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16 卡方检验-2

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第六讲卡方检验

第六讲卡方检验

+
(15- 22. 2) 2 22. 2
ς2=
(
b 2c b+
21) c
2
公式
(
8)
+
(22- 14. 14. 8
8)
2
=
13.
55
(3) 确定 P 值: 据 Μ= 1, 查 ς 2 界值表[4] (见
附表)
,
ς2 0.
05 (1)
=
3.
84, ς2>
3.
84, 得 P <
0.
05。
例 2: 用A (沙保罗氏) 和 B (沙保罗氏+ 放 线菌酮+ 庆大霉素) 两种培养基分别对 88 只豚 鼠皮肤真菌的生长情况进行观察, 比较两种培 养基对真菌的检出效果, 资料如表 5 所示。
四格表资料的 ς2 检验与 t 检验一样, 按照 设计方案的不同分为成组资料和配对资料的四 格表。 成组资料的四格表是将收集到的资料据 某种特征 (如吸烟与不吸烟) 而划分的两个组内 某现象 (如发病与不发病) 的频率分布归纳整理 成的表格 (表 1)。
表 1 成组设计资料的四格表
吸烟组 不吸烟组 合计
据公式 (2) 首先计算各个格子中的理论数
T RC, 本例
T 11=
28×39 65
=
16.
8
余类推, 得到 T 12, T 21, T 22, 见表 4 中 ( ) 内
数字, 然后, 利用公式 (1) 计算 ς2 值:
ς2=
(a+
b)
(ad2bc) 2n (c+ d) (a+ c)
(b+
d) 公式 (4)

卡方检验

卡方检验

卡方（2χ）检验常用于检验两个或多个样本率（或构成比）之间有无差别，也用于检验配对计数资料的差异等。

（一）四格表资料的卡方检验[例7-30] 某医院用甲、乙两种药物治疗十二指肠球部溃疡，结果见表7-12，试问两种药物疗效有无差别？表7-12 两种药物治疗十二指肠球部溃疡效果比较组 别 愈合人数 未愈合人数合计 愈合率（%） 甲 75（a ） 25（b ） 100（a +b ） 75.00 乙 合 计50（c ） 30（d ） 80（c +d ） 62.50 12555180（n ）69.441.四格表2χ检验的基本公式为：∑-=TT A 22)(χ （公式7-44）（1）建立假设，确定检验水准 H 0：π1=π2，即两组愈合率相同； H 1: π1≠π2，即两组愈合率不同； α=0.05（2）计算理论数RC T nn n T CR RC =（公式7-45） 表7-13 两种药物治疗十二指肠球部溃疡效果比较组 别 愈合人数 未愈合人数 合计 愈合率（%） 甲 75（69.44） 25（30.56） 100 75.00 乙 合 计50（55.56） 30（24.44） 80 62.50 1255518069.44（3）计算检验统计量2χ值 按公式7-44计算： =3.27（4）确定P 值 ν=（R-1）（C-1）。

本例ν=（2-1）（2-1）=1，查2χ界值表，2105.0，χ=3.84，21,1.0χ=2.71，故0.1＞P ＞0.05。

（5）做出推断结论 按α=0.05水准，不拒绝H 0，差异无统计学意义。

还不能认为两种药物治疗十二指肠球部溃疡疗效有差别。

2.四格表的专用公式 四格表资料还可用专用公式求2χ值。

44.24)44.2430(56.55)56.5550(56.30)56.3025(44.69)44.6975()(222222-+-+-+-=-=∑T T A χ))()()(()(22d b c a d c b a nbc ad ++++-=χ （公式7-47）27.35512580100180)50253075(22=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯=χ3.四格表2χ值的校正（1）任一格的1≤T ＜5，并且n ≥40时，需计算校正2χ值；（2）任一格的T ＜1或n ＜40时，需改用确切概率法直接计算P 值。

卡方检验

卡方检验
25
总体分布的拟合性检验(2)
• 例：某校314名学生在一次考试中的成绩分 布如下：A等22人，B等94人，C等113人，D 等69人，E等16人。问这一成绩是否服从正 态分布？
26
总体分布的拟合性检验(2)
• 首先，建立假设： • H0：实际成绩的等级人数分布与正态分布所 期待的理论次数分布无显著差异。 • H1：实际成绩的等级人数分布与正态分布所 期待的理论次数分布有显著差异。
2 2 2 2
9
χ2检验的基本公式
• 究竟χ2值大到什么程度才能说样本分布与理 论分布不一致呢？这要看样本的χ2值在其抽 样分布上出现的概率如何而定。 • 我们就用上面的例子说明χ2的抽样分布。如 果将上述所抽取的50个学生还回总体之中，再 从中随机抽取50个学生，又可以计算出一个样 本χ2值。这样反复抽下去，就会有一切可能 个样本χ2值。这一切可能个样本χ2值的分布， 就形成一个实验性的χ2抽样分布。
表 300次掷一颗六面体实验观测结果
点数
频数
I
O
1
43
2
49
3
56
4
45
5
66
6
41
13
总体分布的拟合性检验(1)
• 上例中的数据录入有两种方式，数据编号da ta10-01 和 data10-01a。data10-01是一种 直接录入原始数据的方式，只有一个变量， 在应用中可直接使用，但数据录入量较大。
对话框2
1选择行变量
7单击OK按钮
2单击按钮 3选择列变量 4单击按钮
5单击统计按钮， 进行设置
6单击单元格按钮， 进行设置
47
统计设臵
1选中χ2
2单击按钮

卡方检验专题知识讲座

卡方检验专题知识讲座

这阐明aabb不符合理论百分比
p 0.05
2 检验中旳适合性检验一般要求样本量应大某些， 样本较小会影响到检验旳正确性，尤其是当理论 百分比中有较小值时（上一例中旳aabb），更应 该注意样本容量，这一例即有样本偏小旳倾向
第二节 独立性检验
独立性检验是检验两个变量、两个事件是否 相互独立旳这么一种检验
不消毒 580（438.19） 630（771.81） 1210
合计 880
1550
2430
表中，括弧内旳就是理论值
需要注意旳是，这种构造旳 2检验其自由度是横行
数减1乘以纵列数减1：2 12 1 1
所以这里应该使用校正公式 计算 c2 值
2 c
| O E | 0.52
E
同学们先自行计算
设置无效假设
现需验证这次试验旳成果是否符合这一分离百分比
1477+493+446+143=2559
2559
9 16
1439.44
2559
3 16
479.81
2559
1 16
159.94
2
1477 1439.44 2
143 159.942
...
5.519
1439.44
159.94
以上三个例子都要求我们判断观察值与理论值之间 是否相符，而我们都能够得到一种 2值
438.19
771.81
142.30
2 0.01,1
6.635
p 0.01
否定无效假设，即鱼池消毒是否极明显地影响着鱼
苗旳发病（或鱼苗旳发病情况直接受鱼池消毒是
否旳影响）
二、R×C表（R：行 C：列） R×C表是2×2表旳扩展，反之， 2×2表也能够看

第八章卡方检验

第八章卡方检验

第八章χ2检验次数资料分析问男女比例是否符合1：1，。

即与1：1性别比差异是否显著性别比差异是否显著。

∑−=T T A 22)(χA —实际次数T —理论次数χ2是度量实际观察次数与理论次数偏离程度的一个统计量论次数偏离程度的一个统计量，，χ2越小越小，，表明实际观察次数与理论次数越接近论次数越接近；；χ2 =0，表示两者完全吻合者完全吻合；；χ2越大越大，，表示两者相差越大相差越大。

∑−−=T T A c 22)5.0(χ当自由度大于当自由度大于1时，时，χχ2分布与连续型随机分布与连续型随机变量χ2分布相近似，这时这时，，可不作连续性矫正，但要求各组内的理论次数不小于5。

若某组的理论次数小于5，则应把它与其相邻的一组或几组合并一组或几组合并，，直到理论次数大于5 为止。

第二节适合性检验一、目的判断实际观察的属性类别分配是否符合已知属性类别分配理论或学说的假设检验（一）提出无效假设与备择假设（二）计算χ2求理论次数求理论次数：：T 白=260×3/4=195T 黑=260×1/4=65表χ2计算表c头，黑色有角牛红色无角牛72头，红色有角牛18头，共360头。

试问这两对性状是否符合孟德尔遗传规律中的遗传比例？？9∶3∶3∶1的遗传比例检验步骤检验步骤：：（一）提出无效假设与备择假设H ：实际观察次数比符合9∶3∶3∶1的理论比例论比例。

H A ：实际观察次数比不符合9∶3∶3∶1的理论比例（二）计算χ2T=360×9/16=202.5；黑无T=360×3/16=67.5；黑有；=360×1/16=22.5。

=0.5444+1.6333+1.6333+0.9（三）统计推断χ0.05(3)=7.81，因χ<χ005(3) ，P >0.05，表明实际观察次数与理论次数差异不显著，即两对性状分离现象符合孟德尔遗传规律中9∶3∶3∶1的遗传比例的遗传比例。

9第八章 卡方检验

9第八章 卡方检验
Chi第八章 χ2检验 (Chi-square test)
也称卡方检验。 检验也称卡方检验 χ2 检验 也称卡方检验 。 是英国统计 学家Pearson于 1900年提出的一种应 于 学家 年提出的一种应 用范围很广的假设检验方法， 用范围很广的假设检验方法，可用于 检验两个率间的差异； 检验两个率间的差异 ； 检验多个率 (或构成比 间的差异；判断两种属性 或构成比)间的差异 或构成比 间的差异； 或现象间是否存在关联性； 或现象间是否存在关联性；了解实际 分布与某种理论分布是否吻合； 分布与某种理论分布是否吻合；判断 两个数列间是否存在差异等。 两个数列间是否存在差异等。
计算公式
(a + b)!(c + d )!(a + c)!(b + d )! P= a!b!c!d!n!
式中ａ、ｂ、ｃ、ｄ 和ｎ的意义同前 ， ！为阶乘符号。0！＝ 1， 为阶乘符号。 1！＝ 1 ，3！＝ 3×2×1 ＝ 6。
（三）求Ｐ值的步骤
• 1 . 列四格表 。 使四格表周边合计数 列四格表。 不变， 不变 ， 依次增减四格表中任一格子 的数据，列出所有可能的四格表。 的数据，列出所有可能的四格表。 • 列四表格的数量 ＝ 最小合计数 ＋ 1 。 列四表格的数量＝ 最小合计数＋ • 如例 8 -3 ， 增减 ａ 格的数据 ，得 9 个 如例8 格的数据， 四格表。 四格表。
χ2分布的特点
• ⑴ χ2 分布的形状依赖于 ν 的大小 ： 当 ν≤2 时 ， 曲线呈 L 型 ； 随着 ν 的增加 ， 曲线呈L 的增加， 曲线逐渐趋于对称； →∞时 曲线逐渐趋于对称 ； 当 ν→∞ 时 ， 分布 趋近于正态分布。 趋近于正态分布。 • ⑵χ2分布具有可加性：如果两个独立的 分布具有可加性： 随机变量X1和X2分别服从ν1和ν2的χ2分 那么它们的和( 也服从( 布，那么它们的和(X1＋X2)也服从(ν1＋ ν2)的χ2分布。 分布。

卡方检验

0.05。
2
3.03 ，
=1
2<3.84=2
按 =0.05 水 准 ， 不 拒 绝 H0， …
配对四格表资料的 检验
2
也称McNemar检验（McNemar's test）
例 6-8 表 6-9
甲 法
两种血清学检验结果比较
乙 法 ＋ － 10 (b) 11 (d) 21 90 42 132 合计
n2 n2 n
一般地,
理论频数
n n (行合计)(列合计) ＝ R C 总计 n
例题：计算以下四格表的各理论频数： （1） （2） 35 27 25 8 16 33 15 22
2 检验的基本思想可通过其基本公式来解释：
2
观察值 理论值
理论值
2

A T 2
2
1
2

( / 21)
e
2 / 2
Ý ß ×·
×Ó ¶ £ 1 Ô É È ½
0.2 0.1 0.0 0 3
3.84
×Ó ¶ £ 2 Ô É È ½ ×Ó ¶ £ 3 Ô É È ½ ×Ó ¶ £ 6 Ô É È ½
P＝0.05的临界值
7.81 12.59
6
9 12 ¿ ·Ö ¨½ µ
* 图形:单峰,正偏峰; 自由度 很大时, 近似地服从正态分布.有 2 ( ) 2 Z , ( )服从均数为 ，方差为2 的正态分布 2
2 ( )
χ2分布（chi-square distribution）
0.5 0.4 0.3
f ( ) 2( / 2) 2
2
2 =2.734<3.84，P>0.05,不拒绝无效假设H0

16卡方检验

• 计算公式：
2
n
ad bc
a bc d a cb d
其中 2 是四格表独立性检验所计算的 2 值相依系数、接触系数等，一般用C表 示。它是由二因素的R×C列联表资料求得，故称为列 联相关。属于R×C表的计数资料，欲分析所研究的二 因素之间的相关程度，就要应用列联相关。 • 计算方法：
2 (23 22.67)2 (17 17.33)2 (28 28.33)2 (22 21.67)2 =0.01996
22.67
17.33
28.33
21.67
•
查df=1的2表，知
2
2 0.75
，故性别与学业成绩无关联，
或说男女性别不同在学业成绩上没有显著差异。
• 此题用简捷式计算，可不用先计算理论次数，简单、 方便，还可减少计算误差。
=8.32
品质相关
1、四分相关
• 适用资料：
四格表的二因素都是连续的正态变量，如学习能力，身体状态等，
只是人为将其按一定标准划分为两个不同的类别，如“好”、 “不好”，“对”、“错”等，即一因素划分为A、非A两项，另 一因素划分为B、非B两个类别。这样便可将资料整理成四格表的 形式。
• 计算公式：
• 1、独立样本
– 四格表独立样本，即从总体中随机取样，然后按两 个因素对个体进行分类，将调查或实验结果分别填 入四个格内，便得到独立样本四格表，当各格的理
论次数fe≥5时，其统计量2的计算，可用计算2的基
本公式：
2
–
( f0 fe)2
fe 查df=1的表2
– 或可用下面的简捷式计算： df=1
• 故理论次数fe=60×0.5=30(人) • H0：fo-fe=30 • H1：fo≠fe

[理学]09卡方检验_OK

实际观察人数比较，计算卡方统计量，如果卡方值较大则拒绝原假设
15
组段 122.0~ 126.0~
A
Fx1
Fx2 P= Fx2 Fx1 T=n×P (A-T)2/T
5 0.00832 0.03240 8 0.03240 0.09704
0.02408
理论数小于5， 合并这两段
0.06463
2.8900 7.7557
化疗 方法
单纯化疗
缓解情况
缓解 (理论缓解)
未缓解 (理论未缓解)
2(4.8)
10(7.2)
合计 12
复合化疗 合计
14(11.2) 16
14(16.8) 24
28 40
29
四格表卡方检验的校正
• 在上表中最小的理论数应该是“单纯化疗” “缓解”所对应，因为它所对应的行、列 合计值最小；2所对应的理论数为4.8，小于5，而且例数不小于40，所以本题应该作校 正
• 卡方值满足卡方分布，求得相应卡方值的曲线下面积就可 以得到P值，进而作结论
• 可见卡方检验的基本原理就是分析实际频数与根据假设构 建的理论频数间的吻合程度（拟合度）
14
一、拟合优度检验 (goodness of fit test)
• 拟合优度检验旨在根据样本的频数分布检验其总体分布是否等于某给定的理论分布 • 例如：能否判断120个男童身高满足正态分布（例9-1）？ • 解答思路：假设身高满足正态，依据正态分布估计不同身高区间对应的理论人数，与
治疗 药物
疗效有效无效合计 (有效率)兰芩口服液 41
4
45(91.1%)
银黄口服液 24
11
35(68.6%)
合计
65
15

多元统计-卡方检验


现假定控制翅膀长度和身体颜色的两对基因是相互
独立的，且都是显隐性关系，则四种类型的果蝇
其比例应当是 9：3：3：1
现需验证这次试验的结果是否符合这一分离比例
首先求：1477 + 493 + 446 + 143 = 2559
2559 9 16 1439.44
2559 3 479.81 16 2559 1 159.94 16
在遗传学中，我们研究某一性状是否受一对等位基
因的控制，该性状在后代的分离比例是否符合某 种规律 例1 孟德尔的豌豆花试验（红花 705 朵、白花 224朵）：这一分离是否符合他自己提出的 3：1
的分离比例的假设？
如果这一 3：1 的理论比例是正确的，那么这一试
验所出现的红花和白花的理论比例应当是：
p 0.05
接受无效假设，即这三部分资料的实际观测值符合 9：3：3 的理论比例 再检查余下的aabb与这三部分之和是否符合1：15
前三部分之和（理论值）：240
2 2
aabb：16
250 240 0.5 | 6 16 | 0.5 2 c 240 16 2 0.376 5.641 6.017 0.05,1 3.841 p 0.05
需作校正性的χ
首先求：
2
检验：
1810.5×3 = 5431.5
2
1738 + 5504 = 7242
5504 5431.5 0.5 5431.5
2
7242÷4 = 1810.5
1810.5 2 3.818 0.05 3.84 |1738 1810.5 | 0.5
显然，前面三个分值较小，因此先取前三部分的比 2 例作 检验： 154+43+53=250
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职业
价值取向
物质报酬 人情关系
制造业 45 35
服务业 56 44
练习与思考

认真复习χ 2检验的方法,掌握双向表χ
2
检验的计算公式。

整理χ 2检验的方法系统，并添加到假设 本章第10、11、12、13题。
检验方法系统中。

2 2
（16．3）
df 1
独立样本四格表的计算也可以采用（16.1） 式计算理论频数，并用（15.1）式计算χ2值。
⑵．校正公式
当 df =1，样本容量总和N＜30或N＜ 50时，应对χ 2 值进行连续性校正。

N N AD BC 2 2 A B A C B DC D
一个月前 一 个 月 后 达标 未达标
未达标 达标
19 61
11 33
计 算

用相关样本四格表公式计算
A D
2
2
A D
19 33
19 33
2
3.769
例5：某班22名学生仰卧起坐成绩，训
练前不及格而训练后及格者有5人，训练前及 格而训练后不及格者有3人，问训练是否有显 著效果?
2
2
在双向表的χ 2检验中，如果要判断 两种分类特征，即两个因素之间是否有依
从关系，这种χ 2检验称为独立性检验。
如果是判断几次重复实验的结果是否相同， 这种χ 2检验称为同质性检验。
二．双向表χ2检验的计算


1．理论频数的计算
双向表χ 2检验中，理论频数的计算公式为
fe
f xi f yi N
学生报考师范大学的态度与家庭经济状况的χ2检验计算表
fo
愿意-上 愿意-中 愿意-下 不愿意-上 不愿意-中 不愿意-下 未定-上 未定-中 未定-下 总 和 18 20 18 27 19 7 10 20 11 150
fe
20.53 22.03 13.44 19.43 20.85 12.72 15.03 16.13 9.84 150
2
40 40 18 6 10 6 2 0.2431 2416 2812
2
思 考
为什么双向表χ2 检验没有校正的问题
而只有四格表才要进
行连续性校正？
3．相关样本四格表的χ2检验

相关样本四格表中，
测验1
Ｂ和Ｃ是实际上没有 发生变化的数据，而 Ａ和Ｄ是实际上发生 变化的数据。
2
值进行连续性校正。

2

A D 应用校正公式计算χ2 值时，允许四格中有一
A D 1
2
（16．6）
格的实际频数出现零的情况。
例4：124个学生进行1000米长跑训练，
训练一个月前后两次测验达标情况见表16-7。
问一个月的长跑训练是否有显著效果?
表16－7 124个学生长跑达标成绩

测 对 验 2
错
对
Ａ Ｃ
Ｂ Ｄ
错
例如,100名学生先
后测验两次的结果
⑴．缩减公式

相关样本四格表χ 2检验的计算中，只
需要用到Ａ和Ｄ。
A D
2
2
A D
（16．5）
同样可以用求理论频数的方法计算 χ2值。
⑵．校正公式

当 df =1 时，两个相关样本数据的四格
表中，（A＋D）＜30或者（A＋D）＜50时 （根据对检验结果要求的严格程度决定）， 应对χ
不及格 10 20
计 算

可用四格表缩减公式计算
N AD BC A B A C B DC D
2 2
6924 20 1015 34 35 39 30
2
5.3969
也可用双向表的公式计算
表16－5 两个学校语文测验成绩χ2检验计算表
表16-1 不同家庭经济状况学生报考师范大学的不同态度
家庭 经济状况 上 中 下 总和
对于报考师范大学的态度 愿意 18 20 18 56 不愿意 27 19 7 53 未定 10 20 11 41
总和 55 59 36 150
解题过程
解：1.提出假设
H0：学生是否愿意报考师范大学与家庭经济状况无关
双向表的χ 2值除用理论频数方法计算外，
还可以用下式由实际频数直接求得：
2 f oi 2 N 1 f f xi yi
（16．2）
公式中，foi 表示双向表中每格的实际频数
将例1数据用公式（16.2）计算
表16-1 不同家庭经济状况学生报考师范大学的不同态度 家庭 经济状况 上 中 下 总和 对于报考师范大学的态度 愿意 18 20 18 56 不愿意 27 19 7 53 未定 10 20 11 41
（16．1）
公式中，fxi表示横行各组实际频数的总和 fyi表示纵列各组实际频数的总和 N表示样本容量的总和
例1：家庭经济状况属于上、中、下的高三毕业生，
对于是否愿意报考师范大学有三种不同的态度（愿意、不 愿意、未定），其人数分布如表16-1。问学生是否愿意报考 师范大学与家庭经济状况是否有关系？
=10.48

双向表的独立性χ 2检验和同质性χ 2检验，
只是检验的意义不同，而方法完全相同。

对于同一组数据所进行的χ 2检验，有时
既可以理解为独立性χ 2检验，又可以理解为
同质性检验，两者无根本区别。
三．四格表的χ2检验

如果r×c表的χ 2检验所作的结论为差
异显著，这并不意味着各组之间的差异都 显著。如果需要进一步知道哪些组差异显 著，哪些组差异不显著，还需进行四格表 的χ 2检验。
双向表的自由度:
df=(r -1)(c -1)
查χ 2值表，当 df =(3-1)(3-1)=4 时
(24)0.05 9.49
(24)0.01 13.3
计算结果为： χ2=10.48* 9.49 ＜χ2= 10.48 ＜ 13.3，则 0.05 > P > 0.01 结论：学生是否愿意报考师范大学与 家庭经济状况有显著关系。
1．四格表
四格表是只有两行、两列的双向表。
也就是有两个变量，每一个变量各被分 为两类的双向表
变量Ⅰ 变 量 Ⅱ A C B D 合计 A+B C+D
合计
A+C
B+D
N=A+B+C+D
2检验 2．独立样本四格表χ

⑴．缩减公式
N AD BC A B A C B DC D
总和
55 59 36 150
N
2
182 202 182 272 2 f oi 1 150 55 56 59 56 36 56 55 53 f xi f yi 192 72 102 202 112 1 59 53 36 53 55 41 59 41 36 41
第十六讲
χ 检验-2
2
练习：某高校按
1：4：7：3 的比
例规定了各级教师岗位职称人数，该校
现有各级教师人数为：教授 45人，副教
授255人，讲师360人，助教435人，问该
校现有教师的人数比例是否符合规定？
273.09
2
一. 双向表的χ 检验
把实得的点计数据按两种分类标准编制成的 表就是双向表。对双向表的数据所进行的χ 2 检 验，叫作双向表的χ 2 检验，即双因素的χ 2 检验。 假如把双向表中横行所分的组数用r表示， 把纵列所分的组数用c表示，那么，双向表的χ 检验也称为r×c表的χ 2检验。
表16－8 22个学生仰卧起坐成绩
训 练 后
训练前 及格 不及格 不及格 3
Байду номын сангаас
及格
5

用连续性校正公式计算

2
A D 1 3 5 1
2
2
A D
35
0.125
练习

一项研究中，调查了不同职业人群的
价值取向，结果如下表。问人们所从事的 职业是否与他们的价值观有关？
H1：学生是否愿意报考师范大学与家庭经济状况有关

2.选择检验统计量并计算 对点计数据进行差异检验,可选择χ 2检验
理论频数计算
表16-2 不同家庭经济状况学生报考师范大学的不同态度 家庭 经济状况 上 中 下 总和 18 20 18 对于报考师范大学的态度 愿意 20.53 22.03 13.44 56=fy1 不愿意 27 19.43 未定 10 15.03 总和 55=fx1 59=fx2 36=fx3 150=N
及格 甲校 乙校 合计 24（19.22） 15（19.78） 39
不及格 10（14.78） 20（15.22） 30
合计 34 35 69

由理论频数计算
2
fo fe 2
24 19.22
19.22
fe
2
15 19.782 10 14.782 20 15.222
fo fe
-2.53 -2.03 4.56 7.57 -1.85 -5.72 -5.03 3.87 1.16
f o f e 2
fe
0.3118 0.1871 1.5471 2.9493 0.1641 2.5722 1.6834 0.9285 0.1367 10.4802
3.统计决断

19 20.85 20 16.13 7 12.72 11 53=fy2 9.84 41=fy3
计算理论频数允许有小数，因为χ2分布已被 作为连续型的分布看待。