（文理通用）江苏省高考数学二轮复习理科附加题第3讲计数原
理与二项式定理练习
课后自测诊断——及时查漏补缺·备考不留死角
1．记⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋1x n 的展开式中第m 项的系数为b m .
(1)求b m 的表达式；
(2)若n ＝6，求展开式中的常数项； (3)若b 3＝2b 4，求n .
解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n 的展开式中第m 项为C m －1n ·(2x )n －m ＋1
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x m －1＝2n ＋1－m ·C m －1n
·x n ＋2－2m ， 所以b m ＝2
n ＋1－m
·C m －1
n .
(2)当n ＝6时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(2x )6－r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x r ＝26－r ·C r 6·x 6－2r .
依题意，6－2r ＝0，得r ＝3，
故展开式中的常数项为T 4＝23
·C 3
6＝160. (3)由(1)及已知b 3＝2b 4，得2
n －2·C 2n ＝2·2
n －3
·C 3n ，从而C 2n ＝C 3
n ，即n ＝5.
2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1.等式(x 2
＋2x ＋2)10
＝b 0＋b 1(x ＋1)＋b 2(x ＋1)2
＋…＋b 20(x ＋1)20
，其中b i (i ＝0,1,2，…，20)为实常数．
(1)求∑n ＝1
10b 2n 的值；
(2)求∑n ＝1
10
a n
b 2n 的值．
解：法一：(1)令x ＝－1，得b 0＝1，
令x ＝0，得b 0＋b 1＋b 2＋…＋b 20＝210
＝1 024，
令x ＝－2，得b 0－b 1＋b 2－b 3＋…－b 19＋b 20＝210
＝1 024，
所以∑n ＝1
10
b 2n ＝b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 20＝1 023.
(2)对等式两边求导，得
20(x ＋1)(x 2
＋2x ＋2)9
＝b 1＋2b 2(x ＋1)＋3b 3(x ＋1)2
＋…＋20b 20(x ＋1)19
， 令x ＝0，得b 1＋2b 2＋…＋20b 20＝20×29
＝10 240，
令x ＝－2，得b 1－2b 2＋3b 3－4b 4＋…＋19b 19－20b 20＝－20×29
＝－10 240，
所以∑n ＝1
10
nb 2n ＝1
2(2b 2＋4b 4＋6b 6＋…＋20b 20)＝5 120.
所以∑n ＝1
10
a n
b 2n ＝∑n ＝1
10
(n ＋1)b 2n ＝∑n ＝1
10
nb 2n ＋∑n ＝1
10
b 2n ＝5 120＋1 023＝6 143.
法二：由二项式定理易知 (x 2
＋2x ＋2)10
＝[1＋(x ＋1)2]10
＝C 0
10＋C 1
10(x ＋1)2
＋C 2
10(x ＋1)4
＋…＋C 10
10(x ＋1)20
＝b 0＋b 1(x ＋1)＋b 2(x ＋1)2
＋…＋b 20(x ＋1)20
， 比较可知b 2n ＝C n
10(n ＝1,2，…，10)．
(1)∑n ＝1
10
b 2n ＝C 1
10＋C 2
10＋…＋C 10
10＝210
－1＝1 023.
(2)因为a n ＝n ＋1,
所以∑n ＝1
10
a n
b 2n ＝∑n ＝1
10
(n ＋1)C n
10＝∑n ＝1
10
n C n
10＋∑n ＝1
10
C n
10，
设T ＝∑n ＝1
10
n C n
10＝0·C 0
10＋1·C 1
10＋2·C 2
10＋…＋10·C 10
10，T 也可以写成
T ＝∑n ＝1
10
n C n 10＝0·C1010＋1·C910＋2·C810＋…＋10·C 0
10，
相加得2T ＝10·210，即T ＝5·210
，
所以∑n ＝110
a n
b 2n ＝∑n ＝110
n C n
10＋∑n ＝1
10
C n
10＝5·210
＋210
－1＝6 143.
3．(1)阅读以下案例，利用此案例的想法化简C 03C 14＋C 13C 24＋C 23C 34＋C 33C 4
4. 【案例】考察恒等式(1＋x )5
＝(1＋x )2
(x ＋1)3
左右两边x 2
的系数． 因为右边(1＋x )2
(x ＋1)3
＝(C 0
2＋C 1
2x ＋C 22x 2
)(C 03x 3
＋C 13x 2
＋C 2
3x ＋C 3
3)， 所以右边x 2
的系数为C 02C 1
3＋C 12C 2
3＋C 22C 3
3，而左边x 2
的系数为C 2
5， 所以C 02C 1
3＋C 12C 2
3＋C 22C 3
3＝C 2
5.
(2)求证：∑r ＝0
n
(r ＋1)2
(C r n )2－n 2C n －12n －2＝(n ＋1)C n
2n .
解：(1)考察恒等式(1＋x )7＝(1＋x )3(x ＋1)4左右两边x 3
的系数．
因为右边(1＋x )3
(x ＋1)4
＝(C 0
3＋C 1
3x ＋C 23x 2
＋C 33x 3
)·(C 04x 4
＋C 14x 3
＋C 24x 2
＋C 3
4x ＋C 4
4)， 所以右边x 3
的系数为C 03C 1
4＋C 13C 2
4＋C 23C 3
4＋C 33C 4
4，
