直线与方程专题复习

直线与方程复习大全一、 直线与方程：1. 直线的倾斜角 x 轴正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.当直线与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 因此，直线倾斜角的取值范围是[0°,180°).2. 直线的斜率 ①定义：倾斜角α不是90°的直线，α的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率通常用k 表示. 即tan k α=. 当α＝0°时，k ＝0；当α∈(0°, 90°)时，k ＞0；当α∈(90°, 180°)时，k ＜0；当α＝90°时，k 不存在.②经过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= （1）.若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是――――――（ ） Ａ ３０° Ｂ ４５° Ｃ ６０° Ｄ ９０°（2）．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A 045,1B 0135,1- C 090，不存在 D 0180，不存在 （3）. 如图1，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则必有（ ） A. k 1<k 3<k 2 B. k 3<k 1<k 2C. k 1<k 2<k 3D. k 3<k 2<k 13、 直线的方程a. 点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率为k ，且过点(x 1, y 1).注意：当直线的倾斜角为0°时直线的斜率k ＝0，直线的方程是y ＝y 1；当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，直线的方程是x ＝x 1；b. 斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b （b ∈R ）c. 两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线经过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) d. 截矩式：1x y a b += 直线l 过点(,0)a 和点(0,)b , 即l 在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b（a ≠0且b ≠0）注意：直线l 在坐标轴上的截距相等时，斜率为－1或经过原点；直线l 在坐标轴上的截距互为相反数时，斜率为1或经过原点；e. 一般式：Ax ＋By ＋C ＝0（A , B 不全为0）注意： ①平行于x 轴的直线：y ＝b （b 为常数）, 直线的斜率为0；②平行于y 轴的直线：x ＝a （a 为常数）, 直线的斜率不存在；③直线在坐标轴上的截距可以为一切实数1．把直线l 的一般式方程2x-y+6=0化成斜截式方程是 .2．直线l:132=-+-y x 在x 轴上的截距是 .3．过点Ｐ（１，２）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是 .4．线过原点且倾角的正弦值是54，则直线方程为 . 5．直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ） A.213, B.--213, C.--123, D.－2，－3 6.mx ＋ny ＝1（mn ≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为 .7．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 8 设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A 1=+b a B 1=-b a C 0=+b a D 0=-b a9已知A （1，2）、B （-1，4）、C （5，2），则ΔABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为（ ）（A ）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=010．已知直线1l 过点P (2,2)-，（1）若1l 的倾斜角是直线210l y ++=倾斜角的12，求直线1l 的方程； （2）若1l 在两坐标轴上的截距相等，求直线1l 的方程；（3）若1l 与两坐标轴构成单位面积的三角形，求直线1l 的方程。

直线与方程一、倾斜角当直线与X轴相交时,取X轴为基准,叫做直线得倾斜角。

当直线与X轴平行或重合时,规定直线得倾斜角为,因此,直线得倾斜角得取值范围就是。

二、斜率(1)定义:一条直线得倾斜角得叫做这条直线得斜率;当直线得倾斜角时,该直线得斜率;当直线得倾斜角等于时,直线得斜率。

(2)过两点得直线得斜率公式:过两点得直线得斜率公式。

若,则直线得斜率,此时直线得倾斜角为。

练习:1、已知下列直线得倾斜角,求直线得斜率(1)(2)(3)(4)2、求经过下列两点直线得斜率,并判断其倾斜角就是锐角还就是钝角(1) (2)(3) (4)3,判断正误（1）直线得倾斜角为任意实数。

( )（2）任何直线都有斜率。

( )（3）过点得直线得倾斜角就是。

( )（4）若三点共线,则得值就是-2、( )三、注:必记得特殊三角函数值表四、直线得常用方程1、直线得点斜式: 适用条件就是:斜率存在得直线。

2、斜截式:3、截距式: ,为x轴与y轴上得截距。

4、两点式: ()5、直线得一般式方程:练习:1、写出下列直线得点斜式方程（1）经过点A(3,-1),斜率为（2）经过点倾斜角就是（3）经过点C(0,3),倾斜角就是（4）经过点D(-4,-2),倾斜角就是2、写出下列直线得斜截式方程（1）斜率就是在轴上得截距就是-2（2）斜率就是-2,在y轴上得截距就是43、填空题（1）已知直线得点斜式方程就是则直线得斜率就是_________,经过定点________,倾斜角就是______________;（2）已知直线得点斜式方程就是则直线得斜率就是_________,经过定点________,倾斜角就是______________;4、判断(1)经过顶点得直线都可以用方程表示。

( )(2)经过顶点得直线都可以用方程表示。

( )(3)不经过原点得直线都可以用表示。

( )(4)经过任意两个不同得点得直线都可以用方程表示。

( )直线得一般式方程为:,当B不等于0时直线得斜率为_________一般求完直线方程后化成一般式。

第三章 直线与方程(一)直线的倾斜角1.定义：在平面直角坐标系中，当直线与x 轴相交时，取x 轴非负半轴作为基准，把x 轴的正方向按逆时针旋转至与直线重合的最小角，叫做直线的倾斜角.当直线平行于 x 轴或与x 轴重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.2. 范围: 0°≤α<180° 倾斜角[0°,180°) 二面角[0°,180°]线面角[0°,90°] 异面直线成角(0°,90°](二)直线的斜率1.定义：倾斜角α不是90°的直线，正切值叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用k 表示，即k=tanα，当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在.2.倾斜角α与斜率k 的范围之间的对应关系 (三)斜率公式经过两点P ₁(x ₁,y ₁),P ₂(x ₂,y ₂)的直线的斜率是： k =y 2−y1x 2−x 1注:(1)斜率公式适用范围x ₁≠ x ₂ (2)斜率公式变形. y₂−y₁=k (x₂−x₁)例1 (1)过 P(-1,-1)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点,若 P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的斜率和倾斜角.k =-1,α = 135°(2)若经过点A(1-t ，1+t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角为钝角，求实数t 的取值范围.(-2,1)(3)若直线l 的倾斜角是连接(-3，5)，(0，9)两点的直线倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为 −247.k =tanα=43k ′=tan2α=−247(4)直线l 的方程为x+ycosθ+3=0(θ∈R),则倾斜角的范围为 [π4,3π4].tanα=−1cosθ∈(−∞,+∞)(5)已知两点A(2,3)和B(-1,2),过点 P(1,-1)的直线l 与线段AB 有交点,则直线l 斜率k 的取值范围为 (−∞,−32]U [4,+∞).名称 方程 适用条件 参数几何意义 斜截式 y=kx+b α≠90° k:斜率b ：纵截距(可正，可负)点斜式y-y ₀=k(x-x ₀)α≠90°k:斜率 点(x ₀,y ₀)例2 (1)过P(-2，2)点引一条直线l，使其与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，求直线 l的方程.解析{b−a=12abab=8或−8∴{a=2+2√3b=−2+2√3 j{a=−2−2√3b=2−2√3(2)直线l过点P(-2,3),且与x轴、y轴分别交于A、B两点,若 P恰为线段AB 的中点,求直线l的方程.3x-2y+12 = 0(3)若直线((2m²+m-3)x+(2-m)y=4m-1在 x轴上的截距为1，则实数 m是(D)A.1B.2C.−12 D.2 或−12(4)①在x轴，y轴上截距分别是-2，3的直线方程是3x-2y+6=0②求过点 P(2，3)，并且在两轴上截距相等的直线方程y=32x或.x+y-5 =0例3 (1)直线l的方程为.Ax+By+C=0(A、B不同时为零),根据下列各位置特征,写出A,B,C应满足的关系：①l与两坐标轴都相交A≠0;B≠0 ;②l过原点 C=0 ;③l只与x轴相交 B=0 ;④l是y轴所在直线 B=0,C=0 ;⑤l在x,y轴上的截距互为相反数①C=0. A≠0,B≠0②C≠0且A= B≠0 .(2)①直线kx+y+1=0(k∈ R)恒过定点 (0,-1) .②直线kx+k+3k²x+k²y=0(k∈R)恒过定点 (-1,3) .(3)过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l₁:2x−y−2=0与l₂:x+y+3=0之间的线段恰被点 P平分，求直线l的方程。

直线的倾斜角与斜率题组一直线的倾斜角1.已知直线l 过点(m,1)，(m ＋1，tan α＋1)，则 ( ) A ．α一定是直线l 的倾斜角 B ．α一定不是直线l 的倾斜角 C ．α不一定是直线l 的倾斜角 D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角 解析：设θ为直线l 的倾斜角， 则tan θ＝tan α＋1－1m ＋1－m＝tan α，∴α＝kπ＋θ，k ∈Z ，当k ≠0时，θ≠α. 答案：C2．如图，直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则( )A ．k sin α>0B ．k cos α>0C ．k sin α≤0D ．k cos α≤0 解析：显然k <0，π2<α<π，∴cos α<0，∴k cos α>0. 答案：B题组二直线的斜率及应用3.若一个直角三角形的三条边所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，且k 1<k 2<k 3，则下列说法中一定正确的是( )A ．k 1k 2＝－1B ．k 2k 3＝－1C ．k 1<0D ．k 2≥0 解析：结合图形知，k 1<0. 答案：C4．(2008·浙江高考)已知a >0，若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝________.解析：∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即a 2＋a 2－1＝a 3－a 23－2，又a >0，∴a ＝1＋ 2.答案：1＋ 25．已知两点A (－1，－5)，B (3，－2)，若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是________．解析：设直线AB 的倾斜角为2α，则直线l 的倾斜角为α，由于0°≤2α＜180°，∴0° ≤α＜90°，由tan2α＝－2－(－5)3－(－1)＝34，得tan α＝13，即直线l 的斜率为13.答案：13题组三两条直线的平行与垂直6.(2009·陕西八校模拟)已知两条直线l 1：ax ＋by ＋c ＝0，直线l 2：mx ＋ny ＋p ＝0，则an ＝bm 是直线l 1∥l 2的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵l 1∥l 2⇒an －bm ＝0，且an －bm ＝0⇒/ l 1∥l 2，故an ＝bm 是直线l 1∥l 2的必要不充分条件． 答案：B7．(2009·福建质检)已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab |的最小值为( )A ．5B ．4C ．2D ．1 解析：由题意知，a 2b －(a 2＋1)＝0且a ≠0， ∴a 2b ＝a 2＋1，∴ab ＝a 2＋1a ＝a ＋1a，∴|ab |＝|a ＋1a |＝|a |＋1|a |≥2.(当且仅当a ＝±1时取“＝”)．答案：C8．(2010·合肥模拟)已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab为( )A.23 B ．－23 C.13 D ．－13 解析：曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率为3， 所以a b ＝－13.答案：D9．(2009·泰兴模拟)设直线l 1的方程为x ＋2y －2＝0，将直线l 1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l 2，则l 2的方程是________________．解析：∵l 1⊥l 2，k 1＝－12，∴k 2＝2，又点(0,1)在直线l 1上，故点(－1,0)在直线l 2上， ∴直线l 2的方程为y ＝2(x ＋1)，即2x －y ＋2＝0. 答案：2x －y ＋2＝0题组四直线的倾斜角和斜率的综合问题10.若关于x 的方程|x －1|－kx ＝0有且只有一个正实数根，则实数k 的取值范围是________．解析：数形结合．在同一坐标系内画出函数y ＝kx ，y ＝|x －1|的图象如图所示，显然k ≥1或k ＝0时满足题意.答案：k ≥1或k ＝011．(2009·青岛模拟)已知点A (2,3)，B (－5,2)，若直线l 过点P (－1,6)，且与线段AB 相交，则该直线倾斜角的取值范围是________． 解析：如图所示，k P A ＝6－3－1－2＝－1， ∴直线P A 的倾斜角为3π4，k PB ＝6－2－1－(－5)＝1，∴直线PB 的倾斜角为π4，从而直线l 的倾斜角的范围是[π4，3π4]．答案：[π4，3π4]12．已知点M (2,2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标． (1)∠MOP ＝∠OPN (O 是坐标原点)． (2)∠MPN 是直角． 解：设P (x,0)，(1)∵∠MOP ＝∠OPN ，∴OM ∥NP . ∴k OM ＝k NP .又k OM ＝2－02－0＝1，k NP ＝0－(－2)x －5＝2x －5(x ≠5)，∴1＝2x －5，∴x ＝7，即P 点坐标为(7,0)．(2)∵∠MPN ＝90°，∴MP ⊥NP ， ∴k MP ·k NP ＝－1. 又k MP ＝22－x (x ≠2)，k NP ＝2x －5(x ≠5)， ∴22－x ×2x －5＝－1，解得x ＝1或x ＝6， 即P 点坐标为(1,0)或(6,0)．直线方程题组一直线方程的求法1.直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：当x ＝1时，y ＝1，即所求直线过点(1,1)，在直线x －2y ＋1＝0中，令y ＝0，得x ＝－1，则(－1,0)关于直线x ＝1对称的点(3,0)在所求直线上，故所求方程为x ＋2y －3＝0. 答案：D2．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝0 解析：由于直线P A 的倾斜角为45°，且|P A |＝|PB |， 故直线PB 的倾斜角为135°， 又当x ＝2时，y ＝3，即P (2,3)，∴直线PB 的方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0. 答案：A3．(2009·安徽高考)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是 ( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案：A题组二直线方程中参数的确定4.已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC ＝2CB ，则a 等于( )A ．2B ．1 C.45 D.53解析：设点C (x ，y )，由于AC ＝2CB ， 所以(x －7，y －1)＝2(1－x,4－y )，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2－2x y －1＝8－2y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝3， 又点C 在直线y ＝12ax 上，所以有3＝32a ，a ＝2.答案：A5．(2009·厦门模拟)若点(5，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0与3x －4y ＋5＝0之间，则整数b 的值为( )A ．5B ．－5C ．4D ．－4 解析：过点(5，b )且与两直线平行的直线的方程为3x －4y ＋4b －15＝0. 由题意知，18<4b －154<54，∴318<b <5，又b 是整数，∴b ＝4. 答案：C题组三直线方程的应用6.经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为 ( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0解析：设直线的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，则有1a ＋4b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋4b )＝5＋b a ＋4ab ≥5＋4＝9，当且仅当b a ＝4ab ，即a ＝3，b ＝6时取“＝”．∴直线方程为2x ＋y －6＝0. 答案：B7．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上移动，则xy 的最大值等于________． 解析：线段AB 的方程为x 3＋y4＝1(0≤x ≤3)，∴1＝x 3＋y 4≥2xy12，∴xy ≤3. (当且仅当x ＝32，y ＝2时取“＝”)．答案：38．已知直线l 1：x ＋3y －5＝0，l 2：3kx －y ＋1＝0.若l 1，l 2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则k ＝________.解析：由题意知，l 1⊥l 2，∴3k －3＝0，k ＝1. 答案：1题组四直线方程的综合问题9.(2009·上海春季高考)过点A (4，－1)和双曲线x 29－y 216＝1右焦点的直线方程为________．解析：由于a 2＝9，b 2＝16，∴c 2＝25，故右焦点为(5,0)． 所求直线方程为y－1＝x －54－5，即x －y －5＝0.答案：x －y －5＝010．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n 的最小值为________．解析：由题意知，点A (－2，－1)．∴2m ＋n ＝1，∴1m ＋2n ＝(1m ＋2n )(2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n ≥4＋4＝8(当且仅当m ＝14，n ＝12时取“＝”)． 答案：811．过点M (0,1)作直线，使它被两直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线方程．解：法一：过点M 且与x 轴垂直的直线是y 轴，它和两已知直线的交点分别是⎝⎛⎭⎫0，103和(0,8)，显然不满足中点是点M (0,1)的条件．故可设所求直线方程为y ＝kx ＋1，与两已知直线l 1，l 2分别交于A 、B 两点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0，① ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0，② 由①解得x A ＝73k －1，由②解得x B ＝7k ＋2， ∵点M 平分线段AB ，∴x A ＋x B ＝2x M ，即73k －1＋7k ＋2＝0.解得k ＝－14，故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.法二：设所求直线与已知直线l 1，l 2分别交于A 、B 两点． ∵点B 在直线l 2：2x ＋y －8＝0上， 故可设B (t,8－2t )．又M (0,1)是AB 的中点， 由中点坐标公式得A (－t,2t －6)． ∵A 点在直线l 1：x －3y ＋10＝0上， ∴(－t )－3(2t －6)＋10＝0，解得t ＝4. ∴B (4,0)，A (－4,2)，故所求直线方程为x ＋4y －4＝0. 12．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程． 解：(1)法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．法二：设直线过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立， 所以x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程可化为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是k ≥0.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A (－1＋2k k ，0)，B (0,1＋2k )，又－1＋2k k <0且1＋2k >0，∴k >0，故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2kk(1＋2k ) ＝12(4k ＋1k ＋4)≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号，故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.直线的交点坐标与距离公式题组一两条直线的交点问题1.若直线l 1：y ＝kx ＋k ＋2与l 2：y ＝－2x ＋4的交点在第一象限，则实数k 的取值范围是( )A ．k >－23 B ．k <2C ．－23<k <2D ．k <－23或k >2解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k ＋2y ＝－2x ＋4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－kk ＋2y ＝6k ＋4k ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧2－kk ＋2>06k ＋4k ＋2>0得⎩⎪⎨⎪⎧－2<k <2，k <－2或k >－23，∴－23<k <2. 答案：C2．若y ＝a |x |的图象与直线y ＝x ＋a (a >0)有两个不同交点，则a 的取值范围是 ( ) A ．0<a <1 B ．a >1 C ．a >0且a ≠1 D ．a ＝1 解析：结合图象知，a 的取值范围是a >1.答案：B题组二有关直线的对称问题3.直线l ：4x ＋3y －2＝0关于点A (1,1)对称的直线方程为 ( ) A ．4x ＋3y －4＝0 B ．4x ＋3y －12＝0 C ．4x －3y －4＝0 D ．4x －3y －12＝0解析：在对称直线上任取一点P (x ，y )，则点P 关于点A 对称的点P ′(x ′，y ′)必在直线l 上．由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋x ＝2y ′＋y ＝2得P ′(2－x,2－y )， ∴4(2－x )＋3(2－y )－2＝0，即4x ＋3y －12＝0. 答案：B4．(2010·临沂质检)已知A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上， 则AC 所在直线方程是____________．解析：设点A 关于直线y ＝x ＋1对称的点A ′(x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－1x 0－3＝－1y 0＋12＝x 0＋32＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0y 0＝4，即A ′(0,4)．∴直线A ′B 的方程为2x －y ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋4＝0y ＝x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝－2，得C (－3，－2)． ∴直线AC 的方程为x －2y －1＝0. 答案：x －2y －1＝0题组三有关距离问题5.点(1，cos θ)到直线x sin θ＋y cos θ－1＝0的距离是14(0°≤θ≤180°)，那么θ＝ ( )A ．150°B ．30°或150°C ．30°D ．30°或210°解析：由题意知14＝|sin θ＋cos 2θ－1|sin 2θ＋cos 2θ＝|sin θ－sin 2θ|，又0≤sin θ≤1，∴sin 2θ－sin θ＋14＝0，(sin θ－12)2＝0，∴sin θ＝12，又0°≤θ≤180°，∴θ＝30°或150°. 答案：B6．(2010·武汉模拟)已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于( )A.79 B ．－13 C ．－79或－13 D.79或13 解析：由题意知|6a ＋3＋1|a 2＋1＝|－3a －4＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或a ＝－79.答案：C7．(2010·孝昌模拟)若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为 ( ) A ．23 B ．3 3 C ．3 2 D ．4 2解析：由题意知，M 点的轨迹为平行于直线l 1、l 2且到l 1、l 2距离相等的直线l ，其方程为x ＋y －6＝0，∴M 到原点的距离的最小值为d ＝62＝3 2. 答案：C题组四综 合 问 题 8.(2009·哈尔滨模拟)若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2) D ．(－1，－2)解析：因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2， 即b ＝－k －2，于是直线方程化为y ＝kx －k －2， 即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)． 答案：A 9．点P (－1,3)到直线l ：y ＝k (x －2)的距离的最大值等于( )A ．2B ．3C ．3 2D ．2 3 解析：直线l ：y ＝k (x －2)的方程化为kx －y －2k ＝0， 所以点P (－1,3)到该直线的距离为 d ＝3|k ＋1|k 2＋1＝3k 2＋2k ＋1k 2＋1＝31＋2k k 2＋1，由于2k k 2＋1≤1，所以d ≤32， 即距离的最大值等于3 2.答案：C10．已知点A (3,1)，在直线x －y ＝0和y ＝0上分别有点M 和N 使△AMN 的周长最短，求点M 、N 的坐标．解：A (3,1)关于y ＝x 的对称点A1(1,3)，A (3,1)关于y ＝0的对称点A 2(3，－1)，△AMN 的周长最小值为|A 1A 2|，|A 1A 2|＝25，A 1A 2的方程：2x ＋y －5＝0.A 1A 2与x －y ＝0的交点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0x －y ＝0⇒M (53，53)， A 1A 2与y ＝0的交点N ，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －5＝0y ＝0⇒N (52，0)． 11．已知n 条直线：l 1：x －y ＋C 1＝0，C 1＝2且l 2：x －y ＋C 2＝0，l 3：x －y ＋C 3＝0，…，l n ：x －y ＋C n ＝0，其中C 1<C 2<C 3<…<C n ，这n 条平行直线中，每相邻两条之间的距离顺次为2,3,4，…，n .(1)求C n ；(2)求x －y ＋C n ＝0与x 轴、y 轴围成的图形的面积．解：(1)由已知条件可得l 1：x －y ＋2＝0，则原点O 到l 1的距离d 1＝1，由平行直线间的距离可得原点O 到l n 的距离d n 为1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2， ∵C n ＝2d n ，∴C n ＝2·n (n ＋1)2. (2)设直线l n ：x －y ＋C n ＝0交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则△OMN 的面积S △OMN ＝12|OM |·|ON |＝12(C n )2＝n 2(n ＋1)24.。

直线与方程总复习及练习知识点：1.倾斜角：X 轴正向与直线L 向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。

001800<≤α2. 斜率：αtan =k1212x x y y k --= 斜率k 与倾斜角 α之间的关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=⇒<<⇒⇒=>=⇒<<==⇒=0tan 18090)(tan 900tan 90000tan 0a k a k a a a k a k a 不存在不存在3.两直线平行与垂直的判定：①两直线平行的判定：（1）1 ∥2 ⇔ k 1=k 2 且21b b ≠或两条直线的斜率都不存在。

（2）1 ∥2 ⇔12210A B A B -=且12210B C B C -≠②两直线垂直的判定：（1）1 ⊥2 ⇔ k 1·k 2=－1或一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在。

（2）1 ⊥2 ⇔12120A A B B +=4.直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。

（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。

（3）两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。

（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+by a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。

（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。

注意：设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；（5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。

直线与方程专题复习【知识点一：倾斜角与斜率】 （1）直线的倾斜角①直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00；②倾斜角α的范围000180α≤<（2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在.记作tan k α=0(90)α≠⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k ==； ⑵当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在.②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=-③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （3）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。

【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l 【知识点三：直线的方程】 （1）直线方程的几种形式问题：过两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线是否一定可用两点式方程表示？不一定】 (1)若1212x x y y =≠且，直线垂直于x 轴,方程为1x x =； (2)若1212x x y y ≠=且，直线垂直于y 轴,方程为12y y =； (3)若1212x x y y ≠≠且，直线方程可用两点式表示截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。

距离的值是非负数。

截距是实数，不是“距离”，可正可负。

截距式方程的应用①与坐标轴围成的三角形的周长为: |a |+|b②直线与坐标轴围成的三角形面积为: S =1||2ab ； ③直线在两坐标轴上的截距相等，则1k =-或直线过原点，常设此方程为x y a y kx +==或 （2）线段的中点坐标公式121122,(,),(,)P P x y x y 若点的坐标分别是，1212122(,)2x x x PP M x y y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩且线段的中点的坐标为 【知识点四 直线的交点坐标与距离】 （1）两条直线的交点设两条直线的方程是1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++= 两条直线的交点坐标就是方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； ②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. （2）几种距离两点间的距离：平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y间的距离公式12||PP =特别地，原点(0,0)O 与任一点(,)P x y的距离||OP =点到直线的距离：点00(,)o P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =两条平行线间的距离：两条平行线1200Ax By C Ax By C ++=++=与间的距离d =精讲精练：【例】已知(1A 直线l 过原点O 且与线段AB 有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是( )ABCD【例】在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1,且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ） A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 【例】方程1=+y x 所表示的图形的面积为_______．【例】一直线过点(3,4)M -，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是__________． 【例】已知直线(2)(31)1,a y a x -=--为使这条直线不经过第二象限，则实数a 的范围是___ _．【例】直线13y x =-+和x 轴，y 轴分别交于点,A B ，在线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点1(,)2P m 使得△ABP 和△ABC 的面积相等，求m 的值．【例】已知点(1,1)A ，(2,2)B ，点P 在直线x y 21=上，求22PB PA +取得最小值时P 点的坐标． 【例】在△ABC 中，已知BC 边上的高所在直线的方程为210,x y A -+=∠的平分线所在直线的方程为0y =．若点B 的坐标为(1,2),求点C 的坐标．【例】直线l 过点(2,1),P 且分别与,x y 轴的正半轴于,A B 两点，O 为原点． （1）求△AOB 面积最小值时l 的方程；（2）|PA|•|PB|取最小值时l 的方程． 【例】求倾角是直线1y =+的倾角的1,4且分别满足下列条件的直线方程： (1)经过点1)-；(2)在y 轴上的截距是－5. 【例】已知直线:120l kx y k -++=．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 交x 负半轴于,A 交y 正半轴于,B AOB ∆的面积为,S 试求S 的最小值并求出此时直线l 的方程． 练习：1．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为 ； 2．如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同一直线上，那么k 的值是 ；3．两条直线023=++m y x 和0323)1(2=-+-+m y x m 的位置关系是 ； 4．直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是 ； 5．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是:6．三直线ax +2y +8=0，4x +3y =10，2x －y =10相交于一点，则a 的值是:7．已知点(1,2),B(2,2),C(0,3),A --若点),(b a M )0(≠a 是线段AB 上一点,则直线CM k 的取值范围是: 8．若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线1l ：07=-+y x 和2l ：05=-+y x 上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为:9过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ；10．已知A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上， 则AC 所在直线方程是____________． 11．光线从点()3,2A 射出在直线01:=++y x l 上，反射光线经过点()1,1B ,则反射光线所在直线的方程 12．点A （1，3），B （5，－2），点P 在x 轴上使|AP |－|BP |最大，则P 的坐标为: 13．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为4，求直线l 的方程． 14．（1）要使直线l 1：m y m m x m m 2)()32(22=-+-+与直线l 2：x -y=1平行，求m 的值. （2）直线l 1：a x +(1-a)y=3与直线l 2：(a -1)x +(2a+3)y=2互相垂直，求a 的值.15．已知∆A B C 中，A (1, 3)，AB 、AC 边上的中线所在直线方程分别为x y -+=210 和y -=10，求∆A B C各边所在直线方程．16.△ABC 中，A （3，－1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为：6x ＋10y －59=0， ∠B 的平分线方程B T 为：x －4y ＋10=0，求直线BC 的方程.17．已知函数(x)a f x x =+的定义域为(0,),+∞且(2)22f =+设点P 是函数图象上的任意一点,过点P 分别作直线y x =和y 轴的垂线，垂足分别为,M N ．（1）求a 的值；（2）问：|PM ||PN |⋅是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（3）设O 为原点，若1OMPN S =求P 点的坐标．。

直线与方程—复习 姓名：_____________1．直线的倾斜角(1)倾斜角：一条直线L 向上的方向与X 轴的正方向所成的角，叫做直线的倾斜角.范围为_________。

(2)当直线与x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角 ．2．直线的斜率(1)倾斜角α的 ( 90≠α)叫做直线的斜率，直线的斜率常用k 表示，即k ＝ ． (２)经过两点()11,P x y 和()()2212,Q x y x x ≠的直线的斜率公式为：k ＝ ． ４．平行:(1)若两直线的斜率k 1、k 2存在，y 轴上的截距分别为b 1、b 2，则l 1∥l 2的充要条件是 ．(2)若两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2的充要条件为_________________． ５．垂直:(1)若两条直线的斜率k 1，k 2均存在，则l 1⊥l 2⇔ ．(2)若两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2⇔ ___ ． ６．距离：（1）两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则___________________________________.（2）点到直线的距离：0:),,(00=++C By Ax l y x P ，则P 到l 的距离为：___________=d（3）平行线间距离：若0:,0:2211=++=++C By Ax l C By Ax l ，则：_______________=d 。

７．直线系方程(1)平行直线系：与直线Ax ＋By ＋C 1＝0平行的直线可以表示为 ．(2)垂直直线系：与直线Ax ＋By ＋C 1＝0垂直的直线可以表示为 ．8.注意两类问题：（1）直线过定点问题 （2）对称问题：点关于点；点关于线；线关于点等.1、若直线x =1的倾斜角为α，则α（ ） A.等于零 B.等于4π C .等于2π D .不存在 2、已知直线PQ 的斜率为-3 ，将直线绕点P 顺时针旋转60︒所得的直线的斜率是（ ）A 、 0B 、 33C 、 3D 、 -33、图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）A 、k 1＜k 2＜k 3B 、k 3＜k 1＜k 2C 、k 3＜k 2＜k 1D 、k 1＜k 3＜k 24、已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A 、425x y +=B 、425x y -=C 、25x y +=D 、25x y -=5、两平行直线51230102450x y x y ++=++=与的距离是（ ）Ａ、213 Ｂ、113 Ｃ、126 Ｄ、5266、已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于（ ）A 、2B 、1C 、0D 、1-7、已知直线1:30l Ax y C ++=与2:2340l x y -+=，若12l l 、的交点在y 轴上，则C 的值为（ ） Ａ、４ Ｂ、-４ Ｃ、４或-４ Ｄ、与A 的取值有关8、方程0)142()32()41(=-+--+k y k x k 所确定的直线必经过点 （ ）A 、（2，2）B 、（－2，2）C 、（－6，2）D 、（522,534） 9、若过点P （1-a ,1+a ）和Q （3，2a ）的直线的倾斜角α为钝角，则实数a 的取值范围为 。

直线的方程重难点专题常考结论及公式结论一：两直线平行与垂直的充要条件若l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2；①l 1∥l 2⇒k 1=k 2⇒≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零.①l 1∥l 2⇒A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2；l 1与l 2重合⇒A 1A 2=B 1B 2=C1C 2；②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.结论二：到角公式和夹角公式(1)l 1到l 2的角公式①tan α=k 2-k 11+k 2k 1.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)(2)夹角公式①tan α=k 2-k 11+k 1k 2.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2.(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是π2.结论三：四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0)，其中k 是待定的系数；经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0，其中A 、B 是待定的系数.(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为l 1:(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0，λ是参变量.结论四：与对称有关的一些结论(1)点P (u ,v )关于点Q (s ,t )的对称点的坐标为：(2s -u ,2t -v )，特别地，点P (u ,v )关于原点的对称点的坐标为：(2×0-u ,2×0-v )，即(-u ,-v ).(2)直线Ax +By +C =0关于点P (-u ,-v )对称的直线的方程为：(2u -x )+B (2v -y )+C =0.(3)直线Ax +By +C =0关于原点、x 轴、y 轴对称的直线的方程分别为：A (-x )+B (-y )+C =0，Ax +B (-y )+C =0，A (-x )+By +C =0.(4)直线Ax +By +C =0关于直线x =u ,y =v 对称的直线的方程分为：A (2u -x )+By +C =0，Ax +B (2v -y )+C =0.(5)曲线f (x ,y )=0关于点P (u ,v )对称的直线的方程为：f (2u -x ,2v -y )=0.(6)点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：s -2A ∙As +Bt +C A 2+B 2,t -2B ∙As +Bt +CA 2+B2.特别地，当A =B ≠0时，点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：-Bt +C A,-As +CB .点P (s ,t )关于x 轴、y 轴，直线x =u ，直线y =v 的对称点的坐标分别为(s ,-t ),(-s ,t ),(2u -s ),(s ,2v -t ).题型一直线的倾斜角与斜率关系问题例1.直线x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6的斜率的取值范围为()A.-∞,3B.2,+∞C.-∞,0 ∪0,3D.-∞,2【答案】A【分析】求出直线的斜率的表达式，通过角的范围求解斜率的范围即可.【详解】由x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6 可得直线的斜率为：k =-cos θsin θ=-1tan θ.因为θ∈0,5π6 ，所以tan θ∈-∞,-33 ∪0,+∞ ,所以k =-1tan θ∈-∞,0 ∪0,3 当θ=π2时，易得k =0。

☞ 知识网络☞ 课堂学习题型1:直线的倾斜角与斜率考点1：直线的倾斜角例1、过点),2(a M -和)4,(a N 的直线的斜率等于1， 则a 的值为( )A 、1B 、4C 、1或3D 、1或4 变式1：已知点)3,1(A 、)33,1(-B ，则直线AB 的倾斜角是（ ）A 、︒60B 、︒30C 、︒120D 、︒150变式2:已知两点()2,3A ，()1,4-B ，求过点()1,0-C 的直线l 与线段AB 有公共点求直线l 的斜率k 的取值范围考点2：直线的斜率及应用斜率公式1212x x y y k --=与两点顺序无关,即两点的横纵坐标在公式中的前后次序相同；斜率变化分两段，2π是分界线，遇到斜率要特别谨慎 例1：已知R ∈θ,则直线013sin =+-y x θ的倾斜角的取值范围是（ )A 、[]︒30,0B 、[)︒︒180,150C 、[][)︒︒︒180,15030,0D 、[]︒︒150,30例2、三点共线——若三点()2,2A 、()0,a B 、()b C ,0，()0≠ab 共线，则ba 11+的值等于变式2：若()3,2-A 、()2,3-B 、⎪⎭⎫⎝⎛m C ,21三点在同一直线上，则m 的值为（ ）A 、2-B 、2C 、21-D 、21 考点3：两条直线的平行和垂直对于斜率都存在且不重合的两条直线21l l 、,2121//k k l l =⇔,12121-=⋅⇔⊥k k l l .若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少要特别注意例、已知点()2,2M ,()2,5-N ，点P 在x 轴上,分别求满足下列条件的P 点坐标。

(1）OPN MOP ∠=∠（O 是坐标原点）；(2） MPN ∠是直角题型2：直线方程名称 方程的形式 已知条件局限性点斜式 ()00x x k y y -=-()11y x 、为直线上一定点，k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线斜截式 b kx y +=k 为斜率，b 是直线在y 轴上截距两点式 121121x x x x y y y y --=--(21x x ≠且21y y ≠) ()11y x 、，()22y x 、是直线上两定点不包括垂直于x 轴和y 轴的直线截距式 1=+by a x b a 、是直线在轴上的非零截距一般式0=++C By Ax B A 、不同时为C B A 、、为系数；无限制,可表示任何位置的直线考点1：直线方程的求法例1、下列四个命题中的真命题是（ ）A 、经过定点()00y x P 、的直线都可以用方程()00x x k y y -=-表示B 、经过任意两个不同的点()111y x P 、和()222y x P 、的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示C 、不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示D 、经过定点()b A ,0的直线都可以用方程b kx y +=表示 例2、若()()0134422=+⋅+-+⋅-y m m x m 表示直线，则（ ）A 、2±≠m 且1≠m ，3≠mB 、2±≠mC 、1≠m 且3≠mD 、m 可取任意实数 变式1：直线0632=--y x 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ,则（ ）A 、2,3==b aB 、2,3-==b aC 、2,3=-=b aD 、2,3-=-=b a变式2：过点)3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 ；在两轴上的截距相等的直线方程变式3：过点)1,2(-P ，在x 轴和y 轴上的截距分别为b a 、，且满足b a 3=的直线方程是 考点2：用一般式方程判定直线的位置关系两条直线位置关系的判定,已知直线0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l ，则(1） 0//122121=-⇔B A B A l l 且01221≠-C A C A （或01221≠-C B C B ）或212121C C B B A A ≠=（222C B A 、、均0≠)(2) 0212121=+⇔⊥B B A A l l（3） 1l 与2l 重合01221=-⇔B A B A 且01221=-C A C A (或01221=-C B C B )或212121C C B B A A ==(222C B A 、、均0≠）（4) 1l 与2l 相交01221≠-⇔B A B A 或记2121B B A A ≠(22B A 、均0≠）例1、已知直线01=++ny mx 平行于直线0534=++y x ，且在y 轴上的截距为31，则n m 、的值分别为（ ）A 、4和3B 、4-和3C 、4-和3-D 、4和3- 变式1：直线02:1=++y kx l 和032:2=--y x l , 若21//l l ，则1l 在两坐标轴上的截距的和（ ）A 、1-B 、2-C 、2D 、6 例2、已知直线02=+-a y ax 与直线()012=++-a ay x a 互相垂直，则a 等于（ )A 、1B 、0C 、1或0D 、1或1-变式2：两条直线0=-+n y mx 和01=++my x 互相平行的条件是( ）A 、1=mB 、1±mC 、⎩⎨⎧-≠=11n m D 、⎩⎨⎧-≠-=11n m 或⎩⎨⎧≠=11n m变式3：两条直线03=++m y x 和03=+-n y x 的位置关系是（ ）A 、平行B 、垂直C 、相交但不垂直D 、与n m 、的取值有关 变式4：原点在直线l 上的射影是()1,2-P ，则直线l 的方程为( )A 、02=+y xB 、042=-+y xC 、052=+-y xD 、032=++y x 例3、三条直线01=+-y x 、042=-+y x 、02=+-y ax 共有两个交点,则a 的值为( ）A 、1B 、2C 、1或2-D 、1-或2 变式5：直线()0523=+++-k y k x 与直线()0232=+-+y k kx 相交，则实数k 的值为（ ）A 、1≠k 或9≠kB 、1≠k 或9-≠kC 、1≠k 且9≠kD 、1≠k 且9-≠k 变式6:直线x y 3=绕原点逆时针旋转︒90,再向右平移1个单位，所得到的直线为 ( )A 、1133y x =-+ B 、113y x =-+ C 、33y x =- D 、113y x =+ 考点3：直线方程的应用1、直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线( )A 、 1133y x =-+B 、 113y x =-+ C 、 33y x =- D 、 113y x =+2、直线方程b kx y +=中，当[]4,3-∈x 时，[]13,8-∈y ，此直线方程▲直线l 过点()12，M 且分别与y 、x 轴正半轴交于B A ,两点，O 为坐标原点，（1)当AOB ∆的面积最小时，求直线l 的方程;(2)当MB MA ⋅取得最小时，求直线l 的方程；（3)当OB OA +最小时，求直线l 的方程。

此文档下载后即可编辑直线与方程专题复习一、基础知识回顾 1.倾斜角与斜率知识点1：当直线l 与x 轴相交时， x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.注意: 当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度. 知识点2：直线的倾斜角(90)αα≠︒的正切值叫做这条直线的斜率.记为tan k α=.注意: 当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的知识点3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：2121y y k x x -=-.知识点4：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12//l l ⇔1k =2k ．知识点5：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.即12l l ⊥⇔121k k =-⇔121k k =-注意：1．1212//l l k k ⇔=或12,l l 的斜率都不存在且不重合.2．12121l l k k ⊥⇔=-或10k =且2l 的斜率不存在，或20k =且1l 的斜率不存在.2.直 线 的 方 程知识点6：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程. 注意：⑴x 轴所在直线的方程是 ，y 轴所在直线的方程是 .⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是 .⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是 .知识点7：直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程.注意：截距b 就是函数图象与y 轴交点的纵坐标.知识点8：已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程为1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，由于这个直线方程由两点确定，叫做直线的两点式方程. 知识点9：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠，则直线l 的方程为1=+bya x ，叫做直线的截距式方程. 注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0,b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距. 知识点10：关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程. 注意：（1）直线一般式能表示平面内的任何一条直线 （2）点00(,)x y 在直线0Ax By C ++=上⇔00Ax By +0C += 3、直线的交点坐标与距离知识点11： 两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行.知识点12：已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则12PP =特殊地：(,)P x y与原点的距离为OP =知识点13：已知点00(,)P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l 的距离为：d =.知识点14：已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l 20Ax By C ++=，则1l 与2l的距离为d知识点15：巧妙假设直线方程：（1）与10Ax By C ++=平行的直线可以假设成：20Ax By C ++=（C 1和C 2不相等）（2）与0Ax By C ++=垂直的直线可以假设成：Bx -Ay+m=0 （3）过1l :A 1x+B 1y+C 1=0和2:l A 2x+B 2y+C 2=0交点的直线可以假设成A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0（该方程不包括直线2:l ) 知识点16：1l :A 1x+B 1y+C 1=0和2:l A 2x+B 2y+C 2=0垂直等价于：A 1A 2+B 1B 2=0(A 1和B 1不全为零；A 2和B 2不全为零；) 知识点17：中点坐标公式:1122(,),(,)A x y B x y ,则AB 的中点(,)M x y ,则2121,22x x y y x y ++==.例题解析例1. 在第一象限的ABC ∆中，(1,1),(5,1)A B ，60,45O O A B ∠=∠=.求 ⑴AB 边的方程；⑵AC 和BC 所在直线的方程.例2.点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是（ ）. A ．(1,3)-- B.(17,9)- C ．(1,3)- D ．(17,9)-例3. 求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.例4．方程(1)210()a x y a a R --++=∈所表示的直线（ ）. A ．恒过定点(2,3)- B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(2,3)-和(2,3) D ．都是平行直线例5．已知直线12:220,:1l x ay a l ax y +--=+-a -0=. ⑴若12//l l ，试求a 的值； ⑵若12l l ⊥，试求a 的值例6 .已知两直线1:40l ax by -+=，2:(1)l a x y -+0b +=，求分别满足下列条件的,a b 的值.⑴直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与直线2l 垂直；⑵直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到12,l l 的距离相等.例7. 过点(4,2)P 作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于,A B 两点，当AOB ∆面积最小时，求直线l 的方程.例8点P(x,y)在x+y-4=0上，则x 2+y 2最小值为多少？一、基础巩固练习：1．已知点(3,)m 到直线40x -=的距离等于1，则m =（ ）.A ．B ．C ． D2．已知(3,)P a 在过(2,1)M -和(3,4)N -的直线上，则a = .3．将直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30o ，所得的直线方程是 .4．两平行直线12,l l 分别过点1(1,0)P 和(0,5)P ， ⑴若1l 与2l 的距离为5，求两直线的方程； ⑵设1l 与2l 之间的距离是d ，求d 的取值范围。

专题复习（十）第三章、直线与方程（直线的交点坐标与距离公式、直线的位置关系）一、知识梳理：1．点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的交点坐标：____（2）两点111(,)P x y 、222(,)P x y 间的距离公式：________________(3)点P 00(,)x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式_____________（4）两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为_______2．两直线的平行与垂直的判定：(1) 111222:,:l y k x b l y k x b =+=+（两直线斜率存在，且不重合），则有121212l l k k b b ⇔=≠，且P ， 12121l l k k ⊥⇔∙=-．(2)若两直线的斜率都不存在，并且两直线不重合时，则两直线平行；若两直线中，一条直线的斜率为O ，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直．2、设1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=则(1)两直线平行⇔12210A B A B -=，12210AC A C -≠或12210B C B C -≠(2)两直线垂直1l ⊥2l ⇔12210A A B B +=(3)两直线相交⇔12210A B A B -≠(4)两直线重合⇔12210A B A B -=且12210B C B C -=（或12210AC A C -=）如（1）设直线1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=，当m ＝_______时1l ∥2l ；当m ＝________时1l ⊥2l ；当m _________时1l 与2l 相交；当m ＝______时1l 与2l 重合（2）已知直线l 的方程为34120x y +-=，则与l 平行，且过点（-1，3）的直线方程是______；二、基础达标：1.下列说法正确的是( )(A)如果两条直线平行，则它们的斜率相等(B)如果两条直线垂直，则它们的斜率互为负倒数(C)如果两条直线的斜率之积为－1,则两条直线垂直(D)如果两条直线的斜率不存在,则该直线一定平行于y 轴2.已知直线l 1的斜率为0，且l 1⊥l 2，则l 2的倾斜角为( )(A)0° (B)135° (C)90° (D)180°3.直线x-7y+2=0与x 轴的交点坐标为( )(A)(0,2) (B)(-2,0) (C)(2,7) (D)(1,2)4.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是 ( )(A)2 (B)2(C)32 (D)12 5.点P 在直线x+y-4=0上，O 是坐标原点，则|OP|的最小值是( )(B) 6.以A(-1,1)，B(2,-1)，C(1,4)为顶点的三角形是( )(A)锐角三角形 (B)钝角三角形(C)以A 为直角顶点的直角三角形 (D)以B 为直角顶点的直角三角形7.已知A(2,0)，，直线l ∥AB ，则直线l 的倾斜角为_______.8.经过点M(m,3)和N(2,m)的直线l 与斜率为-4的直线互相垂直，则m 的值是________________.9.已知A(2，1)，B(1，2)，若直线y=ax 与线段AB 相交，则实数a 的取值范围是_________.10.经过两条直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________.11直线l 到直线x-2y+4=0的距离和原点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程是________________.12、已知直线1l 与 2:10l x y +=-平行，且1l 与2l 1l 的方程13、已知直线l 与两条直线1:230l x y +=-和2:210l x y =--的距离相等，求直线l 的方程15、求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程专题复习（十）第三章、直线与方程二、典例分析： （直线的交点坐标与距离公式、直线的位置关系）题型一：考查直线的位置关系：【例1】1.设直线1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=，（1）当m 为何值时，1l ∥2l ； （2）当m 为何值时，1l ⊥2l ；（3）当m 为何值时1l 与2l 相交；当m 为何值时,1l 与2l 重合变式、已知Y ABCD 的三个顶点的坐标分别是A （0，1），B （1，0）,C （4，3）求顶点D 的坐标题型二：考查距离公式应用：【例2】1、求点（-1，2）到下列直线的距离：（1）2x+y-10=0; (2)x=2; (3)y-1=0变式、已知V ABC的三个顶点的坐标分别是A（-2，1），B（3，-3）,C（2，6）试判定V ABC的形状题型三：考查坐标法的应用：【例3】已知：等腰梯形ABCD. 求证：AC=BD。

专题复习 直线与方程【基础知识回忆】1.直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 ③倾斜角α的范围 . （2）直线的斜率￥①直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是 ②经过两点))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠两点的斜率公式为：=k③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。

倾斜角为 的直线斜率不存在。

2.两直线垂直与平行的判定（1）对于不重合的两条直线21,l l ，其斜率分别为21,k k ，，则有：⇔21//l l ⇔ ； ⇔⊥21l l ⇔ . （2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 ；当一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两条直线 . 3.直线方程的几种形式注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式.4.三个距离公式（1）两点),(),,(222111y x P y x P 之间的距离公式是：=||21P P . （2）点),(00y x P 到直线0:=++c By Ax l 的距离公式是：=d .（3）两条平行线0:,0:21=++=++c By Ax l c By Ax l 间的距离公式是：=d .？【典型例题】题型一：直线的倾斜角与斜率问题例1、已知坐标平面内三点)13,2(),1,1(),1,1(+-C B A .（1）求直线AC BC AB 、、的斜率和倾斜角.（2）若D 为ABC ∆的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围.@例2、图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则：A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2例3、利用斜率证明三点共线的方法：若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（0，ｍ）三点共线，则ｍ的值为 .总结：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。

专题9.1 直线与直线方程（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】（1）通过考查直线的斜率与倾斜角、考查直线方程的几种形式，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．（2）通过考查两直线的平行与垂直的判断、两直线的平行与垂直的条件的应用、考查与充要条件、基本不等式、导数的几何意义等相结合，以及考查直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系.凸显直观想象、数学运算、逻辑推理、数学应用的核心素养．【知识点展示】知识点1．直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角①定义．当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②范围：倾斜角的范围为． 2．直线的斜率①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x 轴平行或重合时, ,.②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为.3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．4.直线的倾斜角、斜率k 之间的大小变化关系： （1）当时，越大，斜率越大；（2）当时，越大，斜率越大.知识点2．直线的方程1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：.这个方程就叫做直线点斜式方程.特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线 的斜截式方程.2.直线的两点式方程直线过两点其中，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的两点式方程.当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.αα0απ≤<(90)αα≠tan k α＝l 0α=tan 00k ==11122212()()()P x y P x y x x ≠，，，2121y y k x x --＝α[0,)2πα∈0,k α>(,)2παπ∈0,k α<l 000(,)P x y k l )(00x x k y y -=-l ),0(b l b kx y +=l ),(),,(222211y x P x x P ),(2121y y x x ≠≠l ),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--21x x =x 1x x =21y y =y 1y y=特别地，若直线过两点，则直线的方程为：，这个方程叫做直线的截距式方程.3.直线的一般式方程关于的二元一次方程（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得，B 不为0时，斜率，截距. 知识点3．两条直线平行与垂直 1．两直线的平行关系(1) 对于两条不重合的直线，其斜率为，有. (2)对于两条直线，有.2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线，其斜率为，有. (2)对于两条直线，有.知识点4．距离问题 1．两点间的距离公式设两点，则.2．点到直线的距离公式设点，直线，则点到直线的距离.3．两平行线间的距离公式设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离.知识点5．两条直线的交点1.两条直线相交：对于两条直线，若l 12(,0),(0,)(0)P a P b ab ≠l 1x ya b+=y x ,0=++C By Ax A k B =-C b B=-12,l l 12,k k 1212//l l k k ⇔=11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212211221//0,0l l A B A B AC A C ⇔-=-≠12,l l 12,k k 12121l l k k ⊥⇔=-11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1211220l l A B A B ⊥⇔+=111222(,),(,)P x y P x y 22122121()()PP x x y y =-+-000(,)P x y :0l Ax By C ++=000(,)P x y :0l Ax By C ++=0022Ax By Cd A B++=+1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=1222C C d A B-=+11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.2.两条直线，联立方程组， 若方程组有无数组解，则重合． 知识点6．对称问题 1.中点坐标公式 2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线，其斜率为，有. (2)对于两条直线，有.【常考题型剖析】题型一：直线的倾斜角与斜率例1.（2022·全国·高三专题练习）过点(1,2)(1,0)-、A B 的直线的倾斜角为（ ） A ．45︒B ．135︒C ．1D ．1-例2.（2022·全国·高三专题练习）如图，设直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则1k ，2k ，3k 的大小关系为（ ）A ．123k k k <<B ．132k k k <<C ．213k k k <<D ．321k k k <<例3.（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，12210A B A B -≠11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩12,l l 12,l l 12,k k 12121l l k k ⊥⇔=-11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1211220l l A B A B ⊥⇔+=甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 【规律方法】1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用求倾斜角.2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k 是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．3.从高考题看，对直线斜率的考查，越侧重其应用. 题型二：直线的方程例4.（2015·山东·高考真题）如下图，直线l 的方程是（ ）A 330x y -=B 3230x y -=C 3310x y --=D ．310x -=tan k α=例5.（2022·全国·高三专题练习）过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=垂直的直线的方程是（ ） A ．20x y -= B ．250x y +-= C ．230x y --= D ．240x y +-=【规律方法】求直线方程的常用方法：1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．3.直线在x (y )轴上的截距是直线与x (y )轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．4.从高考命题看，侧重于直线与圆、直线与圆锥曲线位置关系的考查. 题型三：两条直线平行与垂直例6.（2023·全国·高三专题练习）“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 例7.（2021·台州市书生中学高二期中）已知直线1l ：sin 10x y α+-=，直线2l ：3cos 10x y α-+=，若12l l //，则sin2α=_________若12l l ⊥，则sin2α=________【易错提醒】当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． 题型四：距离问题例8.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y =x +4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____. 例9.（2016·上海·高考真题（文））已知平行直线，则12l l 与的距离是_______________. 【规律方法】 两种距离的求解思路 (1)点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行线间的距离的求法①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x ，y 的系数化为相同的形式)． 题型五：两条直线的交点例10.（2022·全国·高三专题练习）直线1:1l y mx =+，2:1l x my =-+相交于点P ，其中1m ≤. (1)求证：1l 、2l 分别过定点A 、B ，并求点A 、B 的坐标； (2)当m 为何值时，ABP △的面积S 取得最大值，并求出最大值.例11.（2021·全国高三专题练习）求过直线1:5230l x y +-=和2:3580l x y --=的交点P ，且与直线470x y +-=垂直的直线l 的方程. 【规律方法】 1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．2.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程． 3.涉及两直线的交点问题，往往需借助于图形，应用数形结合思想，探索解题思路，这也是解析几何中分析问题、解决问题的重要特征. 题型六：对称问题例12.（2020·山东高考真题）直线2360x y +-=关于点()1,2-对称的直线方程是（ ） A ．32100x y --= B ．32230x y --= C ．2340x y +-=D ．2320x y +-=例13.（浙江·高考真题（理））直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ） A ．210x y +-= B ．210x y +-= C ．230x y +-=D ．230x y +-=例14.（2019·河北高考模拟（理））设点为直线：上的动点，点，，则的最小值为（ ）A ．BC ．D【规律方法】涉及对称问题，主要有以下几种情况：1．若点关于直线对称，设对称点是，则线段的中点在直线上且直线，由此可得一方程组，P l 40x y +-=(2,0)A -()2,0B ||||PA PB +2102651000(,)P x y :0l Ax By C ++=00(,)Q x y ''PQ l PQ l ⊥0000000022()1x x y y A B C y y A x x B ''++⎧⨯+⨯+=⎪⎪⎨'-⎪⨯-=-'-⎪⎩解这个方程组得：的值，从而求得对称点的坐标. 2．若直线关于点对称，由于对称直线必与直线平行，故可设对称直线为.因为直线间的距离是点到直线，解这个方程可得的值（注意这里求出的有两个），再结合图形可求得对称直线的方程．3．若直线关于直线对称，则在直线上取两点，求出这两点关于直线对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线关于直线对称的直线的方程． 4.中心对称问题的两种类型及求解方法5.轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)直线关于直线①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然0,x y '':0l Ax By C ++=00(,)P x y :0l Ax By C ++=0:0l Ax By C '++=,l l 'P :0l Ax By C ++=00022222C C Ax By CA BA B-++=++0C 0C l ':0l Ax By C ++=0000:0l A x B y C ++=:0l Ax By C ++=0l l 0l对称后用点斜式求解．②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解。