )＝13，∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12＝13.11．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________． 考点 相互独立事件的性质及应用 题点 相互独立事件性质的应用 答案 0.128解析 由已知条件知，第2个问题答错，第3,4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A ，则P (A )＝0.8，故P ＝P [(A ＋A )A AA ]＝[1－P (A )]·P (A )P (A )＝0.128. 三、解答题12．要生产一种产品，甲机床的废品率为0.04，乙机床的废品率为0.05，从甲、乙机床生产的产品中各任取1件，求： (1)至少有1件废品的概率； (2)恰有1件废品的概率． 考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与互斥事件的综合应用解 从甲、乙机床生产的产品中各取1件是废品分别记为事件A ，B ，则事件A ，B 相互独立． (1)设至少有1件废品为事件C ，则P (C )＝1－P (A B )＝1－P (A )P (B )＝1－(1－0.04)×(1－0.05)＝0.088.(2)设“恰有1件废品”为事件D ，则P (D )＝P (A B )＋P (A B )＝0.04×(1－0.05)＋(1－0.04)×0.05＝0.086.13．某校设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关，第二关，第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个学豆，10个学豆，20个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别为34，23，12，选手选择继续闯关的概率均为12，且各关之间闯关成功与否互不影响．(1)求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率； (2)设该选手所得学豆总数为X ，求X 的分布列． 考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与分布列解 (1)设“甲第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A ，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A 1，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A 2，则A 1，A 2互斥．P (A 1)＝34×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝18，P (A 2)＝34×12×23×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝116，P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝18＋116＝316，所以选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率为316. (2)由题意得X 的所有可能取值为0,5,15,35，P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－34＋P (A )＝716，P (X ＝5)＝34×12＝38， P (X ＝15)＝34×12×23×12＝18， P (X ＝35)＝34×12×23×12×12＝116.所以X 的分布列为四、探究与拓展14．甲、乙两人参加一次考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中6道题，乙能答对其中8道题．若规定每人每次考试都从这10道题中随机抽出3道题进行测试，且至少答对2道题算合格，则甲、乙两人分别参加一次考试，至少有一人考试合格的概率为( )A.2325B.1745C.4445D.15 05315 625 考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与互斥事件的综合应用 答案 C解析 设事件A 表示“甲考试合格”，事件B 表示“乙考试合格”，则P (A )＝C 26×C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23， P (B )＝C 28×C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415. 所以甲、乙两人考试都不合格的概率为P (A B )＝P (A )P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1415＝145，则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为1－P (A B )＝1－145＝4445.15．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列． 考点 题点解 设A 表示事件“作物产量为300 kg”，B 表示事件“作物市场价格为6 元/kg”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4. ∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X 所有可能的取值为500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000， 300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800.P (X ＝4 000)＝P (A )P (B )＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3， P (X ＝2 000)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，所以X的分布列为。

2017-2018学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.1 离散型随机变量的均值优化练习新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.1 离散型随机变量的均值优化练习新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2。

3.1 离散型随机变量的均值［课时作业]［A组基础巩固]1．若随机变量ξ～B(n，0.6），且E(ξ)＝3,则P（ξ＝1）的值为（）A．2×0.44B．2×0。

45C．3×0.44D．3×0。

64解析:因为ξ～B（n，0。

6),所以E(ξ)＝n×0。

6,故有0。

6n＝3，解得n＝5.P(ξ＝1)＝C错误!×0。

6×0.44＝3×0。

44。

答案：C2．设随机变量X的分布列如下表,且E(X）＝1。

6，则a－b＝( )A.0。

2C．－0.2 D．0。

4解析：由题意得a＋b＋0.1＋0。

1＝1，即a＋b＝0.8，①又0×0。

1＋a＋2b＋3×0.1＝1.6，∴a＋2b＝1.3,②②－①得b＝0.5，∴a＝0.3，∴a－b＝0。

3－0.5＝－0.2。

答案：C3．随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则所得点数ξ的数学期望为( )A．0.6 B．1C．3.5 D．2解析：抛掷骰子所得点数ξ的分布列为所以,E(ξ)＝1×错误!错误!错误!错误!错误!错误!＝(1＋2＋3＋4＋5＋6）×错误!＝3.5.答案：C4．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0。

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2。

2。

1 条件概率[课时作业］[A组基础巩固]1．已知P(B｜A）＝错误!，P（A）＝错误!，则P(AB)等于( )A。

错误! B.错误!C.错误!D.错误!解析:由P(B｜A)＝错误!得P（AB）＝P(B|A)·P(A)＝错误!×错误!＝错误!.答案：C2．抛掷一枚质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A＝{2,3,5}，B＝{1，2,4，5,6｝，则P(A|B）等于（）A。

错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!解析：∵A∩B＝｛2,5},∴n(AB）＝2.又∵n（B)＝5，∴P（A｜B）＝错误!＝错误!。

答案:A3．为考察某种药物预防疾病的效果，科研人员进行了动物试验,结果如下表：A。

错误! B.错误!C.911D。

错误!解析：在服药的前提下，未患病的概率P＝错误!＝错误!.答案：C4．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是0。

80，开关了1 5 000次后还能继续使用的概率是0。

2.2.1 条件概率学习目标：1.了解条件概率的概念.2.掌握求条件概率的两种方法．(难点)3.能利用条件概率公式解一些简单的实际问题．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]1．条件概率的概念一般地，设A ，B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝P ABP A为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率．2．条件概率的性质 (1)0≤P (B |A )≤1；(2)如果B 与C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若事件A 与B 互斥，则P (B |A )＝0.( )(2)若事件A 等于事件B ，则P (B |A )＝1. ( ) (3)P (B |A )与P (A |B )相同．( )[解析] (1)√ 因为事件A 与B 互斥，所以在事件A 发生的条件下，事件B 不会发生．(2)√ 因为事件A 等于事件B ，所以事件A 发生，事件B 必然发生． (3)× 由条件概率的概念知该说法错误． [答案] (1)√ (2)√ (3)×2．若P (AB )＝35，P (A )＝34，则P (B |A )＝( )【导学号：95032141】A ．54 B ．45 C ．35D ．34B [由公式得P (B |A )＝P ABP A ＝3534＝45.]3．下面几种概率是条件概率的是( )A ．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率B ．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率C ．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D ．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25，则小明在一次上学中遇到红灯的概率B [由条件概率的定义知B 为条件概率．]4．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．0.5 [根据条件概率公式知P ＝0.40.8＝0.5.][合 作 探 究·攻 重 难]抽到黑球”为A ；事件“第二次抽到黑球”为B .(1)分别求事件A ，B ，AB 发生的概率； (2)求P (B |A )．[解] 由古典概型的概率公式可知 (1)P (A )＝25，P (B )＝2×1＋3×25×4＝820＝25，P (AB )＝2×15×4＝110. (2)P (B |A )＝P ABP A ＝11025＝14.ABP A.题中，首先结合古典概型分别求出了事件三者之间的关系．1．设A ，B 为两个事件，且P (A )＞0，若P (AB )＝13，P (A )＝23，则P (B |A )＝________.12 [由P (B |A )＝P ABP A ＝1323＝12.] 2．有一匹叫Harry 的马，参加了100场赛马比赛，赢了20场，输了80场．在这100场比赛中，有30场是下雨天，70场是晴天．在30场下雨天的比赛中，Harry 赢了15场．如果明天下雨，Harry 参加赛马的赢率是( )A ．15 B ．12 C ．34D ．310B [此为一个条件概率的问题，由于是在下雨天参加赛马，所以考查的应该是Harry 在下雨天的比赛中的赢率，则P ＝1530＝12.]取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的的概率.【导学号：95032142】[思路探究] 本题可以用公式求解，也可以用缩小样本空间的方法直接求解． [解] 法一：(定义法)设A i ＝{第i 只是好的}(i ＝1,2)．由题意知要求出P (A 2|A 1)． 因为P (A 1)＝610＝35，P (A 1A 2)＝6×510×9＝13，所以P (A 2|A 1)＝P A 1A 2P A 1＝59.法二：(直接法)因事件A 1已发生(已知)，故我们只研究事件A 2发生便可，在A 1发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P (A 2|A 1)＝AB 发生的可能数A 发生的可能数＝59.如图所示，从而P[跟踪训练]3．一个大正方形被平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，求P (AB )、P (A |B )．[解] 根据图形(如图)由几何概型的概率公式可知P (AB )＝19P (A |B )＝n AB n B ＝14.1．掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？[提示] 掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．2．“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？[提示] “第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．3．先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？[提示] 设第一枚出现4点为事件A ，第二枚出现5点为事件B ，第二枚出现6点为事件C ，则所求事件为B ∪C |A .∴P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )＝16＋16＝13.在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率.【导学号：95032143】[解] 法一：(定义法)设“摸出第一个球为红球”为事件A ，“摸出第二个球为黄球”为事件B ，“摸出第三个球为黑球”为事件C .则P (A )＝110，P (AB )＝1×210×9＝145，P (AC )＝1×310×9＝130.所以P (B |A )＝P AB P A ＝145÷110＝29，P (C |A )＝P AC P A ＝130÷110＝13.所以P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )＝29＋13＝59.所以所求的条件概率为59.法二：(直接法)因为n (A )＝1×C 19＝9，n (B ∪C |A )＝C 12＋C 13＝5， 所以P (B ∪C |A )＝59.所以所求的条件概率为59.4．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．[解] 设事件A 为“该考生6道题全答对”，事件B 为“该考生答对了其中5道题而另一道答错”，事件C 为“该考生答对了其中4道题而另2道题答错”，事件D 为“该考生在这次考试中通过”，事件E 为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A ，B ，C 两两互斥，且D ＝A ∪B ∪C ，E ＝A ∪B ，由古典概型的概率公式及加法公式可知P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝C 610C 620＋C 510C 110C 620＋C 410C 210C 620＝12 180C 620，P (E |D )＝P (A ∪B |D )＝P (A |D )＋P (B |D )＝P A P D ＋P B P D ＝210C 62012 180C 620＋2 520C 62012 180C 620＝1358，即所求概率为1358.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( )A.56B.910C.215D.115 C [由P (B |A )＝P AB P A ，得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215.]2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )【导学号：95032144】A ．14B ．13C ．12D ．1 B [因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是13.]3．把一枚硬币投掷两次，事件A ＝{第一次出现正面}，B ＝{第二次出现正面}，则P (B |A )＝________.12 [∵P (AB )＝14，P (A )＝12，∴P (B |A )＝12.] 4．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为________.【导学号：95032145】[解析] 法一(定义法)设事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”，则P (A )＝C 16C 7，P (AB )＝1C 27，故P (B |A )＝P AB P A ＝16.法二(直接法)由题意知本题是一个等可能事件的概率，一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班，则还剩下6天，那么周六晚上值班的概率为16.[答案] 165．盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？[解] 法一(定义法)由题意得球的分布如下：设A ＝{取得蓝球}，B ＝{取得玻璃球}， 则P (A )＝1116，P (AB )＝416＝14.∴P (B |A )＝P ABP A ＝141116＝411.法二(直接法)∵n (A )＝11，n (AB )＝4， ∴P (B |A )＝n AB n A ＝411.。