2014年高考数学一轮复习 考点热身训练 8.1直线与方程

2014高中数学精讲精练第八章直线和圆的方程【知识图解】【方法点拨】1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题．2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题. 3．熟练运用待定系数法求圆的方程．4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构;(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质．5．要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想．6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识．第1课直线的方程【考点导读】理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据条件，求出直线的方程．高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考.【基础练习】1.直线x cosα＋y＋2＝0的倾斜角范围是2.过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是3.直线l经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为4.无论取任何实数，直线必经过一定点P，则P的坐标为（2，2）【范例导析】例1.已知两点A（－1，2）、B（m，3）（1）求直线AB的斜率k；（2）求直线AB的方程；（3）已知实数m，求直线AB的倾斜角α的取值范围．分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况.解:（1）当m=－1时，直线AB的斜率不存在．当m≠－1时，，（2）当m=－1时，AB：x=－1，当m≠1时，AB：.（3）①当m=－1时，；②当m≠－1时，∵∴故综合①、②得，直线AB的倾斜角点拨：本题容易忽视对分母等于0和斜率不存在情况的讨论.例2.直线l过点P(2,1),且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B、O为坐标原点.(1)当△AOB的面积最小时,求直线l的方程;(2)当|PA|·|PB|取最小值时,求直线l的方程.分析：引进合适的变量,建立相应的目标函数,通过寻找函数最值的取得条件来求l的方程. 解（1）设直线l的方程为y-1=k(x-2),则点A(2-,0),B(0,1-2k),且2->0, 1-2k>0,即k<0. △AOB的面积S=(1-2k)(2-)=[(-4k)++4]≥4,当-4k=,即k=时, △AOB的面积有最小值4,则所求直线方程是x+2y-4=0.(2)解法一:由题设,可令直线方程l为y-1=k(x-2).分别令y=0和x=0,得A(2-,0),B(0,1-2k),∴|PA|·|PB|=,当且仅当k2=1,即k=±1时, |PA|·|PB|取得最小值4.又k<0, ∴k=-1,这是直线l的方程是x+y-3=0.解法二:如下图,设∠BAO=θ,由题意得θ∈(0,),且|PA|·|PB|=当且仅当θ=时, |PA|·|PB|取得最小值4,此时直线l的斜率为-1, 直线l的方程是x+y-3=0.点评①求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量.②在研究最值问题时，可以从几何图形开始，找到取最值时的情形，也可以从代数角度出发，构建目标函数，利用函数的单调性或基本不等式等知识来求最值.例3.直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段中点为P（－1，2）.求直线l的方程.分析本题关键是如何使用好中点坐标，对问题进行适当转化.解：解法一设直线l交l1于A（a，b），则点（－2－a，4－b）必在l2，所以有，解得直线l过A(-2,5),P(-1,2),它的方程是3x＋y＋1＝0.解法二由已知可设直线l与l1的交点为A（－1＋m，2＋n），则直线l与l2的交点为B（－1－m，2－n），且l的斜率k＝，∵A,B两点分别l1和l2上，∴，消去常数项得－3m＝n，所以k＝－3，从而直线l的方程为3x＋y＋1＝0.解法三设l1、l2与l的交点分别为A,B，则l1关于点P（－1，2）对称的直线m过点B，利用对称关系可求得m的方程为4x＋y＋1＝0，因为直线l过点B，故直线l的方程可设为3x －5y－5＋λ（4x＋y＋1）＝0.由于直线l点P（－1，2），所以可求得λ＝－18，从而l的方程为3x－5y－5－18（4x＋y＋1）＝0，即3x＋y＋1＝0.点评本题主要复习有关线段中点的几种解法，本题也可以先设直线方程，然后求交点，再根据中点坐标求出直线l的斜率，但这种解法思路清晰，计算量大，解法一和解法二灵活运用中点坐标公式，使计算简化，对解法二还可以用来求已知中点坐标的圆锥曲线的弦所在直线方程，解法三是利用直线系方程求解，对学生的思维层次要求较高。

2014高考数学 8-1直线及其方程领航规范训练 文 新人教A 版【A 级】 基础训练1．(2013·茂名一模)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：设P (x P ，y P )，由题意及中点坐标公式，得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5， ∴P (－5,1)，∴直线l 的斜率k ＝1－ －1 －5－1＝－13.故选B.答案：B2．(2013·佛山一检)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：①当直线l 过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距相等，所以a ＝－2. ②当直线l 不过原点时，所以a ＋2＝a ＋2a， 解得a ＝1.故选D. 答案：D3．直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，56πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤56π，π 解析：由直线的方程可知其斜率k ＝－cos α3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，设直线的倾斜角为θ，则tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，且θ∈[)0，π，所以θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π.故选C.答案：C4．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是________．解析：∵k ＝tan α在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4和⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π上都是增函数， ∴k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1∪[)－3，0. 答案：[)－3，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 5．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为________．解析：由题意知截距均不为零，设直线方程为x a ＋yb＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝62a ＋1b＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0. 答案：x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝06．已知直线l 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，其横截距与纵截距分别为a 、b (a 、b 均为正数)，则使a ＋b ≥c恒成立的c 的取值范围为________． 解析：依题意知直线l 方程为x a ＋y b＝1，由于直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2， ∴12a ＋2b ＝1，a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b ＝52＋b 2a ＋2a b ≥92，故c ≤92. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，927．已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程． 解：(1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB 、AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0， 化为截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117－y11＝1.8．已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)、Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ有交点，求m 的取值范围．解：法一：直线x ＋my ＋m ＝0恒过A (0，－1)点．k AP ＝－1－10＋1＝－2，k AQ ＝－1－20－2＝32， 则－1m ≥32或－1m ≤－2，∴－23≤m ≤12且m ≠0.又m ＝0时直线x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点， ∴所求m 的取值范围是－23≤m ≤12.法二：过P 、Q 两点的直线方程为y －1＝2－12＋1(x ＋1)，即y ＝13x ＋43.代入x ＋my ＋m ＝0，整理得：(3＋m )x ＋7m ＝0， ∴x ＝－7mm ＋3(显然m ≠－3)， 由已知－1≤－7mm ＋3≤2， 解得：－23≤m ≤12.法三：通法．由题知P 、Q 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(－1＋m ＋m )(2＋2m ＋m )≤0， ∴(2m －1)(3m ＋2)≤0，∴－23≤m ≤12.【B 级】 能力提升1. 在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析：l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a .于是可知，l 1的斜率是l 2的纵截距，l 1的纵截距是l 2的斜率．在选项A 中，l 1的纵截距为正，而l 2的斜率为负，不合题意，排除A.同样可排除选项C 、D ，故选B. 答案：B2．经过点P (2，－1)，且在y 轴上的截距等于它在x 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是( )A ．2x ＋y ＝2B ．2x ＋y ＝4C ．2x ＋y ＝3D ．2x ＋y ＝3或x ＋2y ＝0解析：当截距不等于零时， 设l 的方程为x a ＋y2a＝1， 又点P 在l 上，∴2a －12a ＝1，则a ＝32，∴l 的方程为2x ＋y ＝3.当截距等于零时，设l 的方程为y ＝kx ， 又点P 在l 上，∴k ＝－12，∴x ＋2y ＝0，故选D.答案：D3．已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a ＞0，a 是常数)，当此直线在x ，y 轴上的截距和最小时，a 的值是( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．0解析：直线方程可化为x a ＋y 1a＝1，因为a ＞0，所以截距之和l ＝a ＋1a ≥2.当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号，故选A. 答案：A4．已知直线的倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5，则该直线的方程为________．解析：因为直线的倾斜角是60°，所以直线的斜率为k ＝tan 60°＝3，又因为直线在y 轴上的截距为5，由斜截式得直线的方程为y ＝3x ＋5.答案：y ＝3x ＋55．若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是_______．解析：∵直线的斜率k ＝a －1a ＋2，且直线的倾斜角为钝角， ∴a －1a ＋2＜0，解得－2＜a ＜1. 答案：(－2,1)6．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上移动，则xy 的最大值等于________．解析：AB 所在直线方程为x 3＋y4＝1，∴x 3·y 4≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋y 42＝14， ∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y4时取等号．答案：37．已知直线l 过点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0分别交于点A ，B (如图)．若线段AB 被点P 平分，求直线l 的方程．解：∵点B 在直线l 2：2x ＋y －8＝0上， 故可设点B 的坐标为(a,8－2a )． ∵P (0,1)是线段AB 的中点， 得点A 的坐标为(－a,2a －6)． 又∵点A 在直线l 1：x －3y ＋10＝0上， 故将A (－a,2a －6)代入直线l 1的方程， 得－a －3(3a －6)＋10＝0， 解得a ＝4.∴点B 的坐标是(4,0)．因此，过P (0,1)，B (4,0)的直线l 的方程为x 4＋y1＝1，即x ＋4y －4＝0.。