(北师大版)高一数学必修1全套教案

对数的概念教学设计《对数的概念》本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点,在此之前，学生已经学习了指数、指数函数的内容，了解了指数运算是已知底数和指数求幂值，而对数是已知底数和幂值求指数的运算，两者是互逆的关系，对数的概念是学习对数函数的入门课，对数函数对于学生来说又是一个全新的函数模型，它是在指数函数的基础上，对函数类型的扩展，是本章的重点内容。

一、设计思路1、指导思想本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，为学习对数函数作好准备，起到了承上启下的作用.同时,也对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想有着很重要的意义。

2、教学目标根据教学大纲的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标：（1）知识与技能①理解对数的概念；②掌握对数式与指数式的互化；③理解对数的性质.（2）过程与方法在概念理解的过程中，培养学生分析转化的意识和逆向思维能力.（3）情感、态度与价值观通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受成果的喜悦.在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的好习惯.（4）现代教学手段：应用多媒体、几何画板等工具来展示对数与指数的关系，使学生对对数的概念有进一步的认识。

3、重难及难点重点：对数的概念；对数式与指数式的相互转化。

难点：对数概念的理解；对数性质的理解。

4、教法和学法：教法：游戏教学法；引导发现法；讲练结合法；借助多媒体课件。

学法：自主学习；合作交流；思考探究。

在新课改的理念下，教师和学生的主体地位已经发生了改变，为了更好地体现以学生为主体的课堂教学。

二、教学准备教学资源上，制作课件，导学案，准备几何画板，三角板，彩色粉笔。

课堂教学中，注重师生之间、生生之间相互作用的过程，强调多边互动，共同掌握知识，充分调动学生的参与的积极性。

三、教学过程(一)游戏引入比一比，看谁算的又对又快：那么 ()25=的值为多少？设计意图：以游戏的形式教学，低起点，让学生在生动活泼的气氛中，不知不觉地体会对数运算与幂运算是互逆的，同时在()25=中遇到了困难，会激发学生的求知欲望。

函数的单调性教学设计与反思一.教材分析函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．根据函数单调性在整个教材内容中的地位与作用，本节课教学应实现如下教学目标【教学目标】1.知识与技能理解函数单调性概念；掌握用定义判断和证明一些简单函数单调性的方法；了解函数单调区间。

2.过程与方法培养从概念出发,进一步研究其性质的意识及能力;体会感悟数形结合、分类讨论的思想.3.情感态度价值观由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望,突出学生的主观能动性,激发学生学习数学的兴趣.【教学重难点】重点:函数单调性的概念,判断和证明一些简单函数单调性的方法.难点:关于函数单调性概念的符号语言的认知,应用定义证明单调性的代数推理论证【教学过程】一.导课要研究函数的单调性,我们先从熟知的函数入手,下面请同学们作出函数y=x+1 和y=x+1 的图像.1.思考: 从左到右看,图像的变化趋势如何？随着自变量的变化,函数值如何变化?2.观察动画回答：(1)由函数y=x2图像,观察图像的变化趋势。

(2)函数y=x2中y随x如何变化?那么,我们怎样用符号语言表达函数值的增减变化呢?〖设计意图〗从图像直观感知函数单调性在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生明了，过去所研究的函数的相关特征，就是现在所学的函数的单调性，从而加深对函数单调性概念的理解．二.新知探究1.请同学们阅读课本37页(3分钟)2.老师强调相关概念:函数递增时,图像是_________函数递减时, 图像是________在函数y=f(x)的定义域内的一个区间内A上,如果对于任意两个数x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数在区间A上是增加的,有时也称函数在区间A上是递增的。

新课标北师大版数学必修1全套教案北师版第一章集合与函数概念一. 课标要求：本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，开展学生运用数学语言进行交流的能力.函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而开展学生对变量数学的认识.1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于〞关系，掌握某些数集的专用符号.2. 理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言〔列举法或描述法〕描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比拟、归纳的逻辑思维能力.4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义.5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力.6. 理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法.9. 了解函数的一些根本表示法〔列表法、图象法、分析法〕，并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象.10. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.11. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大〔小〕值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.13. 通过实习作业，使学生初步了解对数学开展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例.二. 编写意图与教学建议1. 教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最根本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，开展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的根本关系及集合的根本运算.教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性根底，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比拟符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.2. 教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和时机，并注意运用Venn图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念. 教学中，要充分表达这种直观的数学思想，发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。

必要条件和充分条件【教材分析】常用逻辑用语是逻辑思维的基本语言，是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具．本节的内容包括必要条件、充分条件、充要条件，通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．【教学目标】1．理解必要条件，充分条件，充要条件的概念．2．能够判断命题之间的充分必要关系．【核心素养】1．数学抽象：必要条件，充分条件，充要条件概念抽象概括．2．逻辑推理：本节内容依初中所学的定理，研究条件和结论的关系，引出本节知识点，从而体现数学知识的连贯性和逻辑性．3．数学运算：判断命题之间的充分必要关系；利用充分必要关系求参数．4.直观想象：讲解本节知识，利用初中所学过的定理，分析它们条件与结论的关系，从而引出抽象概述了充分，必要的概念，这种教学方式让学生更能直接的理解一个命题中，条件与结论的关系．5．数学建模：常用逻辑用语是逻辑思维的基本语言，是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具．培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．【教学重点】充分条件、必要条件的概念．【教学难点】判断命题的充分条件、必要条件。

【课前准备】PPT【教学过程】一、必要条件与性质定理（1）知识引入定理1菱形的对角线互相垂直，即如果四边形为菱形，那么这个四边形的对角线互相垂直．定理1是菱形的性质定理，即对角线互相垂直是菱形必有的性质．也就是说，如果能确定四边形为菱形，那么一定可以得出这个四边形的对角线互相垂直，而一旦某个四边形的对角线不互相垂直，那么这个四边形一定不是菱形．思考交流：试用上面的方法分析定理2，定理3定理2如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．定理3如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等．（2）必要条件的概述：一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件．也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的．例如，在定理1中，“四边形的对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件．例1：将下面的性质定理写成“若p则q”的形式，并用必要条件的语言表述：（1）平面四边形的外角和是360︒；（2）在平面直角坐标系中，关于（轴对称的两个点的横坐标相同．解（1）“平面四边形的外角和是360︒”可表述为“若平面多边形为四边形，则它的外角和为360︒”，所以“外角和为360︒”是“平面多边形为四边形”的必要条件；（2）“在平面直角坐标系中，关于（轴对称的两个点的横坐标相同”可表述为“若平面直角坐标系中的两个点关于（轴对称，则这两个点的横坐标相同”，所以“两个点的横坐标相同”是“在平面直角坐标系中，两个点关于（轴对称”的必要条件．二、充分条件与性质判断（1）知识引入定理4若0b＞，则0ab＞．a＞，0定理4是说：如果满足了条件0ab＞，但要注a＞，0b＞”，一定有结论0意，使得0ab ＞的条件不唯一，例如，由0a ＜，0b ＜，也可以判定0ab ＞．实际上，定理4告诉我们：只要有了0a ＞，0b ＞这个条件，就可以判定0ab ＞．思考交流：试用上面的方法分析定理5，定理6定理5对角线互相平分的四边形是平行四边形．定理6平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似．（2）充分条件概述一般地，当命题“若p 则q ”是真命题时，称p 是q 的充分条件．综上，对于真命题“若p ，则q ”，即p q ⇒时，称q 是p 的必要条件，也称p 是q 的充分条件例2：用充分条件的语言表述下面的命题：（1）若a b =-，则a b =（2）若点C 是线段AB 的中点，则AC BC =（3）当0ac ＜时，一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根． 解（1）“a b =-”是“a b =”的充分条件；（4）“点C 是线段AB 的中点”是“||AC BC =的充分条件；（5）“0ac ＜”是“一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根”的充分条件．三、充要条件（1）知识引入勾股定理如果一个三角形为直角三角形，那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理的逆定理如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

3．1 交集、并集一、教材的地位与作用本节通过实例，使学生掌握集合之间的两种运算——交和并。

集合作为一种数学语言，在后续的学习中是一种重要的工具。

因此，在教学过程中要针对具体问题，引导学生恰当使用自然语言、图形语言和集合语言来描述相应的数学内容。

有了集合的语言，可以更清晰的表达我们的思想。

所以，集合是整个数学的基础，在以后的学习中有着极为广泛的应用。

二、教学目标：1. 知识与技能:（1）理解交集与并集的概念；(2)理解“或”、“且”的含义,掌握交集、并集运算.2.过程与方法:①会用符号语言表示交集、并集;②掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集与并集；③逐步学会数形结合法.3.情感态度与价值观:通过对集合符号语言的学习，培养学生符号表达能力，培养严谨的学习作风，养成良好的学习习惯。

三、教学重难点教学重点：交集和并集的概念.教学难点：交集和并集的概念、符号之间的区别.学情分析：学习对象为高一新生，高一学生虽然在智力等各方面都有较之初中的发展，但毕竟刚刚由初中阶段上升而来，对于新的知识朦胧性较大，虽然集合的思想在小学以及初中就有了渗透，但是由于学生之间知识的差异层次较大，再者，一个概念的引入，如想较理性的认识还得靠深入的学习和多一些的训练。

学习习惯：高中级学生经过多年的学习，已经有了自己初级的学习习惯和方法，我们可以充分调动他们的积极性，并且适当帮助他们调整学习方法中的不妥之处。

四、教法学法与教具教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质，采用如下的教学方法：(1)类比发现法。

通过让学生类比实数加法运算引入集合间的运算。

(2)图示法。

利用Venn图和数轴让学生理解集合的交与并。

教具：多媒体.五、教学过程：一、创设情景：1、观察集合A,B,C元素间的关系:A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，C={5，8}2、观察集合A,B,C元素间的关系: A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，C={3，4，5，6，7，8}师：请观察1中A、B、C三个集合的元素，你能发现什么？生：集合C的元素是集合A、B的公共元素.师：请观察2中A、B、D三个集合的元素，你能发现什么？生：集合A与集合B中的元素都是集合D中的元素.师: 我们把集合C叫做集合A与B的交集，把集合D叫做集合A与B的并集这是这节课我们要学习的两个重要概念.二、讲解新课：名称交集并集文字语言一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做A与B的交集．一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集．记法A B（读作“A交B”）A B（读作“A并B”）符号语言A B=｛x|x∈A，且x∈B｝A B ={x|x∈A，或x∈B}图形语言（一般情形）引导学生自主对交集和并集进行概念的类比、内涵类比、外延类比，重点讲清“且”与“或”的区别与联系，为分析问题、解决问题的实际应用中能迅速、准确地决定取“交”还是取“并”扫清障碍。

对数函数一．教学目标1．知识技能①对数函数的概念，熟悉2log xy =的图象,②了解对数函数的反函数. 2．过程与方法让学生通过类比思想由指数函数的概念得出对数函数的概念 3．情感、态度与价值观①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力； ②培养学生严谨的科学态度. 二．学法与教学用具1．学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质； 2．教学手段：多媒体计算机辅助教学． 三．教学重点、难点1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数2log xy =的图象,2、难点：用对称性画2log xy =的图象,.四．教学过程 1．设置情境在科学上，考古学家利用logP 估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C 14含量P ，通过关系式，都有唯一确定的年代t 与之对应．同理，对于每一个对数式log xa y =中的x ，任取一个正的实数值，y 均有唯一的值与之对应，所以log xa y x =关于的函数．2．探索新知一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1．（2）．为什么对数函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.答：①根据对数与指数式的关系，知log a y x =可化为ya x =，由指数的概念，要使y a x =有意义，必须规定a ＞0且a ≠1．②因为log a y x =可化为y x a =，不管y 取什么值，由指数函数的性质，ya ＞0，所以(0,)x ∈+∞．3、研究对数函数的反函数提问：指数函数y=a x(a>0且≠1)和对数函数y=log a x(a>0且a ≠1)有什么关系? 答：指数函数y=a x和对数函数y=log a x 刻画的是同一对变量 x, y 之间的关系， 但是，在指数函数y=a x中,x 是自变量, y 是x 的函数, 其定义域是R,值域是 (0,+ ∞)；在对数函数x=log a y 中, y 是自变量, x 是y 的函数,其定义域是 (0,+ ∞),值域是R 。

高一数学课北师大版教学计划6篇范本高一数学课北师大版教学计划篇1一、教材分析(结构系统、单元内容、重难点)必修5第一章：解三角形;重点是正弦定理与余弦定理;难点是正弦定理与余弦定理的应用;第二章：数列;重点是等差数列与等比数列的前n项的和;难点是等差数列与等比数列前n项的和与应用;第三章：不等式;重点是一元二次不等式及其解法、二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题、基本不等式;难点是二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题及应用;必修2第一章：空间几何体;重点是空间几何体的三视图和直观图及表面积与体积;难点是空间几何体的三视图;第二章：点、直线、平面之间的位置关系;重点与难点都是直线与平面平行及垂直的判定及其性质;第三章：直线与方程;重点是直线的倾斜角与斜率及直线方程;难点是如何选择恰当的直线方程求解题目;第四章：圆与方程;重点是圆的方程及直线与圆的位置关系;难点是直线与圆的位置关系;二、学生分析(双基智能水平、学习态度、方法、纪律)较去年而言，今年的学生的素质有了比较大的提高，学生的基础知识水平与基本学习方法比较扎实，大部分的学生对学习都有很大的兴趣，学习纪律比较自觉。

三、教学目的要求1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题和与测量及几何计算有关的实际问题。

2.通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法，了解数列是一种特殊的函数;理解等差数列、等比数列的概念，探索并掌握2种数列的通项公式与前n项和的公式，能用有关的知识解决相应的问题。

3.理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值;掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题;能用一元二次不等式组表示平面区域，并尝试解决简单的二元线性规划问题。

4.几何学研究现实世界中物体的形状、大小与位置的学科。

直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算是认识和探索几何图形及其性质的方法。

《指数函数的图像与性质》教学设计（一）情景引入引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与分裂次数x的函数关系是什么？引例2：把一张纸对折27次，有多高？学生讨论：给出三个函数的解析式，认知共同特征。

（二）指数函数的定义一般地，函数)1a,0a(ay x≠>=且叫做指数函数，其中x是自变量；（其中a为底数，自变量x为指数）讨论分析：（1）为何规定指数函数的底数？（2）辨析下列函数是否是指数函数？；；；。

（三）探究指数函数的图像和性质学生活动：将学生分两组，指导学生用描点法分别画出下列函数的图像。

第一组：在同一坐标系内画出的图像；第二组：在同一坐标系内画出的图像。

引导学生对比图像探究归纳指数函数的性质。

（四）提炼归纳指数函数性质指数函数y=a x(a＞0且a≠1)，在a>1及0<a<1这两种情况下的图像和性质如下表a>10<a<1图像图像特征图像分布在一、二象限，与y轴相交，落在x轴的上方.都过点（0，1）第一象限的点的纵坐标都大于1；第二象限的点的纵坐标都大于0且小于1.第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1；第二象限的点的纵坐标都大于1. 从左向右图像逐渐上升. 从左向右图像逐渐下降.性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+∞）（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1(4)x>0时，y>1;x<0时，0<y<1 (4)x>0时，0<y<1;x<0时，y>1. （5）在 R上是增函数（5）在R上是减函数（五）初步应用指数函数的图像与性质例1．比较下列各组中两个数的大小。

（不借助计算器）小结：若数的特征是同底不同指（包括可以转换成同底），要点是利用指数函数的单调性，特别注意底数的讨论。

对不同底数幂的大小的比较可以与中间值进行比较。

例2.(1)求使不等式4x >32成立的x 的取值集合；(2)已知a 43>a 2，求a 的范围。

北师大版高一数学必修1全册教案课题：§1.1集合教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。

另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。

课型：新授教学目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体。

阅读课本P2-P3内容二、新课教学集合的有关概念集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。

思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

关于集合的元素的特征确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

集合相等：构成两个集合的元素完全一样元素与集合的关系；如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA常用数集及其记法非负整数集，记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

教学设计4.1 二次函数的图像教学分析二次函数是作为全面介绍函数的第一个例子出现的。

而在初中，已经学习了二次函数的概念和二次函数的图像与性质，因此本课的教学是在学生学过二次函数的上，运用图像变换的观点把二次函数2y x =的图像经过伸缩变换和平移变换，而得到二次函数2()(0)y a x h k a =++≠的图像。

并将这种平移变换迁移到一般的函数,由y=f(x)的图像得到y=f(x+a)+b 的图像。

教学目标知识与技能：理解二次函数的图像中a,b,c,h,k 的作用；能够熟练地对二次函数解析式配方，研究二次函数的平移运动，并将其迁移到其他的函数过程与方法：结合教材中“问题提出”“动手实践”等栏目，引导学生思考，探索，在解决问题中构建新知情感、态度与价值观：通过图像的变换和展示优美的函数图像来陶冶学生的情操，通过探究问题培养学生主动交流的合作精神，善于探索的思维品质 重点：二次函数图像的变换难点：将二次函数图像的平移变换迁移到其他函数教学过程一． 引入新课在初中，我们已经学习过二次函数，知道它的图像为抛物线，并了解了图像的开口方向，对称轴，定点等性质。

本节课将进一步研究二次函数的图像与性质，而函数的图像特征是研究其性质的有利工具，为了进一步研究二次函数的性质，本节课我们先探究二次函数图像间的关系。

二． 新课探究提出问题：①请回顾二次函数的定义；②二次函数的解析式有几种形式？③二次函数的图像是什么形状？如何快速画出草图？讨论结果①一般地，函数2(a,,0)y ax bx c b c a =++≠为常数，叫作二次函数．其中自变量的最高次数是2，自变量取值范围即函数的定义域是全体实数．②有三种形式：一般式：2(0)y ax bx c a =++≠；顶点式：2()(0)y a x h k a =++≠,顶点（h,k ）;交点式：12()()(0)y a x x x x a =--≠,其中12,x x 是图像与x 轴交点的横坐标.注意：任意二次函数的解析式均有一般式和顶点式，但是不一定有交点式．当且仅当二次函数的图像与x 轴相交时，二次函数的解析式才有交点式．③二次函数的图像是抛物线．画抛物线的草图时，通常根据“三点一线一开口”来画． 探究问题1：函数2y x =与2(0)y ax a =≠的图像之间有什么关系？[师生共同活动]请同学们用列表法在同一直角坐标系下画出222y x y x ==与的图像2所示，就是把AB 伸长为原来的2倍，即AC 的长度，得到当x ＝1时y ＝2x 2对应的值；将y ＝x 2的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标都扩大为原来的2倍得到y ＝2x 2的图像．[学生活动]请同学们用类似的方法画出函数221--22y x y x ==与的图像，讨论下列问题 （1）上面二次函数的图像开口大小由谁来决定？（2）如何由22a (0)y x y x a ==≠的图像得到的图像？教师给出动画展示a 对2(0)y ax a =≠的图像的影响并给出总结：（1）a 决定了图像的开口方向，a>0开口向上，a<0开口向下；（2）a 决定了图像在同一直角坐标系下的开口大小，|a|越小开口越大；（3）2(0)y ax a =≠的图像可由2y x =的图像上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的a 倍而得到.探究问题2：函数2y ax =与2()(0)y a x h k a =++≠的图像之间有什么关系？[学生活动]在同一坐标系中画出22y x =与22(1)+3y x =+的图像，回答下列问题：（1）抛物线22y x =与22(1)+3y x =+的顶点分别是多少？开口的大小由谁决定？（2）观察图像，如何由的图像22y x =得到22(1)+3y x =+的图像？ [讨论结果]把22y x =的图像向左平移1个单位长度得到22(1)y x =+的图像，再把22(1)y x =+的图像向上平移3个单位得到22(1)+3y x =+的图像．（如图）[动手实践]1.你能说出函数23y x =-的图像怎样得到函数23(2)1y x =---的图像吗？2.如果把函数23y x =向右平移2个单位，再向上平移5个单位，你得到的是哪个函数的图像？请你写出解析式.3. 由2y ax =怎样得到2()(0)y a x h k a =++≠的图像？4.思考：对于二次函数2()(0)y a x h k a =++≠，a 的作用是什么？h 和k 又有什么作用.教师给出动画展示a,h,k 对2()(0)y a x h k a =++≠的图像的影响并给出总结：二次函数2()(0)y a x h k a =++≠中，a 决定了图像的开口大小及开口的方向；h 决定了图像的左右平移，h 正左移，h 负右移；k 决定了图像的上下平移，k 正上移，k 负下移.探究问题3：函数2y ax =与2(0)y ax bx c a =++≠的图像之间有什么关系？[学生活动]思考：函数22y x =与2241y x x =+-的图像之间有什么关系？讨论结果：将2241y x x =+-的解析式转化成它的等价形式顶点式22(1)3y x =+-，由此知可将22y x =向左移1个单位，再向下移3个单位.师生共同总结将一般式转化成顶点式的步骤：提取二次项系数；配方；整理；化简. 教师总结:一般地，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，通过配方可得到它的恒等形式2()(0)y a x h k a =++≠，再由2y ax =的图像经过平移得到它的图像.[巩固训练]1.由23(2)4y x =++的图像经过怎样的平移变换，可以得到23y x =的图像？2.把函数22y x x =-的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得到的图像对应的函数解析式为___________________[教师总结]上面我们经历了由2y x =的图像得到2y ax =的图像，由2(0)y ax a =≠的图像得到2()(0)y a x h k a =++≠的图像的变换过程，那么由二次函数的平移变换，我们能否将它迁移到一般的函数呢？探究问题4：能否由y=f(x)的图像得到函数y=f(x+a)+b 的图像？让学生讨论上述问题，教师加以引导得到下列结论：应用举例例1.画出1y x =的图像，怎样得到函数11y x =+和121y x =-+的图像？ 设计意图：反比例型函数是后面经常碰到的函数，并将上面得到的结论加以应用. 解析：将1y x=的图像先向左平移1个单位，再向下平移2个单位. 例2.二次函数f(x)和g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数g(x)的解析式和f(x)图像上的点，求出函数f(x)的解析式：（1）函数2()g x x =,f(x)的顶点为（4，7）;（2）函数2()2(1)g x x =-+，f(x)的图像过点（0,2），（1，6）；设计意图：选择适当的解析式形式求二次函数的解析式.解析：（1）二次函数f(x)的图像与g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，则设其解析式为f(x)＝(x ＋h )2＋k ，f (x )图像的顶点是(4，－7)，所以f (x )＝(x －4)2－7＝x 2－8x ＋9；（2）设2()2(0)f x x bx c a =-++≠，则(0)2(1)26f c f b c ==⎧⎨-=--+=-⎩所以26c b =⎧⎨=⎩ 则2()262f x x x =-++备选例题：画出2y x -=的图像，怎样得到351x y x -=-的图像？ 课堂小结：①a,h,k 对二次函数2()(0)y a x h k a =++≠图像的影响；②函数2y x =与函数2()(0)y a x h k a =++≠的图像变换规律；③函数y=f(x)与函数y=f(x+a)+b 的图像变换规律.布置作业：习题24 A 组47P 1,2,34.画出函数1y x -=的图像，怎样得到函数123y x -=-+的图像？ 板书设计： 一.二次函数的定义二.探究的四个问题： ①2y x =2(0)y ax a =≠②2y ax =2()(0)y a x h k a =++≠③2y ax =2(0)y ax bx c a =++≠④()y f x =()y f x a b =++三.例题的讲解 四.学生板书 五.课堂小结六.布置作业 本节课的教学设计中，主要涉及图像的移动，“形”十分突出，因此教师一定要注意用好“形”，但是，又不能仅仅满足于对“形”的认识，教材还设置了“抽象概括”，意在从形出发，然后升华为对一般的函数的平移变换认识．这在上课时由学生自己根据提供的资料悟出，然后根据将它加以应用。