2017届高一数学北师大版选修1-1 第4章 单元综合检测 Word版含解析

章末综合测评（二）圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是（）A．2 B．2错误!C．4 D．4错误!【解析】双曲线方程可化为错误!－错误!＝1，所以a2＝4，a＝2，2a＝4。

【答案】C2．（2016·临沂高二检测)若抛物线的准线方程为x＝－7,则此抛物线的标准方程为（)A．x2＝－28y B．y2＝28xC．y2＝－28x D．x2＝28y【解析】抛物线准线方程x＝－错误!＝－7,∴p＝14，焦点在x 轴上，标准方程为y2＝28x。

【答案】B3．已知双曲线错误!－错误!＝1(a〉0，b>0）的一条渐近线方程为y ＝错误!x,则双曲线的离心率为（)A.错误!B．错误!C.错误!D．错误!【解析】由题意双曲线焦点在x轴上,故错误!＝错误!，∴e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

【答案】A4．若椭圆错误!＋错误!＝1的焦点在y轴上，则m的取值范围是（)A。

错误!B．（0，1)C。

错误!D．错误!【解析】由题意得3m>0，2m＋1〉0且2m＋1〉3m，解得0〈m<1。

【答案】B5．设F1,F2分别是双曲线x2－错误!＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且错误!·错误!＝0,则｜错误!＋错误!｜＝( ）A.10 B．2错误!C。

错误!D．2错误!【解析】设点P（x，y），由错误!·错误!＝0，得点P满足在以F1F2为直径的圆上，即x2＋y2＝10。

又错误!＋错误!＝2错误!＝(－2x,－2y)，∴|错误!＋错误!｜＝2错误!。

【答案】B6．以双曲线错误!－错误!＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( ）【导学号：63470051】A．y2＝16x B．y2＝－16xC．y2＝8x D．y2＝－8x【解析】因为双曲线错误!－错误!＝1的右顶点为(4,0），即抛物线的焦点坐标为(4，0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x。

学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．若椭圆x25＋y2m＝1的离心率e＝105，则m的值是()A．3B．3或25 3C.15 D．5或515 3【解析】若焦点在x轴上，则a＝5，由ca＝105得c＝2，∴b2＝a2－c2＝3，∴m＝b2＝3.若焦点在y轴上，则b2＝5，a2＝m.∴m－5m＝25，∴m＝25 3.【答案】 B2．椭圆x225＋y29＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()A．8,2 B．5,4C．5,1 D．9,1【解析】由题意知a＝5，b＝3，c＝4，∴a＋c＝9，a－c＝1，故点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别为9,1.【答案】 D3．(2016·梅州高二检测)焦点在x轴上，长、短轴长之和为20，焦距为45，则椭圆的方程为()A.x236＋y216＝1 B．x216＋y236＝1C.x26＋y24＝1 D．y26＋x24＝1【解析】∵c＝25，∴a2＝(25)2＋b2，又a＋b＝10，可解得a＝6，b＝4.故椭圆方程为x236＋y216＝1.【答案】 A4．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12 B ．23 C.34D ．45【解析】 由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|， ∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ＝2c . ∴3a ＝4c .∴e ＝34. 【答案】 C5．已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是( )A ．(0,1]B ．1,2]C ．(0,2]D ．2，＋∞)【解析】 因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，所以m 2＋n 22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2，故选B.【答案】 B 二、填空题6．椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是________.【导学号：63470028】【解析】 由题意2b >2c ，即b >c ，即a 2－c 2>c ， ∴a 2－c 2>c 2，则a 2>2c 2. ∴c 2a 2<12，∴0<e <22. 【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫0，227．(2016·台州高二检测)若椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，且△PF 1F 2的最大面积是12，则椭圆的短半轴长为________．【解析】 设P 点到x 轴的距离为h ，则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|h ，当P 点在y 轴上时，h 最大，此时S△PF 1F 2最大∵|F1F2|＝2c＝8，∴h＝3，即b＝3. 【答案】 38．焦点在x轴上的椭圆，焦距|F1F2|＝8，率心率为45，椭圆上的点M到焦点F1的距离2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为________．【解析】∵|F1F2|＝2c＝8，e＝ca＝45，∴a＝5，∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝2，∴|MF2|＝8. 又∵O，N分别为F1F2，MF1的中点，∴ON是△F1F2M的中位线，∴|ON|＝12|MF2|＝4.【答案】 4 三、解答题9．(1)求与椭圆x29＋y24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．【解】(1)∵c＝9－4＝5，∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)．设所求椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．∵e＝ca＝55，c＝5，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20.∴所求椭圆的标准方程为x225＋y220＝1.(2)因椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．∵2c＝8，∴c＝4，又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.∴椭圆的标准方程为x236＋y220＝1.10．设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．【解】 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4， 得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0. 而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k . 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形． 从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.能力提升]1．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A.233 B ．263 C.33D ． 3【解析】 由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0， 整理得x 2＋y 2＝3.①又因为点M 在椭圆x 24＋y 2＝1上，即y 2＝1－x 24.②将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263. 故点M 到y 轴的距离为263. 【答案】 B2．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1【解析】 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部，设点P 为椭圆上任意一点，则|OP |>c 恒成立，由椭圆性质知|OP |≥b ，其中b 为椭圆短半轴长， ∴b >c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2<12，∴e ＝c a <22. 又∵0<e <1，∴0<e <22. 【答案】 C3．椭圆E ：x 216＋y 24＝1内有一点P (2,1)，则经过点P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为__________．【解析】 设所求直线与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1. 相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0.又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.因此，所求直线方程：y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0. 【答案】 x ＋2y －4＝04．(2014·全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点，且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .【解】 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设，知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)． 故C 的离心率为12.(2)由题意知，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a . ①由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0， 则⎩⎨⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1. ②将①及c ＝a 2－b 2代入②，得9(2－4a)4a 2＋14a ＝1，解得a ＝7，b2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1模块同步练测建议用时实际用时满分实际得分45分钟一、选择题（每小题5分）1.下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy＝0，则|x|＋|y|＝0”的逆命题；③“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题.其中真命题共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列判断正确的是( )A.设x是实数，则“x＞1”是“｜x｜＞1”的充分不必要条件B.p:“x∈R,≤0”则有p:不存在x∈R,＞0C.命题“若=1,则x=1”的否命题为：“若=1，则x≠1”D.x∈(0,+∞),＞为真命题3.若集合A={1,},B={3,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.过点（2，4）作直线与抛物线=8x只有一个公共点，这样的直线有( )A.一条B.两条C.三条D.四条5.已知对任意的k∈R，直线y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是( )A.（0，1）B.（0，5）C.［1，5）∪（5，+∞）D.［1，5）6.已知抛物线y=-+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A，B，则AB等于( )A.3B.4C.3D.47.已知抛物线=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-28.若原点到直线bx+ay=ab的距离等于+1，则双曲线-=1（a＞0，b＞0）的半焦距的最小值为( )A.2B.3C.5D.69.已知函数f(x)的导数为f′(x)＝4－4x，且f(x)的图象过点(0，－5)，当函数f(x)取得极大值－5时，x的值应为( )A．－1 B．0 C．1 D．±110.若函数f(x)＝a－3x在(－1,1)上单调递减，则实数a的取值范围是( )A．a＜1 B．a≤1C．0＜a＜1 D．0＜a≤1二、填空题（每小题5分）11.已知命题p:x∈R,a+2x+3≥0，如果命题p为真命题，则实数a的取值范围是.12.函数f(x)=-+3+9x+a在区间[-2,2]上的最大值是20,则它在该区间上的最小值是.13.下列四个结论中，正确的有(填序号).①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件；②“是“一元二次不等式a＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；③“x≠1”是“≠1”的充分不必要条件；④“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.三、解答题14.（10分）设动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离和它到直线y=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程.（2）设圆M过A（0，2），且圆心M在曲线C上，EG是圆M在x轴上截得的弦，试探究当M运动时，|EG|是否为定值?为什么?15.（12分）设p：实数x满足－4ax+3＜0，其中a＞0；q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.16.（12分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝(1)写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)17.（14分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，2），点C满足=α+β，其中α，β∈R，且+=1.（1）求点C的轨迹方程；（2）过点D（2，0）的直线l和点C的轨迹交于不同的两点M，N，且M在D，N之间，=λ，求λ的取值范围1.B 解析：①是假命题，②是真命题，③是真命题，④是假命题.2.A 解析：A中x＞1|x|＞1,|x|＞1x＞1或x＜-1，所以正确;B中p:x∈R,＞0;C中否命题为：“若≠1，则x≠1”;D中x=时是错误的.3.A 解析：若m=2，A={1,4}，则A∩B={4}；反之，若A∩B={4}，则需=4，即m=±2.故“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.4.B 解析：因为点（2，4）在抛物线上，则过点（2，4）的抛物线的切线只有一条.当斜率为0时，直线和对称轴平行，这时也只有一个公共点，则符合题意的直线有两条.5.C 解析：直线恒过定点（0，1），若直线与椭圆恒有公共点，只需点（0，1）在椭圆上或在椭圆内部，∴≤1.又m＞0且m≠5，∴m≥1且m≠5.6.C 解析：设A（，3-），B（，3-），由于A，B关于直线x+y=0对称，所以解得或设直线AB的斜率为k，则k=1，所以AB=|-|=3，故选C.7.B 解析：设A（，），B（，），则有=2p，=2p，两式相减得（-）（+）=2p（-）.又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有+=2p.又线段AB的中点的纵坐标为2，即+=4，所以p=2，所以抛物线的准线方程为x=-=-1.8.D 解析：双曲线的半焦距c=（c＞0），由题意得=+1，∴ab=+c.∵+≥2ab，∴ab≤，∴≥+c.又∵c＞0，∴c≥6.故选D.9.B 解析：可以设f(x)＝－2＋c，其中c为常数．由于f(x)过(0，－5)，所以c＝－5.由f′(x)＝0，得极值点为x＝0或x＝±1.当x＝0时，f(x)＝－5，故x的值为0.10.B 解析：f′(x)＝3a－3，由题意知f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．若a≤0，显然有f′(x)＜0；若a＞0，由f′(x)≤0，得－≤x≤，于是≥1，∴0＜a≤1.综上知a≤1.11.a＜解析：∵p为真命题，∴p为假命题.又当p为真命题时，需a+2x+3≥0恒成立，显然a=0时不正确，则需∴a≥，∴当p为假命题时，a＜.12.-7 解析：f′(x)＝－3+6x+9.令f′(x)＝0,得x＝-1或x＝3.∴f(x)在[-1,2]上单调递增.又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减,f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,∴f(2)＞f(-2).∴f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值.于是有22+a＝20,解得a＝－2.∴f(x)＝-+3+9x-2.∴f(-1)＝1+3-9-2＝－7,即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.13.①②④解析：∵原命题与其逆否命题等价，∴若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件.x≠1≠1，反例：x＝－1＝1，∴“x≠1”是“≠1”的不充分条件.x≠0x＋|x|＞0，反例：x＝－2x＋|x|＝0.但x＋|x|＞0x＞0x≠0，∴“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.14.解：（1）如图，依题意知，动点P到定点F（0，1）的距离等于点P到直线y=-1的距离，故曲线C是以原点为顶点，F（0，1）为焦点的抛物线.∵=1，∴p=2.∴曲线C的方程是=4y.（2）设圆M的圆心为M（a，b），∵圆M过A（0，2），∴圆的方程为+=+.令y=0得-2ax+4b-4=0.设圆与x轴的两交点分别为（，0），（，0）.方法一：不妨设＞，由求根公式得=，=.∴-=.又∵点M（a，b）在抛物线=4y上，∴=4b.∴-==4，即|EG|=4.∴当M运动时，弦长|EG|为定值4.方法二：∵+=2a，·=4b-4，∴=-4·=-4（4b-4）=4-16b+16.又∵点M（a，b）在抛物线=4y上，∴=4b，∴=16，|-|=4，∴当M运动时，弦长|EG|为定值4.15.解：由－4ax+3＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.又a＞0，所以a＜x＜3a.（1）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.由得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3.若p∧q为真，则p真q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3.（2）若p是q的充分不必要条件，即q，且p.设A={x|p},B={x|q},则A B，又A={x|p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|q}={x|x≤2或x＞3}，则有0＜a≤2且3a＞3，所以实数a的取值范围是1＜a≤2.16. 解：(1)当0<x≤10时，W(x)＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10；当x>10时，W(x)＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x.∴W(x)＝(2)①当0<x≤10时，由W′(x)＝8.1－＝0，得x＝9，且当x∈(0,9)时，W′(x)>0；当x∈(9,10］时，W′(x)<0，∴当x＝9时，W(x)取最大值，且＝8.1×9－×－10＝38.6.②当x>10时，W(x)＝98－(＋2.7x)≤98－2＝38，当且仅当＝2.7x，即x＝时，W()＝38，故当x＝时，W(x)取最大值38.综合①②知当x＝9时，W(x)取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．17.解：（1）设点C（x，y），∵=α+β，∴（x，y）=α（1，0）+β（0，2），∴即代入+=1，得点C的轨迹方程为+=1.（2）由已知得0＜λ＜1，设M（，），N（，），则由=λ，可得（-2，）=λ（-2，），∴即∵M，N在椭圆上，∴消去，得+（1-）=1，即-=1-.利用平方差公式整理得=（λ≠1）.∵||≤1，∴||≤1，解得≤λ≤3，且λ≠1. 又0＜λ＜1，∴λ的取值范围是[，1).。

第四章单元综合检测(时间分钟满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分). 设()＝－(<<)，则()在[，＋∞)内的极大值点等于( ).... －解析：令′()＝－＝(<<)，∴＝.∴＝.答案：. 若函数()＝－－在区间[]上的最大值，最小值分别是，，则－的值为( )....解析：令′()＝－＝，∴＝(＝－舍去)．∵()＝－，()＝－－，()＝－，∴()<()<()．∴＝－，＝－－.∴－＝(－)－(－－)＝.答案：．函数()＝－的单调递减区间是( )，，解析：∵′()＝－＝，当<≤时，′()≤.答案：．已知对任意实数，有(－)＝－()，(－)＝()．且>时，′()>，′()>，则<时( ). ′()>，′()<. ′()>，′()>. ′()<，′()<. ′()<，′()>解析：()为奇函数且>时单调递增，所以<时单调递增，′()>；()为偶函数且>时单调递增，所以<时单调递减，′()<.答案：．[·福建高考]设函数()的定义域为，(≠)为()的极大值点，以下结论一定正确的是( ). ∀∈，()≤(). －是(－)的极小值点. －是－()的极小值点. －是－(－)的极小值点解析：函数()的极大值()不一定是最大值，故错；()与－(－)关于原点对称，故(≠)是()的极大值点时，－是－(－)的极小值点，故选.答案：．对任意的∈，函数()＝＋＋不存在极值点的充要条件是( ). ＝或＝. ≤≤. ＝或＝. <或> 解析：′()＝＋＋，当Δ＝－≤，即≤≤时，′()≥恒成立，函数不存在极值点．答案：．函数()＝＋－在区间(，＋∞)内是增函数，则实数的取值范围是( )．[－，＋∞)．[，＋∞)．(－∞，－)．(－，＋∞)解析：′()＝＋.令＋≥，则≥－，∈(，＋∞)，∴≥－.答案：．若函数()满足()＝－′()·－，则′()的值为( )．．．－．解析：′()＝－′()－，所以′()＝－′()－，则′()＝.答案：．[·辽宁高考]当∈[－]时，不等式－＋＋≥恒成立，则实数的取值范围是( ). [－，－]. [－，－]. [－，－]. [－，－]解析：当∈(]时，得≥－()－()＋，令＝，则∈[，＋∞)，≥－－＋，令()＝－－＋，∈[，＋∞)，则′()＝－－＋＝－(＋)(－)，显然在[，＋∞)上，′()<，()单调递减，所以()＝()＝－，因此≥－；同理，当∈[－)时，得≤－.由以上两种情况得－≤≤－，显然当＝时也成立．故实数的取值范围为[－，－]．答案：．若函数()在上可导，且()>′()，则当>时，下列不等式成立的是( ). ()>(). ()>(). ()>(). ()>()解析：∵()′＝＝<，。

学号：◆◆◆◆◆ ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作新建二中2010—2011学年度下学期第一次月考高二文科数学答案命题人： 陈选明 考试范围： 必修3，选修1-1 时 量：120分钟 总 分： 150分题号 一 二三 得分16 17 18 19 20 21分数一.选择题(本大题10个小题,每小题5分,共50分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCCCADACCD二.填空题(本大题5个小题,每小题5分,共25分)11. [)1+∞，； 12. 2e -； 13. 3； 14.2 ； 15. ②③；三．解答题(本大题6个小题,共75分)请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！17.（本题满分12分）解：由已知得1212||||6,||25PF PF F F +==，（2分）12PF F ∆为直角三角形，且12||||PF PF >，21PF F ∴∠为直角或12F PF ∠为直角（4分）（1）若21PF F ∠为直角，则2221212||||||,PF PF F F =+2211114||(6||)20||3PF PF PF ∴=-+⇒=，24||,3PF =故12||7||2PF PF =（8分）（2）若12F PF ∠为直角，则2221212||||||,F F PF PF =+2211120||(6||)||4PF PF PF ∴=+-⇒=，2||2,PF = 故12||2||PF PF = 综上所述，12||||PF PF 的值为2或72.（12分）16.（本题满分12分） 解法1：“p q ∨”为真命题，则p 为真命题，或q 为真命题，或p 和q 均为真命题①当p 为真命题时，2400,31,210m m m m ⎧->⎪->-<<-∴<-⎨⎪>⎩得（3分）②当q 为真命题时，216(2)160,31m m ∆=+-<-<<-得（6分） ③当p 和q 都是真命题时，得32m -<<-（9分） 综合①②③得：1m <-（12分）解法2：“p q ∨”为真命题，则p q 、中至少有一个为真命题当p 为真命题时，2400,210m m m ⎧->⎪->∴<-⎨⎪>⎩（3分）当q 为真命题时，216(2)160,31m m +-<-<<-（6分） 若p 假q 假，则1m ≥（9分）故p q 、至少有一个为真命题时，1m <-（12分）请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！19.（本题满分12分）解：（Ⅰ）()f x的定义域为()0,+∞，()f x的导数()'1lnf x x=+（2分）令()0f x'>，解得1xe>；令()0f x'<，解得10xe<<（4分）所以，函数()f x的增区间为1(,)e+∞，减区间为1(0,)e．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当1xe=时，函数()f x取到最小值1Me=-，（8分）∴切线的斜率为1eM=-设切线的切点为00(,)x y，因此有1ln1x+=-，021xe∴=，从而00022lny x xe==-（10分）所求切线方程为2221()y xe e+=--，即21x ye++=（12分）18.（本题满分12分）解：（I）30.0=a、35=b、100=c，（3分）成绩不低于120分的概率为：60.010.020.030.0=++=p；（6分）（II）第3、4、5组共有60名学生，用分层抽样在60名学生中抽6名学生，则第3、4、5组分别抽取3人，2人，1人，（7分）设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学不含B1、B2的可能性有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，C1），（A2，A3），（A2，C1），（A3，C1），共6种可能；B1、B2至少有一名的可能性有：（B1，A1），（B1，A2），（B1，A3），（B2，A1），（B2，A2），（B2，A3），（B1，C1），（B2，C1），（B1，B2）有9种可能，（10分）第4组抽取学生中至少有一名是负责人的概率是53969=+．（12分）请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！20.（本题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞且2()x af x x+'=（2分）①若1a ≥-，则0x a +≥，即()0f x '≥在[1,]e 上恒成立， 此时()f x 在[1,]e 上为增函数，[)min 33()(1),1,22f x f a a ∴==-=∴=-∉-+∞（应舍去）（4分）②若a e ≤-，则0x a +≤，即()0f x '≤在[1,]e 上恒成立， 此时()f x 在[1,]e 上为减函数， (]min31()()1,22a f x f e a e e e ∴==-=⇒=-∉-∞-（应舍去）（6分）③若1e a -<<-，令()0f x '=，得x a =-当1x a <<-时，()0f x '<，()f x 在(1,)a -上为减函数， 当a x e -<<时，()0f x '>，()f x 在(,)a e -上为增函数min 3()()ln()1,2f x f a a a e ∴=-=-+=∴=-(符合题意)，（8分） 综上所述：a e =-（Ⅱ）223(),ln ,0,ln af x x x x x a x x x x<∴-<>∴>-又（10分）令32()ln ,()()1ln 3,g x x x x h x g x x x '=-==+-所以 则2116()6x h x x x x-'=-=()h x ∴在(1,)+∞上为减函数， ()(1)2h x h ∴<=-，即()0g x '<()g x ∴在(1,)+∞上是减函数，()(1)1g x g ∴<=-（12分） 所以，要使符合题意，则1a ≥-，∴当2()f x x <在(1,)+∞上恒成立时，有1a ≥-（13分）21.（本题满分14分）解： (Ⅰ)设曲线C 上任一点为G ，则12||||12GF GF +=， 由椭圆的定义得曲线C 为椭圆，且6a =，4c =，∴220b =，∴曲线C 的方程为2213620x y +=.（4分）(Ⅱ)设00(,)P x y ，(6,0)A -，则00(6,)AP x y =+，200(4,)PF x y =--，由2PA PF ⊥得20000(6,)(4,)AP PF x y x y ⋅=+⋅--220002240x x y =-+--=，（6分）又P 在椭圆上，∴220013620x y +=，代入消元得20029180x x +-=，解得032x =或06x =-（舍去），∴P 点坐标为353(,)22±. （9分）(Ⅲ)设(0,)M m ，(,)N x y 为椭圆上任意一点，则222||()MN x y m =+-，由2213620x y +=得229365y x =-代入2||MN 得： 2222294||36()23655MN y y m y my m =-+-=--++22459()36544m y m =-+++，2525y -≤≤，（11分） ∴若855m >，则25y =-时，||MN 取得最大值为25m +，∴8537255m =-<(舍去)，若855m <-，则25y =时，||MN 取得最大值为25m -+，∴8525375m =->-(舍去)， 若858555m -≤≤，则当54m y =-时， 2||MN 取得最大值29364m +，∴2936794m +=⨯，解得8823[5,5]55m =±∈-，综上所述点(0,23)M ±. （14分）。

单元测评(四)1.B[解析]分别画出四个函数的图像(图略),由图像得到在x=0处取得极值的函数是y=x2+1和y=cos x.2.D[解析]y=3cos x+1是周期函数,不满足条件;对于y=x-e x,y'=1-e x,不恒为正;对于y=x3-2x,y'=x2-2,不恒为正;对于y=ln x+x2,y'=+x>0在(0,+∞)上恒成立.故选D.3.D[解析]令s'=t3-12t2+32t=t(t-4)(t-8)=0,得t=0或t=4或t=8,故选D.4.D[解析]由f(x)=x e x,可得f'(x)=(x+1)e x.令f'(x)=(x+1)e x>0可得x>-1,即函数f(x)在(-1,+∞)上是增加的;令f'(x)=(x+1)e x<0可得x<-1,即函数f(x)在(-∞,-1)上是减少的.所以x=-1为f(x)的极小值点,故选D.5.C[解析]由题意可得f'(x)=ln x+1(x>0),令f'(x)<0,即ln x+1<0,解得0<x<e-1,即函数的递减区间为(0,e-1).6.A[解析]由题意可得,当x>1时,f'(x)=-x+a+2+≤0,即a≤x--2.∵函数y=x--2在(1,+∞)上是增加的,∴y>-2,∴a≤-2,故选A.7.D[解析]由函数的单调性与导数符号的关系知选D.8.A[解析]因为M=m,所以f(x)为常数函数,故f'(x)=0.9.C[解析]设圆柱形新工件的高度为h,则其体积为V(h)=πh R2-(0<h<2R),∴V'(h)=πR2-,令V'(h)=0,得h=R,易知当h=R时,圆柱形新工件的体积最大,最大值为π·R R2-=πR3,因此材料利用率的最大值为=,故选C.10.A[解析]由题设可得m=3x-x3在[0,2]上有解,即函数g(x)=m与f(x)=3x-x3的图像在[0,2]上有交点.f'(x)=3(1-x2)=3(1+x)(1-x),故当x∈[0,1)时,f'(x)>0,函数f(x)是增加的;当x∈(1,2]时,f'(x)<0,函数f(x)是减少的.故函数f(x)在x=1时取得极大值,也是最大值,且f(x)max=3-1=2,易知最小值f(x)min=3×2-8=-2,故当m∈[-2,2]时,函数g(x)=m与f(x)=3x-x3的图像在[0,2]上有交点,故选A.11.B[解析]由题意得f'(x)=+x+(5-m),若f(x)在区间(2,3)上是增加的,则f'(x)≥0在(2,3)上恒成立,即m-5≤+x在(2,3)上恒成立.令g(x)=+x,x∈(2,3),则g'(x)=-+1>0,所以g(x)在(2,3)上是增加的,故g(x)>g(2)=3,所以m-5≤3,即m≤8,故选B.12.B[解析]∵g(x)=f(x)-x2,f'(x)<x,∴g'(x)=f'(x)-x<0,∴g(x)在R上是减少的.又f(4-m)-f(m)=g(4-m)+(4-m)2-g(m)-m2=g(4-m)-g(m)+8-4m≥8-4m,∴g(4-m)≥g(m),∴4-m≤m,解得m≥2,故选B.13.[-1,2][解析]根据题意可知f'(x)=x2+2ax+a+2≥0恒成立,则Δ=4a2-4(a+2)≤0,解得-1≤a≤2.14.m≥[解析]因为函数f(x)在R上无极值点,故函数f(x)在R上单调,又f'(x)=3x2+2x+m,所以f(x)在R上是增加的,所以f'(x)≥0恒成立,即m≥-3x2-2x恒成立,又y=-3x2-2x=-3x+2+≤,所以m≥.15.(-∞,-2)∪(0,2)[解析]令g(x)=xf(x),由f(x)是偶函数可知函数g(x)为奇函数,则当x<0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)<0,即函数g(x)在区间(-∞,0)上是减少的,又g(2)=2f(2)=0,据此绘制函数g(x)的大致图像,如图所示,结合函数g(x)的图像可知不等式xf(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(0,2).16.(2)(3)[解析](1)不正确,因为在区间(-3,-1)上导函数的图像在x轴下方,所以f(x)是减少的;(2)正确,由导函数的图像及极小值点的定义知x=-1是f(x)的极小值点;(3)由导函数的图像知,在(2,4)上导数值为负,在(-1,2)上导数值为正,故正确;(4)不正确,由导函数的图像知,点(2,0)左侧导数值为正,右侧导数值为负,所以x=2应是f(x)的极大值点.17.解:f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x,则f'(x)=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a).令f'(x)=0,解得x=或x=a.由于a>0,当x变化时,f'(x)的变化如下表:因此,函数f(x)在x=处取得极小值f,且f=-a3;函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0.18.解:(1)∵f(x)的图像过点(0,3),∴f(0)=d=3,∴f(x)=x3+bx2+cx+3,∴f'(x)=x2+2bx+c.又由已知得x=-1,x=3是f'(x)=0的两个根,∴---∴--故f(x)=x3-x2-3x+3.(2)由已知可得x=-1是f(x)的极大值点,x=3是f(x)的极小值点,∴f(x)极大值=f(-1)=,f(x)极小值=f(3)=-6 .19.解:(1)∵函数f(x)=x3-3ax-1(a≠0)在x=-1处取得极值,∴f'(-1)=3×(-1)2-3a=0,解得a=1.(2)∵f'(x)=3x2-3,∴g(x)=x3+g'(1)·(3x2-2),∴g'(x)=x2+g'(1)·6x,则g'(1)=1+g'(1)×6,∴g'(1)=-,则g(x)=x3-x2+,g'(x)=x2-x=x-.令g'(x)=0,得x=0或x=,当x∈(-1,0)时,g'(x)>0,g(x)是增加的;当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)是减少的.故g(x)在x=0处取得极大值.∵g(-1)=-,g(0)=,g(1)=,∴g(x)在[-1,1]上的最大值为,最小值为-.20.解:(1)无盖方盒的容积V(x)=(a-2x)2x,0<x<.(2)因为V(x)=4x3-4ax2+a2x,所以V'(x)=12x2-8ax+a2,令V'(x)=0,得x=(舍)或x=.当x∈0,时,V'(x)>0;当x∈,时,V'(x)<0.因此当x=时,函数V(x)取到极大值,也是最大值,故当x=时,方盒的容积最大.21.解:(1)∵f'(x)=-f'(1),∴f'(1)=1-f'(1),∴f'(1)=,∴f(x)=ln-x,∴f'(x)=-=-.当0<x<2时,f'(x)>0;当x>2时,f'(x)<0.∴f(x)的递增区间为(0,2),递减区间为(2,+∞).(2)g(x)=2x--ln,则g'(x)=2-+=-,由题意可知-≥0在[2,+∞)上恒成立,即2x2-x+2a≥0在[2,+∞)上恒成立.∵函数u(x)=2x2-x+2a的图像开口向上,且对称轴方程为x=,∴u(x)在[2,+∞)上是增加的,∴只需使u(2)≥0,解得a≥-3.易知当a=-3时,在[2,+∞)上,g'(x)≥0且不恒为0.故a≥-3.22.解:(1)g'(x)=e x-a.①当a≤0时,g'(x)>0恒成立,g(x)在(-∞,+∞)上是增加的.②当a>0时,当x∈(-∞,ln a)时,g'(x)<0,g(x)是减少的;当x∈(ln a,+∞)时,g'(x)>0,g(x)是增加的.(2)当x>0时,x2-x≤e x-ax-1,即a≤-x-+1.令h(x)=-x-+1(x>0),则h'(x)=--.令F(x)=e x(x-1)-x2+1,则F'(x)=x(e x-2).当x∈(0,ln 2)时,F'(x)<0,F(x)是减少的;当x∈(ln 2,+∞)时,F'(x)>0,F(x)是增加的.又F(0)=0,F(1)=0,所以当x∈(0,1)时,F(x)<0,即h'(x)<0,h(x)是减少的,当x∈(1,+∞)时,F(x)>0,即h'(x)>0,h(x)是增加的.所以h(x)min=h(1)=e-1,所以a∈(-∞,e-1].-=.-。

第四章 §2 2.1一、选择题(每小题5分，共20分)1．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A ．1秒末B ．0秒C ．4秒末D ．0,1,4秒末解析： ∵s ′＝t 3－5t 2＋4t ，令s ′＝0，得t 1＝0，t 2＝4，t 3＝1，故选D. 答案： D2．一根金属棒的质量y (单位：kg)是长度x (单位：m)的函数，y ＝f (x )＝3x ，则从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是( )A.25 kg/m B ．35 kg/mC.34kg/m D ．12kg/m解析： 平均线密度：f (9)－f (4)9－4＝39－345＝35( kg/m)．答案： B3．某汽车的紧急刹车装置需在遇到紧急情况2 s 内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s (t )＝13t 3－4t 2＋20t ＋15，则s ′(1)的实际意义为( )A ．汽车刹车后1 s 内的位移B ．汽车刹车后1 s 内的平均速度C ．汽车刹车后1 s 时的瞬时速度D ．汽车刹车后1 s 时的位移解析： s ′(t )表示运动物体在时刻t 的速度即在t 的瞬时速度． 答案： C4．物体自由落体运动方程为s ＝s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若s ′(1)＝lim Δt →0s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝9.8(m/s)，那么下列说法正确的是( )A ．9.8 m/s 是在0～1 s 这段时间内的速率B ．9.8 m/s 是从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速度D ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt ) s 这段时间内的平均速率解析：解本题时关键弄清瞬时速度与平均速度的概念答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图，水波的半径以50 cm/s的速度向外扩张，当半径为250 cm时，一水波面的圆面积的膨胀率是________．解析：∵s＝πr2，r＝50t，∴s＝2 500 πt2，r＝50t＝250，∴t＝5∴ΔsΔt＝2 500π(5＋Δt)2－2 500π52Δt＝2 500π(Δt2＋10Δt)Δt＝2 500πΔt＋25 000π.lim Δt→0ΔsΔt＝25 000π.答案：25 000π cm2/s6．某收音机制造厂管理者通过对上班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从8：00开始工作，t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)＝－t3＋9t2＋12t，则Q′(2)＝______，它的实际意义为________．解析：∵Q(t)＝－t3＋9t2＋12t∴Q′(t)＝－3t2＋18t＋12∴Q′(2)＝－3×4＋18×2＋12＝36台/时实际意义：10：00时工人装配收音机的速度为36台/时．答案：36(台/时)10：00时工人装配收音机的速度为36台/时三、解答题(每小题10分，共20分)7．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝120t＋5＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)(1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它表示什么意义？(3)当t ＝5 min 时，蜥蜴的体温下降的瞬时变化率是多少？它表示什么意义？ 解析： (1)∵T (10)－T (0)＝12010＋5＋15－⎝⎛⎭⎫1205＋15 ＝－16(℃)∴从t ＝0 min 到t ＝10 min ，蜥蜴的体温下降了16 ℃. (2)从t ＝0 min 到t ＝10 min ，蜥蜴体温下降的平均变化率是： T (10)－T (0)10＝－1610＝－1.6(℃/min)． 它表示从t ＝0 min 到t ＝10 min 这段时间内，蜥蜴体温平均每分钟下降1.6 ℃. (3)∵T ′(t )＝⎝⎛⎭⎫120t ＋5＋15′＝－120(t ＋5)2，∴当t ＝5 min 时，蜥蜴的瞬时变化率为： T ′(5)＝－120102＝－1.2(℃/min)，它表示t ＝5 min 时蜥蜴体温的下降速度为1.2 ℃/min.8．江轮逆水上行300 km ，水速为6 km/h ，船相对于水的速度为x km/h ，已知船航行时每小时的耗油量为0.01x 2L ，即与船相对于水的速度的平方成正比．(1)试写出江轮航行过程中耗油量y 关于船相对于水的速度x 的函数关系式：y ＝f (x )； (2)求f ′(36)，并解释它的实际意义．(船的实际速度＝船相对水的速度－水速) 解析： (1)船的实际速度为(x －6)km/h ，故全程用时300x －6 h ，所以耗油量y 关于x 的函数关系式为y ＝f (x )＝300×0.01x 2x －6＝3x 2x －6(x >6)．(2)f ′(x )＝3·2x (x －6)－x 2(x －6)2＝3x (x －12)(x －6)2，f ′(36)＝3×36×(36－12)(36－6)2＝2.88⎝⎛⎭⎫L km/h f ′(36)表示当船相对于水的速度为36 km/h 时耗油量增加的速度为2.88 L/h ，也就是说当船相对于水的速度为36 km/h 时，船的航行速度每增加1 km/h ，耗油量就要增加2.88 L.尖子生题库☆☆☆9．(10分)东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c 元与生产量x 台之间的关系式为c (x )＝－2x 2＋7 000x ＋600.(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量； (3)求c ′(1 000)与c ′(1 500)，并说明它们的实际意义．解析：(1)总利润为5 000 600元，平均利润为5 000.6元；(2)平均改变量－2×1 5002＋7 000×1 500＋600＋2×1 0002－7 000×1 000－6001 500－1 000＝1 000 000500＝2 000(元)；(3)∵c′(x)＝(－2x2＋7 000x＋600)′＝－4x＋7 000，∴c′(1 000)＝－4×1 000＋7 000＝3 000(元)，c′(1 500)＝－4×1 500＋7 000＝1 000(元)，c′(1 000)＝3 000表示当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利3 000元．c′(1 500)＝1 000表示当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利1 000元.。

选修1－1　模块综合测试(一)(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若命题p ：∀x ∈R,2x 2＋1>0，则¬p 是( )A ．∀x ∈R,2x 2＋1≤0B ．∃x ∈R,2x 2＋1>0C ．∃x ∈R,2x 2＋1<0D ．∃x ∈R,2x 2＋1≤0解析：¬p ：∃x ∈R,2x 2＋1≤0.答案：D 2．不等式x －>0成立的一个充分不必要条件是( )1x A. －1<x <0或x >1B. x <－1或0<x <1C. x >－1D. x >1解析：本题主要考查充要条件的概念、简单的不等式的解法．画出直线y ＝x 与双曲线y ＝的图像，两图像的交点为(1,1)、(－1，－1)，依图知x －>0⇔－1<x <0或x >1　(*)，显1x 1x 然x >1⇒(*)；但(*)x >1，故选D.答案：D 3．[2014·西安模拟]命题“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题是( )A ．若a ＋1≤b ，则a >b B ．若a ＋1<b ，则a >b C ．若a ＋1≤b ，则a ≤b D ．若a ＋1<b ，则a <b解析：“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题为“若a ＋1≤b ，则a ≤b ”，故选C.答案：C 4．[2014·山东省日照一中模考]下列命题中，为真命题的是( )A. ∀x ∈R ，x 2－x －1>0B. ∀α，β∈R ，sin(α＋β)<sin α＋sin βC. 函数y ＝2sin(x ＋)的图像的一条对称轴是x ＝ππ545D. 若“∃x 0∈R ，x －ax 0＋1≤0”为假命题，则a 的取值范围为(－2,2)20解析：本题主要考查命题的判定及其相关知识的理解．因为x 2－x －1＝(x －)2－，所1254以A 错误；当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 错误；当x ＝时，y ＝0，故4π5C 错误；因为“∃x 0∈R ，x －ax 0＋1≤0”为假命题，所以“∀x ∈R ，x 2－ax ＋1>0”为真20命题，即Δ<0，即a 2－4<0，解得－2<a <2，即a 的取值范围为(－2,2)．故选D.答案：D 5．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆x 23的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2B ．63C ．4D ．123解析：设椭圆的另一焦点为F ，由椭圆的定义知|BA |＋|BF |＝2，且|CF |＋|AC |＝2，33所以△ABC 的周长＝|BA |＋|BC |＋|AC |＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|AC |＝4.3答案：C 6．过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( )A.－＝1 B.－＝1x 22y 24x 24y 22C.－＝1D.－＝1y 24x 22y 22x 24解析：与双曲线－y 2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为－y 2＝λ，x 22x 22由过点(2，－2)，可解得λ＝－2.所以所求的双曲线方程为－＝1.y 22x 24答案：D 7．若双曲线－＝1(a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则x 2a 2y 2b 2双曲线离心率的取值范围是( )A ．e >B ．1<e <22C ．e >2D ．1<e <2解析：由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故>c2a ，∴>2.c a 答案：C 8．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x 都有f (x )≥0，则的最小值为( )f (1)f ′(0)A. 3 B. 52C. 2D. 32解析：f ′(x )＝2ax ＋b ，∵f ′(0)>0，∴b >0.∵f (x )≥0，∴a >0，b 2－4ac ≤0，即b 2≤4ac .∴c >0.∴＝＝＋1≥＋1≥2，即所求的最小值为2.f (1)f ′(0)a ＋b ＋c ba ＋cb 2acb 答案：C 9．[2014·山东高考]已知a >b >0，椭圆C 1的方程为＋＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2y 2b 2－＝1，C 1与C 2的离心率之积为，则C 2的渐近线方程为( )x 2a 2y 2b 232A. x ±y ＝0 B. x ±y ＝022C. x ±2y ＝0D. 2x ±y ＝0解析：椭圆C 1的离心率为，双曲线C 2的离心率为，所以·a 2－b 2aa 2＋b 2aa 2－b 2a＝，所以a 4－b 4＝a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝b ，所以双曲线C 2的渐近线方程a 2＋b 2a32342是y ＝±x ，即x ±y ＝0.122答案：A 10．[2014·黑龙江质检]下列四个图像中，有一个是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a 2－4)13x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数y ＝f ′(x )的图像则f (1)＝( )A. B. 10343C. －D. 123解析：f (x )＝x 3＋ax 2＋(a 2－4)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－4)，由13a ≠0，结合导函数y ＝f ′(x )的图像，知导函数图像为③，从而可知a 2－4＝0，解得a ＝－2或a ＝2，再结合－a >0知a ＝－2，代入可得函数f (x )＝x 3＋(－2)x 2＋1，可得f (1)13＝－，故选C.23答案：C 11．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝|AF |，则△AFK 的面积为( )2A ．4B ．8C ．16D ．32解析：∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)．设A (x 0，y 0)，如右图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)．∵|AK |＝|AF |，2又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2，∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y ＝(x 0＋2)2，20即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为|KF |·|y 0|＝×4×4＝8，故选B.1212答案：B 12．[2013·浙江高考]如图，F 1、F 2是椭圆C 1：＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，x 24A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. B. 23C.D. 3262解析：本题考查椭圆、双曲线的定义和简单的几何性质．设双曲线的方程为－＝1(a >0，b >0)　①，点A 的坐标为(x 0，y 0)．x 2a 2y 2b 2由题意a 2＋b 2＝3＝c 2　②，|OA |＝|OF 1|＝，3∴Error!，解得x ＝，y ＝，又点A 在双曲线C 2上，代入①得，b 2－a 2＝a 2b 2　208320138313③，联立②③解得a ＝，所以e ＝＝，故选D.2ca 62答案：D 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )＝x 4＋bx ＋7(b 为常数)，g (x )＝f ′(x )，且g (1)＝1，则b ＝________.解析：∵f (x )＝x 4＋bx ＋7，∴f ′(x )＝4x 3＋b .又g (x )＝f ′(x )，∴g (x )＝4x 3＋b ，则g (1)＝4＋b ＝1，∴b ＝－3.答案：－314．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是__________．解析：p 是假命题，则¬p 为真命题，¬p 为：∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0，所以有Δ＝4a 2－4a <0，即0<a <1.答案：(0,1)15．向高为8 m ，底面边长为8 m 的倒置正四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟 83m 3，则当水深为5 m 时，水面上升的速度为________．解析：设注水t min 时，水的深度为h m ，则容器内的体积为t ＝h 2·h ，8313则h ＝2，所以h ′(t )＝.3t 2313t 2当h ＝5时，t ＝，1258故v ＝h ′()＝ m/min.1258875答案： m/min87516．[2014·河北省邢台一中月考]F 1、F 2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，P 为x 216y 29双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.解析：本题主要考查双曲线定义及标准方程的应用．设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2⇒×|PF 2|×r ＝×|PF 1|×r －λ×|F 1F 2|×r ⇒|PF 1|－|PF 2|＝λ|F 1F 2|，根据双曲线的标准121212方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝＝.a c 45答案：45三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |<0}，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)<0}．命x －2x －3题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B .(1)当a ＝时，p 是q 的什么条件？12(2)若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)A ＝{x |<0}＝{x |2<x <3}，x －2x －3当a ＝时，B ＝{x |<x <}，121294故p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B ，由a 2＋2>a ，故B ＝{a |a <x <a 2＋2}，∴Error!解得a ≤－1或1≤a ≤2.18．(12分)已知c >0，设p ：y ＝c x 为减函数；q ：函数f (x )＝x ＋>在x ∈[，2]上恒成1x 1c 12立，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求c 的取值范围．解：由y ＝c x 为减函数，得0<c <1.当x ∈[，2]时，由不等式x ＋≥2(x ＝1时取等号)知：f (x )＝x ＋在[，2]上的最小值121x 1x 12为2，若q 真，则<2，即c >.若p 真q 假，则0<c <1且c ≤，所以0<c ≤.若p 假q 真，1c 121212则c ≥1且c >，所以c ≥1.综上：c ∈(0，]∪[1，＋∞)．121219．(12分)[2014·石家庄模拟]已知函数f (x )＝e x ＋ax －1(e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝1时，求过点(1，f (1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f (x )≥x 2在(0,1)上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝e x ＋x －1，f (1)＝e ，f ′(x )＝e x ＋1，f ′(1)＝e ＋1，所以函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝(e ＋1)(x －1)，即y ＝(e ＋1)x －1.设切线与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，令x ＝0，得y ＝－1，令y ＝0，得x ＝，所以A (，0)，B (0，－1)，S △OAB ＝×1e ＋11e ＋112×1＝.1e ＋112(e ＋1)所以函数f (x )在点(1，f (1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为.12(e ＋1)(2)由f (x )≥x 2(x ∈(0,1))得，a ≥，1＋x 2－e xx令h (x )＝＝＋x －，1＋x 2－e xx 1x e xx 则h ′(x )＝1－－＝，1x 2e x (x －1)x 2(x －1)(x ＋1－e x )x 2令k (x )＝x ＋1－e x ，则k ′(x )＝1－e x ，因为x ∈(0,1)，所以k ′(x )＝1－e x <0，k (x )在(0,1)上为减函数，所以k (x )<k (0)＝0.又x －1<0，x 2>0，所以h ′(x )＝>0，(x －1)(x ＋1－e x )x 2所以h (x )在(0,1)上为增函数，h (x )<h (1)＝2－e ，因此只需a ≥2－e 即可满足题意，所以a 的取值范围为[2－e ，＋∞)．20．(12分)已知椭圆＋＝1，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点A (1,1)为椭圆内x 29y 25一点，点P 为椭圆上一点．求|PA |＋|PF 1|的最大值．解：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 1|＝6－|PF 2|，这样|PA |＋|PF 1|＝6＋|PA |－|PF 2|.求|PA |＋|PF 1|的最大值问题转化为6＋|PA |－|PF 2|的最大值问题，即求|PA |－|PF 2|的最大值问题，如图在△PAF 2中，两边之差小于第三边，即|PA |－|PF 2|<|AF 2|，连接AF 2并延长交椭圆于P ′点时，此时|P ′A |－|P ′F 2|＝|AF 2|达到最大值，易求|AF 2|＝，2这样|PA |－|PF 2|的最大值为，2故|PA |＋|PF 1|的最大值为6＋.221．(12分)[2014·课标全国卷Ⅰ]已知点A (0，－2)，椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的离心x 2a 2y 2b 2率为，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为，O 为坐标原点．32233(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，由条件知，＝，得c ＝.2c 2333又＝，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.ca 32故E 的方程为＋y 2＝1.x 24(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.x 24当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>时，x 1.2＝.348k ±24k 2－34k 2＋1从而|PQ |＝|x 1－x 2|＝.k 2＋14k 2＋1·4k 2－34k 2＋1又点O 到直线PQ 的距离d ＝.2k 2＋1所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝d ·|PQ |＝.1244k 2－34k 2＋1设＝t ，则t >0，S △OPQ ＝＝.4k 2－34tt 2＋44t ＋4t 因为t ＋≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±时等号成立，且满足Δ>0.4t 72所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝x －2或y ＝－x －2.727222．(12分)[2014·山西四校联考]已知f (x )＝ln x －x ＋a ＋1.(1)若存在x ∈(0，＋∞)使得f (x )≥0成立，求a 的范围；(2)求证：当x >1时，在(1)的条件下，x 2＋ax －a >x ln x ＋成立．1212解：f (x )＝ln x －x ＋a ＋1(x >0)．(1)原题即为存在x 使得ln x －x ＋a ＋1≥0，∴a ≥－ln x ＋x －1，令g (x )＝－ln x ＋x －1，则g ′(x )＝－＋1＝.1x x －1x 令g ′(x )＝0，解得x ＝1.∵当0<x <1时，g ′(x )<0，∴g (x )为减函数，当x >1时，g ′(x )>0，∴g (x )为增函数，∴g (x )min ＝g (1)＝0.∴a ≥g (1)＝0.∴a ≥0.(2)原不等式可化为x 2＋ax －x ln x －a －>0(x >1，a ≥0)．1212令G (x )＝x 2＋ax －x ln x －a －，则G (1)＝0.1212由(1)可知x －ln x －1>0，则G ′(x )＝x ＋a －ln x －1≥x －ln x －1>0，∴G (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴G (x )≥G (1)＝0成立，∴x 2＋ax －x ln x －a －>0成立．1212。