高考数学(理)二轮复习专题强化训练：(十一)计数原理、二项式定理、概率理

2017届高三数学二轮复习1.7.1 计数原理、二项式定理课时巩固过关练理新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017届高三数学二轮复习1.7.1 计数原理、二项式定理课时巩固过关练理新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017届高三数学二轮复习1.7.1 计数原理、二项式定理课时巩固过关练理新人教版的全部内容。

课时巩固过关练十八计数原理、二项式定理(35分钟55分）一、选择题（每小题5分，共20分)1。

(2016·襄阳一模）从8名女生和4名男生中，选取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样,则不同的选取方法数为（）A。

224 B。

112 C。

56 D.28【解析】选B。

根据分层抽样，从8个人中选取男生1人，女生2人，所以选取2个女生1个男生的方法：=112(种).2。

(2016·三明一模)将A，B，C，D,E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B,C”或“C，B,A”(可以不相邻)，这样的排列数有( )A。

12种B。

20种 C.40种D。

60种【解析】选C.五个元素没有限制全排列数为,由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A），故除以这三个元素的全排列，可得有×2=40（种)。

3。

（2016·郑州一模）设（1+x+x2）n=a0+a1x+…+a2n x2n，则a2+a4+…+a2n的值为( ）A。

B.C。

3n-2 D.3n【解析】选B.令x=1，得a0+a1+a2+…+a2n-1+a2n=3n.①再令x=-1得,a0—a1+a2—…—a2n-1+a2n=1。

第3讲 二项式定理基础学问整合1．二项式定理的内容(1)(a ＋b )n ＝□01C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n nb n (n ∈N *)． (2)第r ＋1项，T r ＋1＝□02C r na n －rb r . (3)第r ＋1项的二项式系数为□03C r n (r ＝0,1，…，n )． 2．二项式系数的性质(1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是□04相等． (2)二项式系数先增后减中间项最大且n 为偶数时第□05n 2＋1项的二项式系数最大，最大为，当n 为奇数时第□07n －12＋1或n ＋12＋1项的二项式系数最大，最大为.(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝□092n ，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝□102n －1，C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝□112n －1.1．留意(a ＋b )n与(b ＋a )n虽然相同，但详细到它们绽开式的某一项时是不同的，肯定要留意依次问题．2．解题时，要留意区分二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同． 3．切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念．1．(2024·全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的绽开式中x 4的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80 答案 C解析 由题可得T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r .令10－3r ＝4，则r ＝2，所以C r 5·2r ＝C 25×22＝40.故选C.2．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.3．(x －y )(x ＋y )5的绽开式中x 2y 4的系数为( ) A ．－10 B ．－5 C ．5 D ．10 答案 B解析 (x ＋y )5的绽开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·x5－r·y r，令5－r ＝1，得r ＝4，令5－r ＝2，得r ＝3，∴(x －y )(x ＋y )5的绽开式中x 2y 4的系数为C 45×1＋(－1)×C 35＝－5.故选B.4．设(5x －x )n的绽开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，M －N ＝240，则绽开式中x 3的系数为( )A ．500B ．－500C ．150D ．－150 答案 C解析 N ＝2n，令x ＝1，则M ＝(5－1)n＝4n＝(2n )2.∴(2n )2－2n＝240,2n＝16，n ＝4.绽开式中第r ＋1项T r ＋1＝C r 4·(5x )4－r·(－x )r ＝(－1)r ·C r 4·54－r·x4－r2.令4－r2＝3，即r ＝2，此时C 24·52·(－1)2＝150.5．(2024·绍兴模拟)若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的绽开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝ ________.答案 －2 解析6．(2024·南昌模拟)(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的绽开式中的常数项为________．答案 －5解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的通项公式为T r ＋1＝C r 6x 6－2r (－1)r ，所以(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的常数项为C r 6x6－2r(－1)r (当r ＝3时)与C r 6x6－2r(－1)r (当r ＝4时)之和，所以常数项为C 36(－1)3＋C 46(－1)4＝－20＋15＝－5.核心考向突破考向一 求绽开式中的特定项或特定系数例1 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 18的绽开式中含x 15的项的系数为( )A ．153B ．－153C ．17D ．－17 答案 C 解析(2)(2024·山东枣庄模拟)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的绽开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12 C ．1 D ．2 答案 D解析 ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10绽开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r ，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 4项的系数为C 310；令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 6项的系数为C 210，所以(x 2－a )⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的绽开式中x 6的系数为C 310－a C 210＝30，解得a ＝2.故选D.(3)(2024·浙江高考)二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋12x 8的绽开式的常数项是________．答案 7解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋12x 8的绽开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8(3x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r＝C r8·12r ·x8－4r3，令8－4r 3＝0得r ＝2，故所求的常数项为C 28·122＝7.触类旁通即时训练 1.(2024·广州调研)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x9的绽开式中x 3的系数为( )A ．－212B ．－92 C.92 D.212答案 A解析 二项绽开式的通项T r ＋1＝C r 9x9－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，绽开式中x 3的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 39＝－18×9×8×73×2×1＝－212.故选A.2．(2024·河南信阳模拟)(x 2＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1x －25的绽开式的常数项是( )A ．5B ．－10C ．－32D ．－42 答案 D解析 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －25的通项为C r 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 5－r ·(－2)r ＝C r 5(－2)r·xr －52，故(x 2＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫1x －25的绽开式的常数项是C 15·(－2)＋C 55(－2)5＝－42.故选D.3．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫a x－x 29的绽开式中x 3的系数为94，则a ＝________. 答案 4 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a x－x 29的绽开式的通项公式为T r ＋1＝C r9⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 9－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－x 2r＝(－1)r ·a 9－r·2－r2·C r9·x 32r －9.令32r －9 ＝3，得r ＝8，则(－1)8·a ·2－4·C 89＝94，解得a ＝4.考向二 二项式系数与各项的系数问题角度1 二项式绽开式中系数的和例2 (1)(2024·金华模拟)已知⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n 的绽开式的各项系数和为243，则绽开式中x7的系数为( )A ．5B ．40C ．20D ．10 答案 B解析 由⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n 的绽开式的各项系数和为243，得3n＝243，即n ＝5，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x 5，则T r ＋1＝C r 5·(x 3)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝2r ·C r 5·x 15－4r ，令15－4r ＝7，得r ＝2，∴绽开式中x 7的系数为22×C 25＝40.故选B.(2)已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6＋a 7x 7，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝________，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝________，a 2＋a 4＋a 6＝________.答案 126 2187 1092 解析 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝1，得－1＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7. ① 又∵a 7＝C 77(－2)7＝(－2)7，∴a 1＋a 2＋…＋a 6＝－1－a 0－a 7＝126. 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37＝2187. ②①＋②2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1093，∴a 2＋a 4＋a 6＝1092. 触类旁通求二项式系数和的常用方法是赋值法(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax ＋b )n，(ax 2＋bx ＋c )m(a ，b ∈R )的式子，求其绽开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n(a ，b ∈R )的式子求其绽开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．即时训练 4.(2024·黄冈质检)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝( )A ．284B ．356C ．364D ．378 答案 C解析 令x ＝0，则a 0＝1；令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36①； 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1 ②.①②两式左右分别相加，得2(a 0＋a 2＋…＋a 12)＝36＋1＝730，所以a 0＋a 2＋…＋a 12＝365，又a 0＝1，所以a 2＋a 4＋…＋a 12＝364.5．(2024·郑州一测)在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的绽开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x 2的系数为________．答案 90解析 令x ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n＝4n，所以⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的绽开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以4n2n ＝2n ＝32，解得n ＝5.二项绽开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝C r53rxr5－32，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 2532＝90.角度2 二项式系数的最值问题例3 (1)(2024·广东广州模拟)已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x n的全部二项式系数之和等于128，那么其绽开式中含1x项的系数是( )A ．－84B ．－14C ．14D ．84 答案 A解析 由二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x n 的绽开式中全部二项式系数的和是128，得2n＝128，即n ＝7，∴⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 7，则T r ＋1＝C r 7·(2x 2)7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·27－r ·C r 7·x 14－3r.令14－3r ＝－1，得r ＝5.∴绽开式中含1x项的系数是－4×C 57＝－84.故选A.(2)(2024·安徽马鞍山模拟)二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的绽开式中只有第11项的二项式系数最大，则绽开式中x 的指数为整数的项的个数为( )A ．3B ．5C ．6D ．7 答案 D解析 依据⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的绽开式中只有第11项的二项式系数最大，得n ＝20，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的绽开式的通项为T r ＋1＝C r 20·(3x )20－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝(3)20－r · C r20·x20－4r 3，要使x 的指数是整数，需r 是3的倍数，∴r ＝0,3,6,9,12,15,18，∴x 的指数是整数的项共有7项．故选D.触类旁通求二项式系数最大项(1)假如n 是偶数，那么中间一项(第⎝ ⎛⎭⎪⎫n2＋1项)的二项式系数最大．即时训练 6.已知(1＋x )n的绽开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29答案 D解析 因为绽开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，所以依据二项式系数和的相关公式可知，奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.7．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的绽开式中只有第6项的二项式系数最大，则绽开式中的常数项是( )A ．180B ．120C ．90D ．45 答案 A解析 只有第6项的二项式系数最大，可知n ＝10，于是绽开式通项为T r ＋1＝C r10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝2r C r 10·x 5－5r 2，令5－5r 2＝0，得r ＝2，所以常数项为22C 210＝180.故选A.角度3 项的系数的最值问题例4 (1)(2024·承德模拟)若(1＋2x )6的绽开式中其次项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )A.112<x <15B.16<x <15C.112<x <23D.16<x <25答案 A解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧C 162x >C 06，C 162x >C 262x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >112，0<x <15，即112<x <15. (2)若⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 2n的绽开式中第6项系数最大，则不含x 的项为( )A ．210B ．10C ．462D ．252 答案 A解析 ∵第6项系数最大，且项的系数为二项式系数， ∴n 的值可能是9,10,11. 设常数项为T r ＋1＝C r n x3(n －r )x －2r＝C r n x3n －5r， 则3n －5r ＝0，其中n ＝9,10,11，r ∈N ， ∴n ＝10，r ＝6，故不含x 的项为T 7＝C 610＝210. 触类旁通求绽开式系数最大项如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的绽开式系数最大的项，一般是采纳待定系数法，设绽开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即得．即时训练 8.(2024·宜昌高三测试)已知(x 23＋3x 2)n的绽开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求绽开式中二项式系数最大的项； (2)求绽开式中系数最大的项． 解考向三二项式定理的应用例5 (1)(2024·潍坊模拟)设a∈Z，且0≤a<13，若512024＋a能被13整除，则a＝( ) A．0 B．1 C．11 D．12答案 D1＋1，又由于13解析由于51＝52－1，(52－1)2024＝C020********－C12024522024＋…－C2024202452整除52，所以只需13整除1＋a，0≤a<13，a∈Z，所以a＝12.(2)0.9910的第一位小数为n1，其次位小数为n2，第三位小数为n3，则n1，n2，n3分别为( )A．9,0,4 B．9,4,0 C．9,2,0 D．9,0,2答案 A解析0.9910＝(1－0.01)10＝C010·110·(－0.01)0＋C110·19·(－0.01)1＋C210·18·(－0.01)2＋…＝1－0.1＋0.0045＋…≈0.9045.触类旁通二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)绽开后的每一项都含有除式的因式．2二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，1＋x n≈1＋nx.即时训练9.1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．87 答案 B解析 1－90C 110＋902C 210－903C 210＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1.∵前10项均能被88整除，∴余数是1.10．1.028的近似值是________(精确到小数点后三位)． 答案 1.172解析 1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 28·0.022＋C 38·0.023≈1.172.1．(2024·江苏模拟)(x 2＋x ＋y )5的绽开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 答案 C解析 由二项绽开式通项易知T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r y r，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，对于二项式(x 2＋x )3，由T t ＋1＝C t 3(x 2)3－t·x t ＝C t 3x6－t，令t ＝1，所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.2．在⎝⎛⎭⎪⎫2＋x －x 2024202412的绽开式中x 5的系数为________． 答案 264解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x －x 2024202412＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋x －x 2024202412的绽开式的通项公式为T r ＋1＝C r12(2＋x )12－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 20242024r ，若要出现x 5项，则需r ＝0，则T 1＝(2＋x )12，∴x 5的系数为22C 1012＝4C 212＝264.答题启示二项式定理探讨两项和的绽开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．对点训练1．(x 2－x ＋1)10绽开式中x 3的系数为( ) A ．－210 B ．210 C ．30 D ．－30 答案 A解析 (x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910x 2(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以含x 3项的系数为－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210.故选A.2.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x －4y 7的绽开式中不含x 的项的系数之和为( ) A ．－C 37C 3443－47B ．－C 27C 2443＋47C ．－47D ．47答案 A11 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x －4y 7＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x －4y 7的绽开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 7－r ·(－4y )r，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 7－r 的绽开式的通项公式为M k ＋1＝C k 7－r · x 7－r －4k 3，0≤k ≤7－r,0≤r ≤7，k ，r 均为整数，令7－r ＝4k 3，解得k ＝0，r ＝7或k ＝3，r ＝3，则不含x 的项的系数之和为(－4)7＋C 37C 34(－4)3＝－C 37C 3443－47.。

11.3 二项式定理真题演练集训理新人教A版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布11.3 二项式定理真题演练集训理新人教A版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高考数学一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布11.3 二项式定理真题演练集训理新人教A版的全部内容。

11.3 二项式定理真题演练集训理新人教A版1．［2016·新课标全国卷Ⅰ]（2x＋x)5的展开式中,x3的系数是________．(用数字填写答案)答案：10解析：由(2x＋x)5，得T r＋1＝C错误!（2x)5－r(错误!）r＝25－r C错误!x，令5－错误!＝3，得r＝4,此时系数为10.2．[2016·北京卷]在(1－2x）6的展开式中，x2的系数为________．（用数字作答)答案:60解析:(1 －2x）6的展开式的通项T r＋1＝C错误!（－2)r x r，当r＝2时，T3＝C错误!（－2）2x2＝60x2,所以x2的系数为60。

3．[2016·天津卷］错误!8的展开式中x7的系数为________．（用数字作答）答案：－56解析：二项展开式的通项T r＋1＝C r，8（x2）8－r错误!r＝（－1）r C错误!x16－3r，令16－3r＝7,得r＝3，故x7的系数为－C错误!＝－56.4．[2016·山东卷]若错误!5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________。

答案：－2解析：错误!5的展开式的通项T r＋1＝C错误!（ax2)5－r·x错误!＝C错误!a5－r·x，令10－错误!r＝5，得r＝2，所以C错误!a3＝－80，解得a＝－2。

《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第十一章　计数原理、随机变量及分布列第3课时　二项式定理 考情分析考点新知近几年高考二项式定理在理科加试部分考查以后高考将会考查学生应用基础知识、解决实际问题的能力难度将不太大． ①能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项式定理有关的简单问题. 会用二项展开式以及展开式的通项特别要注意有关二项式系数与项的系数的区别. 1. (选修23练习5改编)在(x－)的展开式中的系数是________．答案：1 890解析：T＋1＝x10－r(－)令10－r＝6＝4＝9x6＝1 890x(选23P32练习6改编)的展开式的常数项是________．答案：495解析：展开式中＋1＝x12－rr＝(－1)x12－3r当r4时＝＝495为常数项．(选修23习题2改编)若＋＋＋…＋＝363则自然数n＝________．答案：13解析：＋C＋C＋C＋…＋＝363＋1＋C＋C＋…＋＝364＋C＋…＋＝…＝＝364＝13.(选修23习题12改编)已知(1－2x)＝a＋a＋a＋…＋a那么a＋a＋…＋a＝________．答案：－解析：设f(x)＝(1－2x)令x＝1得a＋a＋a＋…＋a＝(1－2)＝－1令x＝0得a＝1＋a＋…＋a＝－1－a＝－2.(选修23习题10改编)在(x＋y)的展开式中若第七项系数最大则n的值可能为________．答案：11解析：分三种情况：① 若仅T系数最大则共有13项＝12；② 若T与T系数相等且最大则共有12项＝11；③ 若T与T系数相等且最大则共有14项＝13所以n的值可能等于11 1. 二项式定理(a＋b)＝an＋an－1＋…＋an－r＋…＋bn(n∈N)．这个公式所表示的定理叫做二项式定理右边的多项式叫做(a＋b)的二项展开式其中的系数(r＝0)叫做第r＋1项的二项式系数．式中的an－r叫做二项式展开式的第r＋1项(用T＋1表示即展开式的第r＋1项；＋1＝an－r二项展开式形式上的特点(1) 项数为＋1(2) 各项的次数都等于二项式的幂指数n即a与b的指数的和为n.(3) 字母a按降幂排列从第一项开始次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列从第一项起次数由零逐项增1直到n.(4) 二项式的系数从，C，一直到，C. 3. 二项式系数的性质(1) 在二项展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等．(2) 如果二项式的幂指数是偶数中间项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数中间两项的二项式系数相等并且最大．(3) 二项式系数的和等于即＋＋…＋＝2(4) 二项式展奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和即＋＋…＝＋＋…＝2－1[备课札记] 题型1　二项式展开式的特定项例1　如果的展开式中第四项和第七项的二项式系数相等求：(1) 展开式的中间项；(2) 展开式中所有的有理项．解：(1) 展开式中第四项和第七项的二项式系数分别是，C，由＝，得＝9所以展开式的中间项为第5项和第项即T＝(－1)(x－3)(x2)5＝＝(－1)(x－3)(x2)4＝－(2) 通项为T＋1＝()8－r＝x(r＝)，为使T＋1为有理项必须r是4的倍数所以r＝08，共有三个有理项分别是T＝x4＝x＝x＝＝x－2＝ (1) 若(1＋x)的展开式中的系数是x的系数的7倍求n；(2) 已知(ax＋1)(a≠0)的展开式中的系数是x的系数与x的系数的等差中项求a；(3) 已知(2x＋x)8的展开式中二项式系数最大的项的值等于1 120求x.解：(1) ＝7，＝7n即－－40＝0.由n∈N*，得n＝8.(2) Ca2＋a4＝2a3，21a2＋35a＝70a得5a2－10a＋3＝0＝1±. (3) C(2x)4(xlgx)4＝1 120(1＋)＝1所以x＝1或＝－1＝. 题型2　二项式系数例2　已知(x＋3x)n的展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992求：(1) 展开式2) 展开式中系数最大的项．解：令x＝1则展开式中各项系数和为(1＋3)＝2又展开式中二项式系数和为2－2＝992＝5.(1) ∵n＝5展开式共6项二项式系数最大的项为第3、4两项＝(x)3(3x2)2＝90x＝(x)2(3x2)3＝270x(2) 设展开式中第r＋1项系数最大则T＋1＝(x)5－r(3x)r＝3x， ∴ ≤r≤，∴ r＝4即展开式中第5项系数最大＝(x)(3x2)4＝405x 已知的展开式中前三项的系数成等差数列．设＝a＋a＋a＋…＋a求：(1) a5的值；(2)a0－a＋a－a＋…＋(－1)n的值；(3) ai(i＝0)的最大值．解：(1) 由题设得C＋＝2×， 即n－9n＋8＝0解得n＝8＝1(舍)．＋1＝C－r令8－r＝5＝3所以a＝7.(2) 在等式的两边取x＝－1得a－a＋a－a＋…＋a＝(3) 设第r＋1的系数最大则即解得r＝2或r＝3. 所以a系数最大值为7.题型3　二项式定理的综合应用例3　已知展开式中的二项式系数的和比(3a＋2b)展开式的二项式系数的和大128求展开式中的系数最大的项和系数最小的项．解：2－2＝128＝88的通项Tr＋1＝(x2)8－r＝(－1)x16－3r当r＝4时展开式中的系数最大即T＝70x为展开式中的系数最大的项；当r＝3或5时展开式中的系数最小即T＝－56x＝－56x为展开式中的系数最小的项． 已知(2－)50＝a＋a＋a＋…＋a其中a是常数计算(a＋a＋a＋…＋a)2－(a＋a＋a＋…＋a)2. 解：设f(x)＝(2－)50， 令x＝1得a＋a＋a＋…＋a＝(2－50， 令x＝－1得a－a＋a－…＋a＝(2＋)(a0＋a＋a＋…＋a)2－(a＋a＋a＋…＋a)2 ＝(a＋a＋a＋…＋a)(a0－a＋a－…＋a) ＝(2－)(2＋)＝1. 1. (2013·新课标Ⅱ)已知(1＋ax)(1＋x)的展开式中x的系数为5则a＝________．答案：－1解析：已知(1＋ax)(1＋x)的展开式中x的系数为＋a·＝5解得a＝－1.(2013·天津理)的二项展开式中的常数项为________．答案：15解析：展开式的通项公式为T＋1＝x6－kk＝x6－(－1)由6－＝0得k＝4.所以常数项为T＋1＝(－1)4＝15.(2013·大纲版理)(1＋x)(1＋y)的展开式中x的系数是________．答案：18解析：(x＋1)的展开式的通项为T＋1＝xr，令r＝2得到展开式中x的系数是＝3.(1＋y)的展开式的通项为T＋1＝yr，令r＝2得到展开式中y的系数是C＝6(1＋x)(1＋y)的展开式中x的系数是3×6＝18.(2013·辽宁理)使得(n∈N＋)的展开式中含有的常数项最小的n为________．答案：5解析：展开式的通项公Tk＋1＝(3x)n－kk＝3n－k－由n－＝0得n＝所以当k＝2时有最小值5. 1. 若n是奇数则7＋C－1＋C－2＋…＋C被9除的余数是________．答案：7解析：原式＝(7＋1)－1＝(9－1)－1＝9k－2＝9k′＋7(k和均为正整数)．的近似值是___________．(精确到0.001)答案：0.956解析：＝(1－0.009)＝1－5×0.009＋10×(0.009)－…≈1－0.045＋0.000 81≈0.956.用二次项定理证明3＋2－8n－9能被64整除(n∈N)．证明：3＋2－8n－9＝9＋1－8n－9＝(8＋1)＋1－8n－9＝8n＋1＋8n＋…＋82＋8＋－8n－9＝64(8n－1＋8n－2＋…＋)＋8(n ＋1)＋1－8n－9＝M×64(记M＝8n－1＋8n－2＋…＋)．为整数能被64整除．(1) 在(1＋x)的展开式中若第3项与第6项系数相等则n等于多少？(2) 的展开式奇数项的二项式系数之和为128求展开式中二项式系数最大项．解：(1) 由已知得＝n＝7.(2) 由已知得＋＋＋…＝128－1＝128＝8而展开式中二项式系数最大项是T＋1＝(x)4＝70x. 一般地对于多项式g(x)＝(px＋q)＝a＋a＋a＋…＋a则有：(1) g(x)的常数项的系数为g(0)；(2) g(x)的各项的系数和为g(1)；(3) g(x)的奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]；(4) g(x)的偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]． [备课札记]。

2023年高考数学复习——大题狂练：计数原理（15题）一．解答题（共15小题）1．（2022春•杨陵区校级期末）3名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务．（1）若每辆车上都需要人但最多安排男、女各1名，有多少种安排方法？（2）若男、女各包2辆车，有多少种安排方法？2．（2022春•济宁期末）已知展开式的二项式系数和为32，各项系数和为243．（1）求n、a的值；（2）若将展开式中的各项重新排列，求有理项互不相邻的概率．3．（2022春•闵行区校级期末）求满足下列方程组的正整数的解：（1）；（2）．4．（2022春•肇东市校级期末）（1）计算：；（2）已知，（m＞1）；求的值．5．（2022春•白水县期末）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，求：（1）物理和化学至少选一门的选法种数；（2）物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选的选法种数．6．（2022春•驻马店期末）已知函数．（1）当0＜x＜1时，求f（f（x））表达式的展开式中二项式系数最大的项；（2）当x＞1时，若，求a6．7．（2022春•云浮期末）（1）求（1﹣2x）10展开式中第8项的二项式系数及第4项的系数；（2）若（1﹣2x）10＝a0+a1x+⋯+a10x10，求a1+a2+⋯+a10.注：结果用数值表示．8．（2022春•梅州期末）在的展开式的二项式系数和为64．（1）求n的值；（2）求展开式的常数项．9．（2022春•周至县校级期末）某批产品中有一等品100个，二等品80个，三等品30个．从其中任取10个进行检验，那么：（1）全部抽到一等品的结果有多少种？（2）抽不到一等品的结果有多少种？（3）恰抽到5个一等品的结果有多少种？（4）恰抽到1个一等品、2个二等品的结果有多少种？（5）至少抽到1个一等品的结果有多少种？10．（2022春•大兴区期末）将二项式（2x﹣）n展开，若展开式中各项的二项式系数之和为64．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展开式中的常数项．11．（2022春•红桥区校级期末）已知数字1，2，3，4，5．（1）可以组成多少个没有重复数字的五位数；（2）可以组成多少个没有重复数字的五位偶数．12．（2022春•阎良区期末）某学习小组有4名男生和3名女生共7人．（1）将这7人排成一排，4名男生相邻有多少种不同的排法？（2）从中选出2名男生和2名女生分别承担4种不同的任务，有多少种不同的选派方法？13．（2022春•宜春期末）根据条件，分别求解：（1）求（x2﹣2xy+y2）5展开式中x3y7的系数；（2）求值：．14．（2022春•青浦区校级期末）（1）解不等式；（2）已知，，成等差数列，求的值．15．（2022春•海林市校级月考）有6本不同的书，在下列不同的条件下，各有多少种不同的分法？（1）分给甲、乙、丙3人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；（2）分成三组，一组4本，另外两组各1本；（3）甲得1本，乙得1本，丙得4本．2023年高考数学复习——大题狂练：计数原理（15题）参考答案与试题解析一．解答题（共15小题）1．（2022春•杨陵区校级期末）3名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务．（1）若每辆车上都需要人但最多安排男、女各1名，有多少种安排方法？（2）若男、女各包2辆车，有多少种安排方法？【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；数学运算．【分析】（1）根据题意，分3步进行分析：①先将3名男同志安排到公交车上，②在剩余的1辆车安排1名女同志，③在安排了男同志的3辆车上安排2名女同志，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，分2步进行分析：①将男同志和女同志各自分为2组，②将4组安排到4辆车上，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，分3步进行分析：①先将3名男同志安排到公交车上，有A＝24种安排方法，②在剩余的1辆车安排1名女同志，有3种安排方法，③在安排了男同志的3辆车上安排2名女同志，有A＝6种安排方法，则有24×3×6＝432种安排方法；（2）根据题意，分2步进行分析：①男同志分为2组，有C＝3种分组方法，同理，将女同志分为2组，也有3种分组方法，②将4组安排到4辆车上，有A＝24种安排方法，则有3×3×24＝216种安排方法．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．2．（2022春•济宁期末）已知展开式的二项式系数和为32，各项系数和为243．（1）求n、a的值；（2）若将展开式中的各项重新排列，求有理项互不相邻的概率．【考点】二项式定理．【专题】整体思想；综合法；二项式定理；数学运算．【分析】（1）根据题中的条件，列出等式，即可解出；（2）利用二项式定理展开式的通项公式，结合排列组合，即可解出．【解答】解：（1）由题意可知：解得：．（2）由（1）可知二项式为其通项公式为：．由二项式展开式的通项公式可知：当k＝1，3，5时，会得到二项式展开式的有理项．所以二项式的展开式中有理项共3项，所以将展开式各项重新排列，其中有理项互不相邻的概率为：．【点评】本题考查了二项式定理，排列组合以及概率，学生的数学运算能力，属于基础题．3．（2022春•闵行区校级期末）求满足下列方程组的正整数的解：（1）；（2）．【考点】排列及排列数公式；组合及组合数公式．【专题】对应思想；转化法；排列组合；数学运算．【分析】利用排列、组合公式列方程，并化简求值即可，注意n的范围．【解答】解：（1）由＝，可得2n（2n﹣1）（2n﹣2）＝28n（n﹣1），而n≥2，故2n﹣1＝7，可得n＝4；（2）﹣＝+，可得﹣＝+n+1，所以2n+3＝，则n2﹣3n﹣4＝（n﹣4）（n+10）＝0，而n≥2，故n＝4．【点评】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了逻辑推理与证明的应用问题，是基础题．4．（2022春•肇东市校级期末）（1）计算：；（2）已知，（m＞1）；求的值．【考点】排列及排列数公式；组合及组合数公式．【专题】计算题；方程思想；定义法；排列组合；数学运算．【分析】（1）根据排列数的计算公式即可得解；（2）根据结合题意可得m＝2，利用化简整理，再代入组合数的计算公式计算．【解答】解：（1）∵，则，∴；（2）∵，则m+2m﹣1＝5或m＝2m﹣1，解得m＝2或m＝1（舍去），∵，则．【点评】本题考查了排列组合数公式的应用问题，是基础题目．5．（2022春•白水县期末）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，求：（1）物理和化学至少选一门的选法种数；（2）物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选的选法种数．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；数学运算．【分析】（1）根据题意，用间接法分析：先计算“在7门中任选3门”的选法，排除其中“物理和化学都没有选”的情况，即可得答案；（2）根据题意，分3种情况讨论，由加法原理计算可得答案；【解答】解：（1）根据题意，在7门中任选3门，有C＝35种选法，其中物理和化学都没有选的选法有C＝10种，则物理和化学至少选一门的选法有35﹣10＝25种；（2）根据题意，若物理和化学至少选一门，有3种情况：①只选物理有且物理和历史不同时选，有C C＝6种选法；②选化学，不选物理，有C C＝10种选法；③物理与化学都选，有C C＝4种选法，则有6+10+4＝20种选法．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．6．（2022春•驻马店期末）已知函数．（1）当0＜x＜1时，求f（f（x））表达式的展开式中二项式系数最大的项；（2）当x＞1时，若，求a6．【考点】二项式定理．【专题】整体思想；综合法；二项式定理；数学运算．【分析】（1）利用题中的条件，表示出f（f（x）），即可解出；（2）表示出f2（x）的表达式，对代数式x8进行变形，即可解出．【解答】解：（1）∵0＜x＜1∴∴∴二项式系数最大的项为（2）由题意得，当x＞1时，f2（x）＝x8＝[1﹣（1﹣x）]8∵展开式的通项为：∴，∴a6＝28【点评】本题考查了二项式定理，学生的数学运算能力，属于基础题．7．（2022春•云浮期末）（1）求（1﹣2x）10展开式中第8项的二项式系数及第4项的系数；（2）若（1﹣2x）10＝a0+a1x+⋯+a10x10，求a1+a2+⋯+a10.注：结果用数值表示．【考点】二项式定理．【专题】整体思想；综合法；二项式定理；数学运算．【分析】（1）利用二项式定理的展开式，即可直接解出；（2）利用赋值法，即可解出．【解答】解：（1）（1﹣2x）10展开式的通项是T r+1＝C＝（﹣2）r C x r，因此（1﹣2x）10展开式中第8项的二项式系数为，其第4项的系数为．（2）已知，令x＝0，得a0＝1；令x＝1，得．所以a1+a2+⋯+a10＝（a0+a1+a2+⋯+a10）﹣a0＝0．【点评】本题考查了二项式定理的展开式，学生的数学运算能力，属于基础题．8．（2022春•梅州期末）在的展开式的二项式系数和为64．（1）求n的值；（2）求展开式的常数项．【考点】二项式定理．【专题】对应思想；定义法；二项式定理；数学运算．【分析】（1）根据二项式系数和求出n＝6，（2）求出展开式的通项公式，令x的次数为0，进行求解即可．【解答】解：（1）∵的展开式的二项式系数和为64，∴，解得n＝6．（2）展开式的通项公式为，令6﹣3r＝0，解得r＝2，所以常数项为．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，根据二项式系数和求出n的值，利用展开式的通项公式进行求解是解决本题的关键，是基础题．9．（2022春•周至县校级期末）某批产品中有一等品100个，二等品80个，三等品30个．从其中任取10个进行检验，那么：（1）全部抽到一等品的结果有多少种？（2）抽不到一等品的结果有多少种？（3）恰抽到5个一等品的结果有多少种？（4）恰抽到1个一等品、2个二等品的结果有多少种？（5）至少抽到1个一等品的结果有多少种？【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；数学运算．【分析】（1）根据题意，在100个一等品中选10个即可，由组合数公式计算可得答案；（2）根据题意，在二等品、三等品中选10个即可，由组合数公式计算可得答案；（3）根据题意，在100个一等品中选5个，在二等品、三等品中选5个即可，由组合数公式计算可得答案；（4）根据题意，在100个一等品中选1个，在80个二等品中选2个，在30个三等品中选7个即可，由组合数公式计算可得答案；（5）根据题意，先计算“在所有产品中任取10件”的取法，排除其中“没有1件一等品”的取法，分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，要求全部抽到一等品，在100个一等品中选10个即可，有种取法，（2）抽不到一等品，在二等品、三等品中选10个即可，有种取法，（3）恰好抽到5个一等品，还有5件是二等品或三等品，在100个一等品中选5个，在二等品、三等品中选5个即可，有种抽取方法，（4）恰抽到1个一等品、2个二等品，还有7个是三等品，在100个一等品中选1个，在80个二等品中选2个，在30个三等品中选7个即可，有种抽取方法，（5）在所有产品中任取10件，有种取法，其中没有1件一等品的取法有种，则至少抽到1个一等品的结果有种．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意组合数公式的应用，属于基础题．10．（2022春•大兴区期末）将二项式（2x﹣）n展开，若展开式中各项的二项式系数之和为64．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展开式中的常数项．【考点】二项式定理．【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算．【分析】（Ⅰ）根据二项式系数和公式建立方程即可求解；（Ⅱ）求出展开式的通项公式，令x的指数为0，进而可以求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2n＝64，解得n＝6；（Ⅱ）展开式的通项公式为T＝C，r＝0，1， (6)令6﹣2r＝0，解得r＝3，所以展开式的常数项为C＝﹣160．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．11．（2022春•红桥区校级期末）已知数字1，2，3，4，5．（1）可以组成多少个没有重复数字的五位数；（2）可以组成多少个没有重复数字的五位偶数．【考点】排列、组合及简单计数问题；计数原理的应用．【专题】对应思想；转化法；排列组合；逻辑推理．【分析】（1）将5个数进行全排列，利用排列数公式即可得出答案；（2）先排个位数，从2，4中选一个数排在个位，其余的位置即剩下的4个数进行全排列，即可得出答案．【解答】解：（1）由题意可得：将5个数进行全排列，即＝120个；（2）先排个位数，从2，4中选一个数排在个位有：＝2个，其余的位置即剩下的4个数进行全排列，即＝24个，所以可以组成＝48个没有重复数字的五位偶数．【点评】本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于基础题．12．（2022春•阎良区期末）某学习小组有4名男生和3名女生共7人．（1）将这7人排成一排，4名男生相邻有多少种不同的排法？（2）从中选出2名男生和2名女生分别承担4种不同的任务，有多少种不同的选派方法？【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】对应思想；转化法；排列组合；逻辑推理．【分析】（1）利用捆绑法求解；（2）先分别选出2名男生和女生，再全排列求解．【解答】解：（1）因为4名男生相邻，所以看作一个元素，则将4个元素全排列再将4个男生全排列，然后由分步计数原理得：•＝576种不同的站法；（2）选出2名男生有种选法，选出2名女生有种选法，然后全排列有种排法，再利用分步计数原理得••＝432种不同的选派方法．【点评】本题考查了排列组合的混合问题，捆绑法是最基本的指导思想，属于基础题．13．（2022春•宜春期末）根据条件，分别求解：（1）求（x2﹣2xy+y2）5展开式中x3y7的系数；（2）求值：．【考点】二项式定理．【专题】整体思想；综合法；二项式定理；数学运算．【分析】（1）利用二项式定理的展开式，即可解出；（2）利用排列数和组合数公式，即可解出．【解答】解：（1）（x2﹣2xy+y2）5＝（x﹣y）10，∴x3y7的系数为：C＝﹣120；（2）＝＝＝．【点评】本题考查了二项式定理，排列数组合数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．14．（2022春•青浦区校级期末）（1）解不等式；（2）已知，，成等差数列，求的值．【考点】组合及组合数公式；等差数列的通项公式；排列及排列数公式．【专题】对应思想；转化法；排列组合；逻辑推理．【分析】（1）由排列数公式及性质列出不等式组即可求解；（2）由题意，2＝+，利用组合数公式及性质化简，然后求解方程即可得答案．【解答】解：（1）因为，所以＜6×，所以（8﹣m）（7﹣m）＜6，又，解得m＝6；（2）因为，，成等差数列，所以2＝+，所以2＝+，即＝+，所以n2﹣21n+98＝0，又n≥12，且n∈N*，解得n＝14，所以，＝＝91．【点评】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了逻辑推理与证明的应用问题，是基础题目．15．（2022春•海林市校级月考）有6本不同的书，在下列不同的条件下，各有多少种不同的分法？（1）分给甲、乙、丙3人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；（2）分成三组，一组4本，另外两组各1本；（3）甲得1本，乙得1本，丙得4本．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】对应思想；转化法；排列组合；逻辑推理．【分析】n个不同元素按某些条件分配给k个不同的对象是分配问题，解决此类问题，常先分组后分配．【解答】解：根据题意，有6本不同的书，（1）分给甲、乙、丙3人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本，先将6本不同的书分成1本，2本，3本共3组，有种，再将3组分配给甲、乙、丙3人有种，故共有种；（2）分成三组，一组4本，另外两组各1本，只需从6本中选4本一组，其余2本为两组，共种；（3）甲得1本，乙得1本，丙得4本，分步处理，先从6本中选4本给丙，其余2本分给甲、乙各一本，有种．【点评】本题考查了排列组合的混合问题，属于基础题．考点卡片1．等差数列的通项公式【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为a n＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a m，则第n项为a n＝a m+（n﹣m）d．【例题解析】eg1：已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2+1，求数列{a n}的通项公式，并判断{a n}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴a n＝，把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{a n}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中a n的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．eg2：已知等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列a n是以1为首项，4为公差的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．【考点点评】求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．2．计数原理的应用【知识点的认识】1．两个计数原理（1）分类加法计数原理：N＝m1+m2+…+m n（2）分步乘法计数原理：N＝m1×m2×…×m n2．两个计数原理的比较分类加法计数原理分步乘法计数原理共同点都是计数原理，即统计完成某件事不同方法种数的原理．不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘n类方案相互独立，且每类方案中的每种方法都能独立完成这件事n个步骤相互依存，每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整【解题方法】1．计数原理的应用（1）如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类加法计数原理；（2）如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步乘法计数原理．2．解题步骤（1）指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分n类”还是“分n步”；（2）求每“类”或每“步”中不同方法的种数；（3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数；（4）作答．【命题方向】分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法．常见考题类型：（1）映射问题（2）涂色问题（①区域涂色②点的涂色③线段涂色④面的涂色）（3）排数问题（①允许有重复数字②不允许有重复数字）3．排列及排列数公式【考点归纳】1．定义（1）排列：一般地，从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）（2）排列数：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．2．相关定义：（1）全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．（2）n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示．（规定0!＝1）3．排列数公式（1）排列计算公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．（2）全排列公式：＝n•（n﹣1）•（n﹣2）•…•3•2•1＝n!．4．组合及组合数公式【考点归纳】1．定义（1）组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m个元素的一个组合．（2）组合数：从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号表示．2．组合数公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．3．组合数的性质：性质1性质2 ．5．排列、组合及简单计数问题【知识点的知识】1、排列组合问题的一些解题技巧：①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题除法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反、等价转化．对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．2、排列、组合问题几大解题方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；（10）指定元素排列组合问题：①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．6．二项式定理【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n＝∁n i a n﹣i•b i．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.105．（精确到0.001）解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101•19×0.01+C102•18•0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．故答案为：1.105．这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．解：由题意T8＝C107×＝120×3i＝360i．故答案为：360i．通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．【性质】1、二项式定理一般地，对于任意正整数n，都有这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．注意：（1）二项展开式有n+1项；（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；（4）二项式定理通常有如下变形：①；②；（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．2、二项展开式的通项公式二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．注意：（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是∁n r；（2）字母b的次数和组合数的上标相同；（3）a与b的次数之和为n．3、二项式系数的性质．（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．。

2017高考数学一轮复习 第十一章 计数原理 11.2 二项式定理的应用对点训练 理1. (x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60答案 C解析 由二项展开式通项易知T r ＋1＝C r5(x 2＋x )5－r y r，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，对于二项式(x 2＋x )3，由T t ＋1＝C t 3(x 2)3－t·x t ＝C t 3x6－t，令t ＝1，所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C.2．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含x 23 的项的系数为30，则a ＝( )A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6答案 D解析 由二项展开式的通项可得3．二项式(x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4答案 B解析 由(x ＋1)n ＝(1＋x )n ＝1＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ，知C 2n ＝15，∴n n －12＝15，解得n ＝6或－5(舍去)．故选B.4.已知(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29答案 D解析 因为(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，即C mn ＝C n －mn ，所以C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，所以二项式(1＋x )10的展开式中奇数项的二项式系数和为12×210＝29.5．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( )A ．30B ．20C ．15D ．10答案 C解析 在(1＋x )6的展开式中，含x 2的项为T 3＝C 26·x 2＝15x 2，故在x (1＋x )6的展开式中，含x 3的项的系数为15.6．设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 B解析 由题意知a ＝C m2m ，b ＝C m ＋12m ＋1， ∴13C m 2m ＝7C m ＋12m ＋1， 即13×2m ！m ！m ！＝7×2m ＋1！m ＋1！m ！，解得m ＝6.7．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________. 答案 3解析 解法一：直接将(a ＋x )(1＋x )4展开得x 5＋(a ＋4)x 4＋(6＋4a )x 3＋(4＋6a )x 2＋(1＋4a )x ＋a ，由题意得1＋(6＋4a )＋(1＋4a )＝32，解得a ＝3.解法二：(1＋x )4展开式的通项为T r ＋1＝C r 4x r ，由题意可知，a (C 14＋C 34)＋C 04＋C 24＋C 44＝32，解得a ＝3.8．在(2x －1)5的展开式中，含x 2的项的系数是________．(用数字填写答案)． 答案 －40解析 由二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r(－1)r(r ＝0,1，…，5)知，当r ＝3时，T 4＝C 35(2x )5－3(－1)3＝－40x 2，所以含x 2的项的系数是－40.9．(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案) 答案 －20解析 (x ＋y )8的通项公式为T r ＋1＝C r 8x8－r y r(r ＝0,1，…，8，r ∈Z )．当r ＝7时，T 8＝C 78xy 7＝8xy 7，当r ＝6时，T 7＝C 68x 2y 6＝28x 2y 6，所以(x －y )(x ＋y )8的展开式中含x 2y 7的项为x ·8xy 7－y ·28x 2y 6＝－20x 2y 7，故系数为－20.10．若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．答案 2解析 ⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r ＝C r 6a 6－r ·b r x 12－3r ， 令12－3r ＝3，得r ＝3. 由C r 6a6－r b r＝C 36a 3b 3＝20，得ab ＝1.所以a 2＋b 2≥2ab ＝2×1＝2.11.⎝ ⎛⎭⎪⎫x y－y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________．(用数字作答)答案 70 解析 设⎝⎛⎭⎪⎫x y －y x 8的第r ＋1项中含有x 2y 2，则T r ＋1＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 8－r ⎝⎛⎭⎪⎫－y x r ＝C r 8·(－1)r·x 8－r － r 2 y r － 8- r2 ，因此8－r －r 2＝2，r －8－r2＝2，即r ＝4.故x 2y 2的系数为C 48×(－1)4＝8×7×6×54×3×2×1＝70.。