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二项式定理习题课教学目标知识与技能1．能熟练地掌握二项式定理的展开式及其有关概念．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．3．能熟练掌握杨辉三角及二项式系数的有关性质．4．会用二项式系数的性质解决一些简单问题，并能熟练地使用赋值法．过程与方法1．能解决二项展开式的有关概念问题：项、二项式系数、系数、有理项、无理项、常数项、整数项等．2．能用二项式定理解决诸如整除、近似值、求和等有关问题．3．能用二项式系数的有关性质，解决诸如：最值、二项式系数和、系数和等问题．情感、态度与价值观1．培养学生对整个数学知识的驾驭能力，能在一定高度上进行数学知识的应用．2．培养学生观察、归纳的能力以及分析问题与解决问题的能力．3．进一步提升学生学好数学用好数学的积极性，进一步提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：掌握二项展开式，掌握二项式系数的有关性质，掌握解决二项式定理性质等有关问题的方法．教学难点：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题．教学过程复习巩顾前面我们学习了二项式定理，请回顾：1．(a＋b)n＝________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a＋b)n的______________，其中C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做______________，通项是指展开式的第__________________项，共有____________项．其中二项式系数是____________，系数是____________．2．二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) (1)对称性：____________________. (2)性质2：______________________.(3)二项式系数的最大值________________________．(4)二项式系数之和____________________，所用方法是____________________． 答案：1．(a ＋b)n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋C 2n an －2b 2＋…＋C r n an －r b r＋…＋C n n b n(n∈N )、展开式、二项式系数、r ＋1、n ＋1、C rn 、变量前的常数2．(1)C mn ＝－mn (2)C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn(3)当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n 最大(4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C rn ＋…＋C nn ＝2n赋值法典型示例类型一：二项展开式的有关概念 例1试求：(1)(x 3－2x 2)5的展开式中x 5的系数；(2)(2x 2－1x)6的展开式中的常数项；(3)在(3x ＋32)100的展开式中，系数为有理数的项的个数．思路分析：理解二项展开式的有关概念，什么是二项式系数，什么是系数，什么是项，什么是常数项、有理项、无理项等，其实都是由通项入手，根据变量的系数、指数进行判断，当指数为0时是常数项，当指数是整数时是有理项，当指数是分数时是无理项．解：(1)T r ＋1＝C r5(x 3)5－r(－2x2)r ＝(－2)r C r 5x 15－5r ，依题意15－5r ＝5，解得r ＝2.故(－2)2C 25＝40为所求x 5的系数．(2)T r ＋1＝C r 6(2x 2)6－r(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 12－3r ，依题意12－3r ＝0，解得r ＝4.故(－1)4·22C 26＝60为所求的常数项．(3)T r ＋1＝C r 100(3x)100－r(32)r ＝C r100·350－r 2·2r 3x 100－r ，要使x 的系数为有理数，指数50－r 2与r 3都必须是整数，因此r 应是6的倍数，即r ＝6k(k∈Z )，又0≤6k≤100，解得0≤k≤1623(k∈Z )，∴x 的系数为有理数的项共有17项．点评：求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值X 围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．[巩固练习]试求：(1)(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数；(2)(|x|＋1|x|－2)3的展开式中的常数项．解：(1)∵(x＋2)10＝x 10＋20x 9＋180x 8＋…，∴(x＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数是－1＋180＝179.(2)∵(|x|＋1|x|－2)3＝(|x|－1|x|)6，∴所求展开式中的常数项是－C 36＝－20.类型二：二项展开式的有关应用——简单应用例2求(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中x 2的系数． 解：∵(x－1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5＝x －1{1－[－x －1]5}1－[－x －1]＝x －1＋x －16x ，∴所求展开式中x 2的系数就是(x －1)6的展开式中x 3的系数－C 36＝－20.点评：这是一组将一个二项式扩展为假设干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式的问题，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．能够最大限度地考查学生对知识的把握程度．[巩固练习](1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中x 3项的系数是( )A ．74B ．121C ．－74D ．－121 解析：先求和：(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8＝1－x 5[1－1－x4]1－1－x＝1－x5[4x －6x 2＋4x 3－x 4]x，分子的展开式中x 4的系数，即为原式的展开式中x 3项的系数，(－1)×1＋4×(－C 15)－6C 25＋4×(－C 35)＝－1－20－60－40＝－121，所以选D.答案：D类型三：二项展开式的有关应用：整除、不等式、近似值等问题 例3证明：(1)2≤(1＋1n)n <3，其中n∈N *；(2)证明：对任意非负整数n,33n－26n －1可被676整除．思路分析：对于二项式中的不等式，通过展开式，分析其中的特殊项，可以证明一些简单的不等式问题；对于整除问题同样如此，关键是把二项式拆成676的形式；对于比较麻烦的数列问题，我们经常采用的方法就是数学归纳法，此题也不例外．证明：(1)(1＋1n )n ＝1＋C 1n ·1n ＋C 2n (1n )2＋…≥2(当且仅当n ＝1时取等号)．当n ＝1时，(1＋1n)n＝2<3显然成立；当n≥2时，(1＋1n )n ＝C 0n ＋C 1n ·1n ＋C 2n ·1n 2＋…＋C nn ·1n n ＝2＋n(n －1)2！1n 2＋n(n －1)(n －2)3！1n 3＋…＋n(n －1)…2·1n ！1n n ＝2＋12！n n n －1n ＋13！n n n －1n n －2n ＋…＋1n ！n n n －1n …2n 1n <2＋12！＋13！＋…1n ！<2＋11×2＋12×3＋…＋1n(n －1)＝2＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )＝3－1n <3.综上所述：2≤(1＋1n)n <3，其中n∈N *.(2)当n ＝0，n ＝1时33n－26n －1＝0，显然33n－26n －1可被676整除．当n≥2时，33n－26n －1＝27n－26n －1＝(1＋26)n－26n －1＝1＋26n ＋C 2n ·262＋…＋C nn ·26n－26n －1＝C 2n ·262＋C 3n ·263＋…＋C nn 26n＝676(C 2n ＋26C 3n ＋…＋26n －2C nn)．综上所述：对任意非负整数n,33n－26n －1可被676整除．点评：用二项式定理解决整除问题是二项式定理的一大特色，这是二项展开式的一种基本应用，通过对二项式的拆解，我们可以解决一些看似很难但易解决的问题．[巩固练习]m ，n 是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x 的系数为7， (1)试求f(x)中的x 2的系数的最小值；(2)对于使f(x)中的x 2的系数为最小的m ，n ，求出此时x 3的系数； (3)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)． 解：根据题意得：C 1m ＋C 1n ＝7，即m ＋n ＝7.(*)(1)x 2的系数为C 2m＋C 2n＝m(m －1)2＋n(n －1)2＝m 2＋n 2－m －n2.将(*)变形为n ＝7－m 代入上式得：x 2的系数为m 2－7m ＋21＝(m －72)2＋354.故当m ＝3或4时，x 2的系数的最小值为9.(2)当m ＝3，n ＝4或m ＝4，n ＝3时，x 3的系数为C 33＋C 34＝5. (3)f(0.003)≈2.02.类型四：二项式系数的最大值、系数的最大值问题 例4求(x －1)9的展开式中系数最大的项．思路分析：二项式系数最大的项我们可以根据公式求解，但是系数最大的项怎么求呢？观察此题中二项式系数与系数之间的关系，我们发现它们只不过相差一个负号而已，所以可以通过二项式系数的大小反映系数的大小，只不过要注意正负号．解：T r ＋1＝(－1)r C r 9x 9－r .∵C 49＝C 59＝126，而(－1)4＝1，(－1)5＝－1，∴T 5＝126x 5是所求系数最大的项．点评：此类问题仍然是利用二项展开式的通项公式来求解，但在解题过程中要注意一些常用方法和数学思想的应用．[巩固练习] 求(x ＋124x)8展开式中系数最大的项．解：记第r 项系数为T r ，设第k 项系数最大，那么有⎩⎪⎨⎪⎧T k ≥T k －1，T k ≥T k ＋1，又T r ＝C r －182－r ＋1，那么有⎩⎪⎨⎪⎧C k －182－k ＋1≥C k －282－k ＋2，C k －182－k ＋1≥C k 82－k ，即⎩⎪⎨⎪⎧8！(k －1)！(9－k)！≥8！(k －2)！(10－k)！×2，8！(k －1)！(9－k)！×2≥8！k ！(8－k)！，∴⎩⎪⎨⎪⎧1k －1≥2k －2，29－k ≥1k .解得3≤k≤4，∴系数最大的项为第3项T 3＝7x 52和第4项T 4＝7x 72.类型五：二项式系数之和、系数之和等问题例5假设(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，那么(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值等于__________；思路分析：注意到与系数的和差有关，所以可以用赋值法求得奇数项的系数之和与偶数项的系数之和，注意使用平方差公式．解：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(3－2)4，由此可得(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)＝[(3＋2)(3－2)]4＝1.点评：在二项式系数的性质应用中，尤其是系数和的问题，我们经常使用赋值法，这是一种奇妙的方法，可以帮助我们在不用计算每一个系数的前提下，求出各个系数的和．[巩固练习](1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7， 求(1)a 0＋a 1＋…＋a 7的值；(2)a 0＋a 2＋a 4＋a 6及a 1＋a 3＋a 5＋a 7的值； (3)各项二项式系数和．解：(1)令x ＝1，那么a 0＋a 1＋…＋a 7＝－1.(2)令x ＝－1，那么a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝2 187. 那么a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094；a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093. (3)各项二项式系数和C 07＋C 17＋…＋C 77＝27＝128. [拓展实例]例1(1＋3x)6(1＋14x)10的展开式中的常数项为( )A．1 B．46 C．4 245 D．4 246思路分析：对于非一般的二项式问题，要注意转化成二项式问题解决．此题虽然有两个式子相乘，只要我们写出整个式子的通项，令指数为0，即可求得常数项．解：先求(1＋3x)6的展开式中的通项．T r＋1＝C r6(x13)r＝C r6xr3，r＝0,1,2,3,4,5,6.再求(1＋14x )10的展开式中的通项．T k＋1＝C k10(x－14)k＝C k10x－k4，k＝0,1,2,3,4，…，10.两通项相乘得：C r6x r3C k10x－k4＝C r6C k10xr3－k4，令r3－k4＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.点评：对于乘积的式子或者三项的式子的展开问题，我们可以通过化归思想，将其转化成二项展开式问题．要注意此题中，常数项的位置有三处．[巩固练习](1＋x＋x2)(x＋1x3)n的展开式中没有．．常数项，n∈N*，且2≤n≤8，那么n＝______.解析：依题意(x＋1x3)n，对n∈N*，且2≤n≤8中，只有n＝5时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与x、x2乘积为常数的项．故填5.答案：5[变练演编](1)对于9100你能编出什么样的整除问题？如9100被________整除的余数是________．(2)(2x2－1x)6的展开式中的常数项是第____________项，整数项是第______________项，x的最高次项是第______________项，二项式系数之和是______________，系数之和是______________．将你能得到的所有正确的答案一一列举出来．答案：(1)这是一个开放性的问题，学生可以有多种答案，比如说9100被8整除的余数是1,9100被80整除的余数是1等等．(2)T r ＋1＝C r6(2x 2)6－r(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 12－3r .依题意12－3r ＝0，解得r ＝4，所以常数项是第5项；整数项是第1,2,3,4,5项；x 的最高次项是第1项；二项式系数之和为64；系数之和为1.设计意图：变练演编——这种开放性的设计，能够有效地提高学生学习的积极性，使得编题不仅仅是老师的专利，学生在编题解题的过程中，领悟知识，提高能力，增长兴趣，增强信心，不仅有助于训练同学们的常规思维，还能培养同学们的逆向思维，最终提高学生的数学成绩．[达标检测] 1．(x －13x)12展开式中的常数项为( )A ．－1 320B ．1 320C ．－220D ．220 2．(1－x)6(1＋x)4的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．4 3．假设(1－2x)2 005＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 005x2 005(x∈R )，那么(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 005)＝________(用数字作答)．答案：1.C 2.B 3.2 003反考老师：即由学生出题，教师现场解答(约8分钟)．(活动设计：请学生到黑板板书题目，要求别太烦琐，且与本节习题课内容相符．一般不多于3道题，教师尽可能全部解答，具体解答数目视题目难度和时间而定．教师要边做边讲，以向学生现场展示解题思路的发现过程和解题能力．做完后，请学生给“阅卷〞)课堂小结活动设计：先给学生1～2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，例题、题目类型、解题规律等；然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络，思想方法，解题规律等．活动成果：(板书)1．知识收获：二项式定理、二项展开式、二项式系数的性质．2．方法收获：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题． 3．思维收获：合作意识，创新精神，增加了学习数学的积极性，提升学习数学的兴趣． 设计意图：通过学生自己总结所学、所识、所想，不但能充分表达新课程的理念，还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁〞精神，真正表达了学生的主体地位．不仅可以使学生更好地掌握本节所学，而且还能提高学生学习的主动性，提高学生学习数学的兴趣，久而久之，学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高！补充练习[基础练习]1．计算1－3C 1n ＋9C 2n －27C 3n ＋…＋(－1)n 3n C nn . 2．(x ＋1x －2)3的展开式中，常数项是________．3．(3x －13x2)n ，n∈N *的展开式中各项系数和为128，那么展开式中1x3的系数是( )A ．7B ．－7C ．21D ．－21 4．求(x －13x)10的展开式中有理项共有________项．1．解：原式＝C 0n ＋C 1n (－3)1＋C 2n (－3)2＋C 3n (－3)3＋…＋C 3n (－3)n＝(1－3)n＝(－2)n. 2．解析：(x ＋1x －2)3＝[(x －1)2x ]3＝(x －1)6x 3. 上述式子展开后常数项只有一项C 36x3－13x3，即－20.3．解析：由条件可得：(3－1)n＝128，n ＝7. ∵T r ＋1＝(－1)r C r7(3x)7－r(13x2)r ＝(－1)r C r 737－rx7－53r.令7－5r3＝－3，那么有：r ＝6.所以二项展开式中1x 3的系数是：T 7＝(－1)6C 6737－6＝21，应选C.4．解析：∵T r ＋1＝C r10(x)10－r(－13x)r ＝C r 10(－1)rx5－56r.∴当r ＝0,6时，所对应的项是有理项．故展开式中有理项有2项． [拓展练习]5．(1＋kx 2)6(k 是正整数)的展开式中，x 8的系数小于120，那么k ＝____________. 6．设n∈N ，那么C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1＝____________.5．解析：(1＋kx 2)6按二项式定理展开的通项为T r ＋1＝C r6(kx 2)r＝C r 6k r x 2r，我们知道x 8的系数为C 46k 4＝15k 4，即15k 4<120，也即k 4<8，而k 是正整数，故k 只能取1.6．解：C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1＝16C 0n ＋C 1n ＋C 2n 6＋…＋C n n 6n －1－16C 0n ＝16(C 0n ＋C 1n 6＋C 2n 62＋…＋C n n 6n －1)＝16[(1＋6)n－1]＝16(7n －1)．设计说明二项式定理的内容，是各地高考中经常要考查的内容之一，其形式主要是选择题和填空题，题型往往相对稳定，思路方法常常是利用二项展开式的通项公式、二项式系数的有关性质等．常见的二项式问题有：求二项展开式中某一项或某一项的系数，求所有项系数的和或奇(偶)数项系数和，求展开式的项数，求常数项，求近似值，证明不等式等．实际教学的过程中，要努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生发挥其创造意识，以使他们能在创造的氛围中学习．二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式．二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系．掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习、深化作用，又可以为进一步学习概率统计做好必要的知识储备．所以有必要掌握好二项式定理的相关内容．备课资料 二项式定理 同步练习选择题1．C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，那么n 等于( )word11 / 11 A ．14 B ．12 C ．13 D ．152．C 0n ＋3C 1n ＋9C 2n …＋3n C nn 的值等于( )A ．4nB ．3·4n C.4n 3－1 D.4n－133．C 111＋C 311＋…＋C 911的值为( )A ．2 048B ．1 024C ．1 023D ．5124．(x ＋1)(2x ＋1)(3x ＋1)……(nx＋1)展开式中x 的一次项系数为( )A ．C n －1nB ．C 2nC ．C 2n ＋1D ．不能用组合数表示5．设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…a 2n x 2n，那么a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n 等于 …() A ．22n B ．3n C.3n －12 D.3n＋126．假设n 是正奇数，那么7n ＋C 1n 7n －1＋C 2n 7n －2＋…C n －1n 7被9除的余数为( )A ．2B ．5C ．7D ．87．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10展开式中x 4的系数为( )A ．C 511 B ．C 411 C ．C 510D ．C 410填空题8．(a ＋b)n 展开式中第r 项为__________．9．11100－1的末位连续零的个数为__________．参考答案1．A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.A5．提示：令x ＝1即可．8．T r ＝C r －1n a n ＋1－rb r －19．3。
1.3.1 二项式定理1．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *) (1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n的二项式的展开式，展开式中一共有____项．(3)二项式系数：各项的系数__(k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数． 2．二项展开式的通项(a ＋b )n展开式中第k ＋1项____________(k ∈{0,1,2，…，n })称为二项展开式的通项． 预习交流(1)二项展开式的特点有哪些？(2)(x ＋1)n的展开式共有11项，则n 等于( )． A ．9 B ．10 C ．11 D ．12(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 7的展开式中第3项的二项式系数为__________，第6项的系数为__________，x 的次数为5的项为__________．答案：1．(2)n ＋1 (3)C kn2．T k ＋1＝C k n a n －k b k预习交流：(1)提示：①项数：n ＋1项；②指数：字母a ，b 的指数和为n ，字母a 的指数由n 递减到0，同时b 的指数由0递增到n ；③通项公式T r ＋1＝C r n a n －r b r指的是第r ＋1项，不是第r 项；④某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念，C rn 叫做二项式系数，而某一项的系数是指此项中除字母外的部分，如(1＋2x )3的二项展开式中第3项的二项式系数为C 23＝3，而该项的系数为C 23·22＝12.(2)提示：B(3)提示：21 －84 －448x 5一、二项式定理的直接应用求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式．思路分析：直接利用二项式定理处理是基本的方法．但考虑到处理起来比较复杂，因此可以考虑将原式变形后再展开．化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．熟记二项式(a ＋b )n的展开式，是解决此类问题的关键，我们在解较复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．二、二项展开式中特定项(项的系数)的计算1．(2011山东高考，理14)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为__________．思路分析：利用二项式定理的通项公式求出不含x 的项即可．2．(2011天津高考，理5)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )．A ．－154B ．154C ．－38D ．38思路分析：利用二项展开式的通项公式求．1．(2011陕西高考，理4)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )． A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．202．(2011广东高考，理10)x ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数是________．(用数字作答)求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项T k ＋1＝C k n an －k b k的特点，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0,1,2，…，n )．(1)第m 项：此时k ＋1＝m ，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解． 三、二项式定理的应用(整除问题)试判断7777－1能否被19整除．思路分析：由于76是19的倍数，可将7777转化为(76＋1)77用二项式定理展开．证明：32n ＋2－8n －9是64的倍数．用二项式定理解决a n＋b 整除(或余数)问题时，一般需要将底数a写成除数m 的整数倍加上或减去r (1≤r ＜m )的形式，利用二项展开式求解．答案：活动与探究1：解法1：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋C 14(3x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44(3x )0⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.解法2：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝3x ＋14x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.迁移与应用：解：原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－1＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.活动与探究2：1.4 解析：由二项式定理可知T r ＋1＝C r 6x 6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x 2r ＝C r 6(－a )r x 6－3r， 令6－3r ＝0，得r ＝2，∴T 3＝C 26(－a )2＝60. ∴15a ＝60.∴a ＝4.2．C 解析：设含x 2的项是二项展开式中第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 26－r·⎝⎛⎭⎪⎫－2x r＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫126－r (－2)r x 3－r.令3－r ＝2，得r ＝1.∴x 2的系数为C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫125(－2)＝－38.迁移与应用：1.C 解析：设第r ＋1项为常数项，T r ＋1＝C r 622x (6－r )(－2－x )r ＝(－1)r ·C r 6212x －2rx －rx， ∴12x －3rx ＝0， ∴r ＝4.∴常数项为T 5＝(－1)4C 46＝15.2．84 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的通项T r ＋1＝C r 7x 7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 7x 7－2r.令7－2r ＝3得r ＝2.因而⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7展开式中含x 3项的系数为(－2)2·C 27＝4×7×62＝84.故x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数为84.活动与探究3：解：7777－1＝(76＋1)77－1＝7677＋C 177·7676＋C 277·7675＋…＋C 7677·76＋C 7777－1＝76(7676＋C 1777675＋C 2777674＋…＋C 7677)．由于76能被19整除，因此7777－1能被19整除．迁移与应用：证明：∵32n ＋2－8n －9 ＝9n ＋1－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9 ＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82＋C nn ＋1·8＋1－8n －9＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82＋8(n ＋1)＋1－8n －9＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82＝(8n －1＋C 1n ＋1·8n －2＋…＋C n －1n ＋1)·64，故32n ＋2－8n －9是64的倍数．1.⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 16的二项展开式中第4项是( )． A ．C 216x 12B ．C 316x 10 C ．－C 316x 10D ．C 416x 82．(2012天津高考，理5)在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为( )．A ．10B ．－10C ．40D ．－403．(2012山东省实验中学诊断，理6)二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 10的展开式中的常数项是( )．A ．第10项B ．第9项C ．第8项D ．第7项4．(2012湖南高考，理13)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)5．在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有__________项． 6．(1－x )4·(1－x )3的展开式中x 2的系数是__________．答案：1．C 解析：展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 16·(x )16－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 16·x 16－2r ， ∴第4项为T 4＝(－1)3C 316·x 10＝－C 316x 10. 2．D 解析：T r ＋1＝C r5(2x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 25－r C r 5x 10－3r ，∴当10－3r ＝1时，r ＝3.∴(－1)325－3C 35＝－40.3．B 解析：展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x 20－2r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝2r C r 10·x 20－5r 2，令20－5r 2＝0，得r ＝8.∴常数项为第9项．4．－160 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 626－r x 3－r .当3－r ＝0时，r ＝3.故(－1)3C 3626－3＝－C 3623＝－160.5．6 解析：∵T r ＋1＝3r4C r 20x20－r y r(r ＝0,1,2，…，20)的系数为有理数，∴r ＝0,4,8,12,16,20，共6项．6．－6 解析：展开式中的x 2项为C 14·(－x )1·C 23·(－x )2＋C 24(－x )2C 03＝－6x 2.。
第一章：计数原理一、两个计数原理3、两个计数原理的区别二、排列与组合1、排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2、排列数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。
用符号 表示.3、排列数公式： 其中4、组合：一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
5、组合数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。
用符号 表示。
6、组合数公式：其中注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.7、性质：m n A mn A ()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---= .,,*n m N m n ≤∈并且m n C ()()()()!!!!121m n m n m m n n n n C mn -=+---=.,,*n m N m n ≤∈并且m n n m n C C -=mn m n m n C C C 11+-=+三、二项式定理如果在二项式定理中，设a=1,b=x，则可以得到公式：2、性质：02413512nn n n n n nC C C C C C-=+++=+++=奇数项二项式系数和偶数项二项式系数和：注意事项：相邻问题，常用“捆绑法”不相邻问题，常用“插空法”巩固训练：1、有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：（1）男甲排在正中间；（2）男甲不在排头，女乙不在排尾；（3）三个女生排在一起；（4）三个女生两两都不相邻；2、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（）3、(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?4、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?5、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？6、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？7、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种?8、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？9、求值与化简：1055845635425215222221)1(⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+CCCCC求值：。
第1讲计数原理二项式定理计数原理是组合数学中的一个重要分支，它研究的是对一些数量进行计数的方法和原理。
而二项式定理是计数原理的一个经典定理，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
二项式定理是由法国数学家帕斯卡在17世纪提出的，他是计数原理的奠基人之一、二项式定理的具体内容是指出了如何求一个二项式的n次方。
一个n次方的二项式可以表示为(a+b)^n，其中a和b是任意常数。
二项式定理告诉我们可以通过展开这个二项式，得到它的展开式。
(a+b)^n的展开式的一般形式是：(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n)b^n其中C(n,0),C(n,1),C(n,2),...,C(n,n)被称为组合数，它表示从n 个元素中取k个元素的组合数。
组合数的计算可以借助计数原理中的排列组合问题来解决。
组合数C(n,k)的计算公式为：C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)其中n!表示n的阶乘，k!表示k的阶乘。
阶乘是一个非常重要的数学概念，它表示从1到一些正整数的连乘积。
阶乘的计算可以通过递归或迭代的方式进行。
二项式定理通过组合数的计算，将一个n次方的二项式展开为多个项的和，其中每个项都包含了a和b的不同次数的幂。
这个展开式的应用非常广泛，几乎涉及到了所有领域的数学问题。
在代数中，二项式定理可以求解多项式的展开式，简化复杂表达式的计算。
在概率论中，二项式定理可以用来计算事件的可能性，求解二项分布等概率分布。
在组合数学中，二项式定理可以用来计算组合数，求解排列组合问题。
总之，二项式定理是计数原理中的一个重要定理，它通过组合数的计算，将一个n次方的二项式展开为多个项的和。
二项式定理的应用涉及到了代数、概率论、组合数学等多个领域。
深入理解和掌握二项式定理，对于推导和解决各种数学问题都具有重要意义。
