高三第一轮复习课件--直线与方程.ppt

B.π4 ，π2 D.π4 ，π2 ∪π4 ，34π
[听课记录] 当 cos θ＝0 时，方程变为 x＋3＝0，其倾斜角为π2； 当 cos θ≠0 时，由直线 l 的方程可得斜率 k＝－co1s θ. ∵cos θ∈[－1，1]且 cos θ≠0， ∴k∈(－∞，－1 ]∪[1，＋∞)， 即 tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 又 α∈[0，π)，∴α∈π4，π2∪π2，34π.
2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范 围；二是要考虑正切函数的单调性．
3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为 0，若不确定，则需要分类讨论．
直线的倾斜角与斜率
[典题导入]
(1)(2014·岳阳模拟)经过两点 A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直
线的倾斜角为34π，则 y＝
A．－1
B．－3
综上知，直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是π4，34π. 故选 C. 答案 C
[规律方法] 1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k＝tan α的取值范围； (2)利用三角函数的单调性，借助图象或单
位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
5．(2014·河北质检)若直线 l 过点(－1，2)且与直线 2x－3y＋4＝0 垂直，则直线 l 的方程为________． 解析 由已知得直线 l 的斜率为 k＝－32. 所以 l 的方程为 y－2＝－23(x＋1)，即 3x＋2y－1＝0. 答案 3x＋2y－1＝0
[关键要点点拨]
1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存 在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直 线都存在斜率．
[跟踪训练]
1．函数 y＝asin x－bcos x 的一条对称轴为 x＝π4 ，则直线

第八章 平面解析几何
[课标解读] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公 式． 2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一 般式).
备考第 1 步——梳理教材基础，落实必备知识 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴_正__向___与直线 l_向__上__的__方__向___ 之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角． (2)规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，它的倾斜角为__0_°__． (3)范围：直线 l 倾斜角的取值范围是__[0_，__π_)__．
2．直线 y＝0 的倾斜角是( ) A．0° C．90°
B．45° D．不存在
解析：直线 y＝0 的斜率为 0，所以倾斜角是 0°.
答案：A
3．(选择性必修第一册 P55 练习 T3 改编)若过点 M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率
等于 1，则 m 的值为( ) A．1 C．1 或 3
B．4 D．1 或 4
2．斜率公式 条件
直线 l 的倾斜角为 αα≠π2 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1≠x2
直线 Ax＋By＋C＝0(B≠0)
公式 斜率 k＝__ta_n__α__
y2－y1 斜率 k＝_x_2－__x_1_
斜率 k＝_－__AB___
3.直线方程的 5 种形式
名称 几何条件
2．直线 l 经过 A(3，1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线 l 的倾斜角 α 的取值范围 是______________.
解析：直线
l
的斜率
1＋m2 k＝ 3－2 ＝1＋m2≥1，所以

5 ． ( 易 错 ) 过 点 P(2 ， 3) 且 在 两 坐 标 轴 上 截 距 相 等 的 直 线 方 程 为 __x_＋__y_－_5_＝__0_或_3_x_－__2_y＝__0_．
解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0； 当截距不为0时，设直线方程为xa + ya＝1， 则2a + 3a＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.
平面内所有直线
【常用结论】 1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α
0°
0°<α<90°
90°
k
0
k>0
不存在
2.特殊位置的直线方程
(1)与x轴重合的直线方程为y＝0；
(2)与y轴重合的直线方程为x＝0；
(3)经过点(a，b)且平行于x轴的直线方程为y＝b；
(4)经过点(a，b)且平行于y轴的直线方程为x＝a；
公共点，则直线l斜率的取值范围为__[13_，___3_]_．
解析：∵P(－1，0)，A(2，1)，B(0， 3)， ∴kPA＝2−1−−01 ＝13，kPB＝0−3−−01 ＝ 3. 由图可知，直线l的斜率k的取值范围为[13 ， 3].
【变式练习】 若本例(2)中“P(－1，0)”改为“P(1，0)”，其他 条件不变，则直线l的斜率的取值范围为__(－__∞__，_－___3_]_∪__1_，__+__∞__．
解析：如图所示：
当直线l过B时设直线l的斜率为k1，
则k1＝
3−0＝－
0−1
3，
当直线l过A时设直线l的斜率为k2， 则k2＝12−−01＝1，
∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－ 3] ∪

(1)过点 A(0,2)，它的倾斜角的正弦值是35； (2)过点 A(2,1)，它的倾斜角是直线 l1：3x＋4y＋5＝0 的倾斜角的一半；
(3)过点 A(2,1)和直线 x－2y－3＝0 与 2x－3y－2＝0 的交点；
(4)过点 A(－2,4)分别交 x 轴、y 轴于点 B、C，点 A 内分B→C成 1∶2.
第七章 直线和圆的方程
第一节 直线的方程
知识自主·梳理
1.理解直线的倾斜角和斜率的 概念．
2．掌握过两点的直线的斜率 公式． 最新考纲 3．掌握直线方程的点斜式、 两点式、一般式．
4．能根据条件熟练地求出直 线方程．
以选择题、填空题的形式考查 高考热点 直线的基本概念及直线方程的
1.直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对
[规律总结] 在解决直线的截距、斜率以及 直线是否经过第几象限等问题时，通常需要 将直线的一般式转化为直线的特殊形式，在 转化过程中，一定要注意转化的条件．忽视 了条件，易出现错误，导致题目解错.
备考例题3
过点P(－1，－2)的直线l分别交x轴和y轴的负 半轴于A、B两点． (1)当|PA|·|PB|最小时，求l的方程；
[分析] 根据题目的不同特征，选择恰当的方 程形式求解．
(3)
方
法
一
：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解
方
程
组
x－2y－3＝0， 2x－3y－2＝0，
得
x＝－5， y＝－4.
∴两条直线的交点为(－5，－4)． 由两点式得－y－4－11＝－x－5－22，即 5x－7y－3＝0. 方法二：用直线系方程来解．
设经过两已知直线交点的直线系方程为
于一条与x轴相交的直线交，点如果逆把时x针轴绕着

(2)直线 2xcos α－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的变化范围是
A.π6，π3
√B.π4，π3
C.π4，π2
D.π4，23π
直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α. 由于 α∈π6，π3，所以12≤cos α≤ 23， 因此 k＝2cos α∈[1， 3]. 设直线的倾斜角为 θ，则有 tan θ∈[1， 3]. 由于θ∈[0，π)， 所以 θ∈π4，π3，即倾斜角的变化范围是π4，π3.
跟踪训练3 (1)直线l的方程为(a＋1)x＋y＋3－a＝0(a∈R)，直线l过定点 _(_1_，__－__4_)_，若直线l不经过第三象限，则实数a的取值范围是_[_3_，__＋__∞__)_.
直线l：(a＋1)x＋y＋3－a＝0可化为a(x－1)＋x＋y＋3＝0， 令xx－＋1y＋＝30＝，0， 解得xy＝＝1－，4， ∴直线l过定点(1，－4)， ∵直线l可化为y＝－(a＋1)x＋a－3， 又直线l不经过第三象限， ∴－ a－a3＋≥10，<0， 解得 a≥3.
第

二 部 分
探究核心题型
题型一 直线的倾斜角与斜率
例 1 (1)若直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段
有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是
A.[－ 3，1]
C.－
33，1
√B.(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)
D.－∞，－
33∪[1，＋∞)
如图，当直线 l 过点 B 时，设直线 l 的斜率为 k1，则 k1＝ 03－－10＝－ 3；当直线 l 过点 A 时， 设直线 l 的斜率为 k2，则 k2＝12－－01＝1，所以 要使直线 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的 斜率的取值范围是(－∞，－ 3]∪[1，＋∞).

为
3
2
.
[易错题]已知点 A (3，4)，则经过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为
4 x －3 y ＝0或 x ＋ y －7＝0
⁠
.
⁠
[解析] 设直线在 x 轴、 y 轴上的截距均为 a .(讨论截距是否为0)
①若 a ＝0，即直线过点(0，0)及(3，4)，
2025届高考数学一轮复习讲义
平面解析几何之 直线的方程
一、知识点讲解及规律方法结论总结
1. 直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角
直线的斜率
(1)定义式：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做
定义：当直线l与x轴相交时，
这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，
我们以x轴为基准，x轴正向
π
k＝tan
α
即③
(α≠
D. 8
5−1
＝－2，则线段 lAB ： y －1＝－2( x －4)， x ∈[2，4]，即
2−4
y ＝－2 x ＋9， x ∈[2，4]，故2 x － y ＝2 x －(－2 x ＋9)＝4 x －9， x ∈[2，4].设 h ( x )
1
1
1
1
差为0.1的等差数列，且直线 OA 的斜率为0.725，则 k 3＝(
图1
A. 0.75
B. 0.8
D )
图2
C. 0.85
D. 0.9
[解析] 如图，连接 OA ，延长 AA 1与 x 轴交于点 A 2，则 OA 2＝4 OD 1.因为 k 1， k 2，
2
k 3成公差为0.1的等差数列，所以 k 1＝ k 3－0.2， k 2＝ k 3－0.1，所以tan∠ AOA 2＝

已知条件 斜率 k 与点 (x0,y0)
斜率 k 与截距 b
两点(x1,y1)、 (x2,y2) (其中 x1≠x2、y1 ≠y2)
截距 a 与 b
方程 y-y0=k(x-x0)
y=kx+b
适用范围 不含直线 x=x0 不含垂直于 x 轴的直线
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
不含直线 x=x1(x1=x2)和直线 y=y1(y1=y2)
(2)点线距离 点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0(A、B 不同时为 0)的距离
d= Ax0 By0 C . A2 B2
(3)线线距离
两平行直线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间的距离 d= C1 C2 . A2 B2
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11
质疑探究4:应用点到直线的距离和两平行线间的距离时应注意 什么? (提示:(1)将方程化为最简的一般形式;(2)利用两平行线之间的距 离公式时,应使两平行线方程中x、y的系数分别对应相等)
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2
编写意图 直线是解析几何的重要内容,虽然在高考中一般不单独命 题考,但直线与圆、直线与圆锥曲线位置关系是高考的必考内容.本 节围绕高考命题的规律进行设点选题,重点突出求直线的倾斜角、斜 率、直线方程、点到直线的距离及其应用,突出方程思想、转化与化 归思想、数形结合思想的应用.
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5
②过两点的直线的斜率公式.经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直
线的斜率公式为 k= y2 y1 . x2 x1
质疑探究1:任意一条直线都有倾斜角和斜率吗? (提示:每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在 斜率.倾斜角为90°的直线斜率不存在) 质疑探究2:直线的倾斜角θ越大,斜率k就越大,这种说法正确吗?

方程组：
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0的解
一组 无数解
无解
两条直线L1,L2的公共点 一个 无数个 零个
直线L1,L2间的位置关系 相交 重合
平行
5、3种距离
（1).两点距离公式 | AB | (x1 x2)2 ( y1 y2)2
(2)点线距离公式 设点(x0,y0),直线Ax+By+C=0,
a=1或-3
求满足下列条件的直线方程： (1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；
2x+3y-1=0
(2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直； 2x-y+5=0
.
(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等； x+y-1=0或3x+2y=0
直线的交点个数与直线位置的关系
6
D.
π
6
B
3、直线的5种方程
名 称 已知条件
标准方程 适用范围
点斜式 点P1(x1，y1)和斜率k y y1 k(x x1) 不垂直于x轴的直线
斜截式 斜率k和y轴上的截距 y kx b 不垂直于x轴的直线
两点式 点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2) 截距式 在x轴上的截距a
在y轴上的截距b
d | Ax0 By0 C | A2 B2
（3）两平行线距离:l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0 d | C1 C2 | A2 B2
点（1,3）到直线3x 4 y 4 0的距离为
中点坐标公式
x0
y0

在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数 k＝tan α的单调
性．
当 α 取值在0，2π内，由 0 增大到π2α≠π2时，k 由 0 增大到＋∞；当 α 取 值在π2，π，由2πα≠π2增大到 π(α≠π)时，k 由－∞趋近于 0.解决此类问

D.0，π3

考点突破 题型透析
考点一 直线的倾斜角与斜率
选 D.利用数形结合思想及圆的几何性质求解． 法一：如图，过点 P 作圆的切线 PA，PB，切点为 A，B.由题意知|OP|＝2，
OA＝1，则 sin α＝21，所以 α＝30°，∠BPA＝60°.故直线 l 的倾斜角的
考点一 直线的倾斜角与斜率
1．若直线 l：y＝kx－ 3与直线 2x＋3y－6＝0 的交点位于第一象限，则直
线 l 的倾斜角的取值范围是( )
π
A.

6
，π3

π
B.

6
，π2

π
C.

3
，π2

π
D.

3
，π2

考点突破 题型透析
考点一 直线的倾斜角与斜率
考点突破 题型透析
考点一 直线的倾斜角与斜率
{注意点}
直线的倾斜角的范围不是 k＝tan α的单调区间
(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意的直线都存在斜率．
(2)直线的倾斜角 α 和斜率 k 之间的对应
α 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°
k0
k＞0
不存在
k＜0Leabharlann 点突破 题型透析高三总复习.数学（文）
第八章 平面解析几何 第1课时 直线及其方程

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高考一轮总复习•数学
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对点练 1(1)(2024·湖北四地七校联考)已知函数 f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，
若 fπ4－x＝fπ4＋x，则直线 ax－by＋c＝0 的倾斜角为(
)
π π 2π 3π A.4 B.3 C. 3 D. 4
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2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角 α 的 正切值 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k
表示，即 k＝ tan α ，倾斜角是 90°的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k＝yx22－－yx11. 3．直线的方向向量 若 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线 l 上两点，则 l 一个方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1)； 若 l 的斜率为 k，则一个方向向量的坐标为 (1，k) .
切线问题可利用导数的几何意义：设切点 P(x0，ln x0)，则 k＝f′(x0)．
A．e
B．－e
1 C.e
D．－1e
解析：(2)方法一：∵f(x)＝ln x，∴x∈(0，＋∞)，f′(x)＝1x.设切点为 P(x0，ln x0)，则
切线的斜率 k＝f′(x0)＝x10＝lnx0x0，
∴ln x0＝1，x0＝e，∴k＝x10＝1e. 方法二(数形结合法)：在同一坐标系中作出曲线 f(x)＝ln x 及其经过原点的切线，如图
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01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
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