高中数学人教版 选修2-3(理科) 第一章 计数原理1.3二项式定理(包括1.3.1二项式定理,1.

《二项式定理》现代教学的核心是“以学生的发展为本”，注重学生的学习状态和情感体验，注重教学过程中学生主体地位的体现和主体作用的发挥，强调尊重学生人格和个性，鼓励发现、探究与质疑，鼓励培养学生的创新精神和实践能力。

二项式定理这部分内容比较枯燥，如何发挥学生的主体作用，使学生自己探究学习知识、建构知识网络，是本节课教学设计的核心。

【知识与能力目标】◆教材分析◆教学目标进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式。

【过程与方法目标】能解决二项展开式有关的简单问题。

【情感态度价值观目标】教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

【教学重点】二项式定理及通项公式的掌握及运用。

【教学难点】二项式定理及通项公式的掌握及运用。

预习任务预习自测（一）课前设计1.预习任务（阅读教材完成）1.二项式定理：=+nba）（；2.(1)nba）（+的二项展开式中共有项；(2)二项式系数：；(3)二项展开式的通项公式：=+1rT，它是展开式的第项. 2．预习自测1.二项式91()xx-的展开式的第3项是( )A．－84x3 B．84x3 C．－36x5 D．36x5解：D2．(1＋x)7的展开式中x2的系数是( )A．42 B．35 C．28 D．21◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教学过程解：D3．在62()x x的二项展开式中，常数项等于________． 解：－160 （二）课堂设计 1．知识回顾 (1)；(2)(3)2．问题探究问题探究一 探究归纳，形成二项式定理 ●活动一 回顾旧知，回忆展开式(a+b)4=(a+b) (a+b) (a+b) (a+b)展开式中的各项是什么？ 思考：ab 3是怎样来的？有多少个？引导学生追究每个系数的来源，借助于组合的思想找到规律，从中体会到探索的乐趣.归纳结论：由上面的探索得到：(a+b)4=C 04a 4+C 14a 3b+C 24a 2b 2+C 34ab 3+C 44b 4●活动二 大胆猜想(a+b)n展开式中的各项是什么？ 归纳：一般对于任意的正整数n,有：(a+b)n=C 0n a n+C 1n a n-1b+…+C rn a n-r b r…+C nn b n(n ∈N *)并指出：①这个式子所表示的定理叫二项式定理.右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式.各项系数C rn （r=0、1、2、…、n ）叫做二项式系数.②式子中的C rn a n-r b r叫做二项展开式的通项.记做：T r+1=C rn a n-r b r.上述结论是从分析了少数特例后，得出了一般的结论，这种方法叫不完全归纳法，还需用 数学归纳法证明，但这里教材不要求证明了. 问题探究二 利用二项式定理能解决问题？ 1.求二项式的指定项或其系数例1.（1）(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( ) A ．42 B ．35 C ．28 D ．21【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选D 依题意可知，二项式(1＋x )7的展开式中x 2的系数等于C 27×15＝21.（2）在(2x 2－1x)5的二项展开式中，x 的系数为( ) A ．10 B ．－10 C ．40 D ．－40【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：D.(2x 2－1x )5的展开式的通项为T r ＋1＝5r C (2x 2)5－r (－1x)r ＝5r C 25－r(－1)r x 10－3 r ，令10-3r ＝1得，r ＝3，∴T 4＝35C 22(－1)3x ＝－40x.∴x 的系数是－40.例2.（1）在62()x x-的二项展开式中，常数项等于________． 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：-160.由通项公式得T r ＋1＝6r C x6－r2()r x-＝(－2)r 6r C x 6－2r ，令6－2r ＝0，解得r ＝3，所以是第4项为常数项，T 4＝(－2)336C ＝－160.(2)已知8()ax x-展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选C 由题意知48C ·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和为(1－a )8＝1或38.例3.(1) 在(x －2)5＋y)4的展开式中x 3y 2的系数为________．【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：480 (x －2)5的展开式的通项为T r ＋1＝5r C x5－r(－2)r，令5－r ＝3得r ＝2，得x 3的系数25C (－2)2＝40＋y)4的展开式的通项公式为T r ＋1＝4rC)4－r y r，令r ＝2得y 2的系数24C )2＝12，于是展开式中x 3y 2的系数为40×12＝480.(2) 在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是________． 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：－15.从4个因式中选取x ，从余下的一个因式中选取常数，即构成x 4项，即－5x 4－4x 4－3x 4－2x 4－x 4，所以x 4项的系数应是－1－2－3－4－5＝－15. 3．课堂总结 【知识梳理】二项式定理及其通项公式 1.二项式定理：2.(1)nb a ）（+的二项展开式中共有项；(2)二项式系数：；(3)二项展开式的通项公式：.【重难点突破】常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性. 4．随堂检测1.261()x x+的展开式中x 3的系数为________(用数字作答)．【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：20.由261()x x+的展开式的通项为T r ＋1＝6r C (x 2)6－r·1()r x＝6r C x12－3r，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以展开式中x 3的系数为36C ＝20.2.(a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：2.(a ＋x )4的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝4r C a4－r x r，令r ＝3，得含x 3的系数为34C a ，故34C a ＝8，解得a ＝2.3.若二项式2)n x的展开式中第5项是常数项，则正整数n 的值可能为( ) A ．6 B ．10 C ．12 D ．15【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选C 3212()(2)n rr n rr r rr nn T C C x x --+=-=-，当r ＝4时，32n r -＝0，又n ∈N *，所以n ＝12.4．(1＋x ＋x 2)61()x x-的展开式中的常数项为________．【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：－5.解析：61()x x-的展开式的通项为T r ＋1＝6rC (－1)r x6－2r，当r ＝3时，T 4＝－36C ＝－20，当r ＝4时，T 5＝46C x －2＝15x －2，因此常数项为－20＋15＝－5.（三）课后作业 基础型 自主突破1.二项式5()x y +的展开式中,含23x y 的项的系数是_________.(用数字作答) 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：10 解析T r +1=5r C x 5-r y r(r =0,1,2,3,4,5),由题意知523r r -=⎧⎨=⎩,∴含x 2y 3的系数为3510C =.2.()6的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答) 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：-160 ()6的展开式项公式是663166C (C 2(1)r r r r rr r r T x ---+==-.由题意知30,3r r -==,所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-.3.在6)1(xx -的二项展开式中,常数项等于_________. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：-20 展开式通项r r r rr r r r x C x x C T 266661)1()1(---+-=-=,令6-2r =0,得r =3, 故常数项为2036-=-C .4.设常数a ∈R .若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为-10,则a =_______.【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：2- 2515()(),2(5)71r r r r aT C x r r r x-+=--=⇒=,故15102C a a =-⇒=-. 5.5()a x +展开式中2x 的系数为10, 则实数a 的值为__________. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：1 5()a x +展开式中第k 项为555kk k k T C a x ,令2k ,2x 的系数为23510C a ,解得1a .6.81()2x x+的展开式中2x 的系数为____.【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：7 根据已知条件可得81()2x x +展开式的通项公式为88218811()()22r r r r r r r T C x C x x --+==,令8223r r -=⇒=,故所求2x 的系数为3381()72C =.能力型 师生共研 7．在二项式(x 2－1x)5的展开式中，含x 4的项的系数是( ) A ．－10 B ．10 C ．－5 D ．5 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：B 8．(2x 3－212x )10的展开式中的常数项是( ) A ．210 B.1052 C.14D ．－105 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：B9．(x y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( )A ．840B ．－840C ．210D ．－210 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：A10．二项式)24展开式中的整数项是( )A ．第15项B ．第14项C ．第13项D ．第12项 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：A探究型 多维突破11．(1－x )4(13的展开式中x 2的系数是( )A ．－6B ．－3C ．0D ．3 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：A 12．(x ＋a x )(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．－40 B ．－20 C ．20 D ．40 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：D 自助餐1．二项式611()22+的展开式的第3项的值是( ) A.332 B.364 C.1564D.516【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选C 二项式611()22+的展开式的第3项是24261115()().2264C =2.在二项式的展开式中,含的项的系数是（ ）A.5B.10C.-5D.-10【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：选B 3.若的展开式中的系数是,则实数的值是（ ）A ．B ．C ．D ．2【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：D 4.的展开式中常数项是（ ）A ．-160B ．-20C ．20D ．160 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：A 5.在的展开式中,含的系数是（ ）A ．10B ．15C ．20D ．25【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：C6.若二项式21(3)n x x-的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( ) A ．－2739C B ．2739C C ．－949C D ．949C【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选B 各项系数之和为(3－1)n＝2n＝512，故n ＝9，展开式的通项是T r ＋1＝9r C (3x 2)9－r1()r x -＝(－1)r ×39－r ×9r C x 18－3r .令18－3r ＝0，则r ＝6，故展开式的常数项为(－1)6×33×69C ＝2739C .7.(-)8的展开式中的系数为,则的值为_______.【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：1或-18．在(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)(n ∈N *)的展开式中一次项系数为_______. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：1＋2＋3＋…＋n ＝(1)2n n +＝21n C +. 9．在二项式(x 2＋x ＋1)(x －1)5的展开式中，含x 4项的系数是_______. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：∵(x 2＋x ＋1)(x －1)＝x 3－1，∴原式可化为(x 3－1)(x －1)4.故展开式中，含x 4项的系数为34C (－1)3－04C ＝－4－1＝－5.10.求8的展开式中常数项.【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：二项展开式的通项841881()2r rr r r r r T C C x --+==，当4－r ＝0时，r ＝4，所以展开式中的常数项为448135().28C =11．(a ＋x )5展开式中x 2的系数为10，求实数a 的值． 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：由二项展开式的通项公式可得，T 3＝25C a 3x 2＝10x 2，解得a ＝1. 解：112．若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，求该展开式中21x的系数. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：56.由26n nC C=可知n＝8，所以81()xx+的展开式的通项公式为8821881()()r r r r rrT C x C xx--+==, 所以8－2r＝－2，解得r＝5.所以21x的系数为58C＝56. 略。

人教版高中数学必修2-3知识点第一章计数原理1.1分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。

分类要做到“不重不漏”。

分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。

做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。

分步要做到“步骤完整”。

n元集合A={a1，a2⋯，a n}的不同子集有2n个。

1.2排列与组合1.2.1排列一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement)。

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。

排列数公式：n个元素的全排列数规定：0!=11.2.2组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)。

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号或表示。

组合数公式：∴规定：组合数的性质：(“构建组合意义”——“殊途同归”)1.3二项式定理1.3.1二项式定理(binomial theorem)*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！(1)对称性(2)当n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项，同时取得最大值。

(3)各二项式系数的和为(4)二项式展开式中，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：(5)一般地，第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布(n ∈N *)其中各项的系数(k ∈{0，1，2，⋯，n})叫做二项式系数(binomial coefficient)；2.1.1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable)。

§1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。

【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。

【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。

如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次，所以a2b的系数是3。

问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C44a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34a3· C11b（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24a2· C22b2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14a· C33b3（5）四个括号中全都取b，得：C44b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C04a4；（2）取1个b：C14a3b；（3）取2个b：C24a2b2；（4）取3个b：C34a b3；（5）取4个b：C44b4，然后将上面各式相加得到展开式。