高考数学 考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、

考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、

二项式定理及应用

1.（2010·湖北高考文科·Ｔ6）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )

（A）65（B）56（C）565432

2

⨯⨯⨯⨯⨯

（D）6543

⨯⨯⨯⨯2

【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查考生的逻辑推理能力．

【思路点拨】因每名同学可自由选择其中的一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，由分步计数原理即可得出答案.

【规范解答】选A.每名同学可自由选择5个讲座中的其中一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，因此共有65种不同选法.

【方法技巧】本题每名同学可自由选择其中的一个讲座，故每位同学的选择都有5种，共有65种不同选法.若将“每名同学可自由选择其中的一个讲座”改为“每一个讲座都至少有一位同学去听”，它就是一个典型的不同元素的分组问题.利用“先分堆，再分配”的思想将6名同学分为5堆，再分给5个不同的讲座，

有

25

65

1800

C A=

1 800种不同选法.

2.（2010·湖北高考理科·Ｔ8）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）

（A）152 （B）126 （C）90 （D）54

【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查排列、组合知识的应用，考查考生的运算求解能力．【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作知，司机工作很特殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类：①司机只安排1人；②司机安排2人，然后将其余的人安排到其他三个不同的位置.

【规范解答】选B.当司机只安排1人时，有

123

343

C C A

=108(种)；当司机安排2人时有

23

33

C A

=18(种).由分类

计数原理知不同安排方案的种数是108+18=126（种）.

【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加，因此属于不同元素的分组问题，解题时往往采用“先分堆，再分配”的办法.若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制，则甲、乙二人各有3种选择，丙、丁、

戊各有4种选择，因此共有33444576

⨯⨯⨯⨯=（种）安排方案.

3.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )

（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种

【命题立意】本题考查了排列、组合的知识.

【思路点拨】运用先选后排解决，先从3个信封中选取一个放入标号为1，2的2张卡片，然后剩

余的2个信封分别放入2张卡片.

【规范解答】选B.标号为1，2的卡片放法有A 1

3种，其他卡片放法有

2

2

2

4

C

C种，所以共有A132

2

2

4

C

C=18

（种）.

【方法技巧】先排列特殊元素是解决排列、组合问题的常用方法.

4.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ6）某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ） (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

【命题立意】本题主要考查考生能否利用所学的加法原理、乘法原理以及排列、组合知识灵活地处理有关计数问题，能否结合具体问题确定恰当的分类标准，突出考查分类讨论的数学思想.

【思路点拨】解决本题可以采用直接法进行分类，也可采用间接法利用对立事件解决. 事件“两类课程中 各至少选一门”的对立事件是“全部选修A 和全部选修B ”.

【规范解答】选A.方法一：可分以下2种情况:①A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有1234

C C 种不同的

选法；②A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有

21

34

C C 种不同的选法.所以不同的选法共有

1234C C +2134181230

C C =+=（种）.

方法二：∵事件“两类课程中各至少选一门”的对立事件是“全部选修A 和全部选修B ”， ∴两类课程中各至少选一门的种数为

333

73430

C C C --=（种）.

【方法技巧】排列与组合的应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决这类问题通常有三种途径:

(1)以元素为主考虑，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.

(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数. 前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法.

5.（2010·四川高考文科·Ｔ9）由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1，2都不与5相邻的5位数的个数是（ ）

(A)36 (B)32 (C)28 (D)24

【命题立意】本题主要考查有限制条件的排列、组合问题，考查了学生利用所学知识解决实际问题的能力. 【思路点拨】先排5，再排1,2.分两类：5在两端，1,2有三个位置可选择；5不在两端，1，2有 两个位置可选择.

【规范解答】选A.如果5在两端，则1，2有三个位置可选，排法为22

32224

A A ⨯=（种）； 如果5不在两

端，则1，2只有两个位置可选， 排法有

22

22312

A A ⨯=（种），共计24+12=36（种）.

【方法技巧】优先考虑特殊元素.复杂问题，分类求解.

6.（2010·湖北高考理科·Ｔ8）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( ) (A)152 (B)126 (C)90 (D)54

【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查排列、组合知识的应用，考查考生的运算求解能力． 【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作知，司机工作很特殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类：①司机只安排1人；②司机安排2人，然后将其余的人安排到其他三个不同的位置.

【规范解答】选B.当司机只安排1人时，有

123343

C C A =108(种)；当司机安排2人时有

23

33C A =18(种).由分类

计数原理知不同安排方案的种数是108+18=126(种).

【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加，因此属于不同元素的分组问题，解题时往往采用“先分堆，再分配”的办法.若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制，则甲、乙二人各有3种选择，丙、丁、