对两个重要极限的重要性的认识之青柳念文创作摘要：通过对两个重要极限重要性的懂得和认识, 总结有关两个重要极限的论文成果，指出两个重要极限在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，主张学习数学知识不但局限于讲义，要培养提高探究问题的才能，系统全面的对待问题，深刻细致的体会微积分思想的严谨性.关键词：重要极限；重要性；证明；应用1.绪论两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着无足轻重的作用，今朝，关于这方面的分析已经很成熟，有关于它们的来历，证明，应用和深入扩大，本文系统的总结了部分具有代表性的成果，从而可以直观全面的认识和体会两个重要极限的重要性，对刚接触极限实际，没有深入认识两个重要极限的学生来讲，具有指导意义.《数学分析》课程在讲述关于两个重要极限和时，着重强调了它在整个极限计算中有重要地位.它能将许多复杂的极限计算迅速简化, 应用非常矫捷.因此，这两个重要的极限可以说是全部微积分学计算的基础, 其重要性就不难懂得了.试想, 若没有它们, 那末只要遇见微积分相关的计算题, 必须用最基本的方法，有些还纷歧定求得出来，更不必说由它们推广出的更复杂的应用了.2.两个重要极限的证明两个重要极限是极限实际的重要内容, 也是处理极限问题的一种有效方法, 在学生的学习中, 起着重要作用，懂得它们的证明方法对充分懂得和认识它们是十分需要的，它的证明过程也是对双方夹定理及单调有界数列必有极限这一准则的恰当应用.2.1第一个重要极限：1sinlim=→xxx1sinlim=→xxxexxx=+∞→)11(lim证明：作单位圆，如图1：图1设x为圆心角AOB∠，并设20π<<x 见图不难发现：AO DAO B AO B S S S ∆∆<<扇形，即：x x x tan 2121sin 21<<，即x x x tan sin <<，（因为20π<<x ，所以上不等式不改变方向）当x 改变符号时，xxx sin ,cos 及1的值均不变，故对知足20π<<x 的一切x ，有1sin cos <<x xx .又因为21421)2(sin 21)cos 1(1cos 222x x x x x -=⋅->-=--=，所以1cos lim 1cos 2102=⇒<<-→x x x x而1sin lim11lim cos lim 00=⇒==→→→x xx x x x ，证毕.第二个重要极限：ex x x =+∞→)11(lim先思索x 取正整数时的情形：nn n )11(lim +∞→对于0>>a b ，有不等式：nn n b n a b a b )1(11+<--++，即：)()1(11a b b n a b nn n -+<-++， 即：])1[(1nb a n b a n n -+>+ （i ）现令nb n a 11,111+=++=，显然0>>a b ，因为1)1(11)1(=+-++=-+n n nb a n 将其代入，所以n n n n )11()111(1+>+++，所以})11{(n n +为单调数列，记作{n x }.（ii ）又令1=a ，21)21(1)1(,211=+-+=-+⇒+=n n nb a n nb所以nn nn )211(221)211(1+>⇒⋅+>nn 2)211(4+>⇒， 即对4,2<∀n x n ， 又对4)2211()1211(2212<++<++∀++n n n n所以{nn )11(+}是有界的.由单调有界定理知 nx n )11(lim +∞→存在，并使用e 来暗示，即 590457182818284.2)11(lim ==+∞→e n n x在函数的学习中，我们熟悉的基本初等函数有以下五类：○1幂函数y x α=(R α∈),○2指数函数(0,1)xy a a a =>≠， ○3对数函数log a y x =(0,1a a >≠)，○4三角函数y=sin x, y=cos x ，y=tan x, y=cot x, ○5反三角函数y=arc sinx, y=arc cosx, y=arc tanx, y=arc cotx.由基本初等函数颠末有限次四则混合运算与符合运算所得到的函数，统称为初等函数，微积分中我们常常需要计算初等函数的导数，微分学的基本概念——导数是建立在极限概念基础上的.即求一个函数f (x )在点x 处的导数 ，就是计算极限 （3.1）当这一极限存在时，其值就是 .但这仅仅是停留在导数定义上的，如果求函数的导数都要计算极限 3.1的话，显然是非常复杂和繁琐的，势必限制导数的广泛应用.事实上，在求函数的导数时，其实不都需要计算极限3.1，而只需根据基本初等函数的求导公式及求导法则便可以很方便地求得任何一个初等函数的导数.因此，两个重要极限对于以上六类基本初等函数的求导起到了至关重要的作用. 关于基本初等函数的求导，我们可以大致分为三类函数：第一类是幂函数，第二类是三角函数和反三角函数，第三类是指数函数和对数函数.对于第一类函数的求导，要操纵二项式定理和导数定义便求得.对于第二类函数的求导，需要操纵到 这个重要极限.对于第三类函数的求导，需要操纵到这个极限. 下面来看一看基本求导公式是如何得来的.3.1 重要极限在三角函数求导过程中的作用 以正弦函数sin x其中应用了第一个重要极限0sin lim 1x xx =→，即00sinsin 2lim lim 12x t xt x t ∆∆==∆→→（令2xt ∆=）.求得(sin x )’=x cos 后，其余的三角函数和反三角函数xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0)('x f )('x f e x x x =+∞→)11(lim 0sin lim 1x xx →=e xxx =+∞→)11(lim 0sin lim 1x x x=→的导数公式便可以操纵多个求导法则得到了.3.2 重要极限在指数函数和幂函数求导过程中的作用 其次，再看看对数函数log a x 的求导公式的推导过程.由导数定义其中应用了第二个重要极限1lim(1)x x ex ∞+=→，即01lim log (1)lim(1)x u x a x u x e x u ∆∆∞∆+=+=→→（令/x x u ∆=）.求得了(log )'a x 以后，指数函数和幂函数的求导公式就容易得出了.可见，两个重要极限在导出基本初等函数的求导公式的过程中，特别是涉及三角函数的过程中起到了关键性的作用，没有这两个重要极限，两类函数的求导公式就不成能得出.两个重要极限在初等函数求导过程中起到了重要的纽带作用，因为推倒正弦函数和指数函数的导数公式的过程中要用到这两个极限，而所有的初等函数都可以从这两类函数以及它们的反函数出发，颠末有限的四则运算复合得到.因此，从这两类函数的导数出发，操纵函数的四则运算、复合和反函数求导法则，就可以求得全部初等函数的导数.再由于积分是微分的逆运算，可以得到基本积分表，依靠他们能算出大量初等函数的积分.可以说，两个重要极限可以说是全部微分积分学的基础，在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，所以这两个重要极限极其重要.第一个重要极限实际上是两个无穷小之比的极限.若分子分母分别求极限便得 这一不定的成果，因此称这一类型的极限为 型未定式.近似地，第二个重要极限是属于1∞型未定式.综上所述，可以得出这样的结论，凡是含有三角函数的型未定式和1∞型未定式，我们都可无妨用两个重要极限来试试，看可否求出它的成果，以下举例来讲明如何应用这两个重要极限于极限运算中的.例1 求20cos 1limx xx -→．解:20cos 1lim x xx -→=2122sin22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim0220220=⋅⋅==→→→x xx x x x x x x x x ．例2求30sin tan limx xx x -→．解:30sin tan lim x x x x -→=3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim x x xx x x x x x x -⋅=-→→=21cos 1lim cos 1lim sin lim2000=-⋅⋅→→→x x x x x x x x ． 例3 求xx x )21(lim -∞→． 解: 令－x2=t ，则x =－t2．当x时t0，于是x x x )21(lim -∞→=21020])1(lim [)1(lim -→-→+=+t t t t t t =e –2．例4求xx x x )23(lim --∞→．解: 令xx --23=1+u ，则x =2－u1．当x时u0，于是x x x x )23(lim --∞→=])1()1[(lim )1(lim 210120u u u u u u u +⋅+=+-→-→=])1(lim [])1(lim [2011u u u uu +⋅+→-→=e -1． 例5求xx x cot 0)tan 1(lim +→．解: 设t =tan x ，则t 1＝cot x ．当x 0时t0， 于是xx x cot 0)tan 1(lim +→=tt t 10)1(lim +→=e ．1sin lim0=→x xx 的应用极限1),(),(sin lim0),(=→y x u y x u y x u 是一元函数第一个重要极限的推广，其中，）（）（00,,y x y x →时，0),(→y x u ，把),(y x u 看做新变量t ，思索极限过程0→t .例1 求极限2233)0,0(),()sin(lim y x y x y x ++→解：2233)0,0(),()sin(lim y x y x y x ++→极限运算过程中第一个等号是一个恒等变形. 我们设2233)sin(),(y x y x y x f ++=，定义域是})0,0(),(),({D ≠=y x y x .再设223333331)sin(),(y x y x y x y x y x f ++++=定义域(){},)0,0(),(,D 1x y y x y x ≠≠=且显然有D D 1∈. 可以看到，从函数),(y x f 到),(1y x f 定义域变小了，但),(y x f ，),(1y x f 分别在各自的定义域D 与1D 内，当)0,0(,→）（y x 时，可以证明极限都是存在的，证明如下：22333333)0,0(),()sin(lim y x y x y x y x y x ++⋅++=→（1）以下是对2233)sin(),(y x y x y x f ++=在定义域})0,0(),(),({D ≠=y x y x 内极限的证明.因为当)0,0(,≠）（y x 时，有： 所以由夹逼准则得2233)0,0(),()sin(lim y x y x y x ++→ =0 (2)对223333331)sin(),(y x y x y x y x y x f ++++=在定义域(){},)0,0(),(,D 1x y y x y x ≠≠=且内极限的存在性，由极限的四则运算法则容易知道，而且其值易算得为0. 既然2233)sin(),(y x y x y x f ++=在定义域})0,0(),(),({D ≠=y x y x 内极限存在，那末极限必唯一.我们可以在D 内任找)0,0(,→）（y x 的方式来计算出极限值.由D 与1D 的关系（D D 1∈），知道在11D =D D 中两函数相等，所以在求极限找)0,0(,→）（y x 的方式时，我们可以在1D ）（D D 1⊂中找，显然，两函数的极限是相等的.2233)sin(),(y x y x y x f ++=≠223333331)sin(),(y x y x y x y x y x f ++++=，2233)0,0(),()sin(lim y x y x y x ++→但是，=),(lim10,0),(y x f y x ）（→是成立的.所以在)0,0(,→）（y x 时，两函数的极限是相等的.同理可以计算下面例子. 例2 求极限y xyy x sin lim)0,0(),(→22333333)0,0(),()sin(lim y x y x y x y x y x ++⋅++=→解：001lim sin lim sin lim sin lim)0,0(),(0)0,0(),()0,0(),(=⋅===→→→→x xy xyx xy xy y xy y x xy y x y x .在一元函数中由第一个重要极限可以得到几个常常使用的等价无穷小，推广到二元函数中得到：同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例3 求极限)tan(sin lim )0,0(),(y x xy y x +++→解：)tan(sin lim )0,0(),(y x xy y x +++→=yx xy y x +++→），（00),(lim =0例4 求极限222222)0,0(),()()cos(1limy x y x y x y x ++-→解：222222)0,0(),()()cos(1limy x y x y x y x ++-→=21)()(21lim 2222222)0,0(),(=++→y x y x y x y x 4.2.2 重要极限ex x x =+∞→)11(lim极限e y x u y x u y x u =+∞→),(),()),(11(lim 是一元函数中第二个重要极限的推广.下面举例说明它的应用. 例5 求极限yx x y x x+∞→+2)11(lim )1,(),(解：yx x y x x+∞→+2)11(lim )1,(),(=xy x x x y x x 1)1,(),(2)11(lim +∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡+[]),(~1);,(~),(tan );,(~),(1ln );,(21~),(cos 1);,(~),(sin ),(2y x u e y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u -+-=eexyxxxyxyx==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∞→∞→1lim)1,(),()1,(),()11(lim对于二元函数极限的运算方法除了操纵两个重要极限以外，还有多种方法，比方操纵不等式，使用夹逼准则；操纵初等函数的持续性及极限的运算法则；同时还可以用途径的方法断定极限不存在，但是在使用这些方法时往往不是孤立使用的，通常会多种方法综合使用，来处理二元函数的极限问题.本文通过举例主要讨论了两个重要极限在二元函数极限中的应用，并给出了二元函数极限运算中几个罕见的无穷小的等价代换公式及其应用，更加深了对两个重要极限在二元函数极限运算中作用的懂得，以便更好的处理二元函数的极限问题.5.总结关于两个重要极限的公式自己十分简单，但由它们上面却引出许多的话题. 关于它的证明方法还有很多，本文选取了最能体现数学思想的证法，还谈及了它们的一些应用，这些话题都反映一个共同思想: 在研究函数在一点的无穷小范畴内的变更性态时, 用某个与自变量增量成比例的量( 即微分) , 替代函数的增量, 常常是简化并处理问题的法子. 这就是微分学的基本思想, 对于微积分, 只有深入懂得和掌握了这一思想, 才会深刻懂得和学习.著名日本迷信家米山国藏指出: 作为知识的数学, 出校门不到年能够就忘了, 唯有深深铭刻在头脑中的数学的精华、数学的思想研究方法和着眼点等, 这些都随时随地发生作用,使人们终身受益.这句话揭露了数学的精华不在于知识自己,而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法，因此，我们在平时的学习中要注意知识间的思维关系，从而更好的掌握知识.。
