高考数学 考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、

高考数学知识点：排列与组合知识总结陈列组合与二项式定理知识点1.计数原理知识点①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM 〔分步〕②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM 〔分类〕2. 陈列〔有序〕与组合〔无序〕Anm=n〔n-1〕〔n-2〕〔n-3〕-…〔n-m+1〕=n！/〔n-m〕！ Ann =n！Cnm = n！/〔n-m〕！m！Cnm= Cnn-mCnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k k！=〔k+1〕！-k！3.陈列组合混合题的解题原那么：先选后排，先分再排陈列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再思索其他元素。

以位置为主思索，即先满足特殊位置的要求，再思索其他位置。

捆绑法〔集团元素法，把某些必需在一同的元素视为一个全体思索〕插空法〔处置相间效果〕直接法和去杂法等等在求解陈列与组合运用效果时，应留意：〔1〕把详细效果转化或归结为陈列或组分解绩；〔2〕经过火析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；〔3〕剖析标题条件，防止〝选取〞时重复和遗漏；〔4〕列出式子计算和作答。

经常运用的数学思想是：①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想。

4.二项式定理知识点：①〔a+b〕n=Cn0ax+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+ Cnran-rbr+-…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn特别地：〔1+x〕n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m最大二项式系数在中间。

〔要留意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项〕一切二项式系数的和：Cn0+Cn1+Cn2+ Cn3+Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和Cn0+Cn2+Cn4+ Cn6+ Cn8+...=Cn1+Cn3+Cn5+ Cn7+ Cn9+ (2)-1③通项为第r+1项：Tr+1= Cnran-rbr 作用：处置与指定项、特定项、常数项、有理项等有关效果。

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布1.计数原理(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题．(2)理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．(3)理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．(4)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．2．概率(1)事件与概率①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．②了解两个互斥事件的概率加法公式．(2)古典概型①理解古典概型及其概率计算公式．②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．(3)随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．②了解几何概型的意义．3．概率与统计(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列．(2)了解超几何分布，并能进行简单应用．(3)了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念；理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单问题．(4)理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题．(5)借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．10．1两个计数原理、排列与组合1．分类加法计数原理完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝________________种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝____________种不同的方法．3．两个计数原理的区别分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法______________，用其中______________都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法______________，只有______________才算做完这件事．4．两个计数原理解决计数问题时的方法最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——是需要分类还是需要分步．(1)分类要做到“______________”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“______________”，即完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要______________，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．5．排列(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照____________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号______表示．(3)排列数公式：A m n＝________________________.这里n，m∈N*，并且________．(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个____________，叫做n个元素的一个全排列．A n n＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝__________，因此，排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝，这里规定0！＝________.6．组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的____________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示．(3)组合数公式：C m n＝A m nA m m＝____________＝____________．这里n∈N*，m∈N，并且m≤n.(4)组合数的两个性质：①C m n＝____________；②C m n＋1＝____________＋____________.自查自纠1．m1＋m2＋…＋m n2．m1×m2×…×m n3．相互独立任何一种方法互相依存各个步骤都完成4．(1)不重不漏(2)步骤完整相互独立5．(1)一定的顺序(2)所有不同排列A m n(3)n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m≤n(4)排列n！n！（n－m）！16．(1)合成一组(2)所有不同组合C m n(3)n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！n ！m ！（n －m ）！(4)①C n －mn ②C m n C m －1n(2016·郑州模拟)某项测试要过两关，第一关有3种测试方案，第二关有5种测试方案，某人参加该项测试，不同的测试方法种数为( )A ．8B ．15C ．125D ．243 解：由分步计数原理知所求为3×5＝15.故选B.某校学生会由高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人组成，现要选择不同年级的两名成员参加市里组织的活动，则共有选法( )A ．27种B ．33种C ．36种D ．81种解：由两个计数原理知，所求为3×3＋3×4＋3×4＝33(种)．故选B.(2016·四川)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) A ．24 B ．48 C ．60 D ．72解：由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有C 13种方法，再将剩下的四个数字排列有A 44种方法，则满足条件的五位数有C 13A 44＝72个．故选D.(2017河南五校质量监测改编)6名同学排成一排照相，甲不站两端，则不同的站法有________种．解：所求为A 14A 55＝480种．故填480.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有____________种．解：按A →B →C →D 顺序分四步涂色，共有4×3×2×2＝48(种)．故填48.类型一 分类与分步的区别与联系甲同学有若干本课外参考书，其中有5本不同的数学书，4本不同的物理书，3本不同的化学书．现在乙同学向甲同学借书，试问：(1)若借一本书，则有多少种不同的借法？ (2)若每科各借一本，则有多少种不同的借法？ (3)若借两本不同学科的书，则有多少种不同的借法？解：(1)因为需完成的事情是“借一本书”，所以借给他数学、物理、化学书中的任何一本，都可以完成这件事情．故用分类计数原理，共有5＋4＋3＝12(种)不同的借法．(2)需完成的事情是“每科各借一本书”，意味着要借给乙三本书，只有从数学、物理、化学三科中各借一本，才能完成这件事情．故用分步计数原理，共有5×4×3＝60(种)不同的借法．(3)需完成的事情是“从三种学科的书中借两本不同学科的书”，要分三种情况：①借一本数学书和一本物理书，只有两本书都借，事情才能完成，由分步计数原理知，有5×4＝20(种)借法；②借一本数学书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有5×3＝15(种)借法；③借一本物理书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有4×3＝12(种)借法．而上述的每一种借法都可以独立完成这件事情，由分类计数原理知，共有20＋15＋12＝47(种)不同的借法．【点拨】仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键．两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关．如果完成一件事有n 类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n 个步骤，缺一不可，即需要依次完成n 个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理．电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的50位观众的来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封．现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两箱剩下来信中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果？解：①幸运之星在甲箱中抽取，选定幸运之星，再在两箱内各抽一名幸运观众，根据分步计数原理有30×29×20＝17 400种结果．②幸运之星在乙箱中抽取，有20×19×30＝11 400种结果． 根据分类计数原理共有不同结果17 400＋11 400＝28 800(种)．类型二 排列数与组合数公式(1)解方程3A x 8＝4A x －19；(2)解方程C x ＋1x ＋3＝C x －1x ＋1＋C x x ＋1＋C x －2x ＋2.解：(1)利用3A x 8＝38！（8－x ）！，4A x －19＝49！（9－x ＋1）！， 得到3×8！（8－x ）！＝4×9！（10－x ）！.利用(10－x )！＝(10－x )(9－x )(8－x )！，将上式化简后得到(10－x )(9－x )＝4×3. 再化简得到x 2－19x ＋78＝0.解方程得x 1＝6，x 2＝13.由于A x 8和A x －19有意义，所以x 满足x ≤8和x －1≤9.于是将x 2＝13舍去，原方程的解是x ＝6.(2)由组合数的性质可得C x －1x ＋1＋C x x ＋1＋C x －2x ＋2＝C 2x ＋1＋C 1x ＋1＋C 4x ＋2＝C 2x ＋2＋C 4x ＋2， 又C x ＋1x ＋3＝C 2x ＋3，且C 2x ＋3＝C 2x ＋2＋C 1x ＋2， 即C 1x ＋2＋C 2x ＋2＝C 2x ＋2＋C 4x ＋2.所以C 1x ＋2＝C 4x ＋2，所以5＝x ＋2，x ＝3.经检验知x ＝3符合题意且使得各式有意义，故原方程的解为x ＝3.【点拨】(1)应用排列、组合数公式解此类方程时，应注意验证所得结果能使各式有意义．(2)应用组合数性质C m n ＋1＝C m －1n＋C m n 时，应注意其结构特征：右边下标相同，上标相差1；左边(相对于右边)下标加1，上标取大．使用该公式，像拉手风琴，既可从左拉到右，越拉越长，又可以从右推到左，越推越短．(1)解方程：3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x ； (2)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，则C m8＝____________． 解：(1)由3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x 得3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)， 由x ≠0整理得3x 2－17x ＋10＝0.解得x ＝5或23(舍去)．即原方程的解为x ＝5.(2)由已知得m 的取值范围为{m |0≤m ≤5，m ≤Z }，m ！（5－m ）！5！－m ！（6－m ）！6！＝7×（7－m ）！m ！10×7！，整理可得m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝21(舍去)或m ＝2.故C m 8＝C 28＝28.故填28.类型三 排列的基本问题5名男生、2名女生站成一排照相： (1)两名女生要在两端，有多少种不同的站法？ (2)两名女生都不站在两端，有多少种不同的站法？ (3)两名女生要相邻，有多少种不同的站法？ (4)两名女生不相邻，有多少种不同的站法？ (5)女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？ (6)女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？解：(1)两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排：A 22A 55＝240(种)； (2)中间的五个位置任选两个排女生，其余五个位置任意排男生：A 25A 55＝2 400(种)；(3)把两名女生当作一个元素，于是对六个元素任意排，然后解决两个女生的任意排列：A 66A 22＝1 440(种)； (4)把男生任意全排列，然后在六个空中(包括两端)有顺序地插入两名女生：A 55A 26＝3 600(种)； (5)七个位置中任选五个排男生问题就已解决，因为留下两个位置女生排法是既定的：A 57＝2 520(种)； (6)采用排除法，在七个人的全排列中，去掉女生甲在左端的A 66 个，再去掉女生乙在右端的A 66个，但女生甲在左端同时女生乙在右端的A 55 种排除了两次，要找回来一次．有A 77－2A 66＋A 55＝3 720(种)．【点拨】(1)有约束条件的排列问题一般有以下几种基本类型与方法：①特殊元素优先考虑；②对于相邻问题采用“捆绑法”，整体参与排序后，再考虑整体内容排序；③对于不相邻问题，采用“插空”法，先排其他元素，再将不相邻元素插入空档；④对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列数．(2)解题的基本思路通常有正向思考和逆向思考两种．正向思考时，通过分步、分类设法将问题分解；逆向思考时，从问题的反面入手，然后“去伪存真”．3名女生和5名男生排成一排． (1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？ (2)如果女生都不相邻，有多少种排法？ (3)如果女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？ (5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？解：(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A 66种排法，而其中每一种排法中，三个女生又有A 33种排法，因此共有A 66·A 33＝4 320(种)不同排法．(2)(插空法)先排5个男生，有A 55种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A 36种排法，因此共有A 55·A 36＝14 400(种)不同排法． (3)法一(位置分析法) 因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A 25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A 66种排法，因此共有A 25·A 66＝14 400(种)不同排法．法二(元素分析法) 从中间6个位置选3个安排女生，有A 36种排法，其余位置无限制，有A 55种排法，因此共有A 36·A 55＝14 400(种)不同排法． (4)8名学生的所有排列共A 88种，其中甲在乙前面与乙在甲前面各占其中的12，所以符合要求的排法种数为12A 88＝20 160(种)．(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．法一(特殊元素法) 甲在最右边时，其他的可全排，有A 77种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A 16种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任意一个上，有A 16种，其余人全排列，共有A 16·A 16·A 66种．由分类加法计数原理，共有A 77＋A 16·A 16·A 66＝30 960(种)．法二(特殊位置法) 先排最左边，除去甲外，有A 17种，余下7个位置全排，有A 77种，但应剔除乙在最右边时的排法A 16·A 66种，因此共有A 17·A 77－A 16·A 66＝30 960(种)．法三(间接法) 8个人全排，共A 88种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A 77种，乙在最右边时，有A 77种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A 66种．因此共有A 88－2A 77＋A 66＝30 960(种)．类型四 组合的基本问题课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)只有1名女生； (2)两队长当选； (3)至少有1名队长当选； (4)至多有2名女生当选； (5)既要有队长，又要有女生当选．解：(1)1名女生，4名男生，故共有C 15·C 48＝350(种)．(2)将两队长作为一类，其他11个作为一类，故共有C 22·C 311＝165(种)． (3)至少有1名队长当选含有两类：只有1名队长和2名队长．故共有：C 12·C 411＋C 22·C 311＝825(种)． 或采用间接法：C 513－C 511＝825(种)．(4)至多有2名女生含有三类：有2名女生、只有1名女生、没有女生，故选法为：C25·C38＋C15·C48＋C58＝966(种)．(5)分两类：第一类女队长当选：有C412种选法；第二类女队长不当选：有C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44种选法．故选法共有：C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790(种)．【点拨】①分类时不重不漏；②注意间接法的使用，在涉及“至多”“至少”等问题时，多考虑用间接法(排除法)；③应防止出现如下常见错误：如对(3)，先选1名队长，再从剩下的人中选4人得C12·C412≠825，请同学们自己找错因．从7名男同学和5名女同学中选出5人，分别求符合下列条件的选法总数为多少？(1)A，B必须当选；(2)A，B都不当选；(3)A，B不全当选；(4)至少有2名女同学当选；(5)选出3名男同学和2名女同学，分别担任体育委员、文娱委员等五种不同的工作，但体育委员必须由男同学担任，文娱委员必须由女同学担任．解：(1)只要从其余的10人中再选3人即可，有C310＝120(种)．(2)5个人全部从另外10人中选，总的选法有C510＝252(种)．(3)直接法，分两类：A，B一人当选，有C12C410＝420(种)．A，B都不当选，有C510＝252(种)．所以总的选法有420＋252＝672(种)．间接法：从12人中选5人的选法总数中减去从不含A，B的10人中选3人(即A，B都当选)的选法总数，得到总的选法有C512－C310＝672(种)．(4)直接法，分四步：选2名女生，有C25C37＝10×35＝350(种)；选3名女生，有C35C27＝210(种)；选4名女生，有C45C17＝35(种)；选5名女生，有C55＝1(种)．所以总的选法有350＋210＋35＋1＝596(种)．间接法：从12人中选5人的选法总数中减去不选女生与只选一名女生的选法数之和，即满足条件的选法有C512－(C57＋C15C47)＝596(种)．(5)分三步：选1男1女分别担任体育委员、文娱委员的方法有C17C15＝35(种)；再选出2男1女，补足5人的方法有C26C14＝60(种)；最后为第二步选出的3人分派工作，有A33＝6(种)方法．所以总的选法有35×60×6＝12 600(种)．类型五分堆与分配问题按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本； (5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本； (7)甲得1本，乙得1本，丙得4本． 解：(1)无序不均匀分组问题．先选1本，有C 16种选法；再从余下的5本中选2本，有C 25种选法；最后余下3本全选，有C 33种选法． 故共有C 16C 25C 33＝60(种)．(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有C 16C 25C 33A 33＝360(种)． (3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是C 26C 24C 22种方法，但是这里出现了重复．不妨记六本书为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记该种分法为(AB ，CD ，EF )，则C 26C 24C 22种分法中还有(AB ，EF ，CD )，(CD ，AB ，EF )，(CD ，EF ，AB )，(EF ，CD ，AB )，(EF ，AB ，CD )，共有A 33种情况，而这A 33种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C 26C 24C 22A 33＝15(种)．(4)有序均匀分组问题．在(3)的基础上再分配给3个人，共有分配方式C 26C 24C 22A 33·A 33＝C 26C 24C 22＝90(种)． (5)无序部分均匀分组问题．共有C 46C 12C 11A 22＝15(种)．(6)有序部分均匀分组问题． 在(5)的基础上再分配给3个人，共有分配方式C 26C 12C 11A 22·A 33＝90(种)． (7)直接分配问题．甲选1本，有C 16种方法；乙从余下的5本中选1本，有C 15种方法，余下4本留给丙，有C 44种方法，故共有分配方式C 16C 15C 44＝30(种)．【点拨】平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列．分堆到位相当于分堆后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法数为：平均分堆到指定位置堆数的阶乘.对于分堆与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不同的(像“名额”等则是相同元素，不适用)，位置也应是不同的(如不同的“盒子”)；③分堆时要注意是否均匀，如6分成(2，2，2)为均匀分组，分成(1，2，3)为非均匀分组，分成(4，1，1)为部分均匀分组．(1)6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有____________种不同的分派方法．解：先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90种分派方法．故填90.(2)(2015·广州调研)有4名优秀学生A ，B ，C ，D 全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有____________种．解：先把4名学生分为2、1、1的3组，有C 24C 12C 11A 22＝6种分法，再将3组分到3个学校，有A 33＝6种情况，则共有6×6＝36种不同的保送方案．故填36.(3)(2015·江西模拟改编)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有____________种不同的分法．解：将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C 16种取法； 第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C 25种取法； 第3步，余下的3名教师作为一组，有C 33种取法．6名教师分组共有C 16C 25C 33＝60种取法．再把这3组教师分配到3所中学，有A 33＝6种分法， 因此共有60×6＝360种不同的分法．故填360.类型六 数字排列问题用0，1，2，3，4，5这6个数字． (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)? 解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类： 第一类：0在个位时，有A 35个；第二类：2在个位时，千位从1，3，4，5中选定一个(A 14种)，十位和百位从余下的数字中选，有A 24种，于是有A 14·A 24个； 第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A 14·A 24个． 由分类加法计数原理得，共有A 35＋2A 14·A 24＝156(个)．(2)先排0，2，4，再让1，3，5插空，总的排法共A 33·A 34＝144(种)，其中0在排头，将1，3，5插在后三个空的排法共A 22·A 33＝12(种)，此时构不成六位数， 故总的六位数的个数为A 33·A 34－A 22·A 33＝144－12＝132(种)． 【点拨】本例是有限制条件的排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意题中隐含条件0不能在首位．(2015·山西模拟改编)用五个数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的自然数，问： (1)四位数有几个？(2)比3 000大的偶数有几个？解：(1)首位数字不能是0，其他三位数字可以任意，所以四位数有C 14A 34＝96个．(2)比3 000大的必是四位数或五位数． (Ⅰ)若是四位数，则首位数字必是3或4.①若4在首位，则个位数字必是0或2，有C 12A 23个数， ②若3在首位，则个位数字必是0或2或4，有C 13A 23个数，所以比3 000大的四位偶数有C12A23＋C13A23＝30个．(Ⅱ)若是五位数，则首位数字不能是0，个位数字必是0或2或4，①若0在个位，则有A44个；②若0不在个位，则有C12C13A33个数，所以比3 000大的五位偶数有A44＋C12C13A33＝60个．故比3 000大的偶数共有30＋60＝90个．1．解答计数应用问题的总体思路根据完成事件所需的过程，对事件进行整体分类，确定可分为几大类，整体分类以后，再确定在每类中完成事件要分几个步骤，这些问题都弄清楚了，就可以根据两个基本原理解决问题了，此外，还要掌握一些非常规计数方法，如：(1)枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于种数较少且计数对象不规律的情况；(2)转换法：转换问题的角度或转换成其他已知问题；(3)间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，则可考虑利用正难则反的策略，先计算其反面情形，再用总数减去即得．2．排列与组合的区别与联系排列、组合之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行全排列，因此，分析解决排列问题的基本思路是“先选，后排”．3．解排列、组合题的基本方法(1)限制元素(位置)优先法：①元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；②位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置．(2)正难则反排异法：有些问题，正面考虑情况复杂，可以反面入手把不符合条件的所有情况从总体中去掉．(3)复杂问题分类分步法：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或分成若干步，再由分步乘法计数原理解决．在解题过程中，常常既要分类，也要分步，其原则是先分类，再分步．(4)相离问题插空法：某些元素不能相邻或要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．(5)相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”作全排列，最后再“松绑”——将“捆绑”元素在这些位置上作全排列．(6)相同元素隔板法：将n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里，要求每个盒子里至少有一个小球的放法，等价于种放法．这是针对相同元素的将n个相同小球串成一串，从间隙里选m－1个结点，剪截成m段，共有C m－1n－1组合问题的一种方法．(7)定序问题用除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数．4．解组合问题时应注意(1)在解组合应用题时，常会遇到“至少”“至多”“含”等词，要仔细审题，理解其含义．(2)关于几何图形的组合题目，一定要注意图形自身对其构成元素的限制，解决这类问题常用间接法(或排除法)．(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者则即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的．对于这类问题必须先分组后排列，若平均分m 组，则分法＝取法m ！.1．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A ．56B ．65 C.5×6×5×4×3×22D ．6×5×4×3×2解：因为每位同学均有5种讲座可供选择，所以6位同学共有5×5×5×5×5×5＝56种选法．故选A.2．A 32n ＝10A 3n ，n ＝( )A ．1B ．8C ．9D ．10解：原式等价于2n (2n －1)(2n －2)＝10n (n －1)(n －2)，n >3且n ∈N *，整理得n ＝8.故选B.3．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( ) A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种解：从中选出2名男医生的选法有C 26＝15种，从中选出1名女医生的选法有C 15＝5种，所以不同的选法共有15×5＝75种，故选C.4．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种解：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有C 24种方法，然后进行全排列A 33即可，由乘法原理，不同的安排方式共有C 24×A 33＝36种方法．故选D.5．(2016·郑州二模)某校开设A 类选修课2门；B 类选修课3门，一位同学从中选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有( )A ．3种B ．6种C ．9种D ．18种解：可分以下两种情况：①A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，有C 12C 23种不同选法；②A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，有C 22C 13种不同选法．所以根据分类加法计数原理知不同的选法共有：C 12C 23＋C 22C 13＝6＋3＝9(种)．故选C.6．(2017·江西新余第一中学调研)西部某县将7位大学生志愿者(4男3女) 分成两组， 分配到两所小学支教， 若要求女生不能单独成组， 且每组最多5人， 则不同的分配方案共有( ) A ．36种 B ．68种 C ．104种 D ．110种解：分组的方案有3、4和2、5两类，第一类有(C 37－1)A 22＝68(种)；第二类有(C 27－C 23)A 22＝36(种)，所以共有68＋36＝104种不同的方案．故选C.7．(2017·天津)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)解：本题分两类：一类是一个数字是偶数，三个数字是奇数的四位数有C 14C 35A 44＝960(个)，二类是四个数字都是奇数的四位数有A 45＝120(个)，所以共有1 080个．故填1 080.8．(2017·浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)解：第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C 48－C 46＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长，。

高考数学总复习计数原理、排列组合知识讲解高考总复习：计数原理、排列组合【考纲要求】1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.2．理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；能解决简单的实际问题.【知识网络】【考点梳理】要点一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2方案中有n种不同的方法。

那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。

要点诠释：如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中哪一种方法都能完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确定分类的标准，按照分类的原则进行，做到不重不漏。

2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。

要点诠释：如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理。

解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还分步，在应用分步乘法计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，即前一步用什么方法，不影响后一步采取什么方法，运用分步乘法计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取。

3．两个计数原理的综合应用（1）在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同应用计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成的，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求。

另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定。

解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分类的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步。

排列与组合计数原理与应用排列与组合是数学中的一种计数方法，用于解决物体排列和选择的问题。

在实际生活和工作中，我们常常遇到需要计算排列与组合的情况，比如排座位、摆放物品、选取人员等等。

掌握排列与组合的计数原理和应用，对我们解决这些问题非常有帮助。

一、排列计数原理排列是指从n个元素中选取r个元素进行排列，按照一定的顺序进行排列。

排列的计数公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，“!”表示阶乘运算，表示从1到该数之间所有正整数的乘积。

P(n,r)表示从n个元素中选取r个元素进行排列的结果。

举个例子来说明排列的计数原理。

假设有5个人（A、B、C、D、E）要排队，问有多少种不同的排队方式？我们可以使用排列的计数方法进行解答。

根据排列的计数公式，P(5,5) = 5! / (5-5)! = 5! / 0! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120所以，5个人有120种不同的排队方式。

二、组合计数原理组合是指从n个元素中选取r个元素进行组合，按照任意的顺序进行组合。

组合的计数公式为：C(n,r) = n! / (r! × (n-r)!)C(n,r)表示从n个元素中选取r个元素进行组合的结果。

举个例子来说明组合的计数原理。

假设有10个物品（编号为1、2、3、...、10），我们要从中选取3个物品，问有多少种不同的选取方式？我们可以使用组合的计数方法进行解答。

根据组合的计数公式，C(10,3) = 10! / (3! × (10-3)!) = 10! / (3! × 7!) = 10 × 9 × 8 / (3 × 2 × 1) = 120所以，从10个物品中选取3个物品有120种不同的选取方式。

三、排列与组合的应用排列与组合广泛应用于各个领域，如概率统计、密码学、计算机科学等。

以下是一些常见的应用场景：1. 抽签活动：假设有10个人参加抽奖活动，从中抽取3个人作为获奖者。

高考数学知识点解析排列组合的计数原理高考数学知识点解析：排列组合的计数原理在高考数学中，排列组合是一个重要且具有一定难度的知识点。

理解和掌握排列组合的计数原理对于解决相关问题至关重要。

排列组合的计数原理主要包括分类加法计数原理和分步乘法计数原理。

分类加法计数原理是指：完成一件事，如果有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m₁种不同的方法，在第 2 类办法中有 m₂种不同的方法……在第 n 类办法中有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m₁＋ m₂＋… ＋ mₙ 种不同的方法。

比如说，从甲地到乙地，有 3 趟火车，2 趟汽车，1 趟飞机。

那么从甲地到乙地一共有 3 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 6 种不同的交通方式可以选择。

分步乘法计数原理则是：完成一件事，如果需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m₁种不同的方法，做第 2 步有 m₂种不同的方法……做第n 步有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m₁ × m₂ × … × mₙ 种不同的方法。

举个例子，从 A 城市到 C 城市需要经过 B 城市中转，从 A 到 B 有3 条路可走，从 B 到 C 有 2 条路可走。

那么从 A 城市到 C 城市一共有3 × 2 ＝ 6 条不同的路线。

理解这两个计数原理的关键在于区分清楚“分类”和“分步”。

分类是指完成一件事情，每一类方法都能独立完成任务，各类方法之间相互独立，用加法计算；分步则是指完成一件事情，需要分多个步骤，每个步骤相互依存，缺一不可，用乘法计算。

在实际解题中，我们常常需要根据具体问题灵活运用这两个原理。

比如，在一个抽奖活动中，一等奖有 5 种奖品可选，二等奖有 8 种奖品可选。

如果一个人只能获得一个奖项，那么他能获得的奖品总数就是 5 ＋ 8 ＝ 13 种，这就是分类加法计数原理的应用。

再比如，一个密码由 6 位数字组成，每位数字可以是 0 到 9 中的任意一个。

排列与组合的计数原理排列与组合是数学中的一个重要的分支，它们都是计算不同元素的个数的方法。

排列与组合的计数原理是研究在给定条件下，对实验结果进行判断的数学方法。

本文将详细介绍排列与组合的计数原理，并通过实例加深理解。

一、排列的计数原理排列是指从给定的元素集合中选取若干个元素，按照一定的顺序进行排列。

在排列中，每个元素都有可能是选取的第一个元素、第二个元素等等，所以排列的个数是非常庞大的。

假设有n个元素（n>=1），从中选取r个元素进行排列，那么排列的个数可以表示为P(n,r)，其中P是排列的符号。

排列的计数原理可以用乘法原理来解释。

乘法原理指的是：如果一个事件的成功与各个阶段的选择有关，且每个阶段的选择数目都有限制，则这些阶段的选择数目相乘即可得到这一事件的总数目。

例如，从1到n的n个数字中选取r个数字，按照数字的先后顺序进行排列，那么排列的个数为P(n,r) = n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-r+1)。

接下来，我们通过一个实例来理解排列的计数原理。

实例：假设有8个人排队，其中有3个男性和5个女性，要求男性排在女性之前，请问有多少种排列方式？解：根据排列的计数原理，首先选取3个男性进行排列，共有P(3,3)种方式。

然后选取5个女性进行排列，共有P(5,5)种方式。

由于男性和女性之间的相对位置不变，所以男性和女性的排列个数是相互独立的。

根据乘法原理，男性和女性的排列总数为P(3,3) * P(5,5) = 3! * 5! = 6 * 120 = 720种排列方式。

二、组合的计数原理组合是指从给定的元素集合中选取若干个元素，不考虑其顺序。

相比于排列，组合的个数要少得多。

假设有n个元素（n>=1），从中选取r个元素进行组合，那么组合的个数可以表示为C(n,r)，其中C是组合的符号。

组合的计数原理可以用除法原理来解释。

除法原理指的是：如果一个事件的成功与各个阶段的选择有关，且每个阶段的选择数目都有限制，那么这些阶段的选择数目依次相除即可得到这一事件的总数目。

考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、二项式定理及应用1.（2010·湖北高考文科·Ｔ6）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )（A）65（B）56（C）5654322⨯⨯⨯⨯⨯（D）6543⨯⨯⨯⨯2【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查考生的逻辑推理能力．【思路点拨】因每名同学可自由选择其中的一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，由分步计数原理即可得出答案.【规范解答】选A.每名同学可自由选择5个讲座中的其中一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，因此共有65种不同选法.【方法技巧】本题每名同学可自由选择其中的一个讲座，故每位同学的选择都有5种，共有65种不同选法.若将“每名同学可自由选择其中的一个讲座”改为“每一个讲座都至少有一位同学去听”，它就是一个典型的不同元素的分组问题.利用“先分堆，再分配”的思想将6名同学分为5堆，再分给5个不同的讲座，有25651800C A=1 800种不同选法.2.（2010·湖北高考理科·Ｔ8）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）（A）152 （B）126 （C）90 （D）54【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查排列、组合知识的应用，考查考生的运算求解能力．【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作知，司机工作很特殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类：①司机只安排1人；②司机安排2人，然后将其余的人安排到其他三个不同的位置.【规范解答】选B.当司机只安排1人时，有123343C C A=108(种)；当司机安排2人时有2333C A=18(种).由分类计数原理知不同安排方案的种数是108+18=126（种）.【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加，因此属于不同元素的分组问题，解题时往往采用“先分堆，再分配”的办法.若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制，则甲、乙二人各有3种选择，丙、丁、戊各有4种选择，因此共有33444576⨯⨯⨯⨯=（种）安排方案.3.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种【命题立意】本题考查了排列、组合的知识.【思路点拨】运用先选后排解决，先从3个信封中选取一个放入标号为1，2的2张卡片，然后剩余的2个信封分别放入2张卡片.【规范解答】选B.标号为1，2的卡片放法有A 13种，其他卡片放法有2224CC种，所以共有A132224CC=18（种）.【方法技巧】先排列特殊元素是解决排列、组合问题的常用方法.4.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ6）某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种【命题立意】本题主要考查考生能否利用所学的加法原理、乘法原理以及排列、组合知识灵活地处理有关计数问题，能否结合具体问题确定恰当的分类标准，突出考查分类讨论的数学思想. 【思路点拨】解决本题可以采用直接法进行分类，也可采用间接法利用对立事件解决. 事件“两类课程中 各至少选一门”的对立事件是“全部选修A 和全部选修B ”.【规范解答】选A.方法一：可分以下2种情况:①A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有1234C C 种不同的选法；②A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有2134C C 种不同的选法.所以不同的选法共有1234C C +2134181230C C =+=（种）. 方法二：∵事件“两类课程中各至少选一门”的对立事件是“全部选修A 和全部选修B ”，∴两类课程中各至少选一门的种数为33373430C C C --=（种）. 【方法技巧】排列与组合的应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主考虑，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数. 前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法.5.（2010·四川高考文科·Ｔ9）由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1，2都不与5相邻的5位数的个数是（ ）(A)36 (B)32 (C)28 (D)24【命题立意】本题主要考查有限制条件的排列、组合问题，考查了学生利用所学知识解决实际问题的能力.【思路点拨】先排5，再排1,2.分两类：5在两端，1,2有三个位置可选择；5不在两端，1，2有 两个位置可选择.【规范解答】选A.如果5在两端，则1，2有三个位置可选，排法为2232224A A ⨯=（种）； 如果5不在两端，则1，2只有两个位置可选， 排法有2222312A A ⨯=（种），共计24+12=36（种）.【方法技巧】优先考虑特殊元素.复杂问题，分类求解.6.（2010·湖北高考理科·Ｔ8）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( )(A)152 (B)126 (C)90 (D)54【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查排列、组合知识的应用，考查考生的运算求解能力．【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作知，司机工作很特殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类：①司机只安排1人；②司机安排2人，然后将其余的人安排到其他三个不同的位置.【规范解答】选B.当司机只安排1人时，有123343C C A =108(种)；当司机安排2人时有2333C A =18(种).由分类计数原理知不同安排方案的种数是108+18=126(种).【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加，因此属于不同元素的分组问题，解题时往往采用“先分堆，再分配”的办法.若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制，则甲、乙二人各有3种选择，丙、丁、戊各有4种选择，因此共有33444576⨯⨯⨯⨯=(种)安排方案.7.（2010·重庆高考文科·Ｔ１0）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（）(A)30种(B)36种(C)42种(D)48种【命题立意】本题考查分类计数原理和分步计数原理，考查排列、组合的知识及其综合应用，考查分类讨论的思想方法.【思路点拨】先考虑特殊元素甲、乙，再安排其他员工.【规范解答】选C.（1）若甲、乙安排在同一天值班，则只能在15日值班，其余四人的值班安排方法有22 426C C=（种）.（2）若甲、乙不在同一天值班，则甲只能在15日或16日值班，若甲在16日值班，则有12244224C C C=（种）；若甲在15日值班，则乙只能在14日值班，共有11243212C C C=（种），所以共有6241242++=（种）.【方法技巧】本题用到分类讨论的方法，按照特殊元素和特殊位置进行讨论.8.（2010·四川高考理科·Ｔ10）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3都不与5相邻的六位偶数的个数是（）（A）72 （B）96 （C）108 （D）144【命题立意】本题主要考查了有限制条件的排列、组合问题，考查了学生利用所学知识解决实际问题的能力.【思路点拨】要得到偶数，第一步考虑，个位数字的选取，有3种选法；第二步考虑1，3相邻的问题，分两类：一类是1，3相邻，且都不与5相邻，另一类1,3,5均不相邻.【规范解答】选C.第一步：由于是组成一个6位的偶数，那么尾数就应该是在2，4，6中选，有13C种方法.第二步：又因为1，3不与5相邻，将其分为两类：①先将剩下的2个偶数排好有22A种排法，1和3捆绑，再与5插空有2232A A⋅种插法，共有222232A A A⋅⋅种排法；②先将剩下的2个偶数排好有22A种排法，把1，3，5插空，有33A种插法，共有3232A A⋅种排法,故符合题意的所有偶数有1222323223[]108C A A A A⋅⋅+⋅=3232A A180（个）.【方法技巧】相邻问题，捆绑排列；不相邻问题，插空排列;复杂问题，分类讨论.9.（2010·重庆高考理科·Ｔ9）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）（A）504种（B）960种（C）1 008种（D）1 108种【命题立意】本题考查分类计数原理和分步计数原理，考查排列、组合的知识及其综合应用，考查分类讨论的思想方法.【思路点拨】先安排甲、乙，再考虑丙、丁，最后安排其他员工.【规范解答】选C.（1）若甲、乙安排在开始两天，则丁有4种选择，共有安排方案214244192A C A=（种）.（2）若甲、乙安排在最后两天，则丙有4种选择，共有214244192A C A=（种）.（3）若甲、乙安排在中间5天，选择两天有4种可能，若丙安排在10月7日，丁有4种安排法，共有2132434192A C A ⨯=（种）；若丙安排在中间5天的其他3天，则丁有3种安排法，共有211323334432A C C A ⨯=（种），所以共有19219219243210+++=1 008（种）.【方法技巧】本题用到分类讨论的方法，按照特殊元素（甲、乙在一起，丙丁不在某位置）进行讨论；用到分类枚举法.例如，丙不在10月1日，则考虑在10月7日和10月2日至10月6日中三天的情形.10.（2010·重庆高考文科·Ｔ１）4(1)x +的展开式中2x 的系数为（ ）（A ）4 （B ）6 （C ）10 （D ）20【命题立意】本题考查二项式定理的基础知识，考查二项展开式的通项公式的应用，考查运算求解的能力，考查方程的思想.【思路点拨】根据二项展开式的通项公式求解或杨辉三角求解,还可以利用多项式的乘法公式将其展开.【规范解答】选B.方法一：414r r r T C x -+=，令42r -=，则2r =，所以246C =. 方法二：杨辉三角中有一行的系数1 4 6 4 1，即为4(1)x +的展开式的系数，故x2的系数为6.方法三：422222222(1)(21)[(1)2](1)4(1)4x x x x x x x x x +=++=++=++++43246x x x =++41x ++.【方法技巧】（1）公式法.（2）杨辉三角、数表法.（3）应用多项式的乘法公式计算.11.（2010·江西高考文科·Ｔ３）10(1)x -展开式中3x 项的系数为( ) (A)720- (B)720 (C)120 (D)120-【命题立意】本题主要考查二项式定理及通项公式的应用．【思路点拨】先写出通项，再令x 的次数为3，求出r 的值，最后求系数.【规范解答】选D.,)(101r r r x C T -=+其中r 可取0，1，2，...，10，令3r =得3x 项的系数为,120)1(3310-=-C 故选D.12. （2010·江西高考理科·Ｔ６）8(2展开式中不含4x 项的系数的和为( )（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2【命题立意】本题主要考查二项式定理及通项公式的应用，还考查函数的求值，考查数学中常用的 函数思想．【思路点拨】先求所有项的系数和， 再求含4x 项的系数，最后相减.【规范解答】选Ｂ．令8()(2f x =得所有项的系数和1)1(=f ，又通项r r r r x C T )(2881-=-+，其中r 可取0，1，2，…，8，令r=8得44889x x C T ==，所以不含4x 项的系数的和为01)1(=-f .13. （2010·全国卷Ⅰ文科·Ｔ5）43(1)(1x-的展开式中2x的系数是（）(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3【命题立意】本题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【思路点拨】利用二项展开式分别将两个因式展开，再应用多项式的乘法公式进行运算.【规范解答】选A.2x的系数是6612-=+-.14.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ5）35(1(1+的展开式中x的系数是( )(A) -4 (B) -2(C) 2 (D) 4【命题立意】本题主要考查利用二项展开式通项1+rT求展开式中特定项，充分考查学生的运算能力.【思路点拨】利用nba)(+展开式中第1+r项rrnrnrbaCT-+=1)21(nr，，，=将两式展开，确定x的系数.【规范解答】选C.12451335333322(1(1161281510105x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫+=+++-+-+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭x的系数是21210=+-.15.（2010·江西高考文科·Ｔ14）将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有种（用数字作答）.【命题立意】本题主要考查排列、组合的基本知识，考查排列、组合公式的应用，考查分类与分步计数原理．【思路点拨】先确定分组数，再求分配方案种数.注意均分组问题.【规范解答】由题意，共分组数为,15222325=ACC每种分组对应分配方案633=A种，所以共15690⨯=(种).【答案】90【方法技巧】本题重点考查的是均分组问题，也是考生的易错点，解决这类问题一定要把握好是有序均分还是无序均分例如，共6人，分成2，2，1，1的四组中有两对均分组，也可表达为221112222426ACCACC⋅⋅⋅.这一点在今后解题中一定要引起特别注意.16.（2010·江西高考理科·Ｔ１４）将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_________种（用数字作答）．【命题立意】本题主要考查排列、组合的基本知识，考查排列、组合公式的应用，考查分类与分步计数原理．【思路点拨】先求分成4组的方法数，再确定分配方案种数.【规范解答】由题意可知，分成4组共有222426ACC种分法，故不同的分配方案有44222426AACC=1 080(种).【答案】1 080【方法技巧】本题重点考查的是均分组问题，也是考生的易错点，解决这类问题一定要把握好是有序均分还是无序均分.例如，本题中先分成的四组中有两对均分组，也可表达为221112222426ACCACC⋅⋅⋅.这一点在今后解题中一定要引起特别注意.17.（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ14）91()xx+的展开式中，3x的系数是_________.【命题立意】本题考查了二项式定理展开公式.【思路点拨】由二项式定理得通项rrrrr xCxxCT29999)1(1r--==+，令x的指数为3求出r,从而确定3x的系数.【规范解答】rrrrr xCxxCT29999)1(1r--==+，令923r-=得3r=.所以3x的系数是=39C84.【答案】8418.（2010·湖北高考文科·Ｔ11）在210(1)x-的展开中，4x的系数为______.【命题立意】本题主要考查二项展开式的特定项，同时考查考生的运算求解能力．【思路点拨】由二项展开式的通项找出4x项对应的r，再计算对应的系数即得.【规范解答】由r2r r r2rr11010T=C(-x)=(-1)C x+，0,1,,10r=⋅⋅⋅知：4x项对应的r为2，故4x的系数为2 1045C=.【答案】45【方法技巧】求二项展开式的特定项，只需利用通项找出对应的r值，带入通项计算即得.19.（2010·四川高考文科·Ｔ13）42()xx-的展开式中的常数项为(用数字作答).【命题立意】本题主要考查二项式定理的展开式的通项公式及幂的运算.【思路点拨】直接套用公式.()na b+的第1r+项为1r n r rr nT C a b-+=.【规范解答】4421442()(2)r r r r r rrT C x C xx--+=-=-，当420r-=，即2r =时，得常数项2234(2)24T C =-=. 【答案】2420.（2010·四川高考理科·Ｔ13）6(2的展开式中的第四项是 .【命题立意】本题主要考查了二项式定理展开式的通项公式.【思路点拨】直接套用公式.()n a b +的第1r +项为1r n r r r n T C a b -+=. 【规范解答】33462T C=3(160x =-. 【答案】160x -21.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ14）若9()a x x -的展开式中3x 的系数是84-，则a = ． 【命题立意】本题考查了二项式定理展开公式.【思路点拨】写出二项式定理展开通项，令x 的指数为3，然后确定a 的值. 【规范解答】992199()()r r r r r rr a T C x C a x x --+=-=-，令923r -=，得3r =.所以339()84C a -=-，得1a =. 【答案】122.（2010·湖北高考理科·Ｔ11）在20()x 的展开式中，系数为有理数的项共有 项.【命题立意】本题主要考查考生对二项展开式的通项的掌握和对系数为有理数的项的理解，考查考生的运算求解能力． 【思路点拨】先明确系数为有理数的项的特征，然后由二项展开式的通项找出符合条件的项的个数. 【规范解答】由1204r+120(3)r r r r T C x y -==204203r rr rC x y -，020r ≤≤且r N ∈知，当且仅 0,4,8,12,16,20r =时所对应的项的系数为有理数.【答案】6【方法技巧】()n ax by +展开式中的特定项的求解一定要借用通项1r n r r n r r r n T C a b x y --+=，0,1,,r n =⋅⋅⋅.找出符合条件的r ，再求出对应项即可.。

高中数学知识点总结排列组合问题的计数原理高中数学知识点总结：排列组合问题的计数原理在高中数学中，排列组合是一个重要的知识点，它涉及到一些计数原理和组合技巧。

了解和掌握排列组合的计数原理对于解决各种实际问题以及在数学竞赛中的应用非常有帮助。

本文将对排列组合问题的计数原理进行总结和归纳，希望能帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、排列与组合的概念在开始讨论计数原理之前，我们首先需要了解排列与组合的概念。

排列是指从一组元素中按照一定的顺序选取若干个元素的方式，简单来说就是“有序选择”。

排列问题中，元素的顺序是重要的，即不同的顺序会产生不同的排列结果。

组合是指从一组元素中选取若干个元素的方式，简单来说就是“无序选择”。

组合问题中，元素的顺序不重要，即不同的顺序不会产生不同的组合结果。

二、排列问题的计数原理1. 从n个元素中选取m个元素的排列数（记为P(n, m)）可以用以下公式求解：P(n, m) = n! / (n - m)!其中"!"表示阶乘，即n的阶乘等于n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 2 × 1。

2. 当元素可重复使用时，从n个元素中选取m个元素的排列数（记为P'(n, m)）可以用以下公式求解：P'(n, m) = n^m其中"^"表示乘方。

三、组合问题的计数原理从n个元素中选取m个元素的组合数（记为C(n, m)）可以用以下公式求解：C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)四、排列组合问题的应用排列组合的计数原理在实际问题中有着广泛的应用，例如：1. 考虑一个班级有n个学生，其中要选出m个学生参加数学竞赛，那么参赛学生的选择方法就是一个排列问题。

2. 在排列问题的基础上，如果要求被选中的学生必须按照特定的顺序进行比赛，那么可以用排列数来计算不同的比赛顺序总数。

数学高考知识点计数原理在高中数学中，计数原理是一个重要的知识点。

它涉及到如何统计和计算事件的可能结果数量，是很多概率和组合问题的基础。

本文将从排列、组合和种类等角度介绍计数原理的相关内容。

一、排列和组合在计数原理中，排列和组合是两个常见的概念。

排列指的是从一组元素中按照一定顺序选择若干个元素进行排列，而组合指的是从一组元素中选择若干个元素进行组合，顺序不重要。

1. 排列排列的计算是根据不同情况下元素选择的方式。

假设有n个元素，需要从中选取r个元素进行排列，那么计算排列数的公式为P(n, r) = n! / (n - r)！。

其中n!表示阶乘，即n!= n × (n - 1) × (n -2) … × 2 × 1。

2. 组合组合的计算是根据选择元素的方式，顺序不考虑。

同样假设有n个元素，需要从中选取r个元素进行组合，那么计算组合数的公式为C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)。

二、计数原理的应用计数原理的应用在高考中经常出现，下面以几个例子来介绍如何应用计数原理解决问题。

1. 乒乓球比赛某乒乓球比赛中，共有6名选手，每轮比赛两两对阵，两名选手按顺序开始比赛。

要求分别计算比赛进行了多少轮和总共进行了多少场比赛。

解析：每一场比赛是由两名选手来进行的，所以总场数等于选手人数除以2的商。

即6 / 2 = 3，所以比赛总共进行了3场。

而每一轮比赛都会淘汰一名选手，所以轮数等于选手的人数减一。

即6 - 1 = 5，所以比赛进行了5轮。

2. 数字密码某门锁的密码由4位数字组成，这些数字来自0-9这10个数字。

不允许重复数字，那么总共有多少种可能的密码？解析：第一位数字有10种选择，第二位数字有9种，第三位数字有8种，第四位数字有7种。

根据乘法原理，总共的可能性为10 × 9 × 8 × 7 = 5040种。

三、计数原理的延伸除了排列和组合，计数原理还可以应用在更复杂的问题中，例如种类问题。

高考数学计数原理知识点数学是高考中的一门重要科目，其中计数原理是数学中的一个重要知识点。

计数原理用于解决计数问题，是数学中的基础工具。

在高考中，计数原理常常出现在复合概率、组合数学等题目中。

掌握计数原理的知识点对于高分通过高考数学是非常重要的。

下面将介绍一些常见的计数原理知识点。

一、排列和组合排列是指从一组元素中选取若干元素进行有序排列的方式。

对于n个元素，从中选取k个元素进行排列，可以得到 nPk 种不同的排列，其中P表示排列。

组合是指从一组元素中选取若干元素进行无序选择的方式。

对于n个元素，从中选取k个元素进行组合，可以得到 nCk 种不同的组合，其中C表示组合。

排列和组合的计算公式如下:nPk = n! / (n-k)!nCk = n! / (k!(n-k)!)其中n!表示n的阶乘，即n! = n(n-1)(n-2)...3*2*1。

通过排列和组合的计算公式，我们可以快速计算出排列和组合的结果，而不用逐个枚举。

二、乘法原理和加法原理乘法原理是指若一个事件发生的方式有m种，而另一个事件发生的方式有n种，且这两个事件的发生方式相互独立，那么这两个事件同时发生的方式有m * n种。

加法原理是指若一个事件发生的方式有m种，而另一个事件发生的方式有n种，且这两个事件的发生方式互斥（即两者不能同时发生），那么这两个事件发生的方式有m + n种。

乘法原理和加法原理是解决计数问题的基本原理，它们在计数原理中有着广泛的应用。

通过灵活运用乘法原理和加法原理，我们可以简化计数问题的解决过程，提高解题效率。

三、重复排列和重复组合重复排列是指从n个元素中选择k个元素进行有序排列，允许元素重复出现的方式。

对于重复排列，共有 n^k 种不同的排列方式。

重复组合是指从n个元素中选择k个元素进行无序组合，允许元素重复出现的方式。

对于重复组合，共有C(n+k-1, k)种不同的组合方式。

通过重复排列和重复组合的计算公式，我们可以快速计算出重复排列和重复组合的结果，进而解决相关的计数问题。

高中数学中的排列组合计数原理排列组合计数原理是高中数学中的一个重要概念，用于解决与排列和组合相关的问题。

在这篇文章中，我们将深入研究排列组合计数原理，并探讨它在数学中的应用。

一、概述排列和组合是数学中两个常见的概念。

排列指的是从一组元素中按一定顺序选取若干个元素，而组合则是从一组元素中无序选取若干个元素。

排列组合计数原理正是为了解决这两类问题而产生的。

二、排列计数原理排列计数原理是指从n个元素中按照一定顺序选取r个元素的个数计算方法。

其中，n表示总元素个数，r表示被选元素的个数。

排列计数原理可以表示为公式：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘。

举例来说，如果有3个元素A、B、C，我们要按照一定顺序选取其中2个元素，即r=2。

按照排列计数原理，我们可以计算出排列的个数为：P(3,2) = 3! / (3-2)! = 3因此，从A、B、C这3个元素中按照一定顺序选取2个元素的排列个数为3。

三、组合计数原理组合计数原理是指从n个元素中无序选取r个元素的个数计算方法。

组合计数原理可以表示为公式：C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)举例来说，如果有3个元素A、B、C，我们要从中无序选取2个元素，即r=2。

按照组合计数原理，我们可以计算出组合的个数为：C(3,2) = 3! / (2! * (3-2)!) = 3因此，从A、B、C这3个元素中无序选取2个元素的组合个数为3。

四、排列组合计数实例现在，让我们通过一个实例来更好地理解排列组合计数原理的应用。

假设有5个不同的球，要从中选择3个球放入三个不同的盒子中，问有多少种不同的放法。

首先，我们需要明确题目中的条件。

题目中要求从5个不同的球中选择3个球，共有3个盒子，且盒子之间没有顺序要求。

根据题目中的条件，我们可以使用组合计数原理来解决这个问题。

根据组合计数原理计算公式：C(5,3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10因此，共有10种不同的放球方式。

第一节两个计数原理、排列与组合考试要求：理解排列、组合的概念、排列数公式及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．一、教材概念·结论·性质重现1．两个计数原理两个计数原理的区别排列的定义从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义作为一组3．排列数、组合数的定义、公式、性质(1)“排列”与“组合”的辨析排列与组合最根本的区别在于“有序”和1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(×)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(√)(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(√)(5)若C��＝C��，则x＝m成立．(×) 2．教学楼共有6层楼，每层都有南、北两个楼梯，从一楼到六楼的走法共有()A．25种B．52种C．62种D．26种A解析：根据题意，教学楼共有6层，共5层楼梯，每层均有两个楼梯，即每层有2种走法，则一共有2×2×2×2×2＝25种走法．故选A．3．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有()A．30种B．50种C．60种D．90种B解析：①甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有1×2×10＝20种，②甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有1×3×10＝30种，所以总共有20＋30＝50种．故选B．4．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修2门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有()A．12种B．24种C．30种D．36种B解析：由题意知本题是一个分步乘法计数问题．因为恰有2人选修课程甲，共有C42＝6种结果，所以选甲的两个人再选一门课程各有两种选法，共有2×2＝4种结果，余下的两个人只有1种选法，根据分步乘法计数原理知共有6×4×1＝24种结果．故选B．5．从2名女生、4名男生中选3人参加学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字作答)16解析：方法一：可分两种情况：第一种情况，只有1名女生入选，不同的选法有C21C42＝12(种)；第二种情况，有2名女生入选，不同的选法有C22C41＝4(种)．根据分类加法计数原理知，至少有1名女生入选的不同的选法共有12＋4＝16(种)．方法二：从6人中任选3人，不同的选法共有C63＝20(种)．从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C43＝4(种)．所以，至少有1名女生入选的不同的选法共有20－4＝16(种)．考点1两个计数原理——应用性1．下图是某项工程的网络图(单位：天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有()A．14条B．12条C．9条D．7条B解析：由图可知，由①→④有3条路径，由④→⑥有2条路径，由⑥→⑧有2条路径，根据分步乘法计数原理可得从①→⑧共有3×2×2＝12条路径．故选B．2．用数字3，6，9组成四位数，各数位上的数字允许重复，且数字3至多出现一次，则可以组成的四位数的个数为()A．81B．48C．36D．24B解析：根据题意，数字3至多出现一次，分2种情况讨论：①数字3不出现，此时四位数的每个数位都可以为6或9，都有2种情况，则此时四位数有2×2×2×2＝16个；②数字3出现1次，则数字3出现的情况有4种，剩下的三个数位，可以为6或9，都有2种情况，此时四位数有4×2×2×2＝32个，故有16＋32＝48个四位数．故选B．3．(2022·威海模拟)已知一个不透明的袋子中放有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的7个大小、形状相同的小球．小明从袋子中有放回地取3次球，每次只取一个球，且3次取出的球的编号相乘的结果为偶数、相加的结果为奇数，则不同的取球方法种数为() A．712B．216C．108D．72C解析：根据3次取出的球的编号相乘的结果为偶数、相加的结果为奇数可知，有一次取出的球的编号为奇数，2次取出的球的编号为偶数，先确定哪一次得到奇数号球，然后从4个奇数号球中取一个，再每次都从3个偶数号球中任取一个(有放回取球)，故满足题意的取球方法有3×4×3×3＝108(种)．4．现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是()A．120B．140C．240D．260D解析：先涂A处共有5种涂法，再涂B处有4种涂法，最后涂C处，若C处与A处所涂颜色相同，则C处共有1种涂法，D处有4种涂法；若C处与A处所涂颜色不同，则C 处有3种涂法，D处有3种涂法，由此可得不同的涂法方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种)，故选D．(1)应用两个计数原理的难点在于明确是分类还是分步：分类标准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连才能将事件完成．考点2排列与组合——综合性(1)(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有()A．12种B．24种C．36种D．48种B解析：因为丙、丁要在一起，先把丙、丁捆绑，看做一个元素，连同乙、戊看成三个元素排列，有3！种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙、丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3！×2×2＝24(种)不同的排列方式．故选B．(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A．232B．252C．472D．484C 解析：分两类：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法共有C 41C 122＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，不同的取法共有C 123−3C 43＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知，不同的取法有264＋208＝472(种)．1．有限制条件的排列问题的常用方法(1)对于有限制条件的排列问题，一般采用特殊元素优先原则，考点3分组分配问题——综合性考向1整体均分问题教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有______种不同的分派方法．90解析：先把6个毕业生平均分成3组，有C 62C 42C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C62C 42C 22A 3333＝90种分派方法．解决分组问题的关键是如何删去重复排列的组数．分组得到的排列种数除以组数的全排列；的种数，然后再进行相应计算．将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答)1560解析：把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种．①有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有C 63C 31C 21C 11A 33＝20(种)；②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有C 62C 42A 22·C 21C 11A 22＝45(种)．所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种)．然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有65×A 44＝1560(种)．考向3不等分问题(1)把8个相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则不同的放法种数为()A．35B．70C．165D．1860C 解析：根据题意，分4种情况讨论：①没有空盒，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选3个，插入隔板，将小球分成4组，顺次对应4个盒子，有C 73＝35种放法；②有1个空盒，在4个盒中任选3个，放入小球，有C 43＝4种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选2个，插入隔板，将小球分成3组，顺次对应3个盒子，有C 72＝21种分组方法，则有4×21＝84种放法；③有2个空盒，在4个盒中任选2个，放入小球，有C 42＝6种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选1个，插入隔板，将小球分成2组，顺次对应2个盒子，有C 71＝7种分组方法，则有6×7＝42种方法；④有3个空盒，即将8个小球全部放进1个盒子，有4种放法．故一共有35＋84＋42＋4＝165种放法．(2)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．360解析：将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C 61种分法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C 52种分法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C 33种分法．根据分步乘法计数原理，共有C 61C 52C 33＝60种分法．再将这3组教师分配到3所中学，有A 33＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．1．局部均分问题，则分组时应除以“1．将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其他三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有________种．(用数字作答)660解析：若甲校2人，乙、丙、丁其中一校2人，共有C62C42A33种；若甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有C63A33种．则不同的分配方案共有C62C42A33+C63A33＝660种．2．6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？(1)甲得一本，乙得二本，丙得三本；(2)平均分成三堆；(3)甲、乙、丙每人至少得一本．解：(1)分成三堆的方法有C61C52C33种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法为C61C52C33＝60(种)．2·C42·C223！＝15(种)分法．(2)6本不同的书平均分成三堆，有C6(3)共计分为3类：①按照4，1，1分，共有C61·C51·C44·3＝90(种)方法；②按照3，2，1分，共有C61·C52·C33·A33＝360(种)分法；③按照2，2，2分，共有C62·C42·C22＝90(种)分法．故共有90＋360＋90＝540(种)分法．课时质量评价(五十六)A组全考点巩固练1．现有甲、乙、丙三种树苗可供选择，分别种在一排五个坑中，要求相同的树苗不能相邻，第一、五坑内只能种甲种树苗，则不同的种法共有()A．4种B．5种C．6种D．7种C解析：根据题意，分2种情况讨论：①若二、四号坑种的树苗相同，则二、四号坑有2种选择，三号坑有2种选择，此时有2×2＝4种种法，②若二、四号坑种的树苗不同，则二、四号坑有2×1＝2种选择，三号坑有1种选择，此时有2×1＝2种种法．则有4＋2＝6种不同的种法．故选C．2．(2023·长沙模拟)为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有()A．48种B．36种C．24种D．12种B解析：由题意可知，分三步完成：第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，根据分步乘法计数原理，共有2×3×6＝36(种)不同的选取方法．故选B．3．A，B，C，D，E五人并排站成一排，若A，B必须相邻且B在A的左边，那么不同的排法共有()A．24种B．36种C．48种D．60种A解析：根据题意，分2步进行分析：①A，B必须相邻且B在A的左边，将AB看成一个整体，有1种排法；②将AB整体与C，D，E全排列，有A44＝24种排法，则共有1×24＝24种排法．故选A．4．(多选题)已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别记作a，b，则下列说法正确的有()A．��表示不同的正数的个数是6B．��表示不同的比1小的数的个数是6C．(a，b)表示x轴上方不同的点的个数是6D．(a，b)表示y轴右侧不同的点的个数是6BC解析：对于选项A，若a，b均为正，共有2×2＝4个，若a，b均为负，共有1×2＝2个，但63＝−4−2，所以共有5个，所以选项A错误；对于选项B，若��为正，显然均比1大，所以只需��为负即可，共有2×2＋1×2＝6(个)，所以选项B正确；对于选项C，要使(a，b)表示x轴上方的点，只需b为正即可，共有2×3＝6(个)，所以选项C正确；对于选项D，要使(a，b)表示y轴右侧的点，只需a为正即可，共有2×4＝8(个)，所以选项D错误．故选BC．5．冼太夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这4个景区均为广东茂名市的热门旅游景区．现有5名学生决定于今年暑假前往这4个景区旅游．若每个景区至少有1名学生前去，且每名学生只去一个景点，则不同的旅游方案种数为()A．120B．180C．240D．360C解析：根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分为4组，有C52＝10种分组方法；②将分好的4组全排列，安排到4个景区旅游，有A44＝24种安排方法．则共有10×24＝240种安排方法．故选C．6．若把一句话“我喜欢数学”的汉字顺序写错了，则可能出现错误的情况共有________种．119解析：根据题意，“我喜欢数学”五个字排成一排，有A55＝120种不同的顺序，其中正确的只有1种，则可能出现错误的情况有120－1＝119种．7．高考期间，某校高三年级租用大巴车送考，原则上每班一辆车，但由于高三(1)班人数较多，坐满一辆车之后还余下7名同学．现有高三(2)、(3)、(4)班的选考车辆分别剩余2，3，3个空位，要把这7名同学都安排到这三辆车中，则共有______种不同的安排方法．560解析：根据题意，余下的7人坐车，还有8个空座位，可以看成7个人再加上一个空位，安排在8个空座位上的问题，有C82C63C33＝560种安排方法．8．有8名学生排成一排照相，求满足下列要求的排法的种数．(1)甲、乙两人相邻；(2)丙、丁两人不相邻；(3)甲站在丙、丁两人的中间(未必相邻)．解：(1)根据题意，将甲、乙看成一个整体，与其他6人全排列即可，有A22A77＝10080(种)排法．(2)根据题意，将8人全排列，有A88种排法，其中丙、丁相邻的排法有A22A77种，则丙、丁两人不相邻的排法有A88−A22A77＝30240(种)．(3)根据题意，将8人全排列，有A88种排法，甲、丙、丁三人的排法有A33＝6(种)，其中甲站在丙、丁两人的中间有2种，2×A88A33＝13440(种)．则有甲站在丙、丁两人的中间有A2B组新高考培优练9．某校进行体育抽测，甲与乙两名同学都要在100m跑、立定跳远、铅球、引体向上、三级跳远这5项运动中，选出3项进行测试．假定他们对这五项运动没有偏好，则他们选择的结果中至少有两项相同运动的选法种数为()A．70B．50C．30D．20A解析：根据题意，分2种情况讨论：①他们选择的结果中有两项相同运动，有C53A32＝60种选法．②他们选择的结果中有三项相同运动，有C53＝10种选法，则共有60＋10＝70种选法．故选A．10．(多选题)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是()A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为45B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为A54C41C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为C53C21+C52C32A33D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C31C42A33+C32A33AD解析：根据题意，依次分析选项：对于A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，A正确；对于B，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有C52A44种安排方法，B错误；+对于C，分2步分析：需要先将5人分为3排翻译、导游、礼仪三项工作，有A33种情况，A33种安排方法，C错误；对于D，分2种情况讨论：①从丙，丁，戊中选出1人开车，②从丙，丁，戊中选出2人开车，则有C31C42A33+C32A33种安排方法，D正确．故选AD．11．(多选题)现有3名男生和4名女生，在下列不同条件下进行排列，则()A．排成前后两排，前排3人后排4人的排法共有5400种B．全体排成一排，甲不站排头也不站排尾的排法共有3600种C．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有576种D．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有1440种BCD解析：根据题意，依次分析选项：对于A，将7名学生排成前后两排，前排3人后排4人的排法，有C73A33A44＝5040种排法，A错误；对于B，甲不站排头也不站排尾，有5种情况，将剩下的6人全排列，有A66种排法，则有5×A66＝3600种排法，B正确；对于C，将4名女生看成一个整体，有A44种排法，将这个整体与3名男生全排列，有A44种排法，则有A44×A44＝576种排法，C正确；对于D，先排4名女生，有A44种排法，排好后有5个空位，在5个人空位中任选3个，安排3名男生，有A53种排法，则有A44×A53＝1440种排法，D正确．12．(2022·临沂三模)某社区需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有()A．72种B．81种C．144种D．192种D解析：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为A22A55＝240，若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为A 22A 44＝48，由间接法可知，满足条件的排法种数为240－48＝192(种)．故选D．13．(2022·杭州模拟)某省派出由4名医生、5名护士组成的医疗小组前往疫区支援，要求将这9名医护人员平均派往某地的A，B，C3家医院，且每家医院至少要分到一名医生和一名护士，则不同的分配方案有________种．(用数字作答)1080解析：由题意可知，4名医生要分配到3家医院，且每家医院至少有一名医生，则必有一家医院有2名医生，其余2家医院各有1名医生．假设A 医院分配的是2名医生1名护士，则B，C 医院均分配1名医生2名护士，则分配方案有C 42C 51C 21C 42＝360(种)，故不同的分配方案有360×3＝1080(种)．14．学校拟安排6位老师在今年6月12日至14日端午值班，每天安排2人，每人值班1天；若6位老师中的甲不值12日，乙不值14日且甲、乙不在同一天值班，则不同的安排方法共有________种．36解析：根据题意，分2步进行分析：①将6人分为3组，要求甲、乙不在同一组，有C 62C 42C 22A 33－C 42C 22A 22＝12种分组方法．②若甲所在的组在14日值班，有A 22＝2种安排方法；若甲所在的组在13日值班，则乙所在的组必须在12日值班，有1种安排方法．则有3种值班安排方法．故共有12×3＝36种安排方法．15．现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学(要求用数字作答)．(1)若5本书完全相同，求共有多少种分法；(2)若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，求共有多少种分法；(3)若5本书仅有两本相同，按一人3本另两人各1本分配，求共有多少种分法．解：(1)根据题意，5本书完全相同，将这5本书和2个挡板排成一排，利用挡板将5本书分为3组，对应3位同学即可，则有C 72＝21(种)不同的分法．(2)根据题意，分2步进行分析：①将5本书分成3组，若分成1，1，3的三组，有C 53C 21C 11A 22＝10(种)分组方法．若分成1，2，2的三组，有C 51C 42C 22A 22＝15(种)分组方法，从而分组方法有10＋15＝25(种)．②将分好的三组全排列，对应3名学生，有A 33＝6(种)情况，根据分步乘法计数原理，故共有25×6＝150(种)分法．(3)记这5本书分别为A，A，B，C，D，5本书取其3本分配时，①不含A时仅有一种分组，再分配给3人，有3种方法；②仅含一个A时，分组的方法有C32种，再分配给3人，共有C32×A33＝18(种)方法；③含两个A时，分组的方法有C31种，再分配给3人，共有C31×A33＝18(种)方法．从而共有18＋18＋3＝39(种)分法．。

计数原理高三知识点计数原理是离散数学的一个重要内容，也是高三数学中的一项重要知识点。

在学习计数原理时，我们需要了解基本的概念和原理，并学会应用相关的计数方法。

本文将以简洁明了的方式介绍计数原理的相关知识点。

一、排列与组合排列与组合是计数原理的基础，我们先来了解一下这两个概念。

1. 排列排列是指从一组事物中按照一定的顺序选取若干个事物进行排序的方式。

一般来说，排列分为有限排列和无限排列两种情况。

有限排列不允许重复选取，而无限排列允许重复选取。

2. 组合组合是指从一组事物中选取若干个事物进行组合的方式，不考虑事物的顺序。

同样，组合也分为有限组合和无限组合两种情况。

有限组合不允许重复选取，而无限组合允许重复选取。

在解决具体问题时，我们需要根据题目的情况选择使用排列或组合的方法进行计算，正确地理解题目中的条件和要求是解题的关键。

二、加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理是计数原理中的基本原理，它们在解决复杂的计数问题时起到了重要的作用。

1. 加法原理加法原理是指对于两个同时发生的事件，其总数等于每个事件发生的情况数之和。

换句话说，当我们需要计算多种情况的总数时，可以将每种情况的数目相加得到结果。

2. 乘法原理乘法原理是指对于两个依次发生的事件，其总数等于每个事件发生的情况数相乘。

换句话说，当我们需要计算多个事件连续发生的情况总数时，可以将每个事件发生的情况数相乘得到结果。

通过灵活运用加法原理和乘法原理，我们可以解决更加复杂的计数问题，例如排队问题、密码问题等。

三、置换与组合的计算公式在计数原理中，我们还需要了解排列和组合的计算公式，以便可以快速地计算出特定情况下的排列和组合总数。

1. 排列计算公式排列计算公式表示从 n 个不同的元素中，取出 m 个元素进行排列的情况总数。

公式如下所示：P(n, m) = n! / (n - m)!其中，n! 表示 n 的阶乘，表示将 n 个数从大到小相乘的结果。

2. 组合计算公式组合计算公式表示从 n 个不同的元素中，取出 m 个元素进行组合的情况总数。

新高考数学计数原理知识点一、排列组合的基本概念与应用在数学计数原理中，排列组合是一种常见的方法。

排列就是从一组元素中选择若干个元素按照一定顺序排列的方法，而组合则是从一组元素中选择若干个元素，不考虑顺序。

排列组合的应用广泛，比如在概率统计、组合数学、密码学等领域。

1.1 排列排列是指从一组元素中选择若干个元素按照一定顺序排列的方法。

在排列中，元素的顺序是重要的，即不同的排列顺序可能会得到不同的结果。

排列可以分为两类：有重复元素的排列和无重复元素的排列。

有重复元素的排列：设有n个元素，其中有k个元素重复，要求按照一定顺序选取m（m≤n）个元素进行排列。

这种排列的总数可以用公式P(n;k1,k2,…,km)表示，其中ki表示第i个元素的个数。

无重复元素的排列：设有n个元素，要求按照一定顺序选取m（m≤n）个元素进行排列。

这种排列的总数可以用公式P(n,m)表示，即n(n-1)(n-2)…(n-m+1)。

1.2 组合组合是指从一组元素中选择若干个元素，不考虑顺序。

与排列不同，组合中元素的顺序是不重要的，即不同的组合顺序不会得到不同的结果。

设有n个元素，要求从中选择m（m≤n）个元素进行组合的方法数可以用公式C(n,m)表示，即C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)。

二、排列组合的实际问题在实际生活中，排列组合有广泛的应用。

以下是一些常见的排列组合问题。

2.1 生日问题假设有n个人，问至少两人生日相同的概率是多少？这是一个典型的排列组合问题。

根据排列组合的知识，可以得出结论：当n大于23时，至少两人生日相同的概率超过50%。

2.2 田径比赛问题某田径比赛共有n名选手，设男选手和女选手的人数分别为m和n-m。

要求男选手和女选手的名次分开排列，且男选手和女选手的排列顺序分别与原来的顺序相同。

这是一个典型的排列组合问题。

2.3 电话号码问题假设某人有10个号码，每个号码有7位数字，其中第一位数字不能为0或1。

.第一章：计数原理一、两个计数原理3、两个计数原理的区别二、排列与组合1、排列：一般地，从 n 个不同元素中取出m(m ≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

..A m m(m ≤n) 个元素的所有不同排2、排列数：从 n 个不同元素中取出n列的个数叫做从n 个不同元素中取出A mm 个元素的排列数。

用符号n表示 .3、排列数公式：A n m n n 1 n2n m1n !n m !其中n , m N * , 并且m n .4、组合：一般地，从 n 个不同元素中取出m(m ≤n) 个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

5、组合数：从n 个不同元素中取出 m(m ≤n) 个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数。

用符号Cnm表示。

6、组合数公式：C m n n1n2n m1nm!n!m! n m!其中n , m N*, 并且m n .注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关 ,有关就是排列 , 无关便是组合 .判断时要弄清楚“事件是什么”.7、性质：CmCnmCmCm 1m n n n nCn 1..三、二项式定理如果在二项式定理中，设a=1,b=x，则可以得到公式：2、性质：奇数项二项式系数和偶数项二项式系数和：C n0 C n2 C n4 L C n1 C n3 C n5 L2n 1..注意事项：相邻问题，常用“捆绑法”不相邻问题，常用“插空法”巩固训练：1、有 4 个男生和 3 个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：（1）男甲排在正中间；（2）男甲不在排头，女乙不在排尾；（3）三个女生排在一起；（4）三个女生两两都不相邻；.2、某城新建的一条道路上有12 只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（）3、 (1) 今有 10 件不同奖品 ,从中选 6 件分成三份 , 二份各 1 件,另一份4 件, 有多少种分法 ?(2)今有 10 件不同奖品 ,从中选 6 件分给甲乙丙三人 ,每人二件有多少种分法 ?4、从 6 个学校中选出 30 名学生参加数学竞赛 ,每校至少有 1 人,这样有几种选法 ?5、将 8 个学生干部的培训指标分配给 5 个不同的班级，每班至少分到 1 个名额，共有多少种不同的分配方法？.6、对某种产品的 6 件不同的正品和 4 件不同的次品 ,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5 次测试时全部发现, 则这样的测试方法有种可能？7、3 名医生和6 名护士被分配到3 所学校为学生体检 ,每校分配1 名医生和2 名护士 ,不同的分配方法共有多少种?8、如图,要给地图A 、B、C、D 四个区域分别涂上3 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少种？9、求值与化简：(1 ) 求值： 1C 51 2 2 C 52 2 4 C 53 2 6 C 54 2 8 C 552 10..。