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§2.5 极限存在准则 两个重要极限连续复利·夹逼准则·单调有界收敛准则 ·连续复利 一、夹逼准则准则Ⅰ 如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件:,lim ,lim )2()3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n nn n ===≤≤∞→∞→那末数列n x 的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证明:因 a z a y n n →→,，据数列极限定义，有 εε<->>∃>∀ay N n N n 有时当,,0,011；对于上述ε， 02>∃N ，,,2ε<->a z N n n 有时当故可取},max{21N N N =则当 N n > 时，有 ε<-a y n ，ε<-a z n 同时成立，亦即：εεεε+<<-+<<-a z a a y a n n ,从而有 εε+<≤≤<-a z x y a n n n 亦即ε<-a x n 成立这就是说， a x n n =∞→lim . 准则I '如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件: (1) )()()(x h x f x g ≤≤ ;(2) A x h A x g ==)(lim ,)(lim (;那么)(lim x f 存在, 且A x f =)(lim .注 如果上述极限过程是x →x 0, 要求函数在x 0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x →∞, 要求函数当|x |>M 时有定义,准则I 及准则I ' 称为夹逼准则. 例1：求 )12111(lim 222n n n n n ++++++∞→解：,11112222+<++++<+n nn n n n n n n n n n n n 111limlim2+=+∞→∞→又 ,1=22111lim1limn n n n n +=+∞→∞→由夹逼定理得.1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n下面根据准则I '证明第一个重要极限:1sin lim 0=→xx x .证明 首先注意到, 函数xxsin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆, CD ⊥OB , AB ⊥OB . 圆心角∠AOB =x (0<x <2π). 显然 x CD sin =弦,x BC =弧x AB tan =弦.因为 S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD , 所以 x x x tan 2121sin 21<< ,即 x x x tan sin <<. 不等号各边都除以sin x , 就有xx x cos 1sin 1<<,或 1sin cos <<xxx . 注意此不等式当2π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x ,根据准则I ',1sin lim 0=→xxx . 应注意的问题:在极限)()(sin lim x x αα中, 只要)(x α是无穷小, 就有1)()(s i n l i m =x x αα.这是因为, 令)(x u α= , 则0→u , 于是 )()(sin limx x αα1sin lim 0==→u u u . 1sin lim 0=→x x x ， 1)()(sin lim =x x αα (0)(→x α) 例2. 求 xx x tan lim 0→.解: x xx tan lim0→x x x x cos 1sin lim 0⋅=→1cos 1lim sin lim 00=⋅=→→x x x x x . 例3. 求 20cos 1lim xxx -→. 解: 20cos 1limx x x -→220220)2(2sin lim 212sin 2lim x x x x x x →→== 2112122sin lim 21220=⋅=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x . 二、单调有界准则满足条件如果数列n x,121 ≤≤≤≤+n n x x x x 单调增加 ,121 ≥≥≥≥+n n x x x x 单调减少准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.单调数列准则Ⅱ的几何解释:单调增加数列的点只可能向右一个方向移动, 或者无限向右移动, 或者无限趋近于某一定点A , 而对有界数列只可能后者情况发生.例4：.)(333的极限存在重根式证明数列n x n +++= 证：,1n n x x >+显然 {};是单调递增的n x ∴331<=x 又， ,3<k x 假定331<+=+k k x x ，{};是有界的n x ∴ .lim 存在n n x ∞→∴ ,31n n x x +=+ ,321n n x x +=+ ),3(lim lim 21nn n n x x +=∞→+∞→ ,32A A += 2131,2131-=+=A A 解得 (舍去) .2131lim +=∴∞→n n x 根据准则Ⅱ, 可以证明极限 nn n)11(lim +∞→ 存在. 设n n nx )11(+= 现证明数列{n x }是单调有界的.按牛顿二项公式, 有123x 1+n n A Mnn n nn n n n n nn n n n n n n n n x 1!)1()1(1!3)2)(1(1!2)1(1!11)11(32⋅+-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅--+⋅-+⋅+=+=)11()21)(11(!1)21)(11(!31)11(!2111nn n n n n n n --⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅+--+-++= )111()121)(111(!1)121)(111(!31)111(!21111+--⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅++-+-++-++=+n n n n n n n n x n)11()121)(111()!1(1+-⋅⋅⋅+-+-++n nn n n .比较n x , 1+n x 的展开式, 可以看出除前两项外, n x 的每一项都小于1+n x 的对应项, 并且1+n x 还多了最后一项, 其值大于0, 因此 n x <1+n x ,这就是说数列{n x }是单调有界的.这个数列同时还是有界的. 因为n x 的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替, 得3213211211121212111!1!31!2111112<-=--+=+⋅⋅⋅++++<⋅⋅⋅++++<--n nn n n x . 根据准则II , 数列{n x }必有极限. 这个极限我们用e 来表示. 即e nnn =+∞→)11(lim . 我们还可以证明e xxx =+∞→)11(lim . e 是个无理数, 它的值是e =2. 718281828459045⋅ ⋅ ⋅.指数函数x e y =以及对数函数x y ln = 中的底e 就是这个常数.因此的极限都存在且等于时，函数或取实数而趋向可以证明，当,)11(e xx x+∞-∞+.)11(lim e xxx =+∴∞→ 在极限)(1)](1lim[x x αα+中, 只要)(x α是无穷小, 就有e x x =+)(1)](1lim[αα.ez z x xz zz =+→∞→=→10)1(lim ,01于是有时，，则当利用代换例5. 求xx x)11(lim -∞→.解: 令t =-x , 则x →∞时, t →∞. 于是x x x )11(lim -∞→tt t-∞→+=)11(lim e tt t 1)11(1lim=+=∞→. 或)1()11(lim )11(lim --∞→∞→-+=-x x x x x x 11])11(lim [---∞→=-+=e x x x . 例6．.)23(lim 2xx xx ++∞→求 解：422)211(])211[(lim -+∞→++++=x x x x 原式 .2e = 例7．.)1ln(lim0xx x +→求 解：.1ln )1(lim ln )1ln(lim )1ln(lim 10100==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+→→→e x x x x xx x x x 例8．.1lim0xe x x -→求 解：,1u e x =-令 ),1ln(u x +=即 ,0,0→→u x 有时则当)1ln(lim1lim 00u ux e u x x +=-→→ uu u )1ln(1lim 0+=→ .1= 三、连续复利则，年利率为称为本金设一笔贷款,)(0r A)1(01r A A +=一年后本利和2012)1()1(r A r A A +=+=两年后本利和k k r A A k )1(0+=年后本利和，则，年利率仍为期计息如果一年分r n，于是一年后的本利和每期利率为nrnnr A A )1(01+=nkk nr A A k )1(0+=年后本利和年后的本利和，则称为连续复利复利，即每时每刻计算如果计息期数k n )(∞→rkrkrn n nkn k e A r n A nr A A 00011lim )1(lim =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→∞→。
浅谈两个重要极限解题技巧【摘要】本文将讨论两个重要的极限解题技巧：利用夹逼准则和使用换元法。
首先解释了这两种技巧的基本原理和应用方法，然后进一步讨论了如何在实际问题中灵活运用这两种技巧。
通过具体例题的分析演示了这两个技巧在解决极限问题中的重要性和有效性。
同时提醒读者在使用这些技巧时需要注意的问题，避免在解题过程中出现错误或误解。
通过本文的介绍和讨论，读者将能够更好地掌握和运用这些重要的极限解题技巧，提高解题效率和准确性。
【关键词】极限解题技巧、夹逼准则、换元法、实例分析、注意事项、引言、结论1. 引言1.1 引言极限是高等数学中重要的概念之一，它在微积分、数学分析等领域中都有着广泛的应用。
在求解极限时，常常需要运用一些技巧和方法来辅助计算，提高求解的效率和准确性。
本文将重点讨论两个重要的极限解题技巧：利用夹逼准则和使用换元法。
在学习极限的过程中，我们经常会遇到一些难以直接计算的极限表达式，这时可以考虑利用夹逼准则来近似求解。
夹逼准则是一种常用的极限方法，通过构造一个夹在待求极限函数和已知函数之间的函数序列，来逼近待求极限的值。
这种方法常常可以简化复杂的极限计算，提高求解的效率。
使用换元法也是解决极限问题的重要技巧之一。
当遇到形式复杂的极限表达式时，可以尝试通过换元的方式将问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。
换元法可以帮助我们找到一些隐含的规律和关联，为极限计算提供新的思路和方法。
通过深入学习和实践这两种极限解题技巧，我们可以更加灵活地处理各种复杂的极限计算问题，并提高解题的效率和准确性。
接下来，我们将详细讨论如何应用这两个技巧来解决不同类型的极限问题，并通过实例分析和具体例题演示技巧的运用。
我们也将介绍在使用这些技巧时需要注意的问题和注意事项。
希望本文能够帮助读者更好地理解和掌握极限解题的方法和技巧，提升数学分析的能力和水平。
2. 正文2.1 技巧一：利用夹逼准则夹逼准则是解决极限问题时非常重要且常用的一种技巧。
高等数学同济七版教材目录第一章集合与函数1.1 集合1.2 常用函数与运算1.3 映射与函数第二章极限与连续2.1 数列的极限2.2 函数的极限2.3 极限的运算法则2.4 无穷小与无穷大2.5 极限存在准则与两个重要极限2.6 连续与间断第三章导数与微分3.1 导数与物理意义3.2 函数的求导法则3.3 高阶导数与莱布尼茨公式3.4 常用函数的导数3.5 隐函数与参数方程的导数3.6 微分3.7 导数在实际问题中的应用第四章微分中值定理与导数的应用4.1 罗尔定理、拉格朗日中值定理4.2 柯西中值定理与洛必达法则4.3 幂指对数函数的凹凸性与曲率4.4 函数的单调性与曲线的图形4.5 弧长与曲线的面积第五章定积分5.1 不定积分5.2 定积分的概念与性质5.3 反常积分5.4 定积分的计算方法5.5 可积性与定积分中值定理5.6 定积分的应用第六章定积分的应用6.1 几何应用之平面图形的面积6.2 物理应用之质心、转动惯量和万有引力6.3 概率应用之统计平均值和方差第七章级数7.1 数项级数的概念7.2 收敛级数的性质7.3 正项级数的审敛法与特殊级数7.4 幂级数7.5 函数展开成幂级数第八章常微分方程8.1 常微分方程的基本概念8.2 可分离变量的微分方程8.3 齐次方程和一阶线性非齐次方程8.4 二阶齐次线性微分方程8.5 常系数线性微分方程和其它一些特殊方程附录1. 通用公式与常用极限2. 高等数学同济七版教材参考答案3. 数表4. 符号说明。
