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自动控制原理第四章2015.详解

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自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法

自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法


2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
自动控制原理课后习题第四章答案

自动控制原理课后习题第四章答案


G(s)H(s)=
Kr s(s+1)(s+3)
σ根 s=3-K+ω轨r4-3-迹+p4s132ω1-3的+~3ω32分p===s2-离+001K点.p-3r=3：KK~0θrr===012+ωω6021,o=3,=0+±1810.7o
8
jω
1.7
s1
A(s)B'系(s)统=根A'轨(s迹)B(s)
s3 p3
s=sK2±r没=j24有.8.6位×于2K.r根6=×4轨80.迹6=上7，. 舍去。
2
第四章习题课 (4-9)
4-9 已知系统的开环传递函数，(1) 试绘制出
根轨迹图。
G(s)H与(s虚)=轴s交(0点.01s+1K)(系0.统02根s+轨1迹)
jω
70.7
解: GKK(rr=s=)10H5(0s)=ωω2s1,(3=s=0+±17000K.7)r(s+50)
s1
A(s)B'(系s)统=A根'(轨s)迹B(s)
s3 p3
p2
p1
-4
-2
0
((24))ζ阻=尼03.振5s2荡+1响2应s+s的81==K-r0值0.7范+围j1.2
s=s-s10=3=.-80-56.8+50K.7r×=20=s.82-=54×-.631..1155×3.15=3.1
-2.8
450
1080
360
0σ
0σ
第四章习题课 (4-2)
4-2 已知开环传递函数，试用解析法绘制出系
统的根轨迹，并判断点(-2+j0),(0+j1),
自动控制原理第四章-1-劳斯稳定性判据

自动控制原理第四章-1-劳斯稳定性判据


04
劳斯稳定性判据的优缺点
优点
简单易行
劳斯稳定性判据是一种直接的方法，用于确定系统的稳定 性。它不需要求解系统的极点，只需要检查劳斯表格的第 一列。
普遍适用性
劳斯稳定性判据适用于所有线性时不变系统，无论系统是 单输入单输出（SISO）还是多输入多输出（MIMO）。
数学基础
劳斯稳定性判据基于数学中的因式分解和不等式性质，具 有坚实的数学基础。
劳斯稳定性判据的局限性在于它只能判断系统 的稳定性，无法给出系统动态性能的评估和优 化。
对自动控制原理的展望
随着科技的发展，自动控制原理的应用领域不断扩大，涉及到工业、交通、医疗、 农业等多个领域。
未来，自动控制原理将与人工智能、机器学习等先进技术相结合，实现更加智能化、 自适应的控制方案。
自动控制原理的理论体系也将不断完善和发展，以适应不断变化的应用需求和技术 环境。
2
在航空航天领域，为了确保飞行器的安全和稳定， 需要利用劳斯稳定性判据对飞行控制系统进行稳 定性分析和设计。
3
在化工领域，为了确保生产过程的稳定和安全， 需要利用劳斯稳定性判据对工业控制系统进行稳 定性分析和设计。
02
劳斯稳定性判据的基本原理
线性系统的稳定性
线性系统
01
在自动控制原理中，线性系统是指系统的数学模型可以表示为
缺点
01
对初始条件的敏感性
劳斯稳定性判据对系统的初始条件非常敏感。即使系统在大部分时间内
是稳定的，如果初始条件设置不正确，可能会导致错误的稳定性判断。
02
数值稳定性问题
在计算劳斯表格时，可能会遇到数值稳定性的问题，例如数值溢出或数
值不精确。这可能会影响判据的准确性。
自动控制原理 第四章.

自动控制原理 第四章.


s1.2 1 1 K1 1 1 2 K
第 4章
根轨迹
根轨迹的基本概念(续)
s1 0 ① K 0 s 2 2
j
2
② K 0.5 s1 s2 1 ③ K 1 s1 , 2 1 j ④ K 2.5 s1 , 2 1 j 2 p2
由于实际控制系统闭环特征方程的系数或为已知
实数，或为根轨迹增益Kg 的函数，所以当Kg 由0→∞
连续变化时，闭环特征根的变化必然也是连续的，所
以根轨迹具有连续性。 系统闭环特征方程的系数仅与系统的参数有关。
对于实际控制系统而言，这些参数都是实数。具有实
系数的闭环特征方程的根为共轭复数的形式，必然对
称于实轴。因而，根轨迹也必然பைடு நூலகம்于实轴对称。
s pi s zj
j 1
n
而 ( s z j ) ( s pi ) ( 2 K 1) ——相角方程
j 1 i 1
m
n
第 4章
根轨迹
根轨迹的基本概念(续)
若s平面上的点是闭环极点，则它与zj 、pi所组成
的相量必定满足上述两方程，而且模值方程与Kg有
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本法则 §4-3 广义根轨迹
主要内容
1．根轨迹基本概念和根轨迹方程
2．绘制常规根轨迹的九大法则
3．参量根轨迹与零度根轨迹
第 4章
根轨迹
重点与难点
重 点
1、绘制常规根轨迹的九大法则 2、参量根轨迹与零度根轨迹 3、控制系统根轨迹法分析
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
绘制根轨迹的基本法则（续）
《自动控制原理 》课件第4章

《自动控制原理 》课件第4章

若n＞m，当Kg→∞时，有(n－m)条根轨迹将沿着与实
轴正方向夹角为ja，交点为σa的渐近线趋于无穷远处，其中：
渐近线与实轴正方向的夹角为
ja
(2k 1) π nm
(4-8)
k 0,1,2,,
渐近线与实轴正方向的交点为
n
m
pi z j
a
i1
j1
nm
(4-9)
设系统的开环传递函数如式(4-1)，可将其展开为如下形式：
式(4-3)也可写为以下形式：
n
s pi
Kg
i 1 m
(4-5)
szj
j 1
若s平面上的点是闭环极点，则它与zj，pi所组成的向量必
定满足上述两方程，而且幅值条件方程与Kg有关，而相角
条件方程与Kg无关。所以满足相角条件方程的s值代入幅值
条件方程中，可以求得一个对应的Kg值，即s若满足相角条
图4-3 反馈控制系统
显然，满足Gk(s)＝－1的点，即满足
m
Kg(s z j )
j1 n
1
(s pi )
(4-2)
i1
的点，都是系统的闭环特征根，必定在根轨迹上。所以称
式(4-2)为系统的根轨迹方程。
由式(4-2)可以看出，根轨迹法实质上是一种利用控制
系统开环传递函数求取系统闭环极点，从而分析闭环系统
m
lim s
(s z j )
j1
n
(s pi )
lim
s
s
1
mn
lim Kg
1 Kg
0
i1
上式说明，当Kg→∞时，s→∞为闭环特征根。所以(n－m) 条根轨迹将终止于无穷远处。
通常，称无穷远处的根轨迹终点为无限开环零点。从 这个意义上可以说，根轨迹起始于开环极点，终止于开环 零点。
自动控制原理第四章

自动控制原理第四章

ts = 3.5
×
• • • •
Im
[s]
σ % < σ 0% → ζ > ζ 0 ωd < ωd 0 开环增益 (4) 稳态性能 积分环节个数
α β = cos−1 ζ < cos−1 ζ 0
-2
-1 • • •
•
•
×
0
Re
4
开环零、极点与闭环零、 4-1-3 开环零、极点与闭环零、极点
K M ( s) 设：G ( s ) = 1 1 N 1 ( s)
1） 前向通路传函的零点+反馈传函的极点 无关）； 结论： 闭环零点=前向通路传函的零点 反馈传函的极点（ 结论： ）闭环零点 前向通路传函的零点 反馈传函的极点（与K*无关）； 2）闭环极点——不仅与开环零、极点有关，还与 *有关。 ）闭环极点 不仅与开环零、 不仅与开环零 极点有关，还与K 有关。
1 n Π ( s − z i ) + * Π ( s − p i） 0 = i =1 K i =1
m
K*→∞
Π ( s − zi ) = 0
i =1
m
开环零点z 即K*→∞时，闭环极点 si＝开环零点 i 时 当 m ≤ n n时，有n-m 条的终点在无穷远点 n Π s − pi Π s − pi * * i =1 K = lim i =1 = lim s n − m → ∞ K = m s→∞ m s→∞ Π s − zi Π s − zi
K Π ( s − zi ) + Π ( s − pi） 0 =
* i =1 i =1
m
n
闭环根的个数 = 特征方程阶次 = max{n,m} 2) 连续性 闭环特征方程中的某些系数是K ∵闭环特征方程中的某些系数是 *的函数 连续变化时， ∴K*从0→∞连续变化时，那些系数也随之连续变化 连续变化时 特征根的变化也是连续的。 ∴特征根的变化也是连续的。 3) 对称性 实根——位于实轴 实根 位于实轴 特征根 复根——对称于实轴 复根 对称于实轴 根轨迹是特征根的集合——对称于实轴。 对称于实轴。 根轨迹是特征根的集合 对称于实轴
自动控制原理课后习题第四章答案

自动控制原理课后习题第四章答案

解析2
然后，根据闭环传递函数的定义，闭环传递函数F(s)=G(s)/(1+G(s)H(s))。
解析3
将G(s)H(s)代入闭环传递函数的定义中，得到F(s)=100/((s+1)^2+3)/(1+100/((s+1)^2+4)((s+1)^2+3))。
解析4
化简得到F(s)=100/((s+1)^2+3)(4((s+1)^2+3))=400/(4(s^2+2s+3))。
1)(s + 2)/(s^2 + 3s + 2)。
04
题目四答案
题目内容
• 题目四：已知系统的开环传递函数为 G(s)H(s)=K/(s^2+2s+2)，其中K>0，试 求系统的闭环极点和稳定性。
答案解析
闭环极点
根据开环传递函数，我们可以求出闭环传递函数为 G(s)H(s)/(1+G(s)H(s))，然后求出闭环极点。由于开环传递函 数为K/(s^2+2s+2)，所以闭环极点为-1±√2i。
标准形式，即 G(s)H(s) = (s + 1)(s + 2)/(s^2 + 3s + 2)。
02
解析二
根据开环传递函数的分子和分母，可以得出系统的开环传递函数为
G(s)H(s) = (s + 1)(s + 2)/(s^2 + 3s + 2)。
03
解析三
根据开环传递函数，可以求出系统的闭环传递函数为 G(s)H(s) = (s +
自动控制原理课后习题第四章 答案
自控原理第四章

自控原理第四章


自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
法则8 根轨迹的起始角与终止角：
起始角是指根轨迹在起点处的切线与实 轴正方向的夹角。
终止角是指根轨迹进入开环零点处的切 线与实轴正方向的夹角。
n
m
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
将上面两式相除，整理得
m 1 1 s p s z i 1 d j 1 d i j n
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
法则7 根轨迹的分离角(与会合角)： 分离角是指根轨迹离开分离点处的切线 与实轴正方向的夹角。 会合角是指根轨迹进入会合点处的切线 与实轴正方向的夹角。
式中，sd－分离点坐标 pi－原系统的开环极点 si－新系统 时除l个重极点外， 其它(n-l)个开环极点(原系统的闭环极点) l －分离点处根轨迹的分支数
1 1 K Kd
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
一般情况下，两条根轨迹相遇又分开 时，它们的会合角和分离角分别是０º 、 180º 和90º 、-90º ，或者相反。这一规律具 有一般性。可以证明：
n
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
根轨迹起始于开环极点，而终于开环 零点。一般情况下，如果实轴上两相邻极 点之间的线段属于根轨迹，那么这两个极 点之间至少存在一个分离点；根轨迹位于 实轴上两相邻开环零点之间(或其中一个零 点是无穷远零点)，则两零点之间也至少存 在一个分离点。
自动控制原理
j 1 j i 1 i
m
n
( k 0, 1, 2,)
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
看出：模值方程与K*有关，而相角方程 与K*无关。因此，相角方程是决定闭环 根轨迹的充分必要条件，而模值方程是 用来确定根轨迹上各点对应的K*值。
自动控制原理第四章

自动控制原理第四章


K
*
s p sz
j 1 i 1 m
n
i
j
绘制根轨迹时，只需要使用相角条件。 当需要确定根轨迹上各点的值时，才使用模值条件。
• 知道了根轨迹上的点满足的基本条件， 仍实际上还是不能绘制出根轨迹。
• 要比较快捷的绘制根轨迹，需要找 出根轨迹的一些基本规律。
§4.2 绘制根轨迹的基本规则
渐近线包括两个内容：
渐近线与实轴的夹角和渐近线与实轴的交点。
规则4：渐近线与实轴的交点为
sa
pi z j
i 1 j1
n
m
nm
渐近线与实轴的夹角为
180 0 90 (2k 1)180 a nm 180 ,60 45 ,135 n m 1 nm 2 nm 3 nm 4
第四章 系统的根轨迹法
系统的性能
稳定性
动态性能
闭 环即 特闭 征环 方极 程点 的 根
开环放大倍数 开环积分环节个数
稳态误差
困
难!
困难1：系统闭环特征方程的根如何求取！
困难2：讨论或预测当系统中的某一参数发生
变化时系统闭环特征方程的根如何变 化!
参数改变，系统性能如何改变！
开环传递函数(开环零极点+开环增益)
根轨迹法的任务就是由已知的开环零极点的分布及 根轨迹增益，通过图解法找出闭环极点。 根轨迹是系统所有闭环极点的集合。
闭环极点与开环零、极点之间的关系
闭环零点=前向通道零点+反馈通道极点
闭环极点与开环零点、开环极点及 K* 均有关
开环零极点和根轨迹增益
根轨迹图
闭环极点
分析系统
4、根轨迹方程
自动控制原理第四章

自动控制原理第四章


§4-1 根轨迹的基本概念与绘制条件
一、根轨迹的基本概念 二、根轨迹的绘制条件
一、根轨迹的基本概念
例1：单位反馈二阶系统
K* Wk = s × ( s + 2)
K* WB = 2 s + 2s + K *
K* s ( s + 2)
−
s 2 + 2s + K ∗ = 0 特征方程：
特征根：
s1 = −1 + 1 − K , s2 = −1 − 1 − K
l1 = 1 L1 L2 L3 K g
α1 − ( β1 + β 2 + β 3 ) = −180
s1 L2
L3
β3
β2
l1
α1 L1
β1
l1 = 2.42 L1 = 3.03 L2 = 2.12 L3 = 2.26
α1 = 119.2o β1 = 135.9o β 2 = 94.8o β 3 = 68.8o
∑
j =1
j
k
∑
i =1
i
k
∑ P −∑ Z
j =1 j i =1
n
m
i
= ( n − m )σ k ⇒
∑ P −∑ Z
σk =
j =1 j i =1
n
m
i
n−m
二、绘制根轨迹的一般法则(*)
例3
WK ( s) = K s ( s + 1)( s + 2 )
jω
绘制根轨迹。 ①起点:0，-1，-2 终点：无穷远 ②实轴分支： [-1,0] [-2,-∞]
分支数等于开环极点数n（特征方程阶数）。 由实系数特征方程知，特征根不是实根，就 是共轭复根，故根轨迹一定对称于实轴。
《自动控制原理》第4章

《自动控制原理》第4章


率ω的变化称相位频率特性，用υ(ω)表示。 两者统称为频率特
性或幅相频率特性。
第4章 控制系统的频域分析法 对于线性定常系统，也可定义系统的稳态输出量与输入量 的幅值之比为幅频特性；定义输出量与输入量的相位差为相频 特性。 即 幅值频率特性：A(ω )=|G(jω )| 相位频率特性：υ (ω )=∠G(jω ) 将幅值频率特性和相位频率特性两者写在一起， 可得频率 特性或幅相频率特性为
惯性环节的低频渐近线为零分贝线。 ② 再绘制高频渐近线：高频渐近线是指当ω→∞时的L(ω)图 形（一般认为ω1/T）。此时有 -20 dB/dec的斜直线。 ， L（） 20lg （T 2 2 1 20lg T
因此惯性环节的高频渐近线为在ω=1/T处过零分贝线的、斜率为
第4章 控制系统的频域分析法 ③ 计算交接频率：交接频率是指高、低频渐近线交接处 的频率。高、低频渐近线的幅值均为零时，ω=1/T，因此交接
图4-12 惯性环节的伯德图
第4章 控制系统的频域分析法
图4-13 惯性环节的极坐标图
第4章 控制系统的频域分析法
4.2.5 比例微分环节
传递函数为 频率特性为
G ( s) s 1
G( j ) j 1
对数频率特性为
L( ) 20 lg 2 2 1 ( ) tg 1
② 频率特性的概念对系统、控制元件、部件、控制装置 均适用。 ③ 由频率特性的表达式 G(jω )可知，其包含了系统或元、 部件的全部结构和参数。 ④ 频率特性和微分方程及传递函数一样，也是系统或元 件的动态数学模型。 ⑤ 利用频率特性法可以根据系统的开环频率特性分析闭环 系统的性能。
第4章 控制系统的频域分析法

自动控制原理第4章


幅值条件
s p1 s p2 s pn K s z1 s z2 s zm
注意：1. 这两个条件是从系统闭环特征方程中导出的， 所有满足以上两式的s 值都是系统的特征根，把它们 在s平面上画出，就构成了根轨迹。 2. 观察两式，均与开环零极点有关，也就是说，根 轨迹是利用开环零极点求出闭环极点。
第四章 控制系统的根轨迹分析方法
系统闭环特征方程的根的位置决定闭环系统 的稳定性和动态特性。 l 研究闭环特征根的分布与闭环系统的动态特性 之间的定性、定量关系（分析问题）； l 根据控制系统动态特性要求决定闭环极点在根平 面的位置； l 研究调节器参数与闭环特征根的变化关系，设计 调节器（设计问题）。
s1, 2 0.5 0.5 1 4K
（4-1-1）
闭环特征根是K的函数。当K从0～∞变化， 闭环特征根在根平面上形成根轨迹。
K取不同值：
s1, 2 0.5 0.5 1 4K
K G( s) H ( s ) s( s 1)
（等于两个开环极点） K 0, s1 0, s2 1, 1 K , s1 0.5, s2 0.5, (两根重合于－0.5处) 4
● × ● × ﹣1 ﹣0.5 0
Re
例4-1-2 对上述单位反馈的二阶系统，希望闭环系统 的阻尼系数ξ=0.5，确定系统闭环特征根。 解： 根据以前课程，根据阻尼系数求出阻尼角。 阻尼角θ计算如下：
1 tg 3,
2
Im
0.5
3 2
60
s1, 2 j
i 1 m i 1
n
pi )
i
(s z )
l 1800
l 1,3,5

自动控制原理第四章课后习题答案(免费)

自动控制原理第四章课后习题答案（免费）4－1 判断下列二次型函数的符号性质：(1) 222123122313()4262Q x x x x x x x x x x =++--- 解:()T V x x px =,其中:111143131P --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,P 的各阶主子式:12310,30,160p =>=>==-< 所以,此二次型函数不定.(2) 222123122313()31122Q x x x x x x x x x x =---+-- 解: ()T V x x px =,其中111113211112P ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦,P 的各阶主子式:12310,20,17.50p =-<=>==-< 所以,P 为负定的.4-2 已知二阶系统的状态方程：11122122a a x x a a •⎛⎫= ⎪⎝⎭试确定系统在 平衡状态处大范围渐进稳定的条件。

解:坐标原点为该系统的一个平衡点,选取李亚普诺夫函数为()T V x x px =,其中:T A P PA Q +=-,取Q=I 得:112111121112111212221222122221221001a a p p p p a a a a p p p p a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,展开可得,其中1221p p =:11112112111221221111211212112212121122121212222211122122121222221001a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p ++++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++-⎣⎦⎣⎦⎣⎦()211211111121121112122222121222111222121211212222111222121211212211221212112122122212221120200a p p a p a p a a p a p a p p a p a p a p a p a a p a p a p a p a a p a p a p --⎧=⎪+=-⎧⎪⎪+=---⎪⎪→=⎨⎨+++=⎪⎪⎪⎪+++=+++=⎩⎪⎩()()21121212112212122111221122211112221122221112212211122112120222a p a p a a p a a a a a a a a p a a a a a a a a a a ----⇒++⋅+⋅=+=+--1222211112211122112221122()()a a a a p p a a a a a a +⇒==+-解之得:221122211221221111221122211222112221121112221122112212212()()2()()a a a a a a p a a a a a a a a a a a a p a a a a a a ⎧-++=⎪+-⎪⇒⎨-++⎪=-⎪+-⎩要使矩阵P 为正定的,则应使:1112112212210,0p p p p p =>=->于是得:22112212212112211221221()()04()()a a a a a a a a a a ++->+-,即:112212*********,00a a a a p a a ->>⇒+< 综上所述在平衡点出渐进稳定的充要条件为:1122112212210,0a a a a a a +<-> 系统为线性的,所以满足上述条件即可满足大范围渐进稳定.4－3 以李雅普诺夫第二方法确定下列系统原点的稳定性：（1）1123x x •-⎛⎫= ⎪-⎝⎭解:求平衡点，12120230x x x x -+=-=，可得00e x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为唯一的平衡点。

自动控制原理-第四章(2015)

Automatic Control Theory
College of Information Science and Engineering,CSU
2015.4
Automatic Control Theory Chapter 5
College of Information Science and Engineering,CSU
Example
C(s) G(s) R(s) 1 G(s)H (s)
1 G(s)H(s) 0
G(s)H (s) 1
m
G(s)H (s)
K (s
j 1 n
zj)
1
s f (K)
(s
i1
pi
)
2020/12/13
hanhua
7
Automatic Control Theory Chapter 5
College of Information Science and Engineering,CSU
s1,2 n n 2 1 1 1 K
arccos
K ; n ; d ;
The root locus is a vertical line for K >Ka =1.
hanhua
return
10
Automatic Control Theory Chapter 5
College of Information Science and Engineering,CSU
• 4.6 sensitivity and the root
• 4.7 Compensation by Using Root Locus Method
• Summary
2020/12/13

自控第四章


（4-7）
K 式中：
* H
为反馈通道的根轨迹增益。
* * G ( s) H ( s) K G K H
( s z ) ( s z
i 1 q i j 1 l i 1 i i 1
f
l
j
) )
（4-8）
( s p ) ( s p
j
j
K*
( s z ) ( s z
• 闭环特征方程 D(s)=1+G(s)H(s)=0 （4-11） 闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征 根。 • 根轨迹方程 G(s)H(s)=-1 （4-12） 式中G(s)H(s)是系统开环传递函数，该式明确表 示出开环传递函数与闭环极点的关系。
设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假 定n≥m，这时式（4－12）又可以写成：
最后绘制出根轨迹如图4－7所示。
图4－7
例4－3根轨迹
五、根轨迹的渐近线
渐近线与实轴正方向的夹角为
(2k 1) π a nm
渐近线与实轴相交点的坐标为
a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
例4-4 已知系统的开环传递函数
K * ( s 1) G ( s) H ( s) s ( s 4)( s 2 2 s 2)
•根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求
出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环 特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。
4－2 绘制根轨迹的基本法则 一、根轨迹的分支数
分支数＝开环极点数 ＝开环特征方程的阶数
即为max(n,m)条。
二、根轨迹的连续性与对称性 根轨迹是连续曲线，对称于实轴

自动控制原理第四章汇总


规则3 根轨迹的渐近线(与实轴的交点和夹角)
当开环极点数 n 大于开环零点数 m 时，有n-m条趋向无 限零点的根轨迹的走向。
（1）渐近线与实轴的倾角
a
(2k 1)
nm
;
k 0,1, 2,
（2）渐近线与实轴的交点
n
m
p j zi
a
j 1
i 1
nm
,n m 1
式中，zi , p分j 别为开环系统的零点和极点。 注：只有在(n m) 2时，需要计算渐近线与实轴的交点和 夹角。
1.76
交角：
(2k 1) nm
60
,
k 0
(2k 1) nm
180
,
k 1
(2k 1) nm
300
,
k2
G(s)
K *(s 1)
s(s 4)(s2 2s 2)
规则4 根轨迹在实轴上的分布 实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数
之和为奇数，则该区域必是根轨迹。 jω
×
×
×
×σ
j 1
nm
汇合于a点，然后分离，分别沿90º， －90º的渐近线趋向无穷远。
0 (0.5) 0 0.25 20
规则5 根轨迹的分离点与分离角
两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开 的点，称为根轨迹的分离点（或会合点），它对应于特征 方程中的二重根。分离角定义为根轨迹进入分离点的切线 方向与离开分离点的切线方向的夹角。
K1 K1 0
K1 0
K1
K1
分分离离点点
K1 0 K1
分离? 点? ?
K1 0
分离点坐标d：
m
1
n

自动控制原理 第四章


m
(s p )
j 1
n
G( s) ( s ) 1 G( s) H ( s)
G( s) H ( s)
*
K ( s z1 ) ( s z m ) 1 ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
m
K K*

j 1 i 1 n
m
zi pj
i 1 j 1
例 判定si是否为根轨迹上的点。
解.
模值条件 相角条件
• 对s平面上任意的点，总存在一个 K* ，使其 满足模值条件，但该点不一定是根轨迹上的点。 • s平面上满足相角条件的点（必定满足幅值条 件） 一定在根轨迹上。
满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必
要条件。
• 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来 确定。
由代数定理： a n 1
p
i 1
n
i
l i a n 1 C
i 1
n
D( s ) s n a n 1 s n 1
an 2 s n 2 K * s n 2
an 3 s n 3 K *bn 3 s n 3
a0 K *b0
（对应重根）
分离角：(2k+1)*180/L
试根:
d [ 1,0.5] d1 0.5 d 2 0.6 d 3 0.55
d 0.55
d d 1 d 4 K d2
* d
0.589
法则7
与虚轴交点：
1）系统临界稳定点
2）s = jw 是根的点
例 某单位反馈系统的开环传递函数为
K * ( s 2) G( s) s( s 1)
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说明
•相角条件是确定s平面上根轨迹的充分必要条件。绘
制根轨迹时，只需要使用相角条件。当需要确定根轨
迹上各点的Kg值时，才使用幅值条件。
• 知道了根轨迹上的点满足的基本条件，实际上还是
不能绘制出根轨迹。 • 要比较快捷的绘制根轨迹，需要找出根轨迹的一些 基本规律。
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 18
s s 2
Kg
n 2, m 0
第四章 根轨迹法 21
2018年10月5日
3. 根轨迹的连续性、对称性和分支数
根轨迹是连续的曲线。(Kg是连续变化的)
根轨迹总是对称于实轴 。 ( 实际的物理系统的参 数都是实数→特征方程的系数是实数 →特征根不是实 数就是共轭复数)
根轨迹的分支数 (条数)等于系统特征方程的次数 n。(实际系统n>m，根轨迹描述特征根的变化规律) 结论：根轨迹是连续且对称于实轴的曲线，其分支数 等于系统特征方程的次数或系统的阶数。
2、根轨迹方程（根轨迹满足的基本条件）
控制系统结构如图
开环传递函数:
K1 K 2 N 1 ( s ) N 2 ( s ) WK ( s ) D1 ( s ) D2 ( s ) K g ( s zi )
i 1 m
根轨迹型
(s p j )
j 1
n

K g N ( s) D( s )
(s＋z ) 0
j 1
m
s z j ( i 1 m)
开环有 限零点
结论：n 阶系统有m条根轨迹终止于开环有限零点。
2
n- m条根轨迹
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
m
Байду номын сангаас
s m a1s m1 n s b1s n 1
i 1 j
Kg 0 si pi i 1,2n
结论：根轨迹起始于开环极点。
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 19
2. 终点
K ＝
g
1 根轨迹方程可写成： Kg
(s p ) (s z ) 0
i 1 i j 1 j
j
n
m
1
Kg
闭环特征根的变化。 3、利用根轨迹可使我们在广泛的 范围内了解系统的稳定性及动 态特性。分析系统性能。
2018年10月5日
第四章 根轨迹法 10
1 稳定性 : 当K k : 0 变化时，
根轨迹（闭环极点）均在左半平面， 因此系统对所有Kk 值均是稳定的。
2 暂态性能：由K k
值变化对应闭
1
1
1
1
2018年10月5日
第四章 根轨迹法
4
一个美好的愿望：
n j 1
D s 1 WK ( s) 1
m
K g s zi
i 1
m
s pj
j 1
n
0
s p j K g s zi 0
根轨迹方程：
N ( s) D( s )
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
m

1 Kg
辐角条件：（充分必要条件）
与Kg 无关
n m n N s m (s zi ) (s p j ) i j D s i 1 j 1 i 1 j 1
180o (1 2 ) ( 0,1, 2,
)
s1
1、解二阶方程求得根轨迹。 2、通过检验是否满足幅角 条件来求得根轨迹。
2
3
1
S1 : 1 3 180 2 3 1 2 180
S1不满足幅角条件，因此 不是根轨迹上的点。
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 17
0
0.5
0
-1
-2
-1
1
2
-1+j
-1+j
3
-1-j
-1-j
3

2018年10月5日
-1+j
-1-j
第四章 根轨迹法 9
由 K k 0→∞变化时，闭环特征根在S平面上移动的
轨迹如下图所示。这就是该系统的根轨迹。
根轨迹的特点：
1、根轨迹上的点均为闭环极点。
k 2、直观地表示了参数 K 变化时，
i 1
求解难！
开环传递函数(开环零、极点+开环增益)
闭环零极点全部可能的分布图
用时域分析法分析系统的三性
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 5
根轨迹法
一种由开环传递函数求闭环特征根的简便方法。
它是一种用图解方法表示特征根与系统参数的全部
数值关系的方法。
1948年，由伊文思（W. R. Evans）提出。
应用到根轨迹的绘制过程中；
2018年10月5日
第四章 根轨迹法
3
闭环极点分布同单位阶跃响应之间的对应关系
D(s) = 1+ Wk (s) = 0
发现问题：控制系统分析的关键是找到闭环极点！ 提出问题：是否存在其他非解析的方法求得闭环极点？ 0 0 1。 解决问题：通过开环零极点来求得闭环极点 0 1
第四章 根轨迹法 23
开环零点用○表示 开环极点用×表示
2018年10月5日
4．实轴上的根轨迹
1 当 p j ,
zi 全部是实数时。
判断方法：在实轴上找一试验点 S，如果 S点的右侧 的开环零极点个数之合为偶数个，则该点不在根轨
迹上；若为奇数个则在根轨迹上。(奇是偶不是)
根据辐角条件：
第四章 根轨迹法
Root-locus analysis
(8学时) 信息学院
二○一五年十一月
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 1
主要内容
根轨迹的基本概念 根轨迹的绘制法则 用根轨迹法分析系统的暂态特性
2018年10月5日
第四章 根轨迹法
2
学习重点


了解根轨迹的基本特性和相关概念；
掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
m
注意： s 为闭环传函
1 Kg
的特征根 ( 极点 ) ， -zj 和-pi为开环传函的零 点和极点。
复数 幅值和相角
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 14
根轨迹方程： 幅值条件：
N ( s) D( s )
(s z ) (s p )
特征方程 闭环极点
D(s) s2 2s 2Kk 0
s1 1 1 2 K k s2 1 1 2 K k
第四章 根轨迹法 8
2018年10月5日
当K K取不同值时，闭环特征根如下：
s1 1 1 2 K k
Kk
s1
s2
s2 1 1 2 K k
共轭复极点的出现相当于增加了
4＋5＝360
对辐角条件没有影响， 因此实轴上的根轨迹
的判断方法不变。
2018年10月5日
第四章 根轨迹法 25
5． 根轨迹的分离点和会合点
两条或两条以上的根轨迹分支在 S 平面上相
遇又立即分开的点称为分离点（或汇合点）。此时
特征方程式会出现重根。
jw p3
[s]
C
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 22
数学知识补充：
-p4
s p j s p j
-p1
-Pj 是起点
s s
0
-z1
-p1
S 是终点
s
-p5
s p1 s z1 0
s p1 s z1 180
s p4 s p5 360
分离点（会合点）的坐标 s 的计算公式 ： d
Wk s N s D s N s D s 0
d d 1 Wk s 0 或 0 ds ds Wk s
d W s d 1 ds k ds Wk s Wk 2 s
4.2 根轨迹的绘制法则
4.2.1 绘制根轨迹的一般法则 1．起点（K g = 0）
N ( s) 根轨迹方程： D( s )
n
(s z ) (s p )
j 1 j m i g j 1 i 1 n i
m
1 Kg
(s p ) K (s z ) 0
j 1 j i 1 n i
m
1 Kg
N s D s
(s z )
i 1 n i j 1 j
m
(s p ) L
j 1

l
i 1 b
m
i
j
开环有限零点到s点的矢量长度之积 1 开环极点到s点的矢量长度之积 Kg
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 15
o ( s z ) ( s p ) 180 (1 2 ) ( 0,1, 2, i j i 1 j 1 m n
)
结论：在实轴上根轨迹分支存在的区间的右侧，
开环零、极点数目的总和为奇数。
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 24
2 当Wk s 中存在共轭复极点时。
1
2
如果上式的阶次较高，计算重根就比较麻烦。这 时可采用图解法（或试探法）来确定重根。
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 28
注
（1）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点 （包括无限零点）或开环极点（包括无限极 点），则在此段根轨迹上必有分离点。 （2）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。 （3）只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离