当前位置：文档之家 › 工学自动控制原理第四章

工学自动控制原理第四章

  • 格式：pptx
  • 大小：2.10 MB
  • 文档页数：2

下载文档原格式

  / 2

合集下载

自动控制原理第四章

自动控制原理第四章

二、根轨迹的起点与终点
起于开环极点，终于开环零点。
由根轨迹方程：
起点 终点
(s z )
i 1 n i i 1 i
m
K * → s zi 0 →
(s p ) * K 0 → s pi 0 → s p i
1 * K
s zi
9
三、实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目 之和应为奇数。N+P=奇数
n
i 1
i
|
n i 1
相角 方程
s zij s pi (2k 1)
k 0, 1, 2,
• 模值方程不但与开环零、极点有关，还与开环根轨 迹增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。 • 相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。
8
§2 绘制根轨迹的基本法则
一、根轨迹是连续的并且对称于实轴，根轨迹的 分支数＝开环极点数
G( s) H ( s) K
(s z
j 1 n i 1
m
j
)
K*
(s z
j 1 n i 1
m
j
) 1 0 j
( s pi )
(s p )
i
7
模值 方程
K
*
| s z
j=1 i 1
m
ji
| 1
| s p

ij=1 1 m
系统最小阻尼比对应的闭环极点。
cos cos 45
0.707
对应闭环极点
o
s1,2 2 j2
21
n
m
j
nm
11

自动控制原理第4章

自动控制原理第4章

= cos(ωt ) + jsin (ωt )
j ( ±180° + q ⋅360° )
| G(s) H (s) | e
j∠G ( s ) H ( s )
= 1⋅ e
(q=0, 1, 2, …)
从而得出绘制根轨迹所依据的条件是 ① 幅值条件 幅值条件 |G(s)H(s)|=1 (4.7) ② 相角条件 ∠G(s)H(s)=arg［G(s)H(s)］=±180°+q·360° (q=0, 1, 2, …) (4.8) ± 实际上满足相角条件的任一点, 一定可以找到相应的可变参 数值, 使幅值条件成立。所以, 相角条件式(4.8)也是根轨迹的充 要条件。只要利用相角条件就可确定根轨迹的形状, 但利用幅 值条件才可以求得给定闭环极点所对应的增益 增益K。进行相角计 增益 算时, 规定正实轴方向为0°, 逆时针 逆时针方向为相角的正方向。 正
G( s) =
K (τs + 1) s(Ts + 1)
其中, τ＞T。 试大致绘出其根轨迹。 解 首先将开环传递函数化为如下标准形式:
零极点 形式
k (s + 1/τ ) G( s) = s( s + 1 / T )
第四章根 轨 迹 分析 式中, k=τK/T。系统有两个开环极点p1=0、p2=-1/T和一个开环零 点z1=-1/τ, 所以系统的根轨迹有两条分支。当k=0时, 两条根轨迹 从开环极点开始; 当k→∞时, 一条根轨迹终止于开环零点z1, 另 (2-1)=1条趋于无穷远处。并且根据开环零极点的位置, 可知实 轴上的(z1,p1)和(-∞, p2)区间为根轨迹的区段。系统的根轨迹图 如图4-3所示, 其中“×”表示开环极点, “○”表示开环零点。

自动控制原理 第四章

自动控制原理 第四章

_
G(s)
C(s)
K * (s 1) G (s)＝ s(s＋4)(s 2＋2s ＋2)
K*→∞ 60
0
a＝
p z
i i＝1 j＝1
n
m
j
n -m
(0-4-1+j-1-j)-(-1) ＝ 1.67 4-1
-3
渐近线
-2
交角
（2k+1）π ja＝ ＝600 n-m （2k+1）π ja＝ ＝1800 n-m （2k+1）π ja＝ ＝3000 n-m
=
n=q+h m=f+l
k * k
* * k G H
(s ) =
(s p j ) k* G (s z i )
f
h
(s p i ) k * (s z j )
i 1
j 1
n
i 1
j 1
m
4. 根轨迹方程
m
特征方程 1+GH = 0
1 K *
(s z
2 根轨迹与系统性能 1)稳定性 当开环增益从零变到无穷大时， 图上的根轨迹不会穿越虚轴进入 右半S平面，因此该系统对所有的 K值都是稳定的。这与采用劳斯 判据的结论完全吻合。 如果采用根轨迹分析高阶系统， 那么根轨迹有可能进入S的右半平 面，此时根轨迹与虚轴交点处的 K值就是临界开环增益。
j
s
| s z1 || s z2 | | s p2 |
| s zm || s p1 | | s pn || s a |
G ( s) H ( s)
K (s a) K (s a)n ( s a ) n -m G ( s) H ( s) 多项式展开得：

《自动控制原理 》课件第4章

《自动控制原理 》课件第4章
若n＞m，当Kg→∞时，有(n－m)条根轨迹将沿着与实
轴正方向夹角为ja，交点为σa的渐近线趋于无穷远处，其中：
渐近线与实轴正方向的夹角为
ja
(2k 1) π nm
(4-8)
k 0,1,2,,
渐近线与实轴正方向的交点为
n
m
pi z j
a
i1
j1
nm
(4-9)
设系统的开环传递函数如式(4-1)，可将其展开为如下形式：
式(4-3)也可写为以下形式：
n
s pi
Kg
i 1 m
(4-5)
szj
j 1
若s平面上的点是闭环极点，则它与zj，pi所组成的向量必
定满足上述两方程，而且幅值条件方程与Kg有关，而相角
条件方程与Kg无关。所以满足相角条件方程的s值代入幅值
条件方程中，可以求得一个对应的Kg值，即s若满足相角条
图4-3 反馈控制系统
显然，满足Gk(s)＝－1的点，即满足
m
Kg(s z j )
j1 n
1
(s pi )
(4-2)
i1
的点，都是系统的闭环特征根，必定在根轨迹上。所以称
式(4-2)为系统的根轨迹方程。
由式(4-2)可以看出，根轨迹法实质上是一种利用控制
系统开环传递函数求取系统闭环极点，从而分析闭环系统
m
lim s
(s z j )
j1
n
(s pi )
lim
s
s
1
mn
lim Kg
1 Kg
0
i1
上式说明，当Kg→∞时，s→∞为闭环特征根。所以(n－m) 条根轨迹将终止于无穷远处。
通常，称无穷远处的根轨迹终点为无限开环零点。从 这个意义上可以说，根轨迹起始于开环极点，终止于开环 零点。

自动控制原理第四章

自动控制原理第四章
ts = 3.5
×
• • • •
Im
[s]
σ % < σ 0% → ζ > ζ 0 ωd < ωd 0 开环增益 (4) 稳态性能 积分环节个数
α β = cos−1 ζ < cos−1 ζ 0
-2
-1 • • •
•
•
×
0
Re
4
开环零、极点与闭环零、 4-1-3 开环零、极点与闭环零、极点
K M ( s) 设：G ( s ) = 1 1 N 1 ( s)
1） 前向通路传函的零点+反馈传函的极点 无关）； 结论： 闭环零点=前向通路传函的零点 反馈传函的极点（ 结论： ）闭环零点 前向通路传函的零点 反馈传函的极点（与K*无关）； 2）闭环极点——不仅与开环零、极点有关，还与 *有关。 ）闭环极点 不仅与开环零、 不仅与开环零 极点有关，还与K 有关。
1 n Π ( s − z i ) + * Π ( s − p i） 0 = i =1 K i =1
m
K*→∞
Π ( s − zi ) = 0
i =1
m
开环零点z 即K*→∞时，闭环极点 si＝开环零点 i 时 当 m ≤ n n时，有n-m 条的终点在无穷远点 n Π s − pi Π s − pi * * i =1 K = lim i =1 = lim s n − m → ∞ K = m s→∞ m s→∞ Π s − zi Π s − zi
K Π ( s − zi ) + Π ( s − pi） 0 =
* i =1 i =1
m
n
闭环根的个数 = 特征方程阶次 = max{n,m} 2) 连续性 闭环特征方程中的某些系数是K ∵闭环特征方程中的某些系数是 *的函数 连续变化时， ∴K*从0→∞连续变化时，那些系数也随之连续变化 连续变化时 特征根的变化也是连续的。 ∴特征根的变化也是连续的。 3) 对称性 实根——位于实轴 实根 位于实轴 特征根 复根——对称于实轴 复根 对称于实轴 根轨迹是特征根的集合——对称于实轴。 对称于实轴。 根轨迹是特征根的集合 对称于实轴

自动控制原理第四章

自动控制原理第四章

2003.6
第二节 绘制根轨迹的基本法则
前面介绍了求根轨迹的分析法和试探法。对于高 阶系统来说，采用这两种方法绘制系统的根轨迹的过程 仍是十分麻烦的。但是，只要掌握根轨迹的一些共性及 某些特征点，就可以不用或少用试探法而又较快地绘制 出复杂系统的根轨迹，从而达到事半功倍的效果。 本节将根据根轨迹方程讨论根轨迹与开环系统零、 极点的关系，讨论根轨迹的特征点、渐近线和其它的某 些性质，从而归纳出绘制根轨迹的十条基本法则。现分 述如下：
Kg
(s p )
j
n
(s z )
i i 1
j 1 m

s p1 s p2 s pn s z1 s z2 s zm
(4 11)
2003.6
式中，分子为各开环极点至测试点s所形成的向量长度之积； 分母则为各开环零点对测试点s所形成的向量长度之积。
k = 0，1，
(s z )
Kg
2003.6
m
(s p )
j 1 j
i 1 n
i
1
(4 9)
相角条件方程为
(s zi ) ( s p j ) 1800 2k+1
i 1 j 1 m n
k = 0,1,2,
(4 10)
比较式（4－9）、（4－10）可看出，幅值条件方程（4－9） 与根轨迹增益Kg有关，而相角条件方程（4－10）却与Kg无关。 所以，s平面上的某个点，只要满足相角条件方程（4-10），则 该点比在根轨迹上。换言之，它就是根轨迹上的一个点。至于该 点所对应的Kg值，可从幅值条件方程求解得出。这意味着：s平 面上满足相角条件方程的一切点，都是对应于Kg取不同数值时的 闭环特征根，即根轨迹。总之，在s平面上满足相角条件的点， 必定也同时满足幅值条件。因此，相角条件是确定根轨迹的充分 而必要条件。

自动控制原理第四章


§4-1 根轨迹的基本概念与绘制条件
一、根轨迹的基本概念 二、根轨迹的绘制条件
一、根轨迹的基本概念
例1：单位反馈二阶系统
K* Wk = s × ( s + 2)
K* WB = 2 s + 2s + K *
K* s ( s + 2)
−
s 2 + 2s + K ∗ = 0 特征方程：
特征根：
s1 = −1 + 1 − K , s2 = −1 − 1 − K
l1 = 1 L1 L2 L3 K g
α1 − ( β1 + β 2 + β 3 ) = −180
s1 L2
L3
β3
β2
l1
α1 L1
β1
l1 = 2.42 L1 = 3.03 L2 = 2.12 L3 = 2.26
α1 = 119.2o β1 = 135.9o β 2 = 94.8o β 3 = 68.8o
∑
j =1
j
k
∑
i =1
i
k
∑ P −∑ Z
j =1 j i =1
n
m
i
= ( n − m )σ k ⇒
∑ P −∑ Z
σk =
j =1 j i =1
n
m
i
n−m
二、绘制根轨迹的一般法则(*)
例3
WK ( s) = K s ( s + 1)( s + 2 )
jω
绘制根轨迹。 ①起点:0，-1，-2 终点：无穷远 ②实轴分支： [-1,0] [-2,-∞]
分支数等于开环极点数n（特征方程阶数）。 由实系数特征方程知，特征根不是实根，就 是共轭复根，故根轨迹一定对称于实轴。

《自动控制原理》第4章


率ω的变化称相位频率特性，用υ(ω)表示。 两者统称为频率特
性或幅相频率特性。
第4章 控制系统的频域分析法 对于线性定常系统，也可定义系统的稳态输出量与输入量 的幅值之比为幅频特性；定义输出量与输入量的相位差为相频 特性。 即 幅值频率特性：A(ω )=|G(jω )| 相位频率特性：υ (ω )=∠G(jω ) 将幅值频率特性和相位频率特性两者写在一起， 可得频率 特性或幅相频率特性为
惯性环节的低频渐近线为零分贝线。 ② 再绘制高频渐近线：高频渐近线是指当ω→∞时的L(ω)图 形（一般认为ω1/T）。此时有 -20 dB/dec的斜直线。 ， L（） 20lg （T 2 2 1 20lg T
因此惯性环节的高频渐近线为在ω=1/T处过零分贝线的、斜率为
第4章 控制系统的频域分析法 ③ 计算交接频率：交接频率是指高、低频渐近线交接处 的频率。高、低频渐近线的幅值均为零时，ω=1/T，因此交接
图4-12 惯性环节的伯德图
第4章 控制系统的频域分析法
图4-13 惯性环节的极坐标图
第4章 控制系统的频域分析法
4.2.5 比例微分环节
传递函数为 频率特性为
G ( s) s 1
G( j ) j 1
对数频率特性为
L( ) 20 lg 2 2 1 ( ) tg 1
② 频率特性的概念对系统、控制元件、部件、控制装置 均适用。 ③ 由频率特性的表达式 G(jω )可知，其包含了系统或元、 部件的全部结构和参数。 ④ 频率特性和微分方程及传递函数一样，也是系统或元 件的动态数学模型。 ⑤ 利用频率特性法可以根据系统的开环频率特性分析闭环 系统的性能。
第4章 控制系统的频域分析法

自动控制原理第4章


幅值条件
s p1 s p2 s pn K s z1 s z2 s zm
注意：1. 这两个条件是从系统闭环特征方程中导出的， 所有满足以上两式的s 值都是系统的特征根，把它们 在s平面上画出，就构成了根轨迹。 2. 观察两式，均与开环零极点有关，也就是说，根 轨迹是利用开环零极点求出闭环极点。
第四章 控制系统的根轨迹分析方法
系统闭环特征方程的根的位置决定闭环系统 的稳定性和动态特性。 l 研究闭环特征根的分布与闭环系统的动态特性 之间的定性、定量关系（分析问题）； l 根据控制系统动态特性要求决定闭环极点在根平 面的位置； l 研究调节器参数与闭环特征根的变化关系，设计 调节器（设计问题）。
s1, 2 0.5 0.5 1 4K
（4-1-1）
闭环特征根是K的函数。当K从0～∞变化， 闭环特征根在根平面上形成根轨迹。
K取不同值：
s1, 2 0.5 0.5 1 4K
K G( s) H ( s ) s( s 1)
（等于两个开环极点） K 0, s1 0, s2 1, 1 K , s1 0.5, s2 0.5, (两根重合于－0.5处) 4
● × ● × ﹣1 ﹣0.5 0
Re
例4-1-2 对上述单位反馈的二阶系统，希望闭环系统 的阻尼系数ξ=0.5，确定系统闭环特征根。 解： 根据以前课程，根据阻尼系数求出阻尼角。 阻尼角θ计算如下：
1 tg 3,
2
Im
0.5
3 2
60
s1, 2 j
i 1 m i 1
n
pi )
i
(s z )
l 1800
l 1,3,5

自动控制原理第四章


σ
-0.5 0
k' WK ( s ) = s ( s + 2)( s + 4)
jω
σ
-4 -2 0
0−2−4 = −2 σ= 3 2k + 1 π 5π θ= π = ,π , 3 3 3
k' WK ( s ) = s ( s + 1)( s + 2)( s + 5)
jω
-5 -2 -1 0
σ = −2 π θ =±
kN ( s ) Wk ( s ) = D(s)
F ( s ) = D( s ) + kN ( s )
k =0 k →∞
F ( s) = D( s) F (s) = N (s)
n > m时，有（n－m) 条分支趋于无穷。 条分支趋于无穷。 时
根轨迹的渐近线：共有（ 3、根轨迹的渐近线：共有（n－m）条渐近线 与实轴交点 与实轴夹角
Wk ( s ) = 1 ∠Wk ( s ) = (2k + 1)π
幅值条件 相角条件
Wk (s) =
k ∏ (Ti s + 1) s N ∏ (τ j s + 1)
j =1 i =1 r
m
时间常数表达式
N＋ r = n > m
零极点表达式 K’为根轨迹增益 为根轨迹增益
=
k ' ∏ ( s + zi ) s N ∏ (s + p j )
dk' = −3s 2 − 12 s − 8 = 0 ds
k' = − s 3 − 6 s 2 − 8 sσ来自-4-20
s1,2
2 3 2 3 = −2 ± 舍去 − 2 − 3 3 k' = 3.08
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

注意，闭环系统在减小对前向通路参数变化的灵敏度的同时，
对于反馈通道参数变化却非常敏感。T对于反馈通道H的灵敏 度为：
SHT
H T
T H
H
G2
G 1 GH 1 GH 2
GH 1 GH
以直流电动机速度控制系统为例，枢控直流电动机的微分方程模
型为式： TaTm
d 2
dt2
Tm
d
dt
Ku Ka
Km (Ta
C(s) T (s)R(s)
以相对值表示
C(s) T (s) 1 C(s) T(s)
用灵敏度这个术语来描述由于G（s）的变化而引起的闭环传 递函数的相对变化。定义闭环传递函数T(s)对于前向通路传 递函数G(s)的灵敏度SGT为
SGT
T (s)变化的百分数 G(s)变化的百分数
T T
G G
采用偏微分来近似ΔG(s)所引起T(s)的增量ΔT(s),
2.用反馈抑制扰动的影响
R(s)
E(s)
- B(s)
Gc(s)
D(s)
+
C(s)
Gp(s)
H(s)
(c)
上图所示的控制系统，D（s）代表了扰动对系统的作用。 受控对象对于扰动的闭环传递函数
C(s) Gp(s) D(s) 1 G(s)H (s)
扰动造成的受控对象的变化量为： C(s) Gp(s) D(s) 1 G(s)H (s)
Ωd(s)
-
Mc(s) -Km/(Tms+1)
+
Ω(s)
Kc
Ku/(Tms+1)
1
(d)
对于这个电动机转速控制系统，其闭环传递函数为
T (s)
(s) d (s)
KcKu Tms 1 KcKu
KcKu / Tm s 1 KcKu
且其闭环灵敏度
Tm
SGT
1
1 G(s)H (s)
Tms 1 Tms 1 KcKu
如果不采用反馈，扰动造成的受控对象的变化量为
C(s) Gp(s)D(s)
由此看到，扰动造成的受控对象的误差将直接和扰动的大小成 比例；而且控制设计者无法影响决定误差的Gp（s）。然而， 在闭环控制的情况下，扰动造成的受控对象的误差则为开环控 制的 1 。
1 GH
3.用反馈使不稳定系统稳定
采用反馈的一个重要理由是用来稳定一个固有的开环不稳定系 统，即受控对象本身不稳定的系统。
s 1/ Tm s 1 KcKu
Tm
在稳态情况下（s→0），系统的闭环传递函数
T KcKu 1 KcKu
设电动机的增益Ku变化，其闭环灵敏度
ST Ku
Ku T
T Ku
1 1 KcKu
设KcKu=100，SKuT≈0.01,这意味着如果受控对象参数Ku 有100%的误差,受控变量将只有1%的误差。
Gp（s） 受控对象
C(s)
G(s)
图(a)
G(s)
R(s)
a(s) Ge（s） 控制器
Gp（s） 受控对象
C(s)
- b(s)
传感器
H(s)
图（b）
对于图（a）所示的开环控制系统
C(s) G(s)R(s)
假设由于参数变化，G（s）变为G（s）+ΔG（s），那么开 环系统的输出变化
C(s) G(s)R(s)
为了具体看看反馈如何用来稳定一个固有不稳定的系统，考虑
一个一阶系统
Gp (s)
Kp sa
,a
0
这是一个不稳定的系统。采用一个增益为Kc的控制器，构成单 位反馈控制系统（假设传感器传递函数H（s）=1，则
T (s) KcGp (s) KcK p 1 KcGp (s) s a KcK p
若KcKp>a，即
y(t) KcKu (1 et /Tm )
采用反馈控制，其闭环传递函数
KcKu
T (s)
KcKu
Tms 1 KcKu
Tm s 1 KcKu
Tm
其闭环基点为 s 1 KcKu ，单位冲激响应 Tm
g(t)
K K e(1KcKu )t /Tm cu
Tm
单位阶跃响应
y(t) Kc Ku (1 e(1KcKu )t /Tm ) 1 KcKu
第四章 系统的反馈控制及其特性
L/O/G/O
一.反馈的作用
讨论反馈对系统的各种影响，目的在于弄清在控制系统中为什么 要采用反馈。
1.用反馈来降低对于参数变化的灵敏度
系统中各元件的参数可能随使用时间的增长和环境的变化
（例如周围温度的变化）而变化。反馈能够减小参数变化对
于系统的影响。
R（s）
Ge（s） 控制器
以相对值表示
C(s)
Cs
Gs Gs
1
也就是说，如果受控对象的参数，例如增益有10%的变化，就 会造成受控变量的10%的误差，而且，控制的设计者无法影响 他。
对于图（b）所示的闭环控制系统，情况则大不相同
C(s) T (s)R(s) G(s) R(s) 1 G(s)H (s)
当G（s）变化ΔG(s)时，它是通过引起闭环传递函数T（s） 的变化ΔT(s)而造成受控变量C(s)的误差ΔC(s)的。
T T G G
作代数变形，上式可化为
T G T G T T G G
根据上面的公式，闭环系1 GH ) GH (1 GH )2
1 1 GH
如果 G(s)H(s) ，1 则 ΔC/C<<1
SGT ，1 当
G ，1有ΔT/T<<1,从而
G
如果G（s）的增益变化为100G（s），则SGT变化大致在0.01 左右。这个结果显示了反馈的主要优点：受控对象对于受控对 象参数的变化很不灵敏，而开环控制系统的灵敏度为100%。
Kc
a Kp
，则闭环极点将移至左半s平面，原来不稳
定的系统变成了稳定的系统。
4.用反馈来改善系统的动态特性
闭环系统的传递函数
T (s) C(s) G(s) Gc (s)Gp (s) R(s) 1 G(s)H (s) 1 Gc (s)Gp (s)H (s)
仍点以为前s=述-1电/T动m机,单转位速冲控激制响为应例g，(t) 开K环cKTume时t/Tm，，G(单s) 位KcG阶p(s跃) 响TKmcsK应u1，其极
dmc dt
mc )
为了简化，设电枢回路电感La为零，即Ta=La/Ra=0,有
Tm
d
dt
Kuua
Kmmc
分别得到电动机转速对于电枢电压和负载转矩的传递函数为： (s) Ku Ua (s) Tms 1 (s) Ku Mc (s) Tms 1
用测速电动机测量轴的转速，产生一个与之成比例的电压（为了 简化，设比例系数为1），将它和希望的转速ωd相比较，以其差 作为激励信号，即控制器的输入信号，并设控制器产生一个和它 成比例的控制信号，通过改变电动机的电枢电压来控制电动机的 转速。这样就构成了反馈控制系统。